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泗洪中学2015届高三上学期期中测试数学(理)试题


泗洪中学高三数学 2015 届上学期期中测试题(理科)试卷
2014-10-23 命题:曹树全 校对: 刁俊东 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 ....... 上 . 1.已知集合 A = {-1,0,1},B = {0,1,2,3},则 A∩B = 2 2.写出命题:“若 x=3,则 x -2x-3=0”

的否命题: ▲ . 3.已知集合 A ? ?1, cos ? ? , B ? ? ,1? , 若 A ? B, 则锐角 ? ? 4.已知命题 p: ?x ? R ,使 sin x ? ▲ .

?1 ? ?2 ?



5 ;命题 q: ?x ? R ,都有 x 2 ? x ? 1 ? 0 .给出下列命 2 题: (1)命题“ p ? q ”是真命题; (2)命题“ p ? ?q ”是假命题; (3)命题“ ?p ? q ”是

真命题; (4)命题“ ?p ? ?q ”是假命题.其中正确的是 5.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?



. (填序号) . ▲ ▲ . .

?2 ? 1 是奇函数,则 a ? 2x ?1 ? a
x

6.在曲线 y ? x3 ? 3x ? 1的所有切线中,斜率最小的切线的方程为

7.将 y ? sin 2 x 的图像向右平移 ? 单位( ? ? 0 ) ,使得平移后的图像过点 ( 最小值为 ▲ .

?
3

,

3 ), 则 ? 的 2

8.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上单调递增,若 f ( ) ? 0 , ?ABC 的内角

1 2

A 满足 f (cos A) ? 0 ,则 A 的取值范围是





9. 已 知 函 数 y ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ?

? ?

??

? 的图象上有一个最高点的坐标为 2?

? 2, 2 ? , 由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与 x 轴交于点 ?6,0? , 则此解析式为
▲ . 10 .定义 在 R 上的奇函数 f ( x) 对任意 x ? R 都 有 f ( x) ? f ( x? 4),当 x ? (? 2, 0)时,
f ( x ) ? 2x ,则 f (2015) ? f (2014) ?





? x 2 ? ax, x ? 0 ? , 为奇函数,则不等式 f ( x) ? 4 的解集为 11.已知函数 f ( x ) = ? 2 ? ?bx ? 3x, x ? 0





2 12 .圆心在曲线 y ? ( x ? 0) 上,且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 相切的面积最小的圆的方程为 x
1





13 . 函 数 f ? x ? ?

1 3 1 2 ax ? ax ? 2ax ? 2a ? 1 的 图 象 经 过 四 个 象 限 的 充 要 条 件 是 3 2

▲ . 14.设 a、b 均为大于 1 的自然数,函数 f ( x) ? ab ? a sin x , g ( x) ? cos x ? b ,若存在实数 k,使得 f (k ) ? g (k ) ,则 a ? b ? ▲ . 二、解答题:本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内 作答, 解答时应写出文字 ........ 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分)已知 f ( x) ? sin x ? a cos x , (1)若 a ? 3 ,求 f ? x ? 的最大值及对应的 x 的值. (2)若 f ?

1 ?? ? ? ? 0 , f ? x ? ? 5 (0 ? x ? ? ) ,求 tan x 的值. ?4?

16. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx
3 2

(1)若 a ? 1 , b ? 1 ,求 f ( x) 的单调减区间 (2)若 f ( x) 在 x ? 1 处有极值,求 ab 的最大值.

2

17. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 定 义 : 在 R 上 的 函 数 f( x ) 满 足 : 若 任 意 x1 , x2 ∈R , 都 有 f(

1 x1 ? x2 ) ≤ [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] , 则 称 函 数 f( x ) 是 R 上 的 凹 函 数 . 已 知 二 次 函 数 2 2

f ( x) ? ax2 ? x ( a ∈R, a ≠0) .
(1)求证:当 a >0 时,函数 f(X)是凹函数; (2)如果 x ∈[0,1]时, f ( x) ? 1,试求实数 a 的范围.

18. (本小题满分 16 分)我国西部某省 4A 级风景区内住着一个少数民族村, 该 村投资了 800 万元修复和加强民俗文化基础设施,据调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个月内 (每月按 30 天计算)每天的旅游人数 f ? x ? 与第 x 天近似地满足 f ( x) ? x ? 参观民俗文化村的游客人均消费 g ( x) 近似地满足 g ?x ? ? 143? x ? 22 (元) . (1)求该村的第 x 天的旅游收入 p ( x) (单位千元,1≤x≤30, x ? N * )的函数关系; (2)若以最 低日收入的 20%作为每一天纯收入的计量依据,并以纯收入的 5%的税率收回 投资成本,试问该村在两年内能否收回全部投资成本?

8 (千人) ,且 x

3

19. (本小题满分 16 分)设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a, b, c ? R) 满足下列条件: ①当 x ? R 时, f ( x ) 的最小值为 0,且 f ( x ? 1) ? f (? x ? 1) 恒成立; ②当 x ? (0,5) 时, 2 x ? f ( x) ? 4 | x ? 1| ?2 恒成立. (1)求 f (1) 的值; (2)求 f ( x ) 的解析式; (3)求最大的实数 m(m ? 1) ,使得存在实数 t ,只要当 x ? [1, m] 时,就有 f ( x ? t ) ? 2x 成立

20.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? e , g ( x) ? ln x ,
x

(1)求证: f ( x) ? x ? 1 ; (2) 设 x0 ? 1 , 求 证 : 存 在 唯 一 的 x0 使 得 g ( x) 图 象 在 点 A ( x0 , g ( x0 ) ) 处 的 切 线 l 与

y ? f ( x) 图象也相切;
(3)求证:对任意给定的正数 a ,总存在正数 x ,使得 |

f ( x) ? 1 ? 1|? a 成立. x

4

第Ⅱ卷(附加题 共 40 分) 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题作答.若多做,则按作 答的前两题评分. B. (本小题满分 10 分)选修 4—2:矩阵与变换
?1 2? ?7 10? 若二阶矩阵 M 满足 M ? ??? ?. ?3 4 ? ? 4 6 ?

(1)求二阶矩阵 M ; (2)把矩阵 M 所对应的变换作用在曲线 3x2 ? 8xy ? 6 y 2 ? 1 上,求所得曲线的方程.

C. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,曲线 E: ? sin 2 ? ? 2cos? ,过点 A(5,? ) ( ? 为锐角且 tan ? ? 行于 ? ?

3 )作平 4

( ? ? R ) 的直线 l,且 l 与曲线 E 分别交于 B,C 两点. 4 (1)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角 坐标系,写出曲线 E 与直线 l 的普通方程; (2)求 BC 的长.

?

【必做题】第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分) 某城市最近出台一项机动车驾照考试的规定: 每位考试者一年之内最多有 4 次参加考试 的机会,一旦某次考试通过,便可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第 4 次为止.李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为 0.6,0.7,0.8,0.9. (1)求在一年内李明参加驾照考试次数 X 的分布列和数学期望; (2)求李明在一年内领到驾照的概率.

5

23. (本小题满分 10 分) 已知点 A(?1 , 0) , F (1 , 0) ,动点 P 满足 AP ? AF ? 2 | FP | . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; y ? 2 x ? 2 上取一点 Q , (2)在直线 l : 过点 Q 作轨迹 C 的两条切线, 切点分别为 M , N . 问: MN l Q Q 是否存在点 ,使得直线 // ?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理 由. 一、填空题:(每题 5 分,共计 70 分) 1.已知集合 A = {-1,0,1},B = {0,1,2,3},则 A∩B = 2.写出命题:“若 x=3, 则 x -2x-3=0”的否命题:
2

{0,1}
2





. “若 x ? 3 则 x ? 2 x ? 3 ? 0 ” ▲

3.已知集合 A ? ?1, cos ? ? , B ? ? ,1? , 若 A ? B, 则锐角 ? ? 4.已知命题 p: ?x ? R ,使 sin x ?

?1 ? ?2 ?

? 3

5 ;命题 q: ?x ? R ,都有 x 2 ? x ? 1 ? 0 .给出下列命 2 题: (1)命题“ p ? q ”是真命题; (2)命题“ p ? ?q ”是假命题; (3)命题“ ?p ? q ”是

真命题; (4)命题“ ?p ? ?q ”是假命题.其中正确的是 5.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?
x

( 2) (3) . 2 .

(填序号) .

?2 ? 1 是奇函数,则 a ? 2x ?1 ? a

6.在曲线 y ? x3 ? 3x ? 1的所有切线中,斜率最小的切线的方程为________.y=-3x+1 7.将 y ? sin 2 x 的图像向右平移 ? 单位( ? ? 0 ) ,使得平移后的图像过点 ( 最小值为 ▲ .

?
3

,

3 ), 则 ? 的 2

? 6

8.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上单调递增,若 f ( ) ? 0 , ?ABC 的内角

A 满足 f (cos A) ? 0 ,则 A 的取值范围是
9. 已 知 函 数 y ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ?

? ? 2? ( , ) ? ( ,? ) 3 2 3

1 2

? ?

??

? 的图象上有一个最高点的坐标为 2?

? ? ▲ 4? ?8 10 .定义 在 R 上的奇函数 f ( x) 对任意 x ? R 都 有 f ( x) ? f ( x? 4),当 x ? (? 2, 0)时,
f ( x ) ? 2x ,则 f (2015) ? f (2014) ?

x 轴交于点 ? 6,0? , 则此解析式为 ? 2, 2 ? , 由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与 ?? ??
y ? 2 sin x?



6

11 、 已 知 函 数 f ( x ) = ?

? x 2 ? ax, x ? 0 ? , 为 奇 函 数 , 则 不 等 式 f ( x) ? 4 的 解 集 为 2 ? ?bx ? 3x, x ? 0



( -?, 4 )
2 12 . 圆 心 在 曲 线 y ? ( x ? 0) 上 , 且 与 直 线 2 x ? y ? 1? 0 相 切 的 面 积 最 小 的 圆 的 方 程 x
为 . ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5

13.函数 f ? x ? ?

6 3 1 3 1 2 ax ? ax ? 2ax ? 2a ? 1 的图象经过四个象限的充要条件是 ▲ ? ? a ? ? 5 16 3 2
4 .

14.设 a、b 均为大于 1 的自然数,函数 f ( x) ? ab ? a sin x , g ( x) ? cos x ? b ,若存在实数 k,使得 f (k ) ? g (k ) ,则 a ? b ?

二、填空题:本大题共 6 小题,共计 70 分. 15、 (本小题满分 14 分)已知 f ? x ? ? sin x ? a cos x , (1)若 a ? 3 ,求 f ? x ? 的最大值及对应的 x 的值. (2)若 f ?

1 ?? ? ? ? 0 , f ? x ? ? 5 (0 ? x ? ? ) ,求 tanx 的值. ?4?

15、解: (1) f ? x ? ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? 当 sin( x ?

?
3

) ????????????(2 分)

?
3

) ?1? x ?

?
3

?

?
2

? 2 k? ( k ? z )

?x?
(2) f ?

?
6

? 2k? (k ? z ) 时 f(x)有最大值 2; ?????????????????(6 分)

?? ? ? ? 0 ? a ? ?1 ????????????????????????(8 分) ?4?
1 1 12 ? ( s in x ? cos x) 2 ? ? sin x cos x ? 5 25 25

sin x ? cos x ?

3 ? 4 ? cos x ? cos x ? ? ? ? 1 12 ? 5 ? 5 ? (cos x ? ) cos x ? ? 25cos 2 x ? 5cos x ? 12 ? 0 ? ? 或? 5 25 ?sin x ? 4 ?sin x ? ? 3 ? 5 ? 5 ? ? 3 ? cos x ? ? 4 ? 5 x ? (0, ? ) ? ? ? tanx= ???????????????????(14 分) 3 ?sin x ? 4 ? 5 ?

7

16.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx (1)若 a ? 1 , b ? 1 ,求 f ( x) 的单调减区间 (2)若 f ( x) 在 x ? 1 处有极值,求 ab 的最大值.

17.定义:在 R 上的函数 f( x )满足:若任意 x1 , x2 ∈R,都有 f(
2

x1 ? x2 1 ) ≤ [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] , 2 2

则称函数 f( x )是 R 上的凹函数.已知二次函数 f(X)= a X +X( a ∈R, a ≠0) . (1)求证:当 a >0 时,函数 f(X)是凹函数; (2)如果 x∈[0,1]时,|f(x)|≤1,试求实数 a 的范围. 解: (1)对任意 X 1 , x2 ? R,? a >0,

x ?x x ?x x1 ? x2 2 ) ? ax12 ? x1 ? ax 2 ? x2 ? 2 [ a ( 1 2 ) 2 ? 1 2 )] 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 = a X 1 ? ax 2 ? a( x1 ? x2 ? 2 x1 x 2 ) ? a ( x1 ? x2 ) ≥0. 2 2 x ? x2 1 ) ≤ [f ( x1 ) ? f ( x2 ) ]. ∴f( 1 2 2
∴[f(X 1 )+f (X 2 )]-2 f( ∴函数 f(X)是凹函数. (2)由| f(X )|≤1 ? -1≤f(X) ≤1 ? -1≤ ax +X≤1.(*)
2

[来

?????????????6 分

当 X= 0 时, a ∈R; 当 X∈(0,1]时,(*)即 ?
2 ? ?ax ? ? x ? 1, ?ax2 ? ? x ? 1恒成立, ?

1 1 1 1 1 ? a ? ? 2 ? ? ?( ? ) 2 ? ? ? x x x 2 4 即? ?a ? 1 ? 1 ? ( 1 ? 1 ) 2 ? 1 恒成立. ? x2 x x 2 4 ?
∵X∈(0,1],∴

?????????????10 分

1 ≥1. x 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 ∴当 =1 时,-( + ) - 取得最大值是-2 ;当 =1 时,( - ) - 取得最小值是 0. x x 2 4 x x 2 4 ∴-2 ≤ a ≤0 ,结合 a ≠0,得-2≤ a <0. 综上, a 的范围是[-2,0). ????????????14 分
18. (本小题满分 1 6 分)我国西部某省 4A 级风景区内住着一个少数民族村,该 村投资了
8

800 万元修复和加强民俗文化基础设施,据调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个 月内(每月按 30 天计算)每天的旅游人数 f ? x ? 与第 x 天近似地满足 f ?x ? ? 8 ? 且参观民俗文化村的游客人均消费 g ? x ? 近似地满足 g ?x ? ? 143? x ? 22 (元) . (3)求该村的第 x 天的旅游收入 p ? x ? (单位千元,1≤x≤30, x ? N ? )的函数关系; (4)若以最 低日收入的 20%作为每一天纯收入的计量依据,并以纯收入的 5%的税率收回 投资成本,试问该村在两年内能否收回全部投资成本? 解:⑴依据题意,有 p(x)=f (x)·g(x)= (8 ?
8 (千人) , x

8 ) ? (143? | x ? 22 |) (1≤x≤30,x∈N*) x

968 ? 8x ? ? 976, (1 ? x ? 22, x ? N *) ? ? x =? ???4 分 ?? 8 x ? 1320 ? 1312.(22 ? x ? 30, x ? N *) ? x ?
* (2)1° 当 1 ? x ? 22 , x ? N 时,

p ( x) ? 8 x ?

968 968 ? 976 ? 2 8 x ? ? 976 ? 1152 (当且仅当 x ? 11 时,等号 成立) , x x
???????????8 分

因此,p(x)min=p(11)=1152(千元). 2°当 22<x≤30,x∈N*时,p(x)= ? 8 x ?

1320 ? 1312 . x 1320 ? 1312 在(22,30]上单调递减, 求导可得 p′(x) <0,所以 p(x)= ? 8 x ? x
于是 p(x)min=p(30)=1116(千元). 又 1152>1116,所以日最低收入为 1116 千元. ???????????12 分

该村两年可收回的投资资金为 1116×20%×5%×30×12×2=8035.2(千元)=803.52(万 元) , 因 803.52 万元>800 万元,所以,该村两年内能收回全部投资资金. 分 ????14

19.设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a, b, c ? R) 满足下列条件:
2

①当 x ? R 时, f ( x ) 的最小值为 0,且 f ( x ? 1) ? f (? x ? 1) 恒成立; ②当 x ? (0,5) 时, 2 x ? f ( x) ? 4 | x ? 1| ?2 恒成立. (I)求 f (1) 的值;
9

(Ⅱ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅲ)求最大的实数 m(m>1),使得存在实数 t,只要当 x ? [1, m] 时,就有 f ( x ? t ) ? 2x 成立

20.已知函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? ln x , (1)求证: f ( x) ? x ? 1 ; (2)设 x0 ? 1 ,求证:存在唯一的 x0 使得 g(x)图象在点 A( x0 , g ( x0 ) )处的切线 l 与 y=f(x)图 象也相切; (3)求证:对任意给定的正数 a,总存在正数 x,使得 |
x 20、 (1)令 F ? x ? ? e ? x ?1, x ? R ,

f ( x) ? 1 ? 1|? a 成立. x

F ' ? x ? ? e x ?1 ? 0 得 x ? 0 ,
? 当 x ? 0 时 F ' ? x ? ? 0, F ? x ?

; 当 x ? 0 时 F ' ? x ? ? 0, F ? x ?
x

;

? F ? x ?min ? F ? 0? ? 0 ,

由最小值定义得 F ? x ? ? F ? x ?min ? 0 即 e ? x ? 1 ?????????????(4 分) (2) g ? x ? 在 x ? x0 处切线方程为 y ?

x x x 设直线 l 与 y ? e 图像相切于点 x1 , e 1 ,则 l : y ? e 1 x ? e 1 ?1? x1 ?
x

?

?

1 x ? ln x0 ? 1 x0

① ②??(6 分)

?1 x1 ③ ?x ? e 由①②得 ? 0 ?ln x ? e x1 ?1 ? x ? ④ 1 ? 0

10

? ln x0 ?

下证 x0 在 ?1, ?? ? 上存在且唯一. 令 G ? x ? ? ln x ?

x0 ? 1 ?0 x0 ? 1



x2 ? 1 x ?1 ?0 ? x ? 1? , G ' ? x ? ? 2 x ?1 x ? x ? 1?
.

?G ? x ? 在 ?1, ?? ? 上
又 G ?e? ?

?2 e2 ? 3 ? 0, G ? e2 ? ? 2 ? 0, G ? x ? 图像连续,? 存在唯一 x0 ? ?1, ?? ? 使⑤式 e ?1 e ?1 成立,从而由③④可确立 x1 .故得证????????????????????(10 分)
(3) 由(1)知

f ? x ? ?1 ? 1 ? 0 即证当 a ? 0 时不等式 e x ? 1 ? x ? ax 即 x x e ? ax ? x ? 1 ? 0 在 ? 0, ??? 上有解.
x

令 H ? x ? ? e ? ax ? x ?1 ,即证 H ? x ?min ? 0 ???????????????(12 分) 由 H ' ? x ? ? ex ? a ?1 ? 0 得 x ? ln ? a ?1? ? 0 . 当 0 ? x ? ln ? a ? 1? 时, H ' ? x ? ? 0, H ? x ? 当 x ? ln ? a ? 1? 时, H ' ? x ? ? 0, H ? x ? . ,

? H ? x ?min ? H ? ln ? a ? 1?? ? a ?1? a ln ? a ?1? ? ln ? a ?1? ?1 .
令 V ? x ? ? x ? x ln x ?1 ,其中 x ? a ? 1 ? 1 则 V ' ? x ? ? 1 ? ?1 ? ln x ? ? ? ln x ? 0 ,?V ? x ?

?V ? x ? ? V ?1? ? 0 .

综上得证???????????????????????????????(16 分)

第Ⅱ卷(附加题

共 40 分)

21. B. (1) ?

?1 2 ? (2) x2 ? 2 y 2 ? 1 ; ? ?1 1 ?

C.曲线 E: y 2 ? 2 x ,直线 l: y ? x ? 1 ; 22. (1)分布列: X P .6
EX ? 1.544 .

1 0 .28

2 0

3 0 .096

4 0 .024

(2)0.9976. 23.(1)设 P( x, y ) ,则 AP ? ( x ? 1, y) , FP ? ( x ? 1, y) , AF ? (2,0) ,
11

由 AP ? AF ? 2 | FP | ,得 2( x ? 1) ? 2 ( x ? 1)2 ? y2 ,化简得 y 2 ? 4 x . 故动点 P 的轨迹 C 的方程 y 2 ? 4 x . ?????????????5 分

(2)直线 l 方程为 y ? 2( x ? 1) ,设 Q( x0 , y0 ) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) . 过点 M 的切线方程设为 x ? x1 ? m( y ? y1 ) ,代入 y 2 ? 4 x ,得 y 2 ? 4my ? 4my1 ? y12 ? 0 , y 由 ? ? 16m2 ? 16my1 ? 4 y12 ? 0 , 得 m ? 1 , 所 以 过 点 M 的 切 线 方 程 为 2 y1 y ? 2( x ? x1 ) ,??7 分 同 理 过 点 N 的 切 线 方 程 为 y2 y ? 2( x ? x2 ) . 所 以 直 线 MN 的 方 程 为
y0 y ? 2( x0 ? x) ,???9 分 2 又 MN // l ,所以 ? 2 ,得 y0 ? 1 ,而 y0 ? 2( x0 ? 1) , y0

1 故点 Q 的坐标为 (? ,1) . 2 .

?????????????10 分

12


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