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棱柱、棱锥和棱台


一个数字的世界,我时时需要你. 一个形的世界,我处处离不开你.

一个美丽的世界,我欣赏你的韵律.
一个理想的世界,我探索你的奥秘.

几何学的简洁美却又正是几何学之所以完美的核心所在.

——牛顿

从航空测绘到土木建筑以至家居装潢,——空间图形与 我们的生活息息相关.

r />空间几何体是由哪些基本几何体组成的?

如何描述和刻画这些几何体的形状和大小?
构成这些几何体的基本元素之间具有怎样的位置关系?

情境引入

学生活动

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

这些几何体可以分成几类? 每一类各有哪些图形?
(6) (12)

(11)

(10)

(9)

(8)

(7)

三棱镜

魔方

1.棱柱的定义

这些几何体是否可以看作由什么图形平移运动得到?

1.棱柱的定义

这些几何体是否可以看作由什么图形平移运动得到?

一般地,由一个平面多边形沿某一方向平移 形成的空间几何体叫做棱柱(prism).

2.棱柱的元素
底面 侧面 侧棱

①底面 ②侧面

平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面(base). 多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面(lateral face).

③侧棱

相邻两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.

3.棱柱的表示
A? B?

C?

F?

E?

A

D?

B?
F

C?
E D

A B

C

A

B

C

棱柱 ABC ? A?B?C ?

棱柱 ABCDEF ? A?B?C ?D?E ?F ?

4.棱柱的分类

它们的底面 分别是什么平面图形? 三角形 三棱柱 四边形 四棱柱 五边形 五棱柱 六边形 六棱柱

分类标准:底面多边形的边数

5.棱柱的性质

观察下列几何体,回答

①两个底面多边形间的关系? ②上下底面对应边间的关系? ③侧面是什么平面图形? ④侧棱之间的关系?

全等 平行

平行四边形
平行

棱柱的性质: 两个底面是全等的多边形, 对应边互相平行,
侧面都是平行四边形.

埃及卡夫拉王金字塔

墨西哥太阳金字塔

1.棱锥的定义

观察下图,如何将棱柱变换成下方的几何体?

1.棱锥的定义
方头方脑

观察下图,如何将棱柱变换成下方的几何体?

尖头窄脸

当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体 叫做棱锥(pyramid).

2.棱锥的元素
A? B?

类比棱柱,给棱锥各元素命名 顶点
C?

S

由棱柱的一个 底面收缩而成 底面

底面

A

C
B

A B

C

侧面

侧面

侧棱
相邻两侧面 的公共边

侧棱 相邻两侧面 的公共边

3.棱锥的性质

观察下列棱锥,归纳它们的底面和侧面各有什么特征? 在同一个棱锥中的各个侧面三角形有什么共同特征?

棱锥的性质:

①底面是多边形(如三角形、四边形、五边形等) ②侧面是 有一个公共顶点的 三角形

思考题:

能否类比棱柱的表示法与分类给出棱锥的表示法与分类?

1.棱台的元素

观察下图,如何将棱锥变换成下方的几何体?

1.棱台的定义

观察下图,如何将棱锥变换成下方的几何体?

棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间 的部分叫做棱台(truncated pyramid).

2.棱台的元素
上底面 底面 侧面 侧棱 底面 下底面

学生活动
概念辨析:下图中的几何体是不是棱台?为什么?

回顾反思

线段 平行四边形

平面多边形 棱柱

三角形

棱锥

梯形

棱台

几何体 棱柱
定义:一个平 面多边形沿某 一方向平移形 成的空间几何 体

图形
侧棱 侧面 底面 侧棱 侧面 底面

(多边 侧棱(相 底面(平行起止 侧面 形的边平移所形 邻侧面的公 位置的两个面) 成的面) 共边)

两个底面是全等 的多边形且对应 边互相平行

平行四边形

互相平行 且相等

棱锥
定义:棱柱的 一个底面收缩 为一个点

一底面是多边形, 有一个公共顶 交于一点 另一底面缩为一点 点的三角形

棱台

上底面 定义:棱锥被 侧棱 平行于底面的 侧面 一个平面所截 下底面
后,截面和底 面之间的部分

两个底面是相似 多边形(不全等) 且对应边互相平 行

梯形

侧棱的延长 线交于一点

数学运用
动动手(1)画一个四棱柱

D A B

C

①画上底面——画一个四边形

②画侧棱——从四边形的每一个顶点 画平行且相等的线段

D?

C?
B?

③画下底面——顺次连结这些线段的 另一个端点

A?

注意:被挡住的线要画成虚线.

数学运用
(2)画一个三棱台

S
A? B?
A B

①画一个三棱锥

C? C

②在侧棱上任取一点,从这点开始, 顺次在各个侧面内画出与底面 对应边平行的线段

③将多余的线段擦去

数学运用
练一练:以三角形ABC为底面画一个三棱柱.

C
A B

C? C
A? B?

C?
A

A?

B?

B

棱柱、棱锥、棱台都是由一些平面多边形围成的几何体.

由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体(polyhedron).

食盐晶体

明矾晶体

石膏晶体

思考:多面体至少有几个面?这个多面体是怎样的几何体? 四 棱锥

课堂练习
1.判断:有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何 体是棱锥. ( × )

2.如图,四棱柱的六个面都是平行四边形,这个四棱柱可以 由哪个平面图形按怎样的方向平移得到? 3.将下列几何体按结构特征分类填空 ①集装箱 ②魔方 ③金字塔 ④三棱镜 ⑤一个四棱锥形的建筑物被台风刮走了一个顶, 剩下的上底面与地面平行 (1)棱柱结构特征的有: (2)棱锥结构特征的有: (3)棱台结构特征的有: ① ③ ⑤ ② ④

回顾小结 ?
?

(1)棱柱、棱锥、棱台的定义和性质
(2)运动变化、类比联想的观点

?

(3)将空间问题转化成平面问题的转
化思想

课外作业

请同学们课后找一找生活中具有棱柱、 棱锥和棱台几何结构特征的实物.


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