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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题


城市表层土壤重金属污染分析 摘 要

随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加,人类活动对城市环境质量 的影响日益突出, 研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式日益成为人们关 注的焦点。按照功能划分,可将城市划分为生活区、工业区、山区、主干道路区 和公园绿地区等,不同区域环境受人类活动影响的程度不同。 对于问题一,利用附件中所给数据,通过 MATLAB 插值法建立城市地形的三 维模型,以及八种重金属元素空间浓度分布图(共 8 幅),通过模型我们可以清 楚地看到不同元素在不同区域的分布情况。 分析不同地区污染程度时我们采用了 Muller 指数将污染情况分成 0—6 共 7 个等级,并列表统计不同功能区不同金属 元素的污染等级。通过比较可以清楚地看到该城区不同区域重金属的污染程度, 按严重程度依次为工业区 主干道路区 生活区 公园绿地区 山区。 对于问题二,通过问题一我们发现工业区、主干道路区和生活区是重金属污 染较为严重的区域。由于目前我国在重金属冶炼、开采、加工等领域生产方式粗 放,造成了大量的重金属元素如 Pb、Hg、Cu 等进入空气、水体以及土壤,造成 了严重的重金属污染。 人类生活中日常使用的一些物品含有大量重金属元素,如 电池中含有大量 Hg、Zn、Ni 等重金属元素,他们通过自然和生物降解,随雨水 进入水体和土壤中。 对于问题三,我们通过分析前两问得出的结论,即重金属元素从高海拔向低 海拔,从高浓度向低浓度扩散,我们建立数学模型,通过求解函数极值,可确定 污染源位置。 对于问题四,我们仔细分析了上述数学模型的优缺点,为了更好地研究城市 地质环境的演变模式,还应收集该城市盛行风风向、水流流向、人类活动、土壤 中生物活动情况、土壤本身的性质情况以及各污染源污染强度、持续时间、当地 的空气污染情况等信息。综合各因子的作用效果,通过回归分析解决新模型。 关键词:插值法;Muller;扩散模型;回归分析

1

一、问题重述
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加,人类活动对城市环境质量 的影响日显突出。按照功能划分,城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干 道路区及公园绿地区等, 不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。对表层土 进行取样、 编号, 获得了城区每个样本所含的多种化学元素的浓度数据以及该城 区表层土壤中元素的背景值。现要我们将通过数学建模来完成以下任务: (1) 给出 8 种主要重金属元素在该城区的空间分布,并分析该城区内不同区 域重金属的污染程度。 (2) 通过数据分析,说明重金属污染的主要原因。 (3) 分析重金属污染物的传播特征,由此建立模型,确定污染源的位置。 (4) 分析你所建立模型的优缺点,为更好地研究城市地质环境的演变模式, 还应收集什么信息?有了这些信息,如何建立模型解决问题?

二、问题假设
1.各采样点所的数值均真实有效 2.重金属污染物不会被自然寄生物吸收降解 3.各污染源均不随时间变化而变化

三、问题分析
问题一:利用附件中所给数据,通过 MATLAB 插值法建立城市地形的三维模 型,以及八种重金属元素空间浓度分布图(共 8 幅),通过模型我们可以清楚地 看到不同元素在不同区域的分布情况。分析不同地区污染程度时我们采用了 Muller 指数将污染情况分成 0—6 共 7 个等级,并列表统计不同功能区不同金属 元素的污染等级。 问题二:比较该城市不同功能区不同元素不同等级污染等级采样点所占百分 比以及不同元素分布与该城市功能区分布,分析造成重金属污染的主要原因。 问题三: 我们通过分析前两问得出的结论, 即重金属元素从高海拔向低海拔, 从高浓度向低浓度扩散,我们建立数学模型,通过求解函数极值,可确定污染源 位置。 问题四:分析了上述数学模型的优缺点,为了更好地研究城市地质环境的演 变模式,还应收集该城市盛行风风向、水流流向、人类活动、土壤中生物活动情 况、土壤本身的性质情况以及各污染源污染强度、持续时间、当地的空气污染情 况等信息。综合各因子的作用效果,通过回归分析解决新模型。

四、模型的建立与求解
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4.1 问题一 利用附件中所给数据, 通过 MATLAB 插值法建立城市地形的三维模型如图 1.1 —1.2 图 3.1—3.2 给出了该城市的地形:

图 1.1 该市地形图(三维)

图 1.2 该市地形图(等高线)

将该城市功能区分成生活区、工业区、山区、主干道路区和公园绿地区,下 表给出了各功能区表层土壤重金属浓度分布: 表 1 该城市不同功能区表层土壤重金属浓度分布(μ g/g) 功能区 As Cd Cr Cu Hg Ni Pb Zn 生活区 6.27 289.96 69.02 49.40 93.04 18.34 69.11 237.01 工业区 7.20 400.99 54.01 130.59 659.54 19.96 94.51 284.26 山区 4.04 152.32 38.96 17.32 40.96 15.45 36.56 73.29 主干道路区 5.71 360.01 58.05 62.21 446.82 17.62 63.53 242.85 公园绿地区 6.26 280.54 43.64 30.19 114.99 15.29 60.71 154.24 下图给出了该城市不同重金属污染的分布情况:

3

As

Cd

Cr

Cu

Hg

Ni

Ni Ni

Zn Zn

图 2 该城市不同重金属污染的分布 对于土壤重金属污染物的污染程度评价,目前国内外普遍采用单因子指数法 和内梅罗综合指数法等进行土壤重金属污染评价, 以上两种方法均能对研究区土 壤重金属污染程度进行较为全面的评价,但无法从自然异常中分离人为异常,判 断表生过程中重金属元素的人为污染情况。地累积指数法注意到了此因素,弥补 了其他评价方法的不足。地累积指数又称 Muller 指数,其计算表达式为: Cn lgeo = log 2 k ? Bn 式中,Cn 是元素 n 在沉积物中的含量;Bn 是沉积物中该元素的地球化学背景 值;k 为考虑各地岩石差异可能会引起背景值的变动而取的系数(一般取值为 1.5) , 用来表征沉积特征、 岩石地质及其他影响。 表 2 和表 3 份被列出了 Muller 地积累指数分级标准和该城市土壤重金属元素背景值: 表 2 Muller 地积累指数分级标准 地积累指数 lgeo 分级 6 < ≤ 5 < ≤ 4 < ≤ 3 < ≤ 2 < ≤ 1 < ≤
4

污染程度 极严重污染 强-极严重污染 强污染 中等-强污染 中等污染 轻度-中等污染



0

无污染

表 3 该城市土壤重金属元素背景值(μ g/g) 元素 As Cd Cr Cu Hg Ni Pb Zn 背景值 3.6 130 31 13.2 35 12.3 31 69 将不同功能区表层土壤重金属平均浓度值及该城市土壤元素背景值代入 Mul1er 地积累指数计算公式,得到如下结果,详见表 4: 表 4 该城市不同功能区表层土壤重金属元素 Muller 指数评价 As Cd Cr Cu lgeo 分级 lgeo 分级 lgeo 分级 lgeo 分级 0.215611 1 0.572387 1 0.569751 1 1.319104 2 0.415896 1 1.040077 2 0.215874 1 2.721513 3 -0.41714 0 -0.35637 0 -0.25525 0 -0.19329 0 0.080037 0.214059 Hg 1 1 0.884581 0.524747 Ni 1 1 0.320163 -0.09171 Pb 1 0 1.65176 0.608652 Zn 2 1

功能区 生活区 工业区 山区 主干道 路区 公园绿 地区 功能区

生活区 工业区 山区 主干道 3.089313 4 -0.06664 0 0.450303 1 1.230464 2 路区 公园绿 1.131141 2 -0.27106 0 0.38467 1 0.575568 1 地区 分析上表可知, 人类活动对城市环境质量的影响十分显著。在人类活动相对较少 的地方 (如山区) , 表层土壤重金属元素污染等级很低 (该城市山区 As、 Cd、 Cr、 Cu、Hg、Ni、Pb 和 Zn 的 lgeo 污染等级均为 0,无污染) 。而人类活动相对较多 的区域(如工业区) ,表层土壤重金属元素污染等级相对较高(该城市工业区上 述 8 种重金属元素污染等级分别为 1—4 级) 。 该城市不同区域重金属的污染程度 依次为工业区>主干道路区>生活区>公园绿地区>山区。 4.2 问题二 表 5.1—表 5.5 分别给出了该城市不同功能区表层土壤重金属物质的污染程 度统计。结合数据分析可得到如下结论: 表 5.1 该城市不同功能区(生活区)表层土壤重金属物质污染程度统计表 污染等级 As Cd Cr Cu Hg Ni Pb Zn 0 31.82% 29.55% 47.73% 20.45% 45.45% 50.00% 47.73% 43.18%
5

lgeo 分级 lgeo 分级 lgeo 分级 lgeo 分级 0.825544 1 -0.00845 0 0.571588 1 1.195309 2 3.651064 4 0.113801 2 1.02331 2 1.457575 2 -0.35824 0 -0.25566 0 -0.34713 0 -0.49786 0

1 63.64% 54.55% 43.18% 38.64% 29.55% 50.00% 38.64% 27.27% 2 4.55% 13.64% 6.82% 22.73% 15.91% 0.00% 9.09% 20.45% 3 0.00% 2.27% 0.00% 13.64% 6.82% 0.00% 2.27% 4.55% 4 0.00% 0.00% 0.00% 4.55% 2.27% 0.00% 2.27% 2.27% 5 0.00% 0.00% 2.27% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 2.27% 备注 采样点总数:44 生活区各采样点污染情况相对较轻,一般均在无污染或轻度-中等污染水平。 其中 Cr、Zn 各有占采样总数 2.27%的采样点达到了强-极严重污染水平,而 Cu、 Hg、Pb 分别有 4.55%、2.27%和 2.27%的采样点达到了强污染水平。这与生活区 居民长时间堆放或随意丢弃含有该重金属物质的污染物(如电池、日光灯管、油 漆等)有关。 表 5.2 该城市不同功能区(工业区)表层土壤重金属物质污染程度统计表 污染等级 As Cd Cr Cu Hg Ni Pb Zn 0 38.89% 16.67% 58.33% 5.56% 30.56% 50.00% 22.22% 25.00% 1 52.78% 44.44% 36.11% 41.67% 19.44% 47.22% 50.00% 36.11% 2 5.56% 30.56% 2.78% 33.33% 16.67% 2.78% 22.22% 25.00% 3 2.78% 8.33% 2.78% 13.89% 13.89% 0.00% 0.00% 5.56% 4 0.00% 0.00% 0.00% 2.78% 5.56% 0.00% 5.56% 8.33% 5 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 8.33% 0.00% 0.00% 0.00% 6 0.00% 0.00% 0.00% 2.78% 5.56% 0.00% 0.00% 0.00% 备注 采样点总数:36 工业区的重金属污染相对较严重,其中 Cu 和 Hg 分别有 2.78%和 5.56%的采 样点达到了极严重污染的水平, 其它重金属污染情况也不同程度较该城市其它地 区严重。这与工业区长期排放、堆放含有这些重金属元素的物质有关。近年来, 由于部分矿产开发中选矿、冶炼工艺水平落后,个别矿区没有环保治理设备,废 水、 废气排放而带来的大量废弃物的产生未经处理直接投放环境,而其中的重金 属随着自然的沉降、雨水的淋溶等途径进入土壤,进入正常循环的生态系统,造 成重金属污染严重危害人们的生产生活。 表 5.3 该城市不同功能区(山区)表层土壤重金属物质污染程度统计表 污染等级 As Cd Cr Cu Hg Ni Pb Zn 0 83.33% 75.76% 74.24% 69.70% 77.27% 75.76% 84.85% 90.91% 1 15.15% 21.21% 24.24% 27.27% 21.21% 21.21% 12.12% 7.58% 2 1.52% 3.03% 1.52% 3.03% 1.52% 1.52% 3.03% 1.52% 3 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 1.52% 0.00% 0.00% 备注 采样点总数:66 山区的重金属污染情况明显较轻,与人类活动较少有关。 表 5.4 该城市不同功能区(主干道路区)表层土壤重金属物质污染程度统计表 污染等级 As Cd Cr Cu Hg Ni Pb Zn 0 50.00% 23.91% 58.70% 15.94% 49.28% 68.12% 39.13% 32.61%
6

1 47.83% 44.20% 34.78% 32.61% 18.84% 30.43% 42.03% 35.51% 2 0.72% 26.09% 4.35% 34.78% 18.84% 0.72% 18.84% 22.46% 3 1.45% 5.07% 1.45% 12.32% 7.25% 0.72% 0.00% 5.80% 4 0.00% 0.72% 0.00% 3.62% 1.45% 0.00% 0.00% 2.17% 5 0.00% 0.00% 0.72% 0.00% 0.72% 0.00% 0.00% 0.72% 6 0.00% 0.00% 0.00% 0.72% 3.62% 0.00% 0.00% 0.72% 备注 采样点总数:138 主干道路区重金属污染情况也十分严重, 其中 Cu、 Hg、 Zn 分别有 0.72%、 3.62% 和 0.72%的采样点达到了极严重污染水平。重金属元素主要来自于汽车尾气排放、 车体磨损以及汽车轮胎老化磨损等人类活动。以公路、铁路为中心成条带状分布 的重金属污染土壤主要是由于汽车尾气的排放、 汽车轮胎磨损产生的大量含重金 属的有害气体和粉尘的沉降所引起的,污染元素中主要为 Pb、Cu、Zn 等元素。 这些物质随风飘落,进入土壤中引起重金属污染。实验证明,道路两旁土壤中重 金属的污染比较严重,并随着离公路距离的由近到远,土壤的污染程度渐轻。 表 5.5 该城市不同功能区(公园绿地区)表层土壤重金属物质污染程度统计表 污染等级 As Cd Cr Cu Hg Ni Pb Zn 0 25.71% 48.57% 74.29% 25.71% 48.57% 77.14% 62.86% 54.29% 1 71.43% 31.43% 22.86% 68.57% 22.86% 22.86% 20.00% 34.29% 2 2.86% 11.43% 2.86% 2.86% 17.14% 0.00% 14.29% 5.71% 3 0.00% 8.57% 0.00% 2.86% 8.57% 0.00% 2.86% 2.86% 4 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 2.86% 0.00% 0.00% 2.86% 备注 采样点总数:35 公园绿地区的重金属污染相对较轻,一般均在无污染或轻度-中等污染水平。 但其中 Hg、Zn 均有 2.86%的采样点达到了强污染水平,这与人们随意丢弃还有 这种重金属的废弃物(如电池等)有关。 下面一组图分别给出了该城市不同功能区的分布情况:

图 3.1 生活区

图 3.2 工业区

图 3.3 山区

将图 2—3 与图 1 比较,并结合上述讨论结果,我们可以得出以下结论:
7

图 3.4 主干道路区 区

图 3.5 公园绿地区 区

(1) 研究中 As、Cd、Cr、Cu、Hg、Ni、Pb、Zn 含量大多超过其背景值,说明 人类活动是造成城市重金属污染的重要影响因素之一。 (2) 污染源所在区域重金属污染最严重,污染物以该点位中心,从高海拔向低 海拔,从高浓度向低浓度扩散。污染物沿地势向下扩散得快,公路密集的 地方扩散得快。 (3) 工业化程度越高的地区污染越严重,工业区高于山区。由于以大气传播媒 介土壤重金属污染土壤的具有很强的叠加性, 重金属污染所时间的推移而 加剧。由于目前我国在重金属冶炼、开采、加工等领域生产方式粗放,造 成了大量的重金属元素如 Pb、Hg、Cu 等进入空气、水体以及土壤,造成 了严重的重金属污染。 (4) 人类生活中日常使用的一些物品含有大量重金属元素, 如电池中含有大量 Hg、Zn、Ni 等重金属元素,他们通过自然和生物降解,随雨水进入水体 和土壤中。 4.3 问题三 4.3.1 数据特征及影响因素 4.3.1.1 污染点与源点的距离 1.在距污染源较近的地方,重金属元素的含量呈直线下降趋势 2.在一定距离后大致呈双曲线的下降趋势并且其周围的污染程度的等高线大致 呈已某一点为圆心的圆弧 4.3.1.2 污染点与源点的地势 1.两点之间地势可视为均匀变化。设源点 o 坐标为(0,0)地势高度Zo ;污染点 c 坐标为(x,y)地势高度Zc ,则地势变化率 k =
Z o ?Z c x 2 +y 2

,k 大于 0 表示源点与污

染点之间的传播路径为下坡,反之,k 小于 0 则为上坡。 2.当 k>0,k≈ 0,及?5 × 10?3 <k<0 染点重金属浓度 q 的变化趋势基本相同,且 速率与 k 呈比例关系。 3.当k < ?5 × 10?3 时,即源点低于污染点且地势上升趋势明显时,污染点重金 属浓度 q 的变化趋势与(b)中有较明显不同。 4.3.1.3 污染点和源点周围的环境 1.同一种金属,在同一个源点周围,例如左右两侧的地势变化率 k 不同(k 满足 上问 b 中条件)时,可观察到污染点重金属浓度的变化趋势快慢与地势变化率呈 正比关系。 2.同一种重金属,在不同的两个源点附近下降速率有较大不同,例如,若两不 同源点附近 k 相同, 但其重金属浓度变化趋势也由较大不同,可能是由于土壤类 型等自然因素造成。 4.3.1.4 重金属的种类 1.不同种类的重金属,在其他条件相同的条件下,浓度改变的速率也由较大差 别,可能是由于不同重金属在土壤中的吸附率和化学变化的程度不同。
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4.3.2 假设模型过程推导 源点 o 坐标为 (0,0) 重金属浓度Qo , 污染点 c 坐标 (x, y) 重金属浓度 Qc 。 ?3 1)当 k>0,k≈ 0,及?5 × 10 <k<0 时 (a)对呈双曲线变化趋势时,做出模型假设,污染点浓度 Qc = m × Qo x2 + y2

又因为同一种金属, 在同一个源点周围,污染点重金属浓度的变化趋势快慢与地 势变化率呈正比关系,所以同一种金属,在同一个源点周围,m × k = a(常 数) ,即 m 与 k 呈反比关系。 (b)当污染点与源点的距离小于 1.2× m(即上问的系数 m)时,浓度呈直线变 化,做出模型假设, Qc = Qo ? 100 × x2 + y2 × k

2)当k < ?5 × 10?3 时 当污染点距离源点距离在一定范围内时,重金属浓度变化方程,符合 1)中 的方程,但当超过一定距离后,重金属浓度基本不变,达到背景值范围作用,故 浓度的变化方程如下。 (a)对呈双曲线变化趋势时,做出模型假设,污染点浓度 Qc = m × Qo x2 + y2

(b)当污染点与源点的距离小于 1.2× m(即上问的系数 m)时,浓度呈直线变 化,做出模型假设, Qc = Qo ? 100 × x2 + y2 × k

(c)当污染点与源点的距离大于 2.7× m 时,浓度基本保持不变,与背景值范围 基本符合。 4.3.3 模型准确性的验证 由于为模型准确性的验证,所以需要先取定源点,此时源点的选取,即为在 第一大问所作的图上,提取重金属浓度最高点作为源点。 (a)Zn 的验证 取实际坐标为 (13796.4, 9621.5) 的点为 Zn 的一个源点, 计算时可将其化为 (0 , 0) ,其左侧周围的污染点概况如表 x y 高度 13796.4 9621.5 18 13423.5 9621.5 17.2 13308 9621.5 16.5 13194 9621.5 15.6 13079 9621.5 14.7 ?3 计算该点左侧的地势变化率 k = 4.5× 10 ,拟合后取得最优解 m = 293.34 将其按照距离,带入符合的公式得出相应的重金属浓度,并计算出误差百分比。
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x y 实际浓度 计算浓度 误差 13796.4 9621.5 3760.8 3760.8 0% 13423.5 9621.5 2958 2880 2.60% 13308 9621.5 2495.6 2360.6 5.40% 13194 9621.5 1991.912 1832.5 7.90% 13079 9621.5 1481.28 1538.6 4% 该源点下侧的污染点概况,如下表 x y 高度 13796.4 9621.5 18 13796.4 9399.9 16.2 13796.4 9326 15.6 13796.4 9252.2 15 13796.4 9196.79 14.6 ?3 计算该点左侧的地势变化率 k = 7.6× 10 ,根据m × k = a(常数) ,可 知此时 m = 176.4。带入验证知 x y 实际浓度(μ 计算浓度(μ 误差 g/g) g/g) 13796.4 9621.5 3760.8 3760.8 0.00% 13796.4 9399.9 2987.6 2900.23 2.90% 13796.4 9326 2489.4 2248.35 9.00% 13796.4 9252.2 1939 1797.5 7.30% 13796.4 9196.79 1518 1560.62 2.80% (b)模型准确性及可行性分析 采用给出源点坐标, 后采用该模型来验证其余点的重金属浓度的方法来分析 该 模型的可行性,由所得的结果可知,多数点的误差都比较小,全部在可以接 受的误差范围之内,所以可以说明该模型的准确性基本合格,在分析重金属的 传播中可以使用。 4.3.4 对与八种重金属元素污染源点的确定 4.3.4.1 Cr 元素 x 3126 3069 2982 2925 3614 3617 3700 3757 y 5817 5816.7 5813.2 5820.7 5821.1 5817 5818.8 5816 实际浓度(μ g/g) 794 718 587 494 832 700 624 473

利用所测点拟合出所在方向的地势变化率 k 和双曲线系数 m,设源点的坐标 为(x , y) ,浓度为Qo ,经拟合后知,地势变化率 k = 1.8× 10?3 , 双曲线 系数 m = 300 带入方程
10

Qc = Qo ? 100 × Qc = m × 以前三个数据为例 794 = Qo ? 100 × x ? 3126
2

x2 + y2 × k

Qo x2 + y2 × 1.8 × 10?3

+ y ? 5817

2

718 = 300 × 587 = 300 ×

Qo x ?3069 2 + y ?5816 .7 2 Qo x ?2982 2 + y ?5813 .2 2

其中,对于两个方程的选择,可以先假设其满足其中某一方程,求得结果后 再验证是否满足该方程即可。上式即假设第一点满足近距离方程,求得结果为 x = 3320.12,y = 5802.43, 求得与源点距离 d=195< 300 × 1.2 = 360 满足假设 同理,将所得的 x,y 取平均值,得 x = 3406.2,y = 5732.6,即 Cr 元素 的一个污染源点坐标为(3406.2 , 5732.6) 其中若将第一大问所得图中的浓度最高点作为实际的污染源点, 则计算值的 误差如表 x y 实际值 平均值 误差 4.3.4.2 Hg 元素 Α 污染源 x 14943 14800 14656 14513 15546.01 15689.42 15832.84 15947.57 3470 3406.2 1.84% 5817 5732.6 1.45%

y 9178 9170 9171.34 9174.45 9196.79 9215.26 9233.73 9252.2

实际浓度(μ g/g) 12014 10280 8205 5981 11956.19 10093.37 7894.88 6048.86

利用所测点拟合出所在方向的地势变化率 k 和双曲线系数 m,设源点的坐标 为(x , y) ,浓度为Qo ,经拟合后知,地势变化率 k = 4 × 10?3 , 双曲线 系数 m=302。 同上步骤,分别计算污染源点坐标。 同理,将所得的 x , y 取平均值,得 x = 15783.13 ,y = 9834.27,即
11

Hg 的一个污染源点的坐标为(15783.13 , 9834.27) ,其中若将第一大问所得 图中的浓度最高点作为实际的污染源点,则计算值的误差如表 x y 实际值 平均值 误差 B 污染源 x 13882.42 14054.51 14169.24 14255.29 13739 13738.59 13366.13 12993.26 y 2345.37 2400.77 2456.17 2493.17 2659.31 2751.65 2788.59 2585.44 实际浓度(μ g/g) 14052.57 11896.22 9887.87 8171 11832.21 10096.89 8202.52 6033.42 152 01 15783.13 3.83% 9178 9834.27 7.15%

利用所测点拟合出所在方向的地势变化率 k 和双曲线系数 m,设源点的坐标 为(x , y) ,浓度为Qo ,经拟合后知,地势变化率 k = 0.8 × 10?3 , 双曲线 系数 m = 178 同上步骤,分别计算污染源点坐标。 同理,将所得的 x , y 取平均值,得 x = 12823.24,y = 2109.65,即 Hg 的一个污染源点的坐标为(12823.24,2109.65) 。 其中若将第一大问所得图中的浓度最高点作为实际的污染源点, 则计算值的 误差如表 x y 实际值 平均值 误差 C 污染源 x 2351.98 2265.93 2179.88 1979.1 y 2842.11 2807.05 2770.12 2899.39
12

13681.64 12823.24 6.27%

2345.42 2109.65 10.08%

实际浓度(μ g/g) 14014.71 11907.02 9759.32 5689.76

2810.91 2925.63 3011.68 3183.78

2622.38 2585.44 2585.26 2566.98

13811.08 12005.12 10008.07 5987.6

利用所测点拟合出所在方向的地势变化率 k 和双曲线系数 m,设源点的坐标 为(x , y) ,浓度为Qo ,经拟合后知,地势变化率 k = 2.51 × 10?2 , 双曲 线系数 m = 261 同上步骤,分别计算污染源点坐标。 同理,将所得的 x , y 取平均值,得 x = 2709.67,y = 2596.19,即 Hg 的一个污染源点的坐标为(2709.67,2596.19) 其中若将第一大问所得图中的浓度最高点作为实际的污染源点, 则计算值的 误差如表 x y 实际值 平均值 误差 4.3.4.3 As 元素 x 17869 17754.72 17639.6 18586.37 18758.47 19045.32 19303.45 19561.61 2581.43 2709.67 4.95% 2843.99 2956.19 3.97%

y 10053.46 10034.61 10027.49 10027.85 10027.15 10009.36 9972.56 9935.49

实际浓度(μ g/g) 25.12 20.62 15.48 27.16 24.85 20.06 15.15 10.16

利用所测点拟合出所在方向的地势变化率 k 和双曲线系数 m,设源点的坐标 为(x,y) ,浓度为Qo ,经拟合后知,地势变化率 k = 1.23 × 10?2 , 双曲线 系数 m = 250.5。 同上步骤,分别计算污染源点坐标。 同理,将所得的 x , y 取平均值,得 x = 17462.16,y = 9887.31,即 Hg 的一个污染源点的坐标为(17462.16, 9887.31) 其中若将第一大问所得图中的浓度最高点作为实际的污染源点, 则计算值的 误差如表 x y
13

实际值 平均值 误差 4.3.4.4 Cd 元素 x 20156.26 20143.12 20238.02 21621.14 21856.2 21454.46 21110.45 21684.11

18127.52 17462.16 3.66%

10064.29 9887.31 1.76%

y 11246.38 11062.35 10895.23 11283.62 11098.95 10932.74 11080.15 11782.24

实际浓度(μ g/g) 1500.18 1027 526 1503.46 1108.63 613.28 654.96 1110.71

利用所测点拟合出所在方向的地势变化率 k 和双曲线系数 m, 设源点的坐标为 (x , ?2 y) ,浓度为Qo ,经拟合后知,地势变化率 k = 1.64 × 10 , 双曲线系数 m = 211 同上步骤,分别计算污染源点坐标。 同理,将所得的 x , y 取平均值,得 x = 19987.76,y = 10350.91,即 Hg 的一个污染源点的坐标为(19987.76, 10350.91) 其中若将第一大问所得图中的浓度最高点作为实际的污染源点, 则计算值的 误差如表 x y 实际值 平均值 误差 4.3.4.5 Cu 元素 x 2524.53 2610.25 2667.61 2753.02 2346.07 2336.85 2353.48 21485.83 19987.76 6.97% 11395.37 10350.91 9.17%

y 3650.15 3685.19 3623.08 3516.25 3711.02 3748.29 3785.61
14

实际浓度(μ g/g) 2025.23 1494.5 1079.53 456.31 2496 2089 1419

2342.05

3822.59

577

利用所测点拟合出所在方向的地势变化率 k 和双曲线系数 m,设源点的坐标 为(x , y) ,浓度为Qo ,经拟合后知,地势变化率 k = 2.35 × 10?2 , 双曲 线系数 m = 75 同上步骤,分别计算污染源点坐标。 同理,将所得的 x , y 取平均值,得 x = 2460.65,y = 3496,即 Hg 的 一个污染源点的坐标为(2460.65,3496) 其中若将第一大问所得图中的浓度最高点作为实际的污染源点, 则计算值的 误差如表 x 2352.78 2460.65 4.59% y 3657.07 3496 4.61%

实际值 平均值 误差 4.3.4.6 Ni 元素 x 3097.85 2982.02 2896.21 2810.06 3470.53 3525.2 3585.29 3642.91

y 5960.32 5954.21 5958.86 5964.25 5967.53 5972.29 5970.15 5669.31

实际浓度 121.13 98.26 78.85 59.36 122.92 103.59 82.16 62.58

利用所测点拟合出所在方向的地势变化率 k 和双曲线系数 m,设源点的坐标 为(x , y) ,浓度为Qo ,经拟合后知,地势变化率 k = 3.5 × 10?3 , 双曲线 系数 m = 156.4 同上步骤,分别计算污染源点坐标。 同理,将所得的 x , y 取平均值,得 x = 3175.04,y = 6053.72,即 Hg 的一个污染源点的坐标为(3175.04, 6053.72) 其中若将第一大问所得图中的浓度最高点作为实际的污染源点, 则计算值的 误差如表 x y 实际值 平均值 误差 3327.16 3175.04 4.57%
15

5965.29 6053.72 1.48%

4.3.4.7 Pb 元素 A 污染源点 x 坐标 4617.9 4531.86 4445.82 3986.89 490.79 5019.46 4761.33 4617.91

y 坐标 4856.94 4801.54 4930.81 4930.95 4801.54 4709.2 4635.33 4621.32

实际浓度 410.89 310.11 345.83 198.62 407.4 346.51 301.48 246.19

利用所测点拟合出所在方向的地势变化率 k 和双曲线系数 m, 设源点的坐标为 (x , ?3 y) ,浓度为Qo ,经拟合后知,地势变化率 k = 4.6 × 10 , 双曲线系数 m = 178.47 同上步骤,分别计算污染源点坐标。 同理,将所得的 x , y 取平均值,得 x = 4387.58,y = 5106.72,即 Hg 的一个污染源点的坐标为(3175.04, 6053.72) 其中若将第一大问所得图中的浓度最高点作为实际的污染源点, 则计算值的 误差如表 x y 实际值 平均值 误差 B 污染源点 x 2208.57 2323.3 2409.35 2524.08 1807.01 1749.64 1692.28 1577.55 y 2936.32 2899.39 2807.06 2807.62 2511.58 2400.78 2289.97 2216.1 实际浓度 399.56 365.97 329.01 298.09 402.18 357.02 299.3 257.12 4703.96 4387.58 6.72% 4930.81 5106.72 3.60%

利用所测点拟合出所在方向的地势变化率 k 和双曲线系数 m,设源点的坐标 为(x , y) ,浓度为Qo ,经拟合后知,地势变化率 k = 2.32 × 10?3 , 双曲 线系数 m = 196.64 同上步骤,分别计算污染源点坐标。 同理,将所得的 x,y 取平均值,得 x = 2014.38,y = 3142.06,即 Hg 的
16

一个污染源点的坐标为(2014.38, 3142.06) 其中若将第一大问所得图中的浓度最高点作为实际的污染源点, 则计算值的 误差如表 x y 实际值 平均值 误差 4.3.4.8 Zn 元素 x 13423.5 13308 13194 13079 13796.4 13796.4 13796.4 13796.4 1893.05 2014.38 6.39% 2973.26 3142.06 5.68%

y 9621.5 9621.5 9621.5 9621.5 9399.9 9326 9252.2 9196.79

实际浓度 2958 2495.6 1991.912 1481.28 2987.6 2489.4 1939 1518

利用所测点拟合出所在方向的地势变化率 k 和双曲线系数 m,设源点的坐标 为(x , y) ,浓度为Qo ,经拟合后知,地势变化率 k = 4.5 × 10?3 , 双曲线 系数 m = 293.34 同上步骤,分别计算污染源点坐标。 同理,将所得的 x , y 取平均值,得 x = 13548.73,y = 9807.69,即 Hg 的一个污染源点的坐标为(13548.73, 9807.69) 其中若将第一大问所得图中的浓度最高点作为实际的污染源点, 则计算值的 误差如表 x y 实际值 平均值 误差 4.4 问题四 13796.4 13548.73 1.80% 9621.5 9807.69 1.93%

优点 1. 本文在正确、清楚地分析了题意地基础上,建立了合理、科学的可变成本计 算模型,较理想地模拟了重金属污染物的传播特性。 2. 模型中充分考虑了该城市地形对重金属污染物传播的影响,又忽略空气流动、
17

水流、人员迁移等影响因素,使该模型得以简化,更好地解决了实际问题。 3. 原创性很强,文章中的大部分模型都是自行推导建立的。且模型的计算采用 专业的数学软件,可信度较高。建立的规划模型能与实际紧密联系,结合实 际情况对问题进行求解,使得模型具有很好的通用性和推广性。 4. 对附件中的众多表格进行了处理,对污染程度采用量化分级的方法,找出了 许多变量之间的潜在关系。 5. 对模型中涉及到的众多影响因素进行了量化分析,使得论文有说服力。 缺点 1.在绘制三维曲面过程中, 采用了 MATLAB 自带的插值算法, 虽然增加了点数, 但同时引入了误差。 2.模型建立的约束条件相对简单,未考虑空气流动、水流、人员迁移等影响因 素对重金属污染物传播的影响。 3.假设中我们做出了 “重金属污染物向四周均匀扩散且只与地形有关” 的假设, 与实际情况不完全相符。 为了更好地研究城市地质环境的演变模式,还应收集该城市盛行风风向、水 流流向、人类活动、土壤中生物活动情况、土壤本身的性质情况以及各污染源污 染强度、持续时间、当地的空气污染情况等信息新模型建立如下: 1. 空气流动、污染源污染强度及时间对重金属污染物传播的影响 大气中的重金属主要来源于工业生产、汽车尾气排放及汽车轮胎磨损产生的 大量含重金属的有害气体和粉尘等。它们主要分布在工矿的周围和公路、铁路的 两侧。大气中的大多数重金属是经自然沉降和雨淋沉降进入土壤的。 将空气流动看作是空气中某一点元向四周等强度瞬间释放气体,重金属物质 在扩散过程中总质量不发生变化, 并假设风向水平及空气中重金属元素均能进入 土壤且能被检测到。空气中某重金属元素的浓度为 C,单位时间通过单位法向面 积的流量 q = ?k ? gradC 其中 k 为扩散系数。考察空间Ω 包围的体积,设其曲面面积为 S,根据质量守恒 定律,[t,t + ?t]时间内通过Ω 内气体流量与Ω 内气体增量相等,即
t+?t

qndσdt =
t s v

C x, y, z, t ? C x, y, z, t + Δt dV

由奥-高公式及积分中值定理可解出 ?C ?2 C ?2 C ? 2 C = kdiv gradC = k + + , t > 0, ?∞ < , , < +∞ ?t ?x 2 ?y 2 ? z 2 设空气流动的速度为μ,污染源出污染物浓度为 Q,则可求得空气中重金属元素 的浓度分布
z ?H z+H ? ? Q 2 2 C x, y, z, t = (e 2σ z + e 2σ z ) 2πμσx σy 式中 x、 y、 z 为距离污染源沿 x、 y、 z 三个方向的距离, H 为污染源的海拔高度, t 为无烟的持续时间。 y2 ? 2 σy
2 2

18

2. 水流对重金属污染物传播的影响 需要了解该城市河流、湖泊、地下水等自然水体的分布情况以及单位时间内 含某种重金属元素的土壤进入或析出水体的质量。由于城市工业化的迅速发展, 大量的工业废水涌入河道, 使城市污水中含有的许多重金属离子,随着污水灌溉 而进入土壤。在分布上,往往是靠近污染源头和城市工业区土壤污染严重,远离 污染源头和城市工业区,土壤几乎不污染。 由于重金属污染物很难被生物分解(实际上可以,将在下文中讨论) ,所以忽 略生物以及空气流动等因素的作用。 重金属污染物在土壤中的迁移受土壤中液态 流体流动即对流、污染物在土壤中的扩散,以及土壤对污染物吸附的影响.综合 以上因素,建立以下对流——弥散——吸附方程: ?C ?C ?C ?2 C ?2 C εs ?q + u1 + v1 = DCX 2 + DCY 2 ? ?τ x y ?x ?y 1 ? εs ?τ 土壤中重金属污染物在土壤中的吸附平衡方程: q bC = q s 1 + bC 联立以上两式,可得出 ?2 C ?2 C ?C ?C D + D ? u ? v CX CY 1 1 2 2 ?C x y ?x ?y = εs q s b ?τ 1+ 1 ? εs (1 + bc)2 在以上方程中,C 为重金属污染物在土壤溶液中的浓度;DCX 、DCY 分别是溶液 中的重金属污染物在水平方向和竖直方向的扩散系数;q、q s 、εs 分别表示重金 属污染物在土壤同体骨架上的吸附量、最大吸附量和土壤固体骨架的相对含量; b 为吸附常数;u1 、v1 分别是土壤中液相流体在水平方向和竖直方向的速度;x、 y 分别为水平和竖直方向的坐标。 3. 人类活动对重金属污染物传播的影响 主要表现为人类的迁移以及随意丢弃、存放含有重金属元素的污染物。污染 物沿公路延长方向分布, 自以公路轴向两侧重金属污染强度逐渐减弱;随着时间 的推移,公路、铁路土壤重金属污染具有很强的叠加性。 4. 土壤中生物活动对重金属污染物传播的影响 一些生物的某些习性可适应、抑制和改良重金属污染,如蚯蚓、鼠类等吸收 土壤中的重金属,土壤中的某些微生物等对重金属具有吸收、沉淀、氧化和还原 等作用, 降低土壤中重金属的毒性,某些植物能忍耐和超量积累某种重金属的特 性来清除土壤中的重金属。 生物对重金属的吸收只依赖于它们的有效态的多少,重金属溶液浓度和它们 的土壤的有效态之间关系遵循 Freundlich 吸附方程,其一般形式为 x = kc n 或 1 logx = logk + logc n
19
1

其中,c 为平衡常数,x 为吸附量。 5. 土壤本身的性质对重金属污染物传播的影响 不同类型的土质以及土壤的 pH 等因素进会影响土壤对重金属元素的吸收。 土在碱性条件下, 进入土壤的重金属多呈难溶态的氢氧化物,也可能以碳酸盐和 磷酸盐的形态存在。 它们的溶解度都比较小,因此土壤溶液中重金属的离子浓度 也较低。例如,铜、镉、锌、铅等重金属氢氧化物的溶解度直接受土壤 pH 值控 制。根据溶度积便能从理论上推求重金属离子浓度与 pH 的关系。随着 pH 值增 大,重金属离子的浓度则下降。但对于两性化合物氢氧化铜和氢氧化锌来说,pH 值高到一定程度时,它们又会溶解。因此,建模时应首先调查不同地区的土壤类 型,更具土壤类型的不同,查阅有关资料,修改模型中的有关参数,使模型更具 有可靠性。 为了更好地研究城市地质环境的演变模式,应综合考虑以上信息,再结合盖 城市的地形,建立因子分析法,综合各因子的作用效果,通过回归分析解决新模 型。

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五、参考文献
[1]张志勇, 《精通 MATLAB6.5》北京:北京航空航天大学出版社,2003 [2]陈威, 杨亦霖, 张爱国, 高泽世, 《非饱和土壤巾重金属污染物迁移机理分析》 , 安徽人学学报(自然科学版) ,2010 年 9 月第 34 卷第 5 期:98—103,2009 [3] 刘绍贵,张桃林,王兴祥,潘剑君, 《南昌市城郊表层土壤重金属污染特征 研究》 ,土壤通报,第 41 卷第 2 期 2010 年 4 月:463—466,2010 [4] 钱翌,赵世刚, 《青岛市不同生态功能区表层土壤重金属污染初步评价》 ,中 国农学通报,2010,26(9):352-356,2010 [5] 李玲,吴克宁,张雷,吕巧灵, 《郑州市郊区土壤重金属污染评价分析》 ,土 壤通报,第 39 卷第 5 期:1164—1168,2008

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