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2015年高三总复习领航单元卷(文科数学)SX(1-21)DA


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 单元测试领航卷  参考答案与解析 高三数学  共二十一套 
 一

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! ! ! ! 若) 则* * 是假 命 题 ( 所以) 的充分条件不是) ( ,! -! 由于 ) (+ * +$"( $. ) $. +)" * $ .) $. +)"* ) (+ * +$"* / ! ! ! ! ! ! ! ! 错+ ( 且 ( 而 时 ( 若 ( 则 不成立 ( 由此知 ) * 是 ) * 的 充 分 不 0* )* + ) ) *" 1 ** +! ** + ) '" * )* + ) * )* + ) ** + ! ! 必要条件 ( ) 对任意 $+( 有$ 的否定是) 存 在 $+( 有$ ( 由,, ( 可 得 理由 &错+ ) 错+ ,, )"* &"* !( !" "(

是, 垂直于同一条直线的两个平面平行 ( - 正确 ! 则两直线平行 ( 2! -! 由 /& 集合的意义可知 %%#' . (

*(! * * ! 解得 若 *'"( 满足题意 + 若 */"( *'(# 或 *! ' !/ ( % # * * * -. -.# 为递减数列 ! 3! /! * * * * & -0 -.# & -0& -' ! 原命题与其逆命题都是真命题 ( 所以其否命题和逆否命题也都是真命题 ( 故选 /!
! 即 *(#&$& # "! )! 由 # $( *$ *&#( *.#! &# 得 (#&$( 所以 *.#$" 或 *(#)$( 所以 *$ (# 或 *)%!

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+ + ! + ! ! ! ! ! ! 必要性 , 若* 则* $ 即# $ # $ ( ) (! ) '#( (# ) .# '"( * . ) .# * ( ) (# '"( ! ! ! ! ! ! ! ! + + ! 因 为 *( 所以 * 所以 * 即* 所以 * ) 是实数 ( . ) .#/"( ( ) (#'"( ( ) '#( ( ) '# 是 * ( ) (! ) '# 成立 的必要条件 ! + + ! ! ! 综上所述 ( * ( ) (! ) '# 成立的充要条件是 * ( ) '#! ! ! 解, 是否存在非零整数 * 使 % %#/. ( 取决于方程 *# $ 即关于# ! #! $ ($.# ' (! $ .$.# 是 否 有 正 整 数 解 ( *. ! $ # $ 至少有一个正整数根  ! $ ( *.# $. *(#'" ! *分 ! 由 ' # $ # $ # $ *.# (+ *.! *(# )"(

, (#.!槡 ,  分 解得 (#(!槡 % *$ $ * * 因为 * 为非零整数 ( 所以 * 的可能取值为 (!( (#( #!  , 分 当 *'(! 时 ( 解得 $'* 符合题意 !  2 分 当 *'(# 时 ( 解得 $'8槡 !与 $+. 不符 ( 3 分 ! 这也与 当 *'# 时 ( 解得 $ ( $ $+. 不符 ! # "分 # '" !' * 综上可知 ( 存在 *'(!( 使解 %%#/. ( 此时 %%#' & # $ ' *( (# + !  # !分 解, # $ 集合 & ' 不具有性质 3( 因为 " 的相反数是它本身 ( 集合 & ' 具有性质 3( 其相应的集合 4 和 ! !! # "( #( !( * (#( !( * # $ ( # $ ' ( # $ ( # $ ' 5 分别是4' & (#( * *( (# 5' & !( (# !( * !  $ 分 # $ 证明如下 , ! 1' -( $ 根据定义 ( 且 *. 从而 # $ *( ) *+%( )+%( )+%( *. )( )  对于 # +4( +5( 如果 # $ 与# 是 4 的不同元素 ( 那么 *' 从 而 *. *( ) +( 6$ + 与)'6 中也至少有一 个 不 成 立 ( )' +.6 与)'6 中 也 至少有一个不成立 ! 故# $ 与# 也是 5 的不同元素 ! *. )( ) +.6( 6$ 可见 ( 即 1$ 4 中元素的个数不多于 5 中元素的个数 ( -! $ 根据定义 ( 且 *( 从而 # $ *( ) *+%( )+%( )+%( *( )( )  对于 # +5( +4( 如果 # $ 与# 是 5 的不同元素 ( 那么 *' *( ) +( 6$ + 与)'6 中也至少有一个不成立 ( 从而 *( )' +(6 与)'6 中也至少有一个不成立 ( 故# $ 与# 也是 4 的不同元素 ! *( )( ) +(6( 6$ 可见 ( 即 -$1( 由  可知 (  # 5 中元素的个数不多于4 中元素的个数 ( 1' -! !分

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 二
#! / 解得 $)!! !! -!$/" 且 $(!)"( ! ! ( 则 $' 所以 8# $ $ *! &! 令 $(#' 7 7 .#( 7 '# 7 .# .#' 7 .! 7 .!! $ +! /! 由题意得 8# (# '!
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 三
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# # ( ! 槡 * ( 因为图象过点 # 代入解析式得!'( # ( 所以 8# $ !! )! 设 8# $$ '$ +( $ ! '!( ! ' ! ! ! ! 6 ? $( $*"( 7 ! 所以 8# $ $ / *! -! 因为 8# $$ ' ( # '"( # '*! 8. 8# * $$" #! # +! &! 0 *' 6 ? ,( 1 #& *&!! 0 )'! ( 1 )*!! 7 * *! # 故+& 选 &! 0 +'"! 2 ( 1 "& +&#! *& )( (# ! 不合题意 ( 但是在 区 间 # 上单调递增( 不合 $! /!/ 选项正确 + &错+ "( .5 $ :'$ 是奇函数 ( :'$ 虽然是偶函数 ( # 题意 ( 是奇函数 ( 不合题意 ( 错 * ) 错+ ' $ ! : " ! $ $ 所以 8# $ $ %! )! 由题意知 8# (# '! '#( # '# .#.!'+( (# '+! 8# 8# ! $$ # ! ! 由 得 或 ( 且由 # ,! -! $ ($ $.%*" $** $&! $.%' $( ( 知( :'$ ($ ! + ! 上是增函数 ( 在区间 # $ 上是减函数 ( $.% 在区间 # *( .5 $ (5 ( ! :'$ ($ ! ## 因此函数 :' $ 的单调增区间是 # $ 6 ? $ ($ $.% (5 ( ! ! 7 ! $ # ( ($ 且*/# $ 的图象过 # $ 点( 可解得*'*! 选项 / 中 ( 显然图象错误 + 2! &! 由题意:' 6 ? $# **"( *( # 7 :'* ' * * * * * 选项 & 中 ( 由幂函数图象可知 正 确 + 选 项 ) 中( 显 然 与 所 画 图 象 不 符+ 选 项 - 中( ($$ ' ($ ( :'$ ( :' # :' # $$ 的图象与 :' 显然不符 ! 故选 &! 6 ? 6 ? $ 的图象关于: 轴对称 ( 7 7 * ( * 对称轴为直线 $' # ! 又依题意 ( 得$ 3! )! 该二次函数图象的开口向下 ( "( $ "( #& !* + #( 且$ ( 则 # ($ 故 8# ( 故选 )@ $ $ $ $ &8# #. ! '" #* !( #$ !$ + + **" 或 *&" ( )! 由题意可得 # "! ## 6 ? ** ( 6 ? * 6 ? ( *$ 6 ? ( *$ * 7 7 7 7 ! ! !# ! 解之可得 **# 或 (#& 因此选 )@ *&"( $ ( # $ $ 在函数 ;# 的图象上( 其关于点# $ 的对称点# $ $ 在 函 数 8# 的 # #! &! 易知 *. ). +';# # #( # $$ !( " *( (;# # $$ ;# 图象上 ( 将其代入函数 8# 的解析式中 ( 得 ;# $ 故选 &@ $$ # '($( * * # ( 解得 +$ &! 由题意可知 ( +( *" 且 +( .!$ * *&2! # !! ! !

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! ! # # 且 当 "& 故槡 则当槡 *&# 时 ( *(! $!( *&#( *$槡 ( $;# *$ */#( !时 ( $ $ $ ( ! ! ! ! # $ #( #/ 则 ;# *$ ' 6 ? ( ( "1" ! 7 ! * 的值域为 . ! !
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所以 *'!( # 舍去 $ ( )'# 或 *'(!( )'(# 所以 *'!( )'#!  % 分 $ $ $ #(! !( # #.! # #( # $ 所以 8# 在# 上递减 ( ! $$ ' # $$ (5 ( .5 $ 8# $ ' $ $( $ ! # $ '#.! ! ! #.! #.! ! ! ! 因为 8# $ 是奇函数 ( 所以 # $ # $ # $ ( $ 7 & (8 ! 7( = '8 =(! 7 8 7 (! ! ! 所以7 ( (! 7 =(! 7 * # ! 整理得 * 所以 +.# 7 (! 7 ( =*" 对7 ! =&"( =& ( ( + 恒成立 ( * # 因此实数 = 的取值范围是 # (5 ( ( $ ! # !分 * ( 解, # $ 要使函数有意义 , 则有 #($*" 解之得 (*&$&#! # 3! # $.**"( 所以函数的定义域为 & ' $ !  + 分 #(*&$&# ! ! # $ 函数可化为 8# # $ $ $ / ! $$ ' 6 ? #($$ $.* ' 6 ? ($ (! $.* ' 6 ? (# $.# .+ ! 7 7 7 *# *# *. ! $.+$+! 0(*&$&#( 1"& ( # $.# ! $ / ( 即 8# 0"& *&#( 1 6 ? (# $.# .+ 6 ? $$ 6 ? ! ) 7 7 7 *. *+ 9 < =' *+ # ! ( 槡 (+ + 由6 ( 得 * '+( ? 1 *'+ ' ( 7 * +'(+ ! ! 槡 故实数 * 的值为 !  # !分 ! * #$ 解, # $ 容易知道函数 8# 是奇函数 增函数 ! ! "! # $$ ' ! *( *($ $ * (# ! ! $ #(1$ .8# #(1 $ #(1$ #(1 $ '8# 1! (# &"58# & (8# 8# (# #( 1 # & & 3 52 !  % 分 (#&#(1! &#5#&1&槡 ! 4 #(1&1 (# # $ 由# $ 可知 , 当 $+ # $ 时( ! # (5 ( ! $$ (+ 的值为负 58# $$ (+$" 8# ! * * .# ! (! $ # ! (+' ! *( * $ (+' (+$" 58# * * (# *$ *$!.槡 *且 */#!  # !分 5!(槡 # ($ 解, # $ 设 (#$$$"( 则 "$ ($$#( # # ! #! # 18# ($$ '! . 6 = #($$ (#' $ . 6 = #($$ (# ! # 又 8# 是奇函数 ( ( # $$ 18# ($$ '(8# $$ $$ '(8# ($$ '( $ ( 6 = #($$ .# 8# ! 3( # # $ 6 = #($$ .#! # (#$$&" $( $$ '2 ! 18# $ # $ $ !. 6 = $.# (#! # "$$$# 4 在. / 上是增函数 !  % 分 $$ (#( # 8# ! # $ 在. / 上是增函数 ( 由已知得 , $ $ ( ! 08# $$ (#( # ! $(# $ (# )8# 8# ! "$$$! ! $(#)$ (# 3 3 等价于2 "$$$#( (#$! $(#$#02 ! (#$# 4 4(#$$ (槡 !$$$槡 ! 1"$$$#( / 1 不等式的解集为 . "( # !  # !分 解, # $ 若 8# 在  上为奇函数 ( 则 8# $ ! !! # $$ " '"( 令 $':'"( 则 8# $ $ $ "." '8# " .8# " . =( 1 ='"! 证明 , 由 8# $ $ ( 令 *'$( 则 8# ( *. ) '8# *$ .8# ) )'($( $($$ '8# $$ .8# ($$ 又 8# $ 则有 "'8# ( 即 8# 对任意 $+ 成立 ( " '"( $$ .8# ($$ ($$ '(8# $$ 是奇函数 ! % 分 18# $$ # $ $ $ $ $ ! 08# + '8# ! .8# ! (#'$( 18# ! '*( ! $ $ 对任意 $+ 恒成立 ! 18# 1 $ (! 1 $.* ! **'8# ! 又 8# 是  上的增函数 ( $$ 11 $ (! 1 $.**! 对任意 $+ 恒成立 ( ! 即1 $ (! 1 $.#*" 对任意 $+ 恒成立 ( 当 1'" 时显然成立 ( 当 1/" 时 ( 由 1*" ! 得 "&1&#! 1 (+ 1&" '+ $ 1 实数 1 的取值范围是 . "( # ! # !分

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 四
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$ $ *! -!"$+(* "$ 槡 +(* &+( &!!
! ! $ ! $ # ( ( 故 ) 符合 ! +! )!8 $$ 'A ! $$ 'A 8# " 为 定 义 在  上 的 奇 函 数( 所 以 8# 即! 所 以 1 ' (#( 所 以 当 $)" 时 ( 函数 $! )! 因为函数 8# $$ "$ '"( .1 '"( $ 所以 8# $ $ $ $$ '! (! $(#( (! '(8# ! '( # +(+(# '#! 8#

函数 8# 在# 上为减函数 ( %! )! 由题意知 ( $$ "( .5 $ % * # 又 8# $ $ $ # '%("'%*"( ! '*(#'!*"( + ' ( 6 ? +' (!'( &"( 7 8# 8# ! + ! ! 由零点存在性定理 ( 可知函数 8# 在区间 # $ 上必存在零点 ! $$ !( + $ $ $ # $ ,! -!8# # ' *. )(#( ! '+ *.! )(#( 1# *. )(# + *.! )(# &"( 8# 1 由线性规划可得 *( )* (#! 结合函数性质可得 $*#( 2! /! 由题 ( $$ $&#( $$ $&" 或 $*+ 时 ;# $$ "&$&+时 ;# $$ *"+ &"! &"( *"( 8# 8# 故 8# ' $$ $$ $ $$" 或 #$$$+ ! )" 的解集为 & # ;# # 解得 # ! 且# 3! /!"& *&#( #( *$ "& *$ ! ) ( + !
$ 又 $&"( # "! )! 0#(* 1$/"( $$ /"( &"+ 8# # + ! , 且 8# $ $ $ $ $ $*" 时 ( $$ # '( *8# ! '(#*8# * '( &8# + '( &8# $ ! &"( 8# ! $ ! %

+ "(: $ ( 根据上 下两个三角形相似可得 , ' # #! )! 设矩形另一边长为 :( + " + " ( 矩形面积 # $ ( 解得 1:'+ "($ 1 4'$ "($ )* " " # "$$$* "( 1 选 )! :'$ + 的周期为 +( 于是可得 8# 在# 上的草图如图中实线 # !! /! 函数 :'8# $$ $$ (!( %/ 而函数 ;# $ # 的图象如图所 示( 结 合 图 象 可 知( 要使 所示 ( $$ ' 6 ? $.! **#$ 7 *# 得方程 8# $ # $ $$ ( 6 ? $.! '" **# 7 *# #$ 在区间 # / 内恰有 * 个不同的实数根 ( 必需且只需 ; ! &*( (!( % $ % ** ;# ( * 6 ? + * & 7 * 所以 解得槡 * ! ! + & & 6 ? 2**( 7 *
 

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的图象关于直线 $'! 对称 ( ( # +! *! 0 8# $$ 1 8# +($$ '8# $$ $ $ $ 1 8# +(# '8# # '8# * '*( 即 8# $ # '*! 是偶函数 ( ( 0 8# $$ 1 8# ($$ '8# $$ $ $ 1 8# (# '8# # '*! # )( *) )( ! $ $ 则在同一坐标系中画出 8# # $! *! 由题可知 0# *( ) ' # *. )(# *( ) ' ( $$ '($ .! $.*( $$ '$. # ;# * *& ) ! 数形结合可知 $'! 时 ( #( ># $$ ! 9 : ; '*

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# ( # ! ! # # %! ( #(槡 $( $ %# ' ' # "! 设 3 点 坐 标 为 # $( *$ .# ( *$ #3 $ $ # ! # ! # $. $ (! *# $. $ .! * (!( $ $ # ! ! 1# 3 % $. ( *$ . * (!( #' # $ # ! 当 *)! 时 ( 得 *' 槡 0$*"( 1$. )!( 3 % # "! * (!'!槡 !( # # 9 < =' 槡 $ ! ! 当 *& # !时( 3 % # ! ! ( *$. * (!'! !得 *'( # # 9 < =' 槡 槡 即 * 的所有值为 (#( # "! 槡



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*.!*"( 解, # $ 由题意 ( 得 +(! 所以 *& (*! # ,! # +.! *.!$" 故实数 * 的范围为 # $ (5 ( (* !  $ 分 ! # $ 由题意 ( 得$ ! ( * $.!*" 在  上恒成立 ( ! 则 ' 解得 (!槡 * (2&"( !& *&!槡 !! 故实数 * 的范围为 #  # (!槡 !( !槡 !$ ! "分 ! 解, # $ 由题意 ( 函数 8# # $ 的定义域为 ( # 2! # $$ '$ (! * $ **" # # ! ( 所以函数 8# 是偶函数 ! ($$ '$ (! * $ $$ $$ # #'8# 8# ! 当 $*" 时 ( 函数 8# $ 且. ( $$ '$ (! * $# **" *( .5 $ "( .5 $ 7# 所以此时函数 8# 的单调递增区间是 . $$ *( .5 $  % 分 ! ! ! # $ 由于函数 8# ( ( ! $$ '# $ *$ ( * $$ * # #( 8# 9 < = '( ! 只须 ( ( 即 或 * $ (# *)# *$ (# 由于 **"( 所以 *)# 时 ( 方程 8#  # $$ '(# 有解 ! !分 解, # $ 由 8# $ # 3! # # '" 得 1'" 或 !( 当 1'" 时 ( $ $ $$ '$ $ $(*( 1$ '(*( 1$ '8# (* '(3(%(*'(# 2 # #.! 8# 8# 8# 8# 当 1'! 时 ( $ $ $$ '$ $(! $(*( 1$ '".+(*'#( 1$ '8# # '"!  % 分 # #.! 8# 8# 8# 8# ! $ $ (! $(*(# $)+ # $ 当 1'+ 时 ( ! $$ '$ $(+ $(*' # #.! 8# ! $ ($ .% $(*(# $&+ ! # $ $ ( $(# (+(# $)+ 因为 $+ . / ( 所以 8# 在. / 上递增 ( 在. / 上递减 ( 在. / 上递增 ( 且8# $ ' #( $ $$ #( * *( + +( $ # ! $ $ (# $(* .%(# $&+ ! ( # $ ( # $ ( # $ ( 所以 # $ 的值域为 . ( / 分  '! 8 * '% 8 + '$ 8 $ '# ! !# !! # ! 8$ 解, 显然 3 点取在? ! "! 3 点可取在 ? 0( 0 / 或/ # 上( 0 上时最大住宅面积应是3 点恰与 % ! # 同理如果 3 点取在 / 则 3 点 恰 与/ 点 重 合 时 面 积 最 大( 所以面积最 0 点重合时 ( # 上( 大时 ( 如 图( 设3 则# 设@ 3 点必 在 / 0 上( @'$( + "$$$! " "( 3 的延长线交% 0 于> 点( 则3 >'! " "($! ' ! ( 0 60 > 3860 % /( 1> 0' # ! " "($$ * + ) * ( !# ( $ 13 A'# ! ". ! " "($$ " * & ! ! ! , ! % " , ! ! " "( ! $ 14矩 形3@2A '$" # . $'( # $(# 3 " . ! ". # ! " "($$ '( $ * * * * * 2 " 时( ! ! " " ! 即经济适用房用地长 3 宽为* 面积最大 ( 最大值为, 1 当 $'# 3 "( @ 为# 3 "9( 9 9! * * #$' 解, ( 其定义域为 # ( $ ! #! $$ ' * 6 ? $( ) 6 ? * 6 ? $ . ) 6 ? $ " .5 ! 7 7 7 7 * * ! 8# ! # $ 任取 $ ( 则 # $ "( .5 $ $ $ #( !+# #& !( $ (8# $ ' * 6 ? $ ) 6 ? $ * 6 ? $ ) 6 ? $ 7 7 7 7 #$ !$ * #. ! #(# * !. ! !$ 8# # *# 6 ? $ 6 ? $ . ) 6 ? $ 6 ? $ ! !!! ' 7 7 7 7 * #( * !$ ! #( ! !$ 上为增函数 ( 0"&$ $ ' 6 ? $ 和:' 6 ? $ 在# "( .5 $ 7 7 #& ! 且: ! * 1 6 ? $ 6 ? $ 6 ? $ 6 ? $ 7 7 7 7 ! #& ! !( * #& * !( 当 **"( # )*" 时 ( *# 6 ? $ 6 ? $ ) 6 ? $ 6 ? $ &"( &"( 7 7 7 7 ! #( ! !$ * #( * !$ 即 8# ( 函数 8# 在# 上为增函数 !  % 分 18# $ (8# $ $ $ $$ "( .5 $ &"( &8# #$ !$ #$ !$ ! # $ # $ . # $ / ! 0 *' 6 = 1! .! 1.* ' 6 = 1.# .! 6 =!* 6 =#'"( )' 6 =# "* 6 =#'"( ) $ 可知函数 8# 在# 上为增函数 ( 1 由# # $$ "( .5 $ * $(#*"( 3 # $ $ 18# * $(# $.* 1 &$$!( $.**"( $8# 02 * * $(#$$.*( 4 # ' 1 原不等式的解集为 & $ !  # !分 # &$$! * $ $ $ ! $ $ ! 解, # $ 令! # $ 则)'( # $.#( ! !! # ! (! . )'"( ! $.!4! '( # ! (# $ 即 $'" 时 ( 最大值为 #( 1当! '#( ) 取到最大值 ( / 1 实数) 的取值范围为 # (5 ( # >  + 分 $ ! # $ 由# $ 知)$#( 令 8# 得# $ ! # $$ '"( ! (# (#. )'"! $ ! 当 时 ( # $ # $ ( !  )'# 8 $ ' ! (# $ ! 由 8# $ $$ '" 得 # ! (# '"( 1 有唯一解 $'"! $ ! $ 由 8# $ $$ '" 得 # ! (# '#( )( 1! '#8 槡 #( )(  当)&# 时 ( $ $ + 0! *"( #. 槡 #( 1! '#. 槡 #( 6 ? #. 槡 #( )*"( )的解为$' )$ 7 !# 令 #( 槡 #( )&#( )*"5 槡 #( )&#5"& $ 1 当 "& )&# 时 ( ! '#( 槡 #( 6 ? #( 槡 #( ! )的解为$' )$ 7 !# 综合  ( 得当 时 ( # $ 有两个零点 , # 和6 + " ) # $ 6 ? #. #( ? #( 槡 #( )$  & & 7 7 ! !# 8 槡 )$ 当)$" 或)'# 时 ( 有唯一零点 , $$ 6 ? #. 槡 #( !  # !分 )$ 7 !# 8#

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! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第 ! 2 页# %页$ ! 文科 !

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 五
#! &
! ! )! 函数 :'$# B < = $(C ? B $$ '($ C ? B! $ 是奇函数 ! !!

, $ ! ! ! $ *! )!B < = ? B! B < = ( (B '#( B < = B < = < = #.C #'#( #. # # #*"( #' # * # *
! C ? B ! C ? B # # #.# ! # +! /! D : = 1 ' ' ' ! #'!( : = B < = ! ! B < = C ? B # # # D # !

$! )! 依题意得 C ? B !'(

+ 又 在第二象限 ( * #. D : =! #  # ! ! 1 D : =!'( ( D : = ' ' ! !. $ + #( D : =! , $ +

所以它是偶函数 ( 它的周期为 ! 它的对称轴 是 直 线 $' ( %! -! 由题意知 ( $$ 'C ? B$( / 错+ &错+ = =+( ) 错+ (  8#  它的对称中心是点 = =+( - 对! " ( . ( ! # ! #  ! ! ! ( 所 以 函 数 8# 为 偶 函 数( 周 期 5'! < =! ,! -!8# $$ '# #.C ? B! $$ B < = $'! C ? B $ B < = $' B $' # #(C ? B+ $$ $$ ! + $ !   ' ' ! + ! # 2! -!8# $$ ' * B < =$. *槡 * B < = $. * C ? B$'! # 1B < = $. * / $ . 槡 #( + ( ( + ! $   +  ( ( 当 $+ . / 时( "( $. + . ( /  * * * *

#

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 由于 **"( 故! # ( 即 8# 的最大值为 ! 即 *'!! * B < = $. $ (槡 * *( ! */ $$ *( 1! *'+( +. * ! # 的周期为 ( # 3! /! 由题意知函数 :'! B < = $. 1$'!( 1! B < = . '8!( $  %$ %$ * 1 ! $  又 = 0"& 1 . 8 ( %'! %&( %' %! ! * ( 故 1'($ 或 (#! 1!.1'(* 或 (!.1'(*( 2

# "! )! 对称轴为 $'

$ $ 槡 # # #! &!B < = $ ' ( ". % * $ 槡 * !. 槡 # $ $ $ / ! # 槡 # . # 1C ? B $ 'C ? B $ ( ' 4 . 4 ' ! "( ". * ! * ! % % * % ' & ' # !! )! 由 & *( ) *( )( + ) 知*) )) +! 9 : ;' 9 : ;'  $ 若#+ # 则 *&"( 不合题意 + ( ( "( )&"( +*"( +  ( 若#+ # 则 **"( 且+* 不合题意 + "( $ )*"( +*"( )( + ( $ 若#+ # ( 则 **"( 由三角函数线知 ( 符合题意 + )*"( +*"( ** )* +( + ! * $ ( 若#+ # 则 *&"( 不合题意 ! )*"( +&"( ( ! + *槡 * + % * *槡 * + # *! ( 1$'# "( 1B < = ! ! ( '( ( !'( * + $ $ * + * ! ! * 所以 槡 正三角形的边长为 *( 则B'槡 # +! ! 设圆的半径为B( *4 '槡*( *'槡 * B( ! ! * * # * B 槡 * * 所以这条弧所对的圆心角的弧度数!' ! ' ! '槡 ! B B ! ! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第 ! 3 页# %页$ ! 文科 ! %

* ! ! 设7 $ ( 则原函数可以化为 :'(! # $! !:'C ? B! $.! B < =$'(! B < =$.! B < =$.#( 'B < =$# (#$ 7 7 .! 7 .#' $# ! (! 7 ( * # 函数取得最大值 * ! . ( 1 当7 ' 时( # # !$ ! ! !
!

* * $.:  #   3 3 . ' $' ! + ! + + *.槡 ! 由 $.:  $ # $(:  $ # *  $  槡 # ( 则 ( # %! < = $.C ? B B < = . C ? B ( B < = C ? B ' ! B 52 :'! 2 + ! + ! + ! + ! + $(:  $   :'( 4 ! ( + '! + 4 % #. * !.槡 *   / 槡 # B < = .C ? B ( $ ' ! ! + % + # B < = ? B 3 " E ( # !$ C ! 解, # # ,! D : = 3 " E ( ' ' '( ( !$ # + C ? B 3 " E ( < = !$ B ! B < = ! D : = '(+  ! 分 !' C ? B ! + B < = C ? B !.! ! + B < = .! C ? B C ? B ! ! ! # $ # ' $ C ? B B < = C ? B B < = !.* ! $ !.* ! C ? B ! + D : = %.! !.! (# '!  $ 分 ' ' $.* D : = ! ! $(# < = ! # $ 由B ! '(+ 得 B < = C ? B !'(+ !( C ? B ! # , 槡 ! ! 又B 所以 C < = ? B ? B !.C !'#( ! 是第二象限角 ( !'( # , "B " < =# ! , " E ( D : =# 3 " E ( B < =# # 2 " E ( !$ !$ !$ " " B < =# 3 " E . D : =# ! , " E . D : =# * % " E ( !$ !$ !$ " # (C ? B D : = 3 " C( B < = !" # !$ !$ ' # "# / C ? B ( D : = 3 " C( ( D : = !" . !$ !$ (C ? B B < = !" # !$ '( C ? B ( D : = !" # !$ '(C ? B !' # ,  槡 # "分 # ,

 解, # $ 由题意可知 ( # 2! # D 3" '( ( 9$ + *    所以终边落在直线 D 3" 上的角# 的集合为 & = =+' = =+' '& # # #'( .! ( 1& # # #' .! ( # # #' ( . + + + ( -+' ! % 分  * * *  所以由弧长公式可知质点 所经过的长度   # $ 由题意得 93"D ! 3# ' ( 3 ,' 4!' ! + + !  *   扫过的扇形的面积 4' # 4!4* ' ! # !分 ! ! ! !  解, # $ 所以 $' # !  $ 分 # 3! # 5' '# " ( $ $ $ $ ## $ $ / %  # $ . # ! $ '! C ? B $ . '! C ? B '(! B < =!'( ( !.  !.  !. $ 8# * $ * $ % ! * 所以 B < =!' ( $ $ $ ## $ $ / # %( 2 . 所以 C $ '! C ? B $(  . '! C ? B ? B !  3 分 8# "( % "'# "'# $ " % % , , + # $(  ( ! ! 因为!所以 C "( / ? B #(B < = B < = #(C ? B !' 槡 !' ( "+ . "' 槡 "'# ! $ , ! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第# "页 # %页$ ! ! 文科 ! %

# *  + 2 * # $ 所以 C # $ ( 4 '( ! ? B ' C ? B C ? B (B < =! B < = # !分 !. ! " " "' $ 4# , $ # , 2 $ # !! !! !! (B < = C ? B #( D : = #( + *  分 ! ! ! !! !! 解 , # $ ! "! # C ? B ? B (B % < = ' ' ! ' ' !'C ! ! # $ !! !! !! #. C ? B .B #. D : = < = + ! ! ! * $ 所以 # !  又 # $ 易得  & # # ! B < = ' ( C ? B '( (  2 分 !. !. !. "& ! ( "$ "$ ! # * # * + 所以 # # % 由# $ 可得 B . # # < =!' ( C ? B ? B ( '( & ( ! # !分 !. !/ "'C "$ $ $ % $ # # !  $   解, # $ 由题设图象知 ( 周期 5'! # ( ( $ ! #! # ' 1$' '!! # ! # ! 5 $ $ $ ( $   因为点 # 所以 % # $ 即B # " 在函数图象上 ( B < = !4 . '"( < = . $ '"! # ! # ! % % % $ +   $   从而$  又 0"& ( 即 %'  ! 1 & . . ' & ( %& ! ( % % % * % % %  又点 # $ 在函数图象上 ( 所以 % "( # B < = '#( %'!! %  故函数 8# 的解析式为 8# # $$ $$ '! B < = ! $. $ !  % 分 %   ( # $ 先将函数 :'B 得到函数 :'B # 再 把 函 数 :' ! < =$( $+ 的图象向左平移 个单位 ( < = $. $ $+ 的图 象 + % %  (  ( # 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 # 倍( 得 到 函 数 :'B B < = $. $ $+ 图象上所有点 的 纵 坐 标 不 变 ( < =# ! $. $ $+ ! % %  ( 的图象 + 最后把函数 :'B # 纵坐标伸长为原来的!倍( 从而得到 < = ! $. $ $+ 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 不 变 ( %  ( 函数 8# # $$ '! B < = ! $. $ $+ 的图象 !  # !分 % * #.C ? B! $ # 槡 * #  槡 解, # $ 由已知得 , # ? B! ! !! # $$ ' B < =! $( ( ' B < =! $( C $(#'B < = ! $( $ (#! 8# ! ! ! ! ! % *   令! = . $! $( $! = =+(  . ( ! % ! $  得= . $$$ = =+!  . ( * % 的单调减区间为 . 1 函数 8# $$ = . $ / ( (  % 分 = =+! .  * %

  $ # $ # ( ! 08# $$ (#&1&8# $$ .# $+ . ( ( / + % ( 11*8# $$ $$ 9 : ; (# 且 1& 9 < = .# 8# !  (   (  又 0$+ . ( ( / 1! $( + . ( ( / * % + % % 18# $$ (!( ( +. #/ # ( 11* ( (# 且 1& (!.#( ! !

* 故 1 的取值范围是 # $ ( ( (# !  # !分 !

! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第# #页 # %页$ ! ! 文科 !

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 六
! ! ! #! -! + ' * . ) (! * ) C ? B2'# "( +' 槡 # "! ! ! ! *( + )( +得 ! ! ) . + ( * #  ! !! /! 由 ' ). +( * ' ) +( C ? B%' ' ( %' ! ! ) *. + ! ) + *

*槡 *( # * *! &! 0C ? B2' ( 1B < =2' # + # + *槡 * ,4 ) + ) B < = 2 # + * 槡 又0 ( ' 1B < =#' ' ' ( B < =# B < =2 + * !  又 0 锐角 6% # 2( 1#' ! * 根据正弦定理得 B +! )! 0 +"C ? B#' )"C ? B2( < =2"C ? B#'B < =#"C ? B2( # # 1B < = #(2$ '"( 1#'2( 1C ? B #' ! ! # * * # ! ! $! /! 利用三角形面积公式和余弦定理得 , )'槡 *( * +4槡 '槡 ( *' * . + (! * +4 ( ! ! ! ! ! 所以 *' # $ 得 ( *. + (* * + *. +'* 1 *'#! D : =# D : =%. # %! &! 0 D : = %.#$ ' '(槡 *( #( D : =% D : =# # * ( 槡 146%#2 ' 4#4+4 '槡 *! * ! ! ,! /! 各 边 分 别 增 加 $ 个 单 位 后 的 三 边 分 别 为 $ . *( $ . +( $ . $(其 最 长 边 所 对 角 的 余 弦 值 为 ! ! ! ! # $ $ $ $.* .# $.+ (# $.$ $ .+ $ 所以得 到 的 三 角 形 的 最 大 内 角 为 锐 角 ( 所以得到的三角形 ' # *"( # $ # $ $ # $ ! $.* $.+ ! $.* $.+ 为锐角三角形 ! 12'
! ! ! ! ! $ 2! -! # *. ) ( + ' * )( 1 * . ) ( + '( * )( 1C ? B 2'(

#( !  12' ( ! *

* !槡 ! # # !槡 %(#  槡 # (%$ ( 4 ' 1B < = #'B < = ' 4 ! * ! * ! * % + 由 ) ' + ( 得C 3! -! 在 6% # 2 中( 2'! #( ? B#' ! $ B < =# B < =2
! ! # "! &!B < = % B < = #.B < = # C ? B %'槡 * B < = %( 1B < = #'槡 * B < = %(

1

) ' *( 1 )'*! * 槡

 # 所以 %.  '  ( 所以 %'  ( # #! -! 因为 B < = %. $ '#( * * ! % < =# ! 所以 ,  *  所以   槡 又因为 ) '槡 所以B 所以 B !( '槡 !( < =#' ( #' 或 ( 2' 或 ! * B < =% ! + + # ! # !
! ! ! ! ! ! ! ! * . ) ( + ! * .! ) (! + * . ) # # !! )! 由余弦定理得 C ? B2' ' ' ) ! ! * ) + * ) + * ) ! ! ! ! * .# ! *$ (# ! *$ ! 槡 槡 钝角 ! 依次设三边为 *( 则最大边为 ! 最大角的余弦值为 C # *! *( ! *( *( ? B '( ( 1为钝 ! #' 槡 + ! *4槡 ! * 角三角形 !

* 因为  !  槡 得 * ' ) ! 把 %'  ( 解得 B 所 以 #*%( 结 # +! 或 ! 由正弦定理 ( *'#( )'槡 *代入 ( < =#' ! )* *( * * B < =% B < =# % !  合题意可知 #'  或! ! * *

# 2 % 2( # # $! ' !( *$ ! 由正弦定理 , 槡 槡 B < = % B < = # # 2 % 2 % 2 % 2 ( 1 ' ' 1 '! C ? B %+ # ! !( *$ 槡 槡 B < = % B < = ! % ! B < = % C ? B % # 2
! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第# !页 # %页$ ! ! 文科 ! %

!槡 * 3 # # %! + B < = %'槡 *( !4' ) * ! 1 +'+( *' 槡 #.# %(+' 槡 # *!

*. ). + # * !槡 * 3 槡 1 ' ! ' B < = %.B < = #.B < = 2 槡 * * ! 解, # $ 由余弦定理得 # ,! #
! # $ # # , ! * 槡 , ! ! ! ! * ' ) . + (! ) + C ? B %' # + . + (!" +" +" ' + 5 ' !  $ 分 * * ! 3 + * # $ 由正弦定理和 # $ 的结论得 ! #

# ! + B < = # B < = 2 ) + * * ' ! ' ! ' !  # "分 ! , * B < = % * ! ! ! 解, # $ 由余弦定理 ( 得+ # 2! # ' * . ) (! * ) C ? B 2'+( ( 三角形的周长为 1 +'! 1 $! + 分 # # $ ! 0C ? B 2'C ? B #' + 12 /' 槡 #.#(! C ? B #' %  槡 # !分 !

  解, # $ 由) # # 应用正弦定理 ( 得 # 3! # B < = ( + B < = ' *( .2$ .#$ + +   # # B < =# B < = .2$ (B < =2 B < = .#$ 'B < =%( + + ! ! ! ! ! 槡 槡 槡 槡 槡 B < =## B < =2. C ? B2$ (B < =2# B < =#. C ? B#$ ' ( ! ! ! ! ! 整理得 B < =# C ? B2(C ? B# B < =2'#( 即B # < = #(2$ '#( !   分 又 2'  ( % 1#' % * * $  因此   # $ ! #.2'(%' ( #' ( 2' ! + 2 2

* B < =# $  得  由 *'槡 !( %' ( )' '! B < = !  # !分 + B < =% 2 解, 如图 ( 设 92 ! "! / ?' !! # $ 在 由余弦定理 ( 得 # 62 ? / 中( / 2 '2 ? .? / (! 2 ?"? /"C ? B ? 2! 9/ ! 于是由题设知 ( ,'2 ? .#.2 ?(
! 即2 ? .2 ?(%'"! ! ! !

解得 2 # ?'! 2 ?'(* 舍去 $ ! 在 62 由正弦定理 ( 得 ? / 中(

/ 2 2 ? ' ! B < = ? 2 B < =! 9/
! *  槡 2 ?"B < = !4 * ! ! #( 槡 于是 ( B < =!' ' ' / 2 , , 槡 ! # 即B < = / ?' 槡 !  % 分 92 ,  于是由 # $ # $ 由题设知 ( ! "& # 知( !& ( * C ? B #(B < =!' !' 槡 !  ( 而 9% / #' ( ! * ! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第# *页 # %页$ ! ! 文科 ! %
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#( ' ! + 3 , 槡

! # !槡 ,

! ! !    所以 C ? B < =! ? B / #'C ? B ? B C < = B ( 9% !.B ! 'C * * * '( # * # !槡 , 槡 * 槡 ! # 槡 , 槡 C ? B < =!'( 4 . 4 ' ! !. B ! ! ! , ! , # +

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/ % !( 在F D % # 中( C ? B / #' ' 6/ 9% # / # /
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 十
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 十一 
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! ! 的前 - 项和 ( 由题意可得 # #! )! 05 -$ ' * . ) -. + 为等差数列 & * 1 +'"( $$ ' * $ . ) $( -' -' 8# 8#

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# # # # ( # # # # # $ - ( ! " # $ 1 *'#( )'#( # $ ' ! ' ( 4 #( $ .# ( $ . 2 .# ( ' 14 ! -'# ! " # $' ! ! * - -.# -.# ! " # % . - - -.# 8- ! ! / 恒成立 ( 得 (* G# # !! )! 由 8 $$ '(* $( *$" 对于一切 $+ # (5 ( (# $$ *( 1 *) (*! 又由 ;# 在 # / 上有最大最小值知 (+$ $$ #( ! *& (!( 1(*$ *& (!! * ( * # *! !槡 *!: G' $'# 时 ( G' '槡 *( *'!槡 *! : ! !槡 $ # $ 在# $ 上是增函数 ( 又8# # +! #(槡 !( # $$ '!.C ? B $*"( 18# $$ (!( ! ($$ .8# $$ '"! G# ! 08 ! ! $ $ $ 18# $.# .8# $($ $.# $ ($$ *" 为 8# *8# #.$*$ ($ 3 (!&#.$&! 12 ! 4(!&$($ &! 1#(槡 !&$&#! # # ( $ (" $ # $! A A $ ! 0 :'$ 6 =$( 1: 6 =$.$" '#. 6 =$! G' ! 设 3# " : $ 又 '!( ( " 'A 1 ='#. 6 =$ 1 #. 6 =$ ! "! = " '! 1 $ 点 的坐标是 # ( $ 1: 'A 6 =A 'A ! 1 3 A A ! " # $ $ 即# $ 令 :'$ ( 则 函 数 :'$ 在区间 # %! (5 ( (! "( ! $$ .$ G# $$ $ $$ G&"( $$ $$ 1# ! 当 $&" 时 ( &"( 8# 8 8# 8# 8# # $ 上为减函数 ( 又 8# 在 定 义 域 上 是 偶 函 数( 在 定 义 域 上 是 奇 函 数( 且! (5 ( " $$ 1 函 数 :'$ $$ (!$ ' 8# 8# $ 则$ $ 上的解集是 # $ ( $ $ ! '"( $$ (5 ( " (5 ( (! 1$ $$ (5 ( (! "( ! ! ! *" 在 # *" 的解集是 # 1# 8# 8# 8# # $ # $ ! $.# $(# 解, (  + 分 # ,! 08 $$ '( G# $ 1$*# 时 ( $$ "&$&# 时 ( $$ G# G# &"+ *"( 8 8 # $ 在区间 # ( / 上是增函数 ( 在区间 # 上是减函数 ( "# #( .5 $ 8$ # $ 的极大值为 # $ ( 没有极小值 18 $ !  # "分 8 # '" $ ! 解 , # $ # $ # $ ( 由题意知 # $ # $ ( # 2! # 8 G $ 'A * $ .! * $.* G # 'A*.! *.* '" *'(#!  $ 分 8 $ ! # $ 要使 # $ 在 . ( / 上递增 ( 则 # $ # $ ! #! G $ 'A * $ .! * $.* )" 恒成立 ( 8$ 8 ! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第! %页 # %页$ ! ! 文科 ! %
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(* $ *+ ! 即* $ .! * $.*)" 恒成立 ( *) # ! 9 : ; '( 2 $ .! $ $ ! 要使 8# 在. / 上递减 ( 则8 # $ G# $$ #( ! $$ 'A * $ .! * $.* $" 恒成立 ( (* ! 即* $ $ .! * $.*$" 恒成立 ( *$ # ! ! 9 < = '(# $ .! $ 综上 ( 在. / 上单调 ( 则 *$ (# 或 *) ( * !  # $$ #( ! !分 8# 2 解, # $ 由导数的几何意义知 8 $ G# # 3! # *.# '# !  ! 分 ! # $ $ 0* *.# (* *# *.# '# ! 1* *'3( 1 *'*  $ 分 * ! ! * # $ $ G# ! 08 $$ '* $ (* * $( " ' )( 18# $$ '$ ( * $. )  % 分 8# ! 由8 ( $$ '* $# $( *$ '" 得 $ $ * G# # '" !' / ( 0$+ . (#( # #& *&! $ 时( 递增 + (#( " $$ $$ G# 1 当 $+ . *"( 8 8# 当 $+ # / 时( 递减 ! G# "( # $$ $$ &"( 8 8# 在区间 . / 上的最大值为 8# $ 18# $$ (#( # " !  3 分 $ 08# " ' )( 1 )'# * * * * $ *.#'!( *( (# '(#( *.#'( * 8# ! ! ! ! $ $ ( $ 是函数 8# 的最小值 ( 18# (# # 18# (# $$ &8# * + 1( *'(!( 1 *' ! * * ! 18# $$ '$ (! $ .#  # !分 ! 解, # $ 由已知 ( 有8 # $ G# ! "! # $$ '! $(! * $ **" ! 令8 解得 $'" 或 $' # ! $$ '"( G# * 当 $ 变化时 ( ( 的变化情况如下表 , $$ $$ G# 8 8# $ # '#( 08#
$ G $ 8 $ 8
  (5 " ( = " " " # " $ # * . > # * " # ! * * # .5 $ # * ( =

# + 所以 8# 的单调递增区间是 "( 单调递减区间是 # $ ( #( $$ (5 ( " .5 ! * * 当 $'" 时 ( 有极小值 ( 且极小值 8# $ 当 $' # 时 ( 有极大值 ( 且极大值8 # ' #  % 分 $$ " '"+ $$ 8# 8# !! * * * * * * 时( # $ + *( # $ 由 8# $ $ 知( 当 $+ "( ! " '8 '" 及 # # $$ .5 时 ( &"! 8 $ *" 当 $+ 8# ! * ! * ! * # 设集合 %' & ' ( 集合 #' ( $$ $+ # !( .5 $ $+ # #( .5 $ $$ # /" ( 8# 8# $$ 8# 则) 对于任意的 $ ( 都存在 $ ( 使得 8# "8# * 等价于 %?#! 显然 ( !( .5 $ #( .5 $ $ $ '# "@#! #+# !+# #$ !$ 下面分三种情况讨论 ,

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* * 即 "& 由 8 * '" 可知 ( 而 "@#( 所以 % 不是 # 的子集 ! *& 时 ( "+%(  当 *!( ! ! * * + * * 即*$ 有 8# $ 且此时8# 在# 上单调递减 ( 故 %' # $ $ ( 因而 % *$ 时 ( ! $$ !( .5 $ (5 ( !  当 #$ $!( $"( 8# ! * + ! $ + 由 8# $ 有 8# 在# 上的取值范围包含 # $ ( 则# $ 所以%?#! (5 ( " # $$ #( .5 $ (5 ( " (5 ( " ?# )"( ?#! * 即 ** * 时 ( 有 8# $ 且此时 8# 在# 上单调递减 ( # $$ #( .5 $  当 &#( &"( ! ! * 故 #' # ( ( # ( #$ $ ( 所以 % 不是 # 的子集 ! $" %' (5 8 ! # 8#

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上单调递减 ( 在. 上的最小值为 8# & ( ' 18# $$ *( ! */ $$ < = *$ ! *$ ! 9 < = '9 8# 8#
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# # # 所以当 1+ # ( / 时( ( 即! " # ! ) 1( ! $# ) $ . * 恒成立 ( 1 1 1 # # 所以 ! )$ # . * $ 9 < =! 1 1 因为 :' # . # 在 1+ # / 上是减函数 ( 所以 :9 ( "( # < = '! 1 1* 从而 ! 即)$#( 故实数) 的取值范围是 # /  # )$!( (5 ( # ! !分

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 十二 
$ # $ ! ,. < # ,. < *(+ < $(! $ < ' '#( < #! /! ' ! $ # $ *.+ < # *.+ < *(+ < ! $ 寻找其成立的充分条件 ( 即分析法 ! !! &! 本题中的证明是从结论出发 ( *! &
( 则 8# $ $ $ $ $ $ $ $ +! &! 记 * . ) '8# -$ * '8# # .8# ! '#.*'++ + '8# ! .8# * '*.+',+ $ '8# * .8# +$ '# #+ 8# 8#

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ % '8# + .8# $ '# 2+ , '8# $ .8# % '! 3+ 2 '8# % .8# , '+ ,+ 3 '8# , .8# 2 ', %! 8# 8# 8# 8#
! * + $ % -.# 2( 由此可知数列& ' 的 每 项 末 位 数 字 每 隔 +项 出 现 一 次 循 环( $! -!* '3( * '! ,( * '2 #( * '! + *( * ', ! 3( * $ " 又$ 的末位数字为 3! "'+4# !.!( 1*

即至少有一个的反面是一个也没有 ( 直接写出命题的否定 ! 方程 $ . %! /! 依据反证法的要求 ( * $. )'" 至少有一
* 个实根的反面是方程 $ 故应选 /! . * $. )'" 没有实根 (

*

# $ -.# ! ! ! ! # " ! 第- 个 等 式 的 右 边 '# "- -.# ( 所以# ,! -! 观察等式规律可 知 ( (#$ (! .* (+ .2.# (#$ 43 ' ! # $ # " # $ "3 3.# '+ (# $! ! # " " (# ! (! * (* $ $ 所 以 8# 的不 2! &! 由题知 ( " ' < . < '!( # ' < . < ' < . '"( !$ ' < . < ' (!( *$ ' < . < '"! -$ 8# 8# 8# 8# < 同取值的个数是 * 个 ! # ! 存在非零复数 *'8 存 在 非 零 复 数 *' ( 3! &! 对于  , <使得 * . ! '(!&"( < )'#  不成 立 + 显然成立+ , *
* ! ( 使* . < ( * )*"( *( )&"(  不成立 !

). +"*. +"*. ) !槡 ) +"! 槡 * +"! 槡 * )( # "! -! 0 1( )2! ) * ) + * ) +
第# # #! )! 由 *( ,( # #( # $ 知* " # #( 1! " # ! 是第二行 ( $ " 3列! $ " * '! # ! # $ # ! $ + ( ! (    # # !! /! 0 D : = ( 1! D : = ( D : = ( '! ( '( '( '! * ! # % # %       D : = D : = D : = D : = D : = D : = * ! # % # % # % 2 2 1+ D : = + # $ # ! $   # ( '+ D : = ( '+ ( '(2@ 2 2    D : = D : = D : = 2 2 +

可知 *'#( 所以 *. *! 根据复数相等 ( )'!( )'*! # *! # +! 1$ -! 要 判 断 1 '6 7
!

! 槡 *.槡 )$)$ 的大小关系 显然 # *.槡 )$ *. ).! 槡 * ) *. ) # *. )$ 因此 槡 槡 # # *. ! ' ' ! 1$ -! $ ! ! ! + ! ! 槡 槡 ! !
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*.槡 )*. )的 大 小 关 系( *.槡 )- *. )的 大 小 关 系( 槡 即 要 判 断槡 即要判断 -'6 7
! 槡

# $! 3 "!# 位回文数有 3 个 ( ! 位回文数有 3 个 ( * 位回文数有 3 "'34# "个! # %!  # ! 解, 假设 $ 则 $'(#8槡 # ,! .! $(#'"( !容易看出 (#(槡 !& (  * 分 ! # 要证明 # 下面证明 (#.槡 !& ! (#.槡 !& 成立 ( ! ! * # 只需证槡 只需证 !& 3 成立 ( 上式显然成立 ( 故有 (#.槡 !& 成立 ! !& 成立 ( ! + ! # 与已知条件 # ! 综上 ( 因此 $ $'(#8槡 !& ( $* 矛盾 ( .! $(#/"!  # "分 ! !

A' # A 对应的点位于第一象限 ( 解, 由题意E $ $ ( # 2! 1! .1(! (# + 1! (2 1.* < E
! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第! 3页 # %页$ ! ! 文科 ! %

1



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或 1*#( 1& (!( 3  2 分 12# * &1& ( ! ! 4 1#&1& *( !

*  则所求 1 的集合为 & 1 #&1& ' ! # !分 # !

). + *. ). + (  分 解, 要证 # . # ' * ( 即证*. # 3! . '* * *. ). *. ) ). + *. ). + ) +
也就是 + . * '#( 只需证+ # $ $ $ # $ (  % 分 ). + . *# *. ) '# *. ) ). + *. ) ). +
! ! ! 需证+ ( 又 6% 故 #'% ( . * ' * +. ) # 2 三内角 % ( #( 2 成等差数列 ( " E ! ! ! ! ! ! 由余弦定理 ( 得) ( 即) ' + . * (! * + C ? B% " E ' + . * ( * +( ! ! ! 故+ 成立 ! 于是原等式成立 !  # . * ' * +. ) !分

# # 槡 # * 解, # $ $ $ . ' ' ( ! "! # " .8# # ' 8# #.槡 * *.槡 * 槡 * * # # 槡 # *  分 $ $ . ! ' ' ! (# .8# ! ' (# ! 8# * * .槡 * 槡 * * * .槡 * 槡 # $ 由# $ 归纳得到对一切实数 $( 有 8# ! # $$ .8# #($$ ' !  + 分 *
$ # # * # 证明 , . #($ ' $ . $$ .8# #($$ ' $ 8# $ # $ * * .槡 * * .槡 * 槡 *槡 *.* * .槡 $ *.* # 槡 * 槡 ' ' !  , 分 $ $ 槡 *# *.* * * 槡 槡

'

# $ 设 4'8# $ $ $ $ $ $ ( * (3 3 .8# (3 2 . 2 .8# (# .8# " .8# # . 2 .8# # " " 又 4'8# $ $ $ $ $ $ ( # " " .8# 3 3 . 2 .8# # .8# " .8# (# . 2 .8# (3 3 * 槡 两式相加 ( 得# 由# $ 的结论 $ ! ! 4'! " "4 ( * # " "槡 * 14' !  # !分 * 解, # 法一 $ # $ 选择  式 ( 计算如下 , ! #! #
! ! B < = # $ E .C ? B # $ E (B < =# $ E C ? B# $ E '#(

# # * B < =* " E '#( ' ! % 分 ! + +

* ! ! # $ 三角恒等式为 B # $ # $  , 分 ! < = C ? B * " E ( ( B < = C ? B * " E ( ' ! !. ! ! ! + 证明如下 ,
! ! # # B < = ? B * " E ( (B < =! C ? B * " E ( !.C !$ !$

! ! ! 'B < = C ? B* " E C ? B < =* " E B < =!$ (B < =!# C ? B* " E C ? B!.B < =* " E B < =!$ 'B < = !. # !.B !.

* * 槡 ! C ? B < =! C ? B!. !. B + !

# ! * # ! * ! * ! * 槡 B < =!( B < =! C ? B < =!' B < =!. C ? B!' !  # !分 !( B ! + ! + + + # 法二 $ # $ 同法一 ! # ! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第* "页 # %页$ ! ! 文科 ! %

* ! ! # $ 三角恒等式为 B # # ! < = ? B * " E ( (B < =! C ? B * " E ( ' ! !.C !$ !$ + # #(C ? B! ? B % " E (! ! #.C !$ ! ! 证明 如 下 , # B < = ? B * " E(!$ (B < =! C ? B# * " E(!$ ' . (B < =!# C ? B* " E C ? B !.C !. ! ! ' B < =* " E B < =!$ . # # # # * # ! # # 槡 C ? B% " E C ? B! < =% " E B < =! ( B C ? B ( C ? B! < =!' ( C ? B! < =! !. . # !.B !$ !( B ! ! ! ! ! ! ! ! !

# # * * # # # # * 槡 槡  # . C ? B! ? B! ? B! < =! < =! #(C ? B! '#( C !分 !. B !( B !( # !$ !( . C !' ! ! + + + + + + + +

! * 解, # $ 在数列 & 中( ( # ( ! !! # * 0 * * -+. $ -' # '# -.# ' !. * 1 * # '#' !( !

! * ! ( # * ' !' !. * !.# #

* ! ! ( ! * ' *' !. * *.# ! * ! ! ( * * ' +' !. * +.# * * ! ! ( + 2( * ' $' !. * $.# +
! 这个数列的通项公式是 * 1 可以猜想 ( !  * 分 -' -.# ! * 证明 , # ( 0 * -+. $ -.# ' !. * ( 1! * * * * -+. $ -.# . -.# " - '! -# # # # ( 1 ( ' # -+. $ ! * * -.# # 是以 为首项 ( # 为公差的等差数列 1& ' # ! * ! # # $ ( 1 '#. # -(# ! * ! 1 * !  , 分 -' -.# ! # $ 由# $ 得) ! # .槡 !(#' -.槡 !! -' * ! 假设数列 & 中存在三项) 成等比数列 ( 则) ) ) ) B 是互不相等正整数 $ ) ) -' B# B( &( '( &( '( '' & ! 即 # # ( !$ '# !$ B.槡 !$ '.槡 &.槡 ! $ $ 1# .# ! B B !'"! ' (& '(&( 槡

0&( B+< ( 1 '(

&

B'"( ' (&
! B'"! '(&(

!

B$ &. ! ! # $ 与 &/ 1# '& B( B '"( 1&' B( B 矛盾 ! &( !
中任意不同的三项都不可能成等比数列 !  # 1 数列 & ) !分 -'

! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第* #页 # %页$ ! ! 文科 !

%

 十三 
#! -! 系统抽样抽取过程被抽的样本间隔是一样的 ! !! ".#.!.* * ( #.!.+.$ ( 回归方程过点 # ( $ ( *! )! 回归方程必过点 # $ 0 $ #! $* ! ' '* 1 B( A$ B' A' : : ! + + # 则 #($'+ +! )! 设第 2 个小正方形面积为 $( $( $' ! $ # ! ! ! 继续循环得 -'!( 不满足条件 ( 所以输出 -'!! $! &! 当 -'# 时 ( ! *# 满足条件 ( ! *! 不成立 ( 甲班学生成绩的众数是 2 所以 $'$! 乙班学生成绩的中位数是 2 所以 :'*( 所 以 $.:' %! &! 由茎叶图可知 ( $( *( $.*'2! # " 则 2$( ,$'!( 得 $'$ ,! &! 设共抽取 $ 人去观看演出 ( "( 1 高三观看演出的人数为 $ "4 '! "人! ! $ ! $ ! $ $ 所以不 低 于 , 2! -! 从频率分布直方图中可知低于 , " 分的频率为 # "! " " $."! " #."! " ! $ 4# "'"! +( "分的频率为 所以合格人数为 "! #("! +'"! %( %4# " " "'% " "人! ## # $ 甲 的 成 绩 的 中 位 数 为 %( 乙的成绩的中位数为 +.$.%.,.2 '%( $乙 ' # $.$.$.%.3$ '%! $ $ #. #. # ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! # $ $ $ $ $ / / 甲' 乙' $! 9 +(% .# $(% .# %(% .# ,(% .# 2(% '!( 9 *4 $(%$ .# %(%$ .# 3(%$ ' $ $ # ! 甲的成绩的极差为 乙的成绩的极差为 3($'+! ! 2(+'+( $ # $ # "! -!$甲 ' # 3 2.3 3.# " $.# # $.# # 2 '# " ,( $ # $ $乙 ' # 3 $.# " %.# " 2.# # !.# # + '# " ,( $ #. ! ! ! ! ! ! # $ $ $ $ $ / 甲' 4 3 2(# " , .# 3 3(# " , .# # " $(# " , .# # # $(# " , .# # # 2(# " , '% % > 2( $ #. ! ! ! ! ! ! # $ $ $ $ $ / 乙' 4 3 $(# " , .# # " %(# " , .# # " 2(# " , .# # # !(# " , .# # # +(# " , '+ +! $ # #! /! I *3! ! " 所以第三组人数为 $ 有疗效的人数为 # '$ "( # !! )! 志愿者的总人数为 # "4"! * %'# 2( 2(%'# !! $ "! # %."! ! + 4# + "'2 名学生 ! # *! 2! 应从高三年级抽取 4! # " # / # +! # "( ! 2 3! )!$甲 ' # $!  # %! , ! 该 程 序 框 图 的 功 能 是 输 出 这 2 个 数 据 的 方 差 (因 为 这 2 个 数 据 的 平 均 数 * ' * 3.+ ".+ !.+ !.+ *.+ $.+ %.+ , ! ! ! ! 故其方差 # . # $ $ $ $ '+ *( * 3(+ * .# + "(+ * .# + !(+ * .# + !(+ * .# + *( 2 2 ! ! ! ! $. # $. # $. # $/ 故输出的9 的值为 , + * + $(+ * + %(+ * + ,(+ * ',( 解, # $ # ,! # !"! *+ $ 分  位置的数据分别为 # # $ 第三 四五组参加考核人数分别为 *! !#!  # "分 解, # $ 依题意 ( 得 # 2! # # # # $ $ ( 解得 *'*! 42 ,.2 3.3 %.3 % ' 4# 2 ,.3 ". *.3 *.3 $ + + # $ 根据已知条件 ( 可以求得两组同学数学成绩的平均分都为 $'3 ! !!

# # ! ! ! ! ! 所以乙组四名同学数学成绩的方差为9 $ $ $ $ / ' . 2 , ( 3 ! .# 3 * (3 ! .# 3 * (3 ! .# 3 $ ( 3 ! '3 ! + 解, # $ # 3! # 优秀 一班 二班 合计 * $ # , $ ! 非优秀 # * ! $ * 2 合计 + 2 + ! 3 " %

! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第* !页 # %页$ ! ! 文科 !

! $ * $4! $(# *4# , "4 # # $ 根据列联表 中 的 数 据 ( 得 到 ='3 则说明在犯错误的概率不超过 ! % %*,! 2 , 3( C3! + 24+ !4$ !4* 2 "! " " $的前提下认为新课改与教学成绩有关系 ! 解, # $ 由已知有 $ '"! ! "! # # 3( 1$'* 2 "!  ! 分 ! " " " # $ 由# $ 知高二男女生一起 , 又高一学生 , 所以高三男女 生 一 起 $ 按分层抽样( 高三年级应 ! # $ "人( $ "人( " "人( + 2 抽取 4$ " "'# ! 人 !  % 分 ! " " " # $ 因为 :. 所以基本事件有 , * E'$ " "( + $( E)! + $( :)! + $( E'! $ $+ + %( E'! $ ++ + ,( E'! $ *+ + 2( E'! $ !+ + 3( E'! $ #+ $ "( E'! $ "+ $ #( E' :'! :'! :'! :'! :'! :'! :'! 一共 # ! + 3+ $ !( E'! + 2+ $ *( E'! + ,+ $ +( E'! + %+ $ $( E'! + $( # 个基本事件 ! :'! :'! :'! :'! 其中女生比男生多 ( 即 :* E 的基本事件有 , ( + ( + ( + ( + ( ( 共有 $ 个基本事件 ( $ # E'! + 3 $ ! E'! + 2 $ * E'! + , $ + E'! + % $ $ E'! + $ :'! :'! :'! :'! :'!

故女生比男生多的事件概率为 $ !  # !分 # # 解, # $ 成绩在 . $ 的频率为 "! $ ! #! # % " "( % $ " " " *4 # % $ "(% " " '"! # $! ! 分 # $ 因为 "! $ $ ! " " !4 # + $ "(+ " " '"! #( "! " " +4 # $ " "(+ $ " '"! !( $ "! " " $4 # $ $ "($ " " '"! ! $( "! #."! !."! ! $'"! $ $*"! $( # $ ! $( " ! #." ! ! " 所以 ( 样本数据的中位数为 $ # 分$ " ". '$ " ".+ "'$ + " !  , 分 "! " " $ # $ 成绩在 . $ 的频率为 "! $ * $ $ "( % " " " " $4 # % " "($ $ " '"! ! $( 所以 # $ 的人数为 "! # 人$ ( " " " " 名考生中成绩在 . $ $ "( % " " ! $4# " " " "'! $ " " 再从 # 则成绩在 . $ 的这段应抽取 " " " " 人用分层抽样方法抽出 ! "人( $ $ "( % " " ! $ " " '$ 人 !  # ! "4 !分 # " " " " 解, # $ 根据题意列表并计算如表 , ! !! #

I $ I
I :

# # " + # " "

! # 2 " ! " "

* # 3 " ! # "

+ # , , # 2 $

$ # + , # $ $

% # * + # * $

, # $ " # , "

2 # 3 # ! " $

3 ! " + ! * $

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$ " + " "* % " " "* 3 3 " "* ! , + $! ! , 2 $# 2 " 3 "! $ $ " "* 3 # $ $+ , 3 + "# $ # ! $ I I # :
# " ! $ $ 3! 2( , !( % $ + + 2( B'# A'# D$ I '! :

I '#

# " !

# "

I '#
# "

# ! * $ "( 2 , % + " D: D$ I '* I I '! :
I '#

于是B'

所以 : 与$ 具有线性相关关系 ! + 分 J # $ 利用 # $ 中所求的数据可以求得J ! # *( ) 的值为
# "



3 3 " %*"! , $! C"! # " # " ! ! ! ! # # " $ " D$ B$ D: A$ I (# I (# :
I '# I '#

I '#

" $ D$ B A I I (# : :

" $ D$ B A I I (# : : I '# J J J )' # ! % ,( *' ) $ "! + ,( C#! A( B'(* : " ! ! " $ D$ B I (# I '# 所以所求的回归直线方程为J  2 分 ! % , $(* "! + ,! :'#! J # $ 当 时 ( # $ ( * $'# % " :'#! ! % ,4# % "(* "! + ,C# , !9 < = 即大约需要冶炼 # , ! 分钟 !  # !分

! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第* *页 # %页$ ! ! 文科 !

%

 十四 
故 3# #! &! 事件 % 与事件 # 为对立事件 ( #$ '#($! !! ) ! 有 % 种取法 ( 其中和不小于 " 的有 + 种 ( /! 从集合 ( 中任取两个不相等的数 ( 3' ! *! * +! / #$1$$( 3 #$1$$( 确定的平面区域的面积的比 )! 所求概率为由约束条 件2 $! #$ -$+(确 定 的 区 域 的 面 积 与 由 不 等 式 #$ -$+( 1* -( 4

&

3 其值为 #( ! ' $ ! 值( # ! 2 %! -!/ 是互斥且对立事件 ( &) 不是互斥事件 @ * # $ ( # $ ( # $ 共*个( 总的基本事件有 * &! 点数之和为 + 的事件有 # #( * !( ! *( # %个( 3' ' ! ,! * % # !

(*" 3 $ $ "知满足题意的 *2! /! 由2 ) 的值为 #. !* $ $ " 4 #" !*
# ! ' ! 13' %4% # 2

&

*'% *'%( 或 )'! )'#!

&

-.+ # ( 则- ' !( 从而解得 1'$! 3! &! 设袋中白球的个数为 -( ' 1 $ 1., !
又 圆 的 面 积 为 ( 阴影部分的面积为 # "! /! 所求概率为阴影 部 分 的 面 积 与 圆 的 面 积 之 比 ( #( 故比值为 # ( # ! ! + !  则概 率 # #! &! 任取一个三位的正整数有 34# "4# " 种方法 ( 6 ? - 是一个正整数的- 有 ! ( !( !( 7 ! 为 #! * " " 从袋中任取两 球 有 # ( # # !! &! 本题考查古典概型 ! # 个红球 ( ! 个白球和 * 个黑球记为 * ) ) + + + * ) * #( #( !( #( !( *( #( #$ #( ( # ( # ( # ( # ( # ( # ( # # ( # ( # ( # ( # ( # ) * + * + * + ) ) ) + ) + ) + ) + ) + ) + + + + + + !$ #( #$ #( !$ #( *$ #( !$ #( #$ #( !$ #( *$ !( #$ !( !$ !( *$ #( !$ #( *$ !( ( 结果共 # 其中满足两球颜色为一白一黑有 % 种 ( 所以概率等于 % ' ! ! + $种( *$ # $ $ ! 语文书用) 表 示 ( 则 )' & # ( # ( # ( # ( # *! ! 两本不同的数学书用 * * * * )$ * )( * * * )$ * )( * #( ! 表示 ( #( !( #( !$ !( #( !( #$ * ( # ' 于是两本数学书相邻的情况有 + 种 ( 故所求概率为 + ' ! ! # )( * * )( * * ! #( !$ !( #$ % * # 两人都中奖 * 为事件 %( # +! ! 记 ) * 设中一 二等奖及不中奖分别记为 #( 那么甲 乙抽奖结果有 # $ ( # ( # ( # ( # ( # ( 共% !( "( #( ! #( "$ !( #$ !( "$ "( #$ "( !$ ! # 种! 其中甲 乙都中奖有 # $ ( # $ ( 所以 3# #( ! !( # !种( %$ ' ' ! % * ! # $! 3 当* 为 3 时 ( 当* 取 其 他 数 时( # %! "! ! 2! 当 * 为 " 时 ( ) 只能取 "( # 两个数 + ) 只 能 取 2( 3两 个 数+ )都可以取*个 2 数( 故共有 ! 又总事件数为 # 所以所求的概率为 3' ! 2 种情形 ! " "( '"! ! 2! # " " ! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第* +页 # %页$ ! ! 文科 ! %
, 2 3

 ( +






解, # $ 一元二次方程有实数根 0()"( 即 ('1! (+)"( 解 之 得 1$ (! 或 1)!( 又 1+ . ( # ,! # 1!$1$*( "( */ 即实数 1 的取值范围为 . ! $ 分 !( */ 的长度 # .( / # $ 由几何概型知所求概率为长度之比 ( 即 3' ! *  # ! "分 . / 的长度 ' * ! "( * 3 #( 解, # $ 因为 # 所以每个学生被抽到的概率都为 # !  ! 分 # 2! # ' * + ! # 2 # 2 # # # 故 *'$ +4 '*( )'24# 2'# + +( +'! 2 24 '# %( 6', !4 '+! # 2 # 2 # 2 故 *( )( +( 6 的值分别为 *( # + +( # %( +! % 分 # $ 样本中第一组共有 * 人 ( 第五组共有 + 人 ! ! 其中第五组四人记为 *其中* 为男生( 第 一 组 三 人 记 为 #其 中 #)+6( )+6 为女生( !*( !为男 生( *为女 生( 基本事件列表如下 ,

*
# ! * 所以基本事件有 # !个( # * ! * * *

)
# ) ! ) * )

+
# + ! + * +

6
# 6 ! 6 * 6

恰为一男一女的事件有 # 共,个( )( # +( # 6( ! )( ! +( ! 6( * *+ 因此新组恰由一男一女构成的概率是 , !  # !分 # ! 解, # $ 由 "! # 3! # " $."! #."! !.# " *."! ! $."! #'#( 可得 *'"! " *!  ! 分 # $ 数学成绩不低于 % ! " 分的概率为 , "! !."! *."! ! $."! #'"! 2 $( 数学成绩不低于 % " 分的人数为 2 " "4"! 2 $'% 2 " 人 !  % 分 # $ 数学成绩在 . $ 的学生人数 , * + "( $ " + "4"! " $'! 人 ( 数学成绩在 . / 的学生人数 , 3 "( # " " + "4"! #'+ 人 ( 设数学成绩在 . $ 的学生为 %# ( + "( $ " %! ( 数学成绩在 . / 的学生为 %* ( 3 "( # " " %+ ( %$ ( %% 两名学生的结果为 , & ( & ( & ( & ( & ( & ( & ( & & ( %# ( %! ' %# ( %* ' %# ( %+ ' %# ( %$ ' %# ( %% ' %! ( %* ' %! ( %+ ' %! ( %$ ' %! ( %% ' & ( & ( & ( & ( & ( & 共# %* ( %+ ' %* ( %$ ' %* ( %% ' %+ ( %$ ' %+ ( %% ' %$ ( %% ' $种+ 其中两名学生的数学成绩之差的绝对值大于 # " 的情况有 & ( & ( & ( & ( & ( & ( & ( & 共2种( %# ( %* ' %# ( %+ ' %# ( %$ ' %# ( %% ' %! ( %* ' %! ( %+ ' %! ( %$ ' %! ( %% ' 2 因此 ( 抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值大于 # " 的概率为 !  # !分 # $ *( * 解, # $ 直线, 直线, ! "! # ! # 的斜率 = #' ! 的斜率 = !' ! ) 设事件 % 为 ) 直线, ' 的总事件数为 # $ ( # $ ( 2( # $ 共* , ! *( )+ & #( !( *( +( $( % #( # #( ! %( % %种! #% ! /H* 若, 则, 即= 即! , , = *'* )( #% ! 'H( #!( #' !( ! # , 满足条件的实数对 # $ 有# $ ( # $ 共两种情形 ! 所以 3# *( ) *( ! %( + %$ '#( ' ( * % # 2 # , 即直线, , !  % 分 #% ! /H 的概率为 # 2 # $ 设事件 # 为 ) 直线, ( 由于直线, 则! ! */* )! # 与, ! 的交点位于第一象限 * # 与, ! 有交点 ( ! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第* $页 # %页$ ! ! 文科 ! %

).! ( 3 $' * $(! )(! * * :(#'"( 联立方程组 解得2 * $( ) *.* :.#'"( ! :' )(! * 4 *

&

因为直线, 则 # 与, ! 的交点位于第一象限 (

&

$*"(

:*"(

).! 3 $' *"( * )(! * 即2 解得 ! *&* )!  # "分

4

*.* *"( :' * )(! *

' 的总事件数为 # $ ( # $ ( 2( # $ 共* *( )+ & #( !( *( +( $( % #( # #( ! %( % %种( ! + ! 满足条件的实数对 # $ 有! 所以 3# *( ) +种! #$ ' ' ( * % * !  所以直线, ! # !分 # 与, ! 的交点位于第一象限的概率为 * 解, # $ ! #! # 3'

- + #( 所以某同学被抽到的概率为 # ( ' ' 1 % " # $ # $

$ $( 设该课外兴趣小组中有 $ 名男同学 ( 则+ 所以 $'*! ' % " + 所以男 女同学的人数分别为 *(  % 分 #! # $ 由# $ 把 * 名男同学和 # 名女同学分别记为 * ! # * * )! #( !( *( 则选取两名同学的基本事件有 # ( # ( # ( # ( # ( # ( # ( # ( # ( * * * * * )$ * * * * * )$ * * * * * )$ #( !$ #( *$ #( !( #$ !( *$ !( *( #$ *( !$ *( # ( # ( # 共# 其中有一名女同学的有 % 种情况 ( )( * )( * )( * ! 种情况 ( #$ !$ *$ 所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 3' % ' # !  # !分 # ! ! 解, # $ ! !! # 分组 . $ (*( (! . $ (!( (# # / #( ! # / !( * # / *( + 合计 频率分布表 频数 $ 2 ! $ # " ! $ " 频率 "! # " "! # % "! $ " "! ! " "! " + #! " "

 + 分 # $ 由频率分布表知 ( 该厂生产的此种产品中 ( 不合格品的直径长与标准值的差落在区间 # / 内的概率约为 "! ! #( * $ "."! ! "'"! , "+  2 分 ! " ( " # $ 设这批产品中的合格品数为 $ 件 ( 依题意有 $ ' * $ " " " $.! " " " "4! " 解得 $'$ (! "'# 3 2 "! $ " 所以该批产品的合格品件数估计是 # 3 2 " 件 !  # !分

! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第* %页 # %页$ ! ! 文科 !

%

 十五 
#! 母线长为槡 所以侧面展开图面积为槡 /! 圆锥的底面半径为 #( ! !! $( $  则D 原梯形的高为 !槡 面积为 +槡 *! -! 设等腰梯形的高为 <( 2 G'槡 ! <( ! <( ! > 根据平行平面的性质 ( 不论 如何运动 ( 动点 均在与 +! &! %# 3 !( " 都平行的平面上 此四边形为矩形 ( 相邻边长分别为 +( $! /! 本小题考查空间四边形 ! %! 可以得出 /( 摆 放 的 位 置 不 同 而 已( 而 - 和它们表示的 %! -! 依次还原几何体 ( &( ) 中的三 视 图 是 同 一 个 三 棱 锥 ( 不是同一个三棱锥 ! 即四边形 % ,! &! 连结 %#2( 0%## 2 1%## 2( 0# 2,% 2 1%#2,% 2 %#2 2 是正方形( 1 # ,% # #( # , 平面 % # # #( #( # # 则该三棱柱的体积 K ' 4#4!4#'#! % %# '% 2'#( ! 由已知 ( 球 D 的直径为 ! 2! /! 本小题考查外接球 ! A'4 2'!! 由 1, 错误 + 3! )!/ 中 ( -( -! 可得 1 ! 或 1 与! 相交或 1 7 !( 中 ( 由 ( 可得 或 与 相交或 ( 错误 + & 1117 ! ! 1 ! ! "", 中 ( 由 ( 可得 ( 又 ( 所以 ( 正确 + ) 1, 1- -, 1, ! ! " -, " 由 1, 错误 ! - 中( -( -, ! 可得 1 ! 或 1 与! 相交或 1 7 !( "( ",   由题设条件可知三棱柱是棱长都为 的正三棱柱 ( # "! &! * 根据对称性可知 ( 外接球的球心为上 下两底中心 D 连线的中点 ( 如图所示 , D # D ! ! 槡 * * 槡 * *( *( 在F D D D 中( % D 4 ' D D 6% # #' #' * ! * !
 

! * *! # *$ * , 槡 ! ! ( D %! 'A '# $ . ' * ! # ! ! ! * * , ,  ! 4球 '+ A '+ 4 ' !   # ! * 连接 .2( 则易 知 .2- (2 # #! &! 本小题考查线面关系 ! # %( -# # %( % (2 1平 #. ( #( #. ( #. %.2'. ( # '( ( 面 %(2 又 .37 平面 # 1.3- 平面 %(2 # - 平面 # #.2( #.2( #! 取# 连 结 (D( 易证得四边形 % 即% # !! -! 在图 ! 中取 % 2 的中点为 D ( / 的中点为 (( D(0 为 平 行 四 边 形 ( 2故 / 正确 + 故 & 正 确+ 在 0( ( 1% 2- 平面 # / 0( 0 直线 # 0 与2 / 为异 面 直 线 ( 1#2/0 四 点 不 可 能 共 面( 易得 / 又/ 即有2 则平面 梯形 %? / 0 中( 0,0 ?( 0,2 0( 1/ 0, 平 面 2 ? 0( ? ,/ 0( 12 ? , 平 面 %? / 0( 故 ) 正确 + 延长 % 连结 # 易得平面 # 过0 作 %? / 0, 平面 % # 2 ?( 0 至> 使得% 0 '0 >( >/ >( 2 /, 平面 % # 0( 则 0. , 平 面 # 若平面 # 则过 0 作直线与平面# 其垂足在 # 0. ,# > 于.( 2 /! 2 /, 平 面 # / 0( 2 / 垂 直( / 上( 矛盾 ( 故 - 错误 ! ! ! $.# 本小题考查圆柱 # $ ( 6 $ 6 槡 锥$ 全面积 ! 可求得 圆 锥 的 母 线 长 为 槡 圆柱的 # *! 6 则 圆 锥 的 全 面 积 等 于 . 槡 ( ! % ! + +

$.# ! 全面积为 * ( 则圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为槡 6 ! ! % ! ! 该几何体为四棱锥 ( 底面为 正 方 形 ( 其面积为# 由 正 视 图 可 知 该 四 棱 锥 的 高 为 #( # +! ! 由三视图可知 ( '!( !$ 槡 * # ! 1 该几何体的体积为 4!4#' ! * * 不能推得 1这是因为 1 可能在平面! 内 + 不能推得 1这是因为 1 可 # $! -( --( -,  ! 1!( !( 1, !( !( 能在平面! 内 + ( ( ( 能推得 + ( ( 不能推得 ( 这是因为 可能在平面 111 1E ! 1! 1, ! ! 内! "!" "!, " 据图可知 正确 # %! !  !  解, # $ 由已知得 % # ,! # %# , 平面 %## 2 # #( 侧面 平面 ( 又 1 # 2 2 # %## 2 %## 2 1%#?# ,# 2 # #, # # # '% # #( # #( 平面 (  1%#?# , # # 2 2 $分 # # # $ 分别是棱 的中点 ( ( 平面 ! 0?# ? ##2 2 1# 2 ?# 12 ?# % # # # #?#?! 又 %??#%# 为矩形 ( 1%#?# -%?( 1%#?# - 平面 % # #?! 0%?%? # 1 平面 2 %#?# - 平面 %? # # '?( #! 又% 平面 ( # % # # %#?# !  # "分 #7 #? 1% # - 平面 2 解 , # $ 连结 ( ( 显然 过点 # 2! # # 2 2 % 2 .! # % # # 0( ( . 分别是 % #( %#2 的中点 ( ! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第* ,页 # %页$ ! ! 文科 ! %

1(. -# 2 #! 又 0(. E 平面 # 2 2 # # 2 2 2 # # #( # 7 平面 # # #( 平面  1(. # 2 2 # $分 # #! # $ 三棱柱 中 ( 侧棱与底面垂直 ( ( !0 % # 2(%## 2 # 2'# #  # # #  1 四边形 # 2 2 # # # 是正方形 (   由# $ 知 (. -# 1# 2 # 2( # 2 #, # #( 1(. ,# 2! # 连结 %#( ( ( 2( ( 0%( '(#( # 2'# # %# ! 2' 9(% %# '3 " E 9(# # '%



 1 6%(%# F6#(2! 又 . 是 %#2 的中点 ( 1%#( '2( (   1(. ,%#2! 又# 2 与 %#2 相交于点 2( #  # 1(. , 平面 %## 2! !分 # # $ 证明 , 设# 连结 / # 3! # ? 与% 2 的交点为 D ( D! 因为四边形 % # 2 ? 为矩形 ( 所以 D 为 # ? 的中点 ! 又 / 为 3? 的中点 ( 所以 / D-3 #! 因为 / D7 平面 % / 2( 3 #E 平面 % / 2( 所以 3 #- 平面 % / 2!  % 分
* # $ 解, 由 K ' #3 ! %"% #"%?'槡 % #( % % *( * 又 K '槡 可得 % #' ! ! + 作 %L ,3 # 交3 # 于点 L ! 由题设知 # 所以 # 2, 平面 3 % #( 2,%L ( 故 %L , 平面 3 # 2! # * 所以 3 %"% # *槡 # * 在F 由勾股定理可得 3 D % # 中( #' 槡 ( %L ' ' ! 63 ! 3 # # * * # * 所以 % 到平面 3 # 2 的距离为 槡 ! # !分 # * 解, # $ 在直角 6% 所以 %?'# ! "! # # 2 中( ? 为# 2 的中点 ( ?'2 ?! 又 9#'% ( 所以 是等边三角形 " E # ? ! 6% 取 %? 中点 D ( 连接 # 所以 # G D( G D ,%?! 因为平面 % 平面 平面 % # G ?, %? 2( # G ? % 平面 %? 2'%?( 平面 ( # G D7 % # G ? 所以 #  * 分 G D , 平面 %? 2!  在 6% 中 ( ( ( # 2 % 2'3 " E " E % #'#( ? 为# 2 的中点 ( 9# 9#'% * 所以 % 2'槡 *( # G D '槡 ! !
 

  * 槡  所以 46%?2 ' # 4 # 4#4槡 *' !  ! ! +  # # 所以三棱锥 # G(%? 2 的体积为 K ' 446%?2 4# G D' ! * 2  % 分 # $ 因为 L 为 # 所以 L0-# ! G 2 的中点 ( 0 为2 / 的中点 ( G /! 又 L0E 平面 # G / ?( # G / 7 平面 # G / ?( 所以 L0- 平面 # G / ? !  3 分 因为 L07 平面 L0 平面 # ( ?( G / ? % 平面 L0 ?' , 所以 L0, !  # !分 解, # $ 因为点 / 为线段 3 点 D 为线段 % ! #! # # 的中点 ( # 的中点 ( 所以 D /-3 %! 因为 3 %7 平面 3 % 2( D /E 平面 3 % 2( 所以 D /- 平面 3 % 2(

! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第* 2页 # %页$ ! ! 文科 !

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因为 D( -% 且% 2( 27 平面 3 % 2( D( E 平面 3 % 2( 所以 D( - 平面 3 ( 平面 ( % 2 D( 7 (D /D /%D( 'D( 所以平面 (D 平面  /3 % 2! +分 # $ 因为点 在以 为直径的 上 ( ! 2 % # GD 所以 9% ( 即# 2 #'3 " E 2,% 2! 因为 3 %, 平面 % # 2( # 27 平面 % # 2( 所以 3 %,# 2! 因为 % 27 平面 3 % 2( 3 %7 平面 3 % 2( 3 %%% 2'%( 所以 # 2, 平面 3 % 2! 因为 # 27 平面 3 # 2( 所以平面 3 % 2, 平面 3 2 #!  2 分 # $ 由# $ 可知平面 (D 所以 / 到平面3 过D * # /- 平面 3 % 2! D /-3 %( % 2 的距离就是D 到平面3 % 2 的 距 离( 向% 交% 则D 2 做垂线 ( 2 于 >( >-# 2( * 所以 到平面 * 所以 # * # * 因为 # 则D 2'槡 *( >'槡 ( / 3 % 2 的距离为槡 ( K/(3%2 ' 4槡 4 4!4#'槡 ! ! ! * ! ! %  # !分 解, # $ ! !! # 0/ # 是圆柱的母线 ( 1/ #, 平面 % # 2( 1/ # 为三棱锥 / (% # 2 的高 ( * 又 0% #'!( D : = % #'槡 ( 1/ #'槡 *! 9/ ! 又 0% ( 又# # 为圆 D 的直径 ( 1 9% 2 #'3 " E 2'#( 146%#2 ' # * 槡 4槡 *4#' ( ! !

# # * # 446%#2 4/ #' 4槡 4槡 *' !  + 分 * * ! ! # $ ! 0? 2, 平面 % # 2( 1? 2,# 2! 又 0# 2,% 2( 1# 2, 平面 % 2 ?! 又 0 四边形 ? 2 # / 为矩形 ( 1# 2-? /(  2 分 1? /, 平面 % 2 ?( 0? /7 平面 %? /( 1 平面 % 2 ?, 平面 %? /! # $ 在2 使得 D( - 平面 %? 且 ( 为2 证明如下 , * ? 上存在点 ( ( /( ? 的中点 ( 取# 连接 D( ( / 的中点 . ( (. ( D. ! 0( ( .( D 分别为 2 ?( # /( % # 的中点 ( 又? 1(. -? /( /7 平面 %? /( 平面 ( 同理 1(. %? / D. - 平面 %? /! 0(. %D. '. ( 1 平面 (.D- 平面 %? /( 又 (D7 平面 (.D( 平面  1(D%? /! # !分 1 K2(%#/ 'K/(%#2 '

! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第* 3页 # %页$ ! ! 文科 !

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 十六 
# ( $ E ='#( $(:.!'"! !'+ :(#'$.#( ! !! /! *(!'( *( *'#! #! )! *(!"*(" $ ( $ ( 解得 1'$! *! -! 设直线 % # 与$ 轴的交点为 # 1( " 0 圆心坐标为 # #( ! 1 '(#( !(# !(1 * * )(! $ ( 即 $(槡 由题意得 槡 又)*"( 得)'!槡 +! )! 设切线方程为 :( )'槡 # $(+ * * )'"! '!( *! :(+.槡 * ! $ $ $! /!! *(*(#'"( *'!( )'%(#'$( % # 中点为 2# ( + ! ! ! ( 易得直线的斜率 ='( !# ) (#( 且 =&"( %! /! 0 * .#)#( 1 直线的斜率一定存在 ( * .# *  $ 1 该直线的倾斜角的取值范围是 . ( ! + ! ! 圆心为 # $ ( 半径 圆 心 到 直 线 $.:.!'" 的 距 离 ,! &! 由圆的方程 $ .: .! $(! *'" 可得 ( (#( # B' 槡 !( *! :. ! + # ! ! 为 6 '#(#.#.! 由 得 ( 所以 '槡 !! B '6 . !( *'!.+ *'(+! ! ! 槡 ! # $ 或 (+! 2! /! * .! *(+ '"( *'!( 故 *'(#( 又圆心 # $ 在直线 $.:'" 上 ( 3! /! 依题意 ( * $.:(#'" 与 $.:'" 垂直 ( #( ( ) 1 )'#! ! ! ! ! # ( $ ( ( # ( $ ( ( ( ( 点 # ( $ 在圆上 # "! /! 02 *" B ) B * .+ ) '3 1 * ! ) ! * .+ ) '* 1 # ( # '! 2 ! "! ! '# 1 槡 ( 分析图形 ( 易知 $ ' ! ( $ 或 %# $ ( 又 2# ( # #! -! 设 %# $( 1$'!( 1:', 或 :'*( 1%# !( , !( * *( $$ 1 直 线, 为 :$ * * :(, $(!或:(* $(! 即 ' ' ! ! $.:(# #'" 或 ! $(:(#'"! $(, *(! $(* *(! ; : ; : ; : ; : ; : ;: ; : ; : ; : ;: ;: "%. '% # !! &! 02( ,%. ( 1%( "%. ' # % 2.2( $ 2"%. .2( "%. '% 2"%. ! $ ( (* =(%(($ =$ =# $.# 设直线, 的方程为:' $ ( 则由 :' 得 .# ( 则 =# $.# $.* #.* = #.* = :.%'" ($ (($ =$ $ = ;: ; : ;: ; : ;: ($ . (# ( %. ' # 1%( "%. '% 2"%. ' '($! #.* #.* = #.* = = #.* = # *! $.! :'$ ! ! ! ! $ 所 以 圆 2 的 圆 心 坐 标 为 2# ( 半 径 为 *( 由 # +! " 或 %! 由 $ .: .! $(+ $.# .# (#( !$ :(+'" 得 # :(!$ '3( * ! 故可得圆心 2 到 直 线 $(:.*'" 的 距 离 为 槡 ( 由 % 2,# 2 可知 6% # 2 是直角边长为 * 的等腰直角三角形 ( ! * !( # *槡 点到直线的距离公式可得#(#(!. 解得 *'" 或 *'%! ' ! ! 槡  + 使得以该点为圆心( # $! ! 直线 :' = $(! 上 至 少 存 在 一 点 ( #为半径的圆与圆 2 有公 * ! ! 共点等价于直线:' $ 以切点 5 为圆心( = $(! 与圆 # $(+ .: '+ 相 切 于 5( #为半 # 径的圆 5 与圆2 相外切 ( 即有公共点 ( 如图 ( 所以= 的最大值 D : =%' D : = 2 %' ( 9# !  +  D : = # 2' D : =! %' ! 95 *    比如直线 :'槡 当 $ 取整数时 ( 直 # %! ! $(  !  正确 ( 错( : 始终是 一 个 无 理 数 +  但直线经过整点# + 当直线经过两 线 :'槡 ! $(槡 !中 = 与) 都是无理数 ( #( "$  正 确( 个整点时 ( 它经过无数多个整点 + $ 比如直线 :'槡 =# $(# .:(!'"( $'# 时 :'!+ ! $(槡 !只经  正确 (  正确 ( 过一个整点 # $ 故答案为  ! #( " ! ! ! ! ! 解, $ # $ # ,! 2 $ .# '$( 2 $.# .: '# #, !, :(# 两圆圆心为 2 $ ( $ ( 半径B ( "( # 2 (#( " $( B 2 2 !  $ 分 # #'槡 ## !# # '槡 ! '# # ! 即# 0槡 $(#&槡 B B 2 2 B B 1 两圆相交>  2 分 !&槡 $.#( #&# #&# #( #( ! # ! #. ! 由两圆方程消去二次项得 $.:.!'"( 即 公共弦所在直线方程为 $.:.!'" >  # "分 ! ! 解, # $ 方程 2 可化为 # $ $ # 2! # $.# .# ' =.# "( :(* 由 =.# 即 =* (# "*" 时 ( " 时方程 2 表示圆 ! % 分 " #(+.3(# # ( # $ 圆 2 的圆心 # $ 到直线, , ! (#( * + $.* '! :(+'" 的距离为 6' ! ! + .* 槡 ! ! 由# (. '! 槡 !分 B (6 =.# "(+'!槡 $得 ='(#!  # #'! 槡 解 , # $ 过点 # ( $ 且与直线 $.:(#'" 垂直的直线为 $(:(*'"( # 3! # 3 ! (# $.:'"( $'#( 即圆心 # ( $ 由 ! 半径B' 2 2 # (! ( !( 3 '槡 5 $(:(*'"( :'(!! ! ! 所求圆的方程为 # $. # $'!!  % 分 $(# :.!

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! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第+ "页 # %页$ ! ! 文科 !

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# $ 连心线斜率 ='+(!'!( 设所求圆心为 # $ ( ! *( ) !(# ! $5 # *'+( *(# 槡 #.! '*槡 *(#$ '*1 '*槡 $5 )(!'%1 )'2! #. ! 槡 1# "! # !分 $(+$. # :(2$'!

)(!

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+ 设圆 的方 程 是 # ! ! ! + 令 ! ! ! 解, # $ $ 得: ( ! "! # 0 圆 2 过原点 D ( 1D 2 ' 7 . !( 2 $( 7 .# 7 . ! ! $'"( # '" ! :( $ ' : 7 7 7 + 令 得$ ( ( ' + $ 7 # '" ! '! :'"( 7 # # + 146D%# ' # D % D # ! 7 #4# #' 4# #4# #'+( ! ! 7 即 6D 的面积为定值  % # ! %分 # $ ! 0D( 'D. ( 2( '2. ( 1D 2 垂直平分线段 (. ! # ( 直线 # ! # ( ( 解得 , 0 = 1 = 1 D 2 的方程是:' $( 1 ' 7 7 '! 或7 '(!! (. '(! D 2' ! ! 7 ! 当7 圆心 2 的坐标为 # $ ( '! 时 ( !( # D 2'槡 $( 3 此时 2 到直线:'(! 的距离 圆 2 与直线:'(! $.+ 6' &槡 $.+ 相交于两点 ! 3 分 $( $ 槡 当7 圆心 2 的坐标为 # $ ( '(! 时 ( (!( (# D 2'槡 $( 3 此时 2 到直线:'(! $.+ 的距离 6' *槡 $( $ 槡 圆 2 与直线:'(! $.+ 不相交 ( 1 7 '(! 不符合题意舍去 ! ! ! $ $ 1 圆 2 的方程为 # $(! .# '$! # !分 :(# 解, # $ 设圆 ( 的半径为B( 易知圆心 ( # 到点 %# $ 的距离为槡 ! #! # #( 1$ !( " B( ! ! ! # $ ( #(! .1! '! B 1 # ! ! ! $.1 ' # $ ( #.! !. B ! ! 解得B'! 且 1'8槡 $  $ 分 ,( 1 圆 ( 的方程为 # $(# .# ,$ '+! :8槡 # $ 当 *'(# 时 ( 设, 被圆 所截得弦的中点分别为 ( ( 弦长分别为 6 ! , 2 / 0 6 # ! #( !! ! ! ! 0 四边形 % / 2 0 是矩形 ( 12 / .2 0 '% 2 '#( 6 6 # ! ! ! ! ! 即. / / 化简得 6 +( # $ .. +( # $ '#( 6 2( #. ! '! ! ! ! ! 从而 6 等号成立 06 6 # +( 6 # +( !" 槡 6 6 #. ! $槡 #' !' 槡 #. ! '! 槡 # 16 6 # +时 ( 6 6 # +( #' !' 槡 #. !$ 9 : ; '! 槡 即, , # +( #! 被圆 2 所截得弦长之和的最大值为 ! 槡 此时 6 显然直线, 设直线, $ ( 则 # +( ' =# $.# #' 槡 # 的斜率存在 ( # 的方程为 :

&

= # #
! = .# 槡

'

1 直线, !分 # 的方程为 $( :.#'" 或 $.:.#'"!  # ! ! 解, # $ 由题意 ( 设 ># ( 代入 # $ 得: ! !! # ($( $.+ .: '# %( # $( >$ > '8 槡 : 所以 0 $ > 的斜率为='8 槡 # $( 0 > 的方程为:'8 槡 # $# $.% ! # $ 槡 所以 2# $ 到0 ( (+( " > 的距离为6' ! # $$ 槡 ! 直线 0 > 被圆 2 截得的弦长为 ! # %( # ',! $ 分 ! ! ! # $ $ .: > 0 # " .% " # #得 槡 # $ 设 3# ( $ ( ( 则由# ! 9 7 ># $ ' ' ( "( "$ : ! ! ! ! > 3 # # # $. # $ $ 9 7 "( "( : 槡 ! ! ! ! 整理得 * # $ # $ ( $ 2.! 9$ 7 + +( 9( 7 '" !!!!  " .! " .# ". " . + : : ! ! ! ! 又 ># 在圆 2, # $ 所以 $ ( $ $.+ .: '# %上( $ !  "( "$ ". " .2 " '" : : ! ! 代入 ( 得 # $ ( ! 9 .! +$ 7 + +( 9( 7 '"   " .! " .# : ! 9 .! +'"( 3 又由 ># 为圆 2 上任意一点可知2 ! 7 '"( $ "( "$ : ! ! # + +( 9 ( 7 '"( 4 解得9 ( ( '(# !7 '" 所以在平面上存在一定点 3( 其坐标为 # $ (# !( " !  # !分

+( # ! 槡

# +$ 槡 ! ( 1 ='8#(



! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第+ #页 # %页$ ! ! 文科 !

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 十七 
# !( ! $ 1 $ '+ 1 准线方程为 :'(#! :! + ! ! ! $ : $ : ! ! ! ! $ ( 椭圆 + 则椭圆+ !! )! 椭圆 . '# 的焦点是 # 8+( " $ .: '# ! 可化为 . '#( $ .: '# !的焦点是# "( ! " + * # ! $ ( 点# $ 与点 # $ 的距离等于 $! 8* 8+( " "( 8* ! ! $ : 因为双曲线 # $ 的渐近线方程是 ! *! /! )*" $8:'"( *"( ! ( ! '# * * ) ! ! ! ! ! ! ! 所以 ) '!( 所以) ( 所以+ ( 所以+ ( '+ * ( * '+ * '$ * * 所以该双曲线的离心率H' + '槡 $! * 1. -$ ! 则 1. # 当且仅当 1'-'! 时 ( 等号 +! &! 设# 3 0 3 0 -( -'! *'+( 3 0 3 0 -$ # '+ #'1( # #' # #"# # '1 # ! # ! ! 成立 $ 故选 ! #! 双曲线的右焦点坐标分别为 # $ ( # $ ( 则过这两点的直线方程为 :("'"(## $! -! 易知抛物线的焦点坐标 ( "( # $( " $ $(" $ ( 即 ($ $.$ :($'"! ! ! ( %! -! 在双曲线中 1! . ' + ! ! ! 又! 解得 1' + ( - '! 1 . +( ! ! 又+ 故椭圆的离心率H' + ' # ! ' * 1( * ! ! ! $ !槡 * " : ! 得! 由 弦 长 公 式 易 得# ' ,! /! 将 :'$(+ 代入 双 曲 线 ( '# 中 ( $ (! + $.$ ,'"( % # #.#4 #' 槡 3 * ! !槡 # $! ! ! ! ! ! ! ! ! 可得 * 而* 可知两椭圆无公共点 ( 即  正确 + 2! )! 由已知条件可得 * ) * ) * ) ) * #( #' !( !( #( !' #( !( #* !( ! ! ! ! 又* 即  正确 + * ) ) #( !' #( !( * ) # # ! ! ! ! ! ! ! ! 由* 可得 * 则* 不正确 ( 即  不正确 + ) * ) ) ) * ) * ) # !( ! # 的大小关系不确定 ( * #( #' !( !( #. !' #. !( * ) ! ! 因为 * 所以 * 而又由 # # # ( 可 得* ) "( * ) "( * ) ) "! * * * * '# ) ) ) ) * #* #* !* !* #. !* #. !* #. !$ #( !$ #. !$ #( !$ #( ! #! /! 0 :'
!

即  正确 ! ) ) & #( !( 综上可得 ( 正确的结论序号为  ( 故应选 2! 3! &! 由题意知+'
! ) &( 点 % 的坐标为 # ( 代入双曲线得 ( +( 8槡 ! '&( +$ & ! *

! ) ! ! ! 所以 ! 所以) 解得H'槡 +' ( ' + ( * '! * +( !.#! *

由题意可得 ( 由抛物线定义得 ( # "! -! 如图 ( D 0 % 0 %( # #'#( # #'# #( 因为 6%(0 与 6% D 0 的面积之比为 *I#( # % 0 %( < = 0 4# #4# #4B 9(% 4 ! (0 6% 所以 ' '*( 46%D0 # # 4# D 0 % 0 < = 0$ #4# #4B ( 9(% ! 所以# % 0 %( #'# #'*(
" " : 设 %# ( ( 所以: .#'*( "$ : + + " 解得 : 所以: '!( !( " '8! 槡 + ! ! !

 

 







所以点 % 的坐标是 # ( 故选 ?! !( 8!槡 !$

) $ ) ( ! ! ! ! ! 由题意知 *. ) '*# 化 简 得 )'! 即) ( 又+ # #! )! 抛物线 : ' ) $ 的焦点坐标为 # ( "( *( $ *( '+ * '* . + + +
! ! ! ( 那么+ ( 于是H' ) '$ *

+ ' $! * 槡

抛物线焦点坐标为 # $ 作% 垂足为 % # !! -! 由题意知 ( +( " ! % G垂直抛物线的准线 ( G( ! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第+ !页 # %页$ ! ! 文科 ! %

根据抛物线定义# 所以在 6% 故 9M% ( 此 时 不 妨 认 为 直 线 %M % % G % 0 % G M 中( %M ! % % G % G'+ $ E #'# #( # #'槡 # #(
! ! 的倾斜角为 + ( 则直线 %M 的方程为:'$.+( 代入抛物线方程 : ( 即: $ E '# % $ 中得:! '# %# (# % + :(+$ :.%

解得 :'2( $ '"( % 的坐标为 # +( 2 ! # 故 6% !! 0M 的面积为 4242'* !

* ! 得 1'+! # *! +! 由题可知2 ! ) '*(
! 4 * '1(

*( 3) '槡

# ! 所以 =.!' # +! ! 由椭圆定义有 + *'25 *'!( * '+5 ='!( !
! ! ! ! 从而) 所以H' + ' # ! ' =.#'*( + ' * ( ) '#( * ! ! ! $ : ! $ ( 所以双曲线$ 的一个焦点为 # $ ( 即+'$! 双曲 线 的 渐 近 线 # $! ! 抛物线 : '! " $ 的焦点为 0# $( " $( " ! ( ! '# * * )

方程为 :'8 )$( * #8 该焦点到渐近线的距离为



) 4 + # * 解得)'+( 所以 *'*( 双曲线的离心率为 $ ! '+( * ) ! #. # 8 $ *

准线方程为 $'(!( 所以 3# $ ( # %! (#$ =$#! 由题意知 ( (!( "
! ! 设, 的方程为:' $ ( 代入 : =# $.! '2 $ 中得= % ='"! : (2 :.#

当 ='" 时 ( 直线, 与抛物线有公共点 + :'"(
! 当 =/" 时 ( 解得 (#$ 且 =/"! +(% + = =$#( '% )"(

综上得 ( (#$ =$#!

) 解, 由双曲线的一条渐近线方程为 :'槡 即)'槡 # ,! * $ 可得 '槡 *( * *( *
! 又双曲线的一个焦点在抛物线 : 所以+'%( '! + $ 的准线$'(% 上 ( ! ! ! ! ! 再由 * ( 解得 * . ) ' + '3( ) '! ,( ! ! 所以双曲线的方程为$ (: '#!  # "分 3 ! ,

$.#( $.# # # # :$ 解, # 设 3# ( 由 题 意 知( ( 所以以 3 ( # 2! #$ $( 0# #( "$ 0 为 直 径 的 圆 的 圆 心/# 3 0 ' # #' :$ ! ! ! !
# # ! ! ! ( 整理得 : '+ $ 为所求 !  + 分 .: 槡$(#$ ! # $ 不存在满足题意的 6% 理由如下 , ! 3( (
# : 若这样的三角形存在 ( 由题意可设 3# ( # $ ( ( " (# $ #$ #/ !( !$ : : : + ! ! ! ! : ;: ;: ;: 由条件  可知$ 由条件  得D %.D 3.D( '( . '#( + * # : 3 ! .$ ! (!'" ! 又点 %# $ ( 所以2+ ( 即: ( (!( " .$ ! (!'" + 4 #. ! '" : : ! 故 * ( *$ ( $ !. ! (!'" + # % ! !

! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第+ *页 # %页$ ! ! 文科 !

%

# "# 解得 $ 舍$ ( ! '! 或 $ !' * 当$ 解得 3# $ 不符合题意 ( "( " ! '! 时 ( 所以同时满足两个条件的三角形不存在 !  # !分 解, # $ 设 %# ( ( ( # 3! # $ ## $ ?# ($ , 的方程为:' = $(#( #( #$ !( !$ #( #$ : : : 由

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= $(# :' 得$! (+ = $.+'"( ! $ '+ :

从而 $ ( $ =( $ $ #. ! '+ # ! '+
!( # : : 直线 # # ( ? 的方程为:(: $.$ #' #$ $ $ !. # ! $ $ # !( # 即 :($ # ( ' $.$ #$ + +

$ # ! 令 $'"( 得 :'$ 所以点 0 在直线 # '#( ? 上 !  + 分 +

;: ;: ! # $ 因为0 $ "# $ $ "# $ ( ! %"0 #' # $ $ '$ $ '2(+ = #( # (# !( ! (# # !.# # (# ! (# : : : :
2 解得 + ! 故 2(+ = ' ( ='8 ( 3 * 所以, 的方程为 + $(* + $.* :(*'"( :.*'"! +槡 ,( ! 又由 # $ 得$ # $ # % = (# %'8 !( # '8 槡 *

$! ($ , # 槡 故直线 # '8 ( ? 的斜率为 + *
因而直线 # ? 的方程为槡 $(* $.* , , :.*'"( :(*'"! 槡 设 9? $ ( #M 的平分线与: 轴的交点为 ( # "( 7 * 7 .# * 7 (# # #( # #( 则 (# $ 到, 及 # "( 7 ? 的距离分别为 $ +

7 .# 7 (# # # # * # #( 由* 得7 # 舍去 $ ( ' ' 或7 '3 $ + 3
#  所以 9? #M 的平分线与: 轴的交点为 ( # "( $ ! # !分 3 解, # $ 由# 得# ! "! # % 0 0 # % # % 0 0 # #'* # #( # #'+( #'*( # #'#! # # # # 因为 6% 的周长为 # 所以由椭圆定义可得 + # 0 %( *'# %( % 0 % 0 *'2! # #.# #'! ! # ! 故# % 0 *(# % 0 #'! #'2(*'$! + 分 ! # # $ 设# 则 =*" 且# ! 0 # =( % 0 =( % # =! #' #'* # #'+ # # 由椭圆定义可得

% 0 *(* =( # 0 *( =! # #'! # #'! ! !
在 6% 中( 由余弦定理可得 # 0 !
! ! ! % # % 0 # 0 % 0 # 0 C ? B 0 #( # # '# # .# # (! # #"# # 9% ! ! ! ! !

% ! ! ! 即# "# ( + =$' # ! *(* =$. # ! *( =$( # ! *(* =$ ! *( =$ $ 化简可得 # # *. =$ *(* =$ '"! 而 *. 故 *'* =*"( =! 于是有# % 0 ='# % 0 # 0 =! #'* #( # #'$ ! # !
! ! ! 因此# 可得 0 # 0 0 % % # %,0 %( # '# # .# #( ! ! # !

故 6% 为等腰直角三角形 ! 0 0 # ! ! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第+ +页 # %页$ ! ! 文科 ! %

! ( + ! 从而+'槡 * 所以椭圆 / 的离心率H' '槡 !  # !分 ! * ! 解, # $ 由 ! #! #

&

$.1 :'! ! 消去:( 得$ (2 $(+ 1'"( ! $ '+ :

! 因为直线, 与抛物线 2! 只有一个公共点 ( 所以 '2 解得 1'(+! .+4+ 1'"(

所以直线, 的方程为:'! $(+! + 分 # $ 因为抛物线 2 $ ( ! "( # ! 的焦点为 0 ## 依题意知椭圆 2 $ ( $ "( # 0 "( (# ! # 的两个焦点的坐标为 0 ## !#
! ! $ : 设椭圆 2 # $ ( '# **# # 的方程为 ! . ! * * (#

$(+( :'! 3 ! ! ! ! ! 由2 ! 消去 :( 得# $ # $ $ # $ # ! $ * (+ $ (# % * (# $. # * (# # %( * '"! <$ $ : '# !. ! * * (# 4
! ! ! ! ! ! + ! ! ! ! 由 '# # $ # $ # $ # $ 得* # $ ( 解得 * % * (# (+ $ * (+ * (# # %( * (+ * * )"( H" *" 且 * (#*" )+!

所以 *)!( 所以H' # $ # ( * !
! ! #( : $ 当 *'! 时 ( 此时椭圆 2 H . '#! 9 : ;' # 的方程为 ! + *

把 *'! 代入方程 # ( 解得 $' * ! <$ ! 又 :'! 所以 :'(#( $(+( * ( $  所以点 3 的坐标为 # (# ! # !分 !
! ! 解, # $ 设直线, 的方程为:' 代入椭圆方程得$ . # ! !! # = $.槡 !( = $.槡 !$'#( !

# ! ! 整理得 # $ . = $ .!槡 ! = $.#'"!  ! ! # ! ! ! 直线, 与椭圆有两个不同的交点 3 和 @ 等价于 '2 # $ . = (+ = '+ = (!*"( ! !或 ! 解得 =& (槡 =*槡 ! ! ! ! ! 槡 槡 即 = 的取值范围为 #  % 分 (5 ( ( $ .5 $ ! 1# ( ! !

;: ;: # $ 设 3# ( ( 则D ( ! $ @# $ 3.D @' # $ $ #( #$ !( !$ #. !( #. !$ : : : :
+槡 ! =( !槡 ! ( 由方程  得 $ 又: $ =# $ $ .!槡 !' #. ! '( #. !' #. !$ : ! ! #.! = = #.!

;: 而 %# $ ( $ ( $ ( " ## "( # % #' # (槡 !( # !( 槡 ;: ;: ;: 所以D ( 3.D @与% # 共线等价于$# .$ !# ! '(槡 #. !$ : :
!( !或 ! 解得 ='槡 与 =& (槡 故没有符合题意的常数 =! # =*槡 矛盾 ( !分 ! ! !

! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第+ $页 # %页$ ! ! 文科 !

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 十八 
1(# ( $ $ 槡 ! ! ! # $ # #! -! '! 1' ( % # '槡 $ ' ! !(1$ .# 1(# !(1$ # #' 槡 !(1 * * 作图易得 ! !! /! 本小题考查圆中的弦问题 ! ! ! *! -!: '! $( % $ > & &'2( : '# ! ! # $ $ ( 根据题意可知( 双曲线的一条渐近线通过圆心( 即# 在 +! )! 圆 2, $.! .# (!( # (!( #$ :(#$ '+ 的 圆 心 为 #
! * $ 则 $ 槡 ! 直线 :'( )$ 上 ( 即 *'! 此时+' * ' *( )( H'槡 ! . * + ! ! + 3 $ ( ! $(# :' # 得: (* * $! &! 由2 :(+'"( :'+ 或 (#! ! $ : '+ 4 $ # (# +( # 从而 %# $ ( $ 又准线, , +( + ## ( (# ! $'(#( 1 '+! &' + # # $ ( (# + ! ! ! ! $ $ 则圆心 2 坐标为 # ( %! )! 圆 $ .: .+ $(+ $.! .# '+( (!( !$ 0 直 线, 过 D 2 的中点# (#( :.+'" 即 # :(! $ 且垂直于 D ( 故直线, 的斜率为 #( 直线, 的方程为:(#'$.#( 即 $(:.!'"! 故选 )! # 2( = D 2 '(# ! ! ! ! $ # 设所求椭圆方程为$ : : #* $ ( 则+ ' #( ,! )! 椭圆 . '# 的离心率为 ( )*" ! . ! '# * + * ! * ! * ) + 3 ! ! ! ! ! 且 ! . ! '#( 又+ ' 解得 * '# 故! *( )( %( ) '# !( *'2! * )



*( 槡 ( 直线 D 则直线 D 2! )! 0 = *( = 1 = = 1D 2,% #( % 与直线 D # 关于直线 D 2 对称 ( %与 D 2 '槡 % # '( D 2" % # '(# * 直线 D 即% # 的倾斜角之和为直线 D 2 倾斜角的两倍 ( " E 4!'# ! " E ! ( $ ' * 3 ( $ ' * $ 3! /! 由2 1 %# *( ( ) ! ) 得 )( :'( $( :'( * 4 由题意知右焦点到原点的距离为+'+(

&

即# $. # $. # $ '+( 1 槡 *(+ ) '# %! *(+ ( ) ! ! 而* . ) '# %( 1 *'!( )'!槡 *!

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!

!

!

$ : 1 双曲线 2 的方程为 ( '#! + # ! $ # "! /! 本小题考查圆的综合 ! 0. 是 (3 的中点 ( 3# "( # 设 .# ( 则 (# $ ( 又 ($ ! $ ! . 在圆上 ( "( "$ "( " (# : : #( 3 $ "' ! ! # $ $ $ .# '#( $ $ " (# " .# : " '# 或 1 1 2 ! ! # $ ( ! ! $ .# ! " '" : " (# " $ '# : ! " '( : $ 4

!

!

&

&

1# (. .3 !! #'# #'槡 由条件可得 3 到两旗杆的距离之比为 # #! &! 本小题考查轨迹 ! 推出 3 的轨迹是圆 !
! ) " " :(: :.: 设 (# ( ( 由题意知 ( ( ( # !! )! 首先证明 , = = $ .# ($ (: 3# $( ! = = # #' ! ! # ! "( "$ "( "$ 3 ( ' 3 .' : :$ $($ $.$ * " " ! ! ! ! ! ! $ $ : " " " " " :(: :.: : (: : 又 点 3两 式 相 减 得# 1 = = 4 ' ! ( 在椭圆上( 1 ! . ! '#( ! . ! '#( = = #' 3 ( " 3 .' # ! !! $($ $.$ $ ($ * ) * ) " " " ! ) ! ) ) # * 所以# = = H'槡 ! #.# #) '#( ' ( # ! !! * * ! ! * # $ ( 即! # *! (*! 本小题考查截距问题 ! ='!( $(! $(:(*'"! :(#'!

!( 以地面为平面 ( 建立适当的平面直角坐标系( 可 *

!( 3槡 !$ 本小题考查直线与圆 直线与圆相离 ( 槡 # 所以 依 题 意 6 大 于 圆 心 到 直 线 的 距 离 与 半 径 之 差 而 小 于 圆 # +! ! ! ! ! ! 3槡 ! 心到直线的距离与半径之和 ( 可解得槡 ! &6& ! ! # $! + # * 则 #( # ( # ;0 :" 槡 则 # 4!槡 则3# $ ( ( # %! ! 由题知 0 *( * : ' ( 0 *( " 0 "$ 3 0 *( $ *( 3' # (槡 !# # : # ! '! 3 槡 槡 槡 + ! ! ! ! # "# ( # $ # ;0 :' # 3 (!槡 *( ( $ "( ' ! ! ! ! + ! ! ! 解, # $ 由+ 得)'槡 # ,! # *'#( +'!( ' * . ) * ! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第+ %页 # %页$ ! ! 文科 ! %

: ! 1 双曲线方程为 $ ( '#  $ 分 * # $ 双曲线的虚轴长 ! 顶点为 # $ ( 渐近线方程为 :'8槡 ! )'!槡 *( 8#( " * $!  # "分 ! ! 解, # $ 因为坐标原点在圆的内部 ( 所以原点到圆心 的 距 离 小 于 半 径 ( 所以由# 得 # 2! # "(1$ .# ".槡 * 1$ + (# & & 故实数 1 的取值范围为 # $  $ 分 1&#( (#( # !
(* 1 * ( 槡 # $ 根据条件可知直线, 过圆 2 的圆心 # ( 故= 而 (#&1 ! 1( (槡 * 1$ 1.槡 *1(='"( =' 槡 ' (槡 *( 1 (# 1(# * 槡 所以 =+ # ( ( .5 $ !  # !分 &#( ! 解, # $ 设椭圆右焦点 0 $ # 3! # +( " ! ! 的坐标为 # * 槡 ! ! ! 由# 可得 * % # 0 0 . ) '* + ! #' # #( # ! ! ! # ! ! ! 又) ( 则+ ' * ( + ! !' ! * ! 所以椭圆的离心率H'槡 !  + 分 ! ! ! ! ! # $ 由# $ 知 * '! ( ! # +( )' + ! ! $ : 故椭圆方程为 ! . ! '#! ! + + 设 3# ( 由0 $ ( $ ( $ ( +( " ## "( + "( "$ ## : ; : ; : 有0 ( $ 3' # $ +( 0 #' # +( + ! # ". "$ # :

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;: ;: 由已知 ( 有0 即# $ 3"0 #'"( $ + +.: +'"! # # ". " 又+/"( 故有 $ +'"!  ". ". : ! ! $ : " 因为点 3 在椭圆上 ( 故 " !  ! . ! '# ! + + ! 由  和  可得 * $ + $ ! " '" " .+ + ( 而点 3 不是椭圆的顶点 ( 故$ + " '( * +( +( + 代入  得 : 即点 3 的坐标为 (+ ! "' * * * 设圆的圆心为 5# ( $ #( #$ : + + ( +." . + ! * ! * 则$ '( +( ' +( #' #' : * * ! !

#

$

$ 槡 ! ! 进而圆的半径B' 槡 # $ $ ' +! $ .# + # (" #( : *
! ! ! ! ! ! ! 由已知 ( 有# ( 又# 故有 +. !+ . "( !+ '2. $+ ( 解得+ 5 0 (0 B (0 !( '*! # '# #. #'!槡 ! ! ! * * 3 ! ! 所以所求椭圆的方程为$ .: '#!  # !分 % * ! 解, # $ 根据抛物线的定义 ( 可得动圆圆心 3 的轨迹 2 的方程为$ ':!  + 分 ! "! # ! ! ! # $ 设 %# ( ( ( ! $ $ ## $ $ 0:'$ 1: G'! $( 1%. ( #. 的斜率分别 #( #$ !( !$ ! 为! 故 %. 的方程为:($ ( $ ! $ $ $($ #( !( # '! ## #$ ! #. 的方程为:($ $ $($ ! '! !# ! $(  , 分 ! ( '! $ $($ $ $ # # : #. ! #. ! 即 两式相减 ( 得 $. '$ ( 又 $( '$ ( ! ! ! $ $($ ! !( :'! 于是 (. ,$ 轴 !  # 1( ( . 的横坐标相等 ( !分 !  $ ! 解 , # $ 易求椭圆的方程为 分 .: '#  ! ! #! #  +  依题设得直线 % 的方程分别为 ( # $ #/ 0 $.! = $ =*" ! :'! :'  如图 ( 设 ?# ( ( ( 其中 $ $ = $ /# $ = $ 0# $ = $ $ "( "$ #( #$ !( !$ #& !(    ! ! 且$ $ #.+ =$ $ '+( #( ! 满足方程 #  ! 故$ $ !  ! '( #' ! = #.+ 槡 ## $ # " ;: ;: 由/ # ( 得$ + ?'%? 0知$" ($ $ $ % $ $ ' $ # '% !( "$ "' !. #$ !' ! , , ,槡 #.+ =

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$ #

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! 由 ? 在% ( 得$ # 上知$" .! = $ ! " '! "' = #.!

! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第+ ,页 # %页$ ! ! 文科 !

%

# " ! 所以 ! ' ( 化简得 ! + = (! $ =.%'"( ! = ,槡 #.! = #.+ 解得 =' ! 或 =' * ! * 2 所以直线, 的方程为 , ! $(* $(2 :'" 或 * :'"! % 分 $ = $ # # # .! # (! # $ 解 法 一, 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和  式 知( 点 /! 0 到% # 的 距 离 分 别 为< ' # ' $ 槡 ! # $ #.! =. 槡 #.+ = ! ( ! # $ $ #.+ = 槡 ! # $ $ = $ #.! =( 槡 #.+ = # # ! ! .! ! (! < ' !' ! # $ $ #.+ =$ 槡 槡
! 又# 所以四边形 % % # ! / # 0 的面积为 .#'槡 $( #' 槡 # # 4' # % # < < # #. !$ ! # # + #.! =$ ' "槡 $" ! ! # $ $ #.+ = 槡 # $ = ! #.! ' ! #.+ = 槡 ! #.+ = .+ = !( $!槡 ! #.+ = 当! 即当 =' # 时 ( 上式取等号 ( 所以 4 的最大值为 !槡 ='#( !!  # !分 ! 解法二 , 由题设 ( # D % D # #'#( # #'!! 设: 由得$ = $ = $ "( "( #' #( !' !( !* ! '( #* : : : 故四边形 % / # 0 的面积为 4'46#/0 .46%/0 '$ ! .! ! : ! # '槡 $ ! .! !$ : ! ! ! ! # '槡 $ $ ! $ ! .+ ! .+ ! .+ !$ ! !$ 槡 : : :

'!



'!槡 !( 当$ 上式取等号 ( 所以 4 的最大值为 !槡 !!  # !分 ! '! ! 时( : * & ! 解, # $ 又H' ( ! !! # 0: '(! 1&'%( '*( 1 +'*( 1 *'$( 1 )'+ $( & $ ! ! ! $ : 1 椭圆 2 的方程为 , . '#  + 分 ! $ # % # $ 设 @# ( ! $( ($$$$$ :$ # %! 3 ! ! ! ! ! $ (@ $(! .: '$ (+ $.+.# %( $ ' $ (+ $.! " 1# # '# ! $ ! $ $ " ! 0 对称轴 $' *$1 当 $'$ 时 ( (@ (@ # # 达到最小值 ( # # 9 < = '* 3 $  2 分 1 当# (@ @ 的坐标为 # $( " #最小时 ( # $ 设 %# ( ( $ # $ ( 直线, , * $ ## $ 3# 1( " ($$1$$ =# $(1$ #( #$ !( !$ : : :' # $ ' = $ ( 1 : ! ! ! 3! $ " 1 = ( ! $ 1 = (+ " "( ! 由2 得$ $ $ $ $ : #. !' # !' ! ! ! $ = .# % = .# % ! $ . '# ! $ # % 4 * ! 1 = 1: =# $ . =# $ ' =# $ $ (! = 1'( #. !' # (1$ ! (1$ #. !$ : ! ! $ = .# % ! ! # $ # % 1 (+ " " = ! ! ! ! ! # =# $ $ ' =$ $ = 1# $ $ . =1 ' # !' # (1$ ! (1$ # !( #. !$ : : ! ! $ = .# % ! ! ! ! ! ! 3 % 3 # $ $ 1# # .# # '# # (1$ . #.# ! (1$ . ! : : ! ! '# $ $ $ $ 1# $ $ .# 1! #. ! $ (! # ! (! #. !$ #. ! $ (! # ! .! : : : : ! ! ! $ # $ # # !(2 " " = 1 .2 " "# %.! $ = ! $ " $ '# = .# ! ! # $ ! $ = .# % ! ! 0# 3 % 3 # # .# # 的值仅与 = 有关而与 1 无关 ! 1$ # !(2 " " = '" + 1 ='8 ! # !分 $

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 十九 
证明 , # $ 因为 3?'3 所以 93? #! # >( >' 93 > ?! 由于 3? 为切线 ( 故 93?%' 9? # %! 又由于 93 故 9? > ?' 9/ > %( # %' 9/ > %( 所以 9? # %. 9# %?' 9/ > %. 9# %?( 从而 9# ?%' 93 0 %! 由于 % 所以 93 ( 于是 9# ( 0,/ 3( 0 %'3 " E ?%'3 " E 故%  $ 分 # 是直径 ! # $ 连接 # ! 2( ? 2! 由于 % # 是直径 ( 故 9# ?%' 9% 2 #'3 " E ! 在F D ?% 与 F D 2 # 中( % #'# %( % 2'# ?( 6# 6% 从而 F D ?%FF D 2 #! 6# 6% 于是 9?% #' 92 # %! 又因为 9? 2 #' 9?% #( 所以 9? 2 #' 92 # %( 故? 2-% #! 由于 % 所以 ? #,/ 3( 2,/ 3( 2 / 为直角 ! 9? 于是 / 由# $ 得/ ? 为直径 ! # ?'% #!  # "分
! ! 解, # $ $ # $ !! # 2 的普通方程为 # $(# .: '# "$:$# !

可得 2 的参数方程为

&

( $'#.C ? B 7 # $  $ 分 7为参数 ( "$ 7 ! $ < = 7 :'B

# $ 设 ?# ( $ ( 由# $ 知 2 是以 ># $ 为圆心 ( 因为 2 在点 ? 处的切线与, 垂直 ( ! #.C ? B 7 B < = 7 # #( " # 为半径的上半圆 !  所以直线 > ? 与, 的斜率相同 ( D : = 7 '槡 *( 7 ' ! *   ( * !  # 槡 故 ? 的直角坐标为 #.C 即 *( "分 ? B ( B < = * * ! ! 解, # $ 原不等式可化为 ($(#(! 解得 $& ( *! # $.#*+( $$ (# 时 ( 此时解为 $& ( + + *  (#&$& 此时无解 + $) # 时( 原不等式可化为 $.#.! 解得 $* + ( $(#*+( ! * # 时( 原不等式可化为 $.#(! 解得 $& (!( $.#*+( ! +( *

#

$ #

$

此时解为 $* + + * + + 综上 ( 原不等式的解集是 $ ! $ 分 $& ( 或 $* # * *
$ $ # $ ! *( 6 ? $.2(! 6 ? $.!  当 "&$&* 时 ( )35 $!5"&$$#+ 7 7 ! ! $ $ *( 6 ? $.! (2)35! ( 6 ? $)# +5$)+( 1+$$&2+  当 *$$&2 时 ( 7 7 ! !

&

'

! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第+ 3页 # %页$ ! ! 文科 !

%

$ $ 6 ? $(*.! (2)35 6 ? $.! "!  当 $)2 时 ( )! 7 7 ! ! $ 因为 8# 在. 上是增函数 ( $$ ' 6 ? $.! 2( .5 $ 7 !
2 所以 8# $$ "+ 2$ '*.! )8# *!

$ 即当 $)2 时 ( 恒有 6 ? $.! "+ )! 7 !

综上 ( 原不等式的解集为 #  # "分 "( #/ +( .5 $ 1. 解, # $ 如图 ( 设 0 为 %? 延长线上一点 ( +! # 0%( #( 2( ? 四点共圆 ( 1 92 ? 0' 9% # 2! 又% #'% 2( 1 9% # 2' 9% 2 #( 且 9%? #' 9% 2 #( 1 9%? #' 92 ? 0( 对顶角 9/ ? 0' 9%? #(故 9/ ? 0' 92 ? 0( 即 %? 的延长线平分 92 ? /!  $ 分 # $ 设 D 为外接圆圆心 ( 连接 % 则 %L ,# ! D 交# 2 于L( 2! 连接 D 由题意 9D (9% ( 2( % 2' 9D 2 %'# $ E 2 #', $ E 1 9D 2L '% " E ! * 设圆半径为B( 则B.槡 得B'!( 外接圆的面积为 + B'!.槡 *( !  # "分  !
       

$'(!. 槡 # " C ? B 3 #( 解, # $ 由2 $! # # " B < = # :' 槡 4
! ! 得# $ $.! .: '# "( ! ! $ 1 曲线 2 $.! .: '# "! # 的普通方程为 #

0 C ? B B < = #.% #( *'!
! 1 C ? B B < = #.% #( * '! * * ! ! ! 0 $' C ? B B < = #( #( :' * '$ .: ( * * ! ! ! ! 即# $ $ 1$ .: '! $.% $(# .# '# "( :( :(* ! ! $ $ 1 曲线 2 $(# .# '# "!  $ 分 ! 的直角坐标方程为 # :(*

# $ $ ( 圆2 $ ( ! 0圆 2 (!( " #( * # 的圆心为 # ! 的圆心为 #
! ! 两圆半径均为 槡 # $ $ 1# 2 2 '*槡 !& 槡 1 两圆相交 ( (!(# .# "(* # ". 槡 # "( # "( #' 槡 # !

设相交弦长为 6( 因为两圆半径相等 ( 所以公共弦垂直平分线段 2 2 # !(

6 ! # *槡 !$ ! ! ( 1# $ . '# # "$ 槡 ! !
 # 16' 槡 ! !( 1 公共弦长为 槡 "分 ! !! $ ( $$ (# 3(+! # 解, # $ 所以不等式 8# 故不等式8# $ ( %! # 08# $$ '2 $$ $$ $ $* ! $(!! # (#&$$* *! 的解为 $*!( *! 的 解 集 是 & # $ 4 +! # $** ! ' ! !  $ 分
! ! # $ 因为不等式 8# 所以 $ 解得 #& ! $$ . * ($ *&" 的解集为 ( *( * *&+!  # "分 *+(

! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第$ "页 # %页$ ! ! 文科 !

%

 二十 
证明 , # $ 由题设知 %( 所以 9?' 92 由已知 2 #! # #( 2( ? 四点共圆 ( # /( #'2 / 得 92 # /' 9/( 故 9?' 9/!  $ 分 # $ 如图 ( 设# 连接 (. ( 则由 (#'(2 知 (. ,# 故 D 在直线 (. 上 ! ! 2 的中点为 . ( 2( 又 %? 不是 GD 的直径 ( 故 D( ,%?( 即 (. ,%?! ( 为 %? 的中点 ( 所以 %?-# 故 9%' 92 2( # /! 又 92 故 9%' 9/( 由# $ 知( # /' 9/( # 9?' 9/( 所以 6%?  # / 为等边三角形 ! "分 解, # $ 曲线 2 的参数方程为 !! #

&

$'! C ? B #( # ! # 为参数 $ B < = # :'*

直线, 的普通方程为 ! $.:(%'"! $ 分 $ # $ 曲线 2 上任意一点 3 # $ 到, 的距离为6'槡 ! ! C ? B * B < = + C ? B B < = #( # # #.* #(% #( $

6 !槡 $ + 则# # 其中! 为锐角 ( 且D ' 3 % $ B < = (% : =!' ! #' # #. !$ #( B < =* " E $ *
!槡 $ 当B # 最大值为! < = '(# 时 ( 3 % ! #. !$ # #取得最大值 ( $ $  当B # 最小值为!槡 < = '# 时 ( 3 % ! # "分 #. !$ # #取得最小值 ( $ # $ 不等式 8# *解, # $$ *, 的解集是以下不等式组解集的并集 ,

&

(!&$&#( $$ (!( 或 或 $(#.$.!*, ($.#.$.!*, ($.#($(!*,(

$)#(

&

&

解得不等式 8# $  $ 分 $$ (5 ( (+ *( .5 $ ! *, 的解集为 # 1# # $ 不等式 8# ! $$ *(# )# #对 $+ 恒成立 ( # $ $ 08# $$ '# $(# $.! $(# (# $.! #.# #)# #'*! / 1# *(# 1 实数 * 的取值范围 . (!( + ! # "分 #$*( 解, # $ 由2 +! # ?! '% 2"# 2(
  

% 2'

# * * ! % #( # 2' % #( 2 ?'槡 *得 ( % # '*( + + # %

1% #'+!  $ 分   # $ 延长 ? ! 2 交 GD 于点 > ( 0? 2,% #( % # 是 GD 的直径 ( 12 >'2 ?'槡 *! 03 / 切 GD 于点 / (
! 13 / '3?"3 >'槡 *"# *槡 *$ '3( 13 /'*! ! $ $.+ : '$# 3 设# 则2 ( 0'$( / 0':( ! ! ! $ $ '# !槡 *$ .# $.* :.* 4#



 



1$'* 1:*!( :(%*"(
! 将 $'* $ ( $.+ :(% 代入 : '$#

* 解得 :'*.槡 !  # "分 ! ! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第$ #页 # %页$ ! ! 文科 ! %

! 3 槡 $'( . B C ? B !( 解, # $ 圆 D 的参数方程为2 $! # ! # $ B*" ! ! 为参数 ( ! 槡 B B < =! :'( . ! 4 ! ! ( $   分 槡 槡 则圆心为 # 所以圆心的极坐标为 # ( ( ( $ #( $ ! $ ! ! + ! ! 到直线的距离 !(# #(槡 #  分 槡 槡 # $ 直线方程为 $.:(#'"( 圆心 D# ! ( ( ( $ 6' ! 2 ! ! ! 槡 !(# ! # 圆 D 上的点到直线的最大距离为#(槡 解得B'!(槡 . B'*( !  # "分 ! ! 槡 解, # $ 原不等式可化为# %! # $(# $ #.# #$*( 当 $*# 时 ( 则 $$!( ! $(#$*( 1#&$$!+  # 分 当 "$$$# 时 ( #$*( 1"$$$#+ * 分 当 $&" 时 ( 则 $) (#( #(! $$*( 1(#$$&"(  $ 分 综上所述 , 原不等式的解集为 . / (#( ! !  % 分 # $ 原不等式可化为# ! $(! * $(# #$*(# #( / ( 0$+ . #( ! 1# $(! * #$+($(  , 分 即 $(+$! *($$+($( 故! / 恒成立 ( $(+$! *$+ 对 $+ . #( ! 当 #$$$! 时 ( ! $(+ 的最大值为 "( / 1 实数 * 的集合为 . "( ! !  # "分

! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第$ !页 # %页$ ! ! 文科 !

%

 二十一 
#! / $ E #. ) < #. ). # )(# < ! ( 由题知 , !! )! ' #. )'"( )(#/"( 1 )'(#! ' E #. < ! # 所以 8# $ $ $ $ $ *! -!8# (槡 !$ '#( (槡 !$ '8# # '8# " '"! 8# 8# 8# +! & $! )! 0 ( 1$.*'(! $( 1$'(#( $ ( $ ( 1 ' # !( (! 1 . ' # #( (# 1# .  !! #'槡 %! &! 在同一坐标系内画出函数 :'* C ? B #  和 可得交点个数为 *! $ :' 6 ? $. 的图象 ( 7 ! ! !

所以底 面 三 角 形 的 高 是槡 设 三 棱 柱 的 高 是 <( 又因为正# 主$ 视 ,! &! 设三棱柱的底面是边长为 ! * 的正三角形 ( *( * 图的面积是 2( 所以 ! 所以 * 所以侧 # 左$ 视图的面积是槡 * <'2( <'+( * <'+槡 *! * 所以# 即 2! &!# % # $ $ #'$( # #'+( #'*( %( # %( # : :

5   所以 5'! '*( '%( $' ! ! * $

!   由 8# # 过点 # $ ( 即! # $$ '! B < = $. !( (! B < = '(!( "$ . $ %$ %$( * * % $ (   ( 解得 %'$ 函数8# # $$ '! B < = $. $ % * % $     解得 由! = ( $ $. $! = % =(+$$$% =(#(  . ( ! * % ! 故函数单调递增区间为 . / # % =(+( % =(# =+$ ! 3! &! 对于 / 项 ( / 错+ & 假' 假 ( &I ' 为假 ( 对于 & 项 ( 根据三角形大角对大边 ( 所以 ** 故 & 正确 + )0%*#0C ? B%&C ? B#(
! 对于 ) 项 ( 存在 $+( 使$ 故 ) 错+ ($.#$"( (&,

$ .  对于 - 项 ( # ( 而槡 ( 故 - 错! B < =$.C ? B$'槡 ! B < = $. $ (槡 !( !( !/ !/ +. + (槡 槡 槡 + !
! ! ! 只要 9% 所以有 ) *! 即) 所 以+ # "! )! 由题设条件可知 6% # 0 0 # 为钝角即可 ( +( * +( (* *! ! 为等腰三角形 ( ! * !

解得H*#.槡 选 )! * +( !( *!

* ) ! $(:.+)" 3 !" ( .+)" 3 + + )( ( 令 $' * ( 问 题 转 化 为 在 内( 求 目 标 函 数 E'! # #! /! 由题可得2 ' $.: 的 $ : 2 $* + + * * ( $ $*" :*" 4 4 +
作出 $( 可得当 $'*( 最大值 ( "时( E 有最大值 # %! : 的可行域 ( :'# # # # # !! -! 由 * * -( *$ .# 得 * * #( *$ .#( * * !( *$ .#( -.# ' - .! !( # '! *( ! '! # 2( # * * *( *$ .#( * * -(#( *$ .#( +( * '! -( -(# '! 累加得 * . $ $ $ # $ * #.!.*. 2 . # -(# (# -(# */ . -(#' * -(# -(! -(# *. -(#( -' # .! #.#
! 0 * * (! *.!( #' ! ! ! ! # $ 1 * (! *.!. ( -(! -(# *. -(#' (! * -. * .#( ! ! 设 8# 该函数开口向上 ( 对称轴方程为 -' -$ ' * - (! * -. * .#( *( -'

$ , 故选 -! *& 时 ( -$ ' * & - 最小 ! 8# ! ! $.#*"( # $ 解得 (#&$&!! # *! (#( ! ! 由题意得 ! +($ *"( 或I 所以在 ) * 中( 最后一次加的I 是 %( 所以I # +! I #'#.!.*.+.$.%( 4'4. I '% *$3 # )%3$ ! 因为输出的值 ! 就必须退出循环 ! 0 -+< ( 1当

&

, < =#    # 所 以 %.  '  ( 所 以 %'  ( 又 因 为 ) '槡 所 以B 所以B # $! 或 ! 因为 B < = %. $ '#( !( '槡 !( < =#' # ! # ! * * ! % * B < =% !( ( 或  槡 所以 #'  或* 所以 2', ! ! + + # ! # ! ! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第$ *页 # %页$ ! ! 文科 ! %

则有$ 以% 此时可知 # %! %! 设 % #'$( % 2':( %? 'E( E.: E'# + +( #% 2%? 为 邻 边 可 构 造 一 个 长 方 体 ( :.$
! ! ! ! + A '$ .: . E ! ! ! ! ! ( E$$ 0$ E.: .: . E '+ A :.$ ! ( 即 1+ A )# + + A)%! ! 解, # $ 方程 $ # ,! # ($ $.%'" 的两根为 !( *( 由题意得 * ( * ! ! '! + '*

设数列 & 的公差为 6( 则* 故 6' # ( * * 6( -' +( ! '! ! * 从而 * ! #' ! # 所以 & 的通项公式为 * * -.#! + 分 -' -' !

-.!( # $ 设 * 的前- 项和为4- ! 由# $ 知* 则 ! # - ' -.# ! ! !

&'

-.# -.!( * + 4 -' ! . * . 2 . - . -.# ! ! ! !
# * + -.# -.! 4 - ' * . + . 2 . -.# . -.! ! ! ! ! ! ! 两式相减得

# $ # * # -.! #( ' . # ( ! + + ! $ !
-(# -.!

# # # * -.! . * . 2 . -.# ( -.! 4 -' ! + ! ! !

-.+  所以 4 # "分 - '!( -.# ! ! 解, # $ # 2! # 03?, 平面 % # 2 ?( # 27 平面 % # 2 ?( 13?,# 2! ( 且正方形 中 ( 平面 03?%2 ?'? % # 2 ? # 2,2 ? 1# 2, 3 2 ?!
0# 27 平面 # 2 /( 1 平面 # 2 /, 平面 3 2 ?!  $ 分 # $ 连接 # 连接 D 则 D 是# ! ? 交% 2 于点 D ( /( ? 的中点 ! 平面 ( 平面 ( 平面 03 #% 2 /3 #7 3 # ? 3 # ?% 平面 % 2 /'D /( 13 #-D /( 1/ 是 3? 的中点 ! 在F D ? # 中( # ?'!槡 !( ? /'!( 6/
! 1# /' 槡 '槡 # !'!槡 *!  # !分 # ?! .? /

# 解, # $ 由题知 ( 抽样比是 $ ' # ( 所以 ) 选择低碳生活 * 的人数是 * # 3! # "4 '*( $ " # " # " # 没有选择低碳生活 * 的人数是 ! ) "4 '!!  + 分 # " # $ 用 ( ( 表示 ) 选择低碳生活 * 的居民 ( 用 +( 没有选择低碳生活 * 的居民 ( ! #!* $ 表示 ) 用枚举法列出基本事件总数 , # $ # $ # $ # $ # $ # # # # $ # 共# 记 #( ! #( * #( + #( $ !( * !( +$ !( $$ *( +$ *( $ +( $$ "种( 选择低碳生活 * 和) 没有选择低碳生活 * 的各有#人包含的基本事件有# # # # $ # % 表示 ) #( +$ #( $$ !( +$ !( $ *( $ # $ + *( $ %种( % * 所以 3# %$ ' ' !  2 分 # " $ ! $ * "4! 3(! #4! " # " "4 # # $ 带入卡方公式知 ( * M! ' '*! ! + #&*! 2 + #! $ #4+ 34$ "4$ " 1 不能在犯错误的概率不超过 "! " $ 的前提下认为居民性别对低碳生活方式的选择有关系 !  # !分
! # $ #($ % 解, # $ ( 所以 8# 在区间 . / 上递增 ( 在. / 递减 ! ! "! # $$ '# ! $$ "( # #( ! G# 8 ! $ ! $ .!

* #$ * ( * 且 8# $ $ 所以 * $ " '"( # ' ( =& !  + 分 8# 8! ' + $ $ + * ( # $ 由# $ 可知 8# 要使 8# ! # $ "( / $ (;# $ '" 成立 ( +. #$ #$ "$ + ! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第$ +页 # %页$ ! ! 文科 ! %

* 则 ;# 的值必须包含 . $ "( / ! "$ +
! ! $ # $ (! $.# # $(# # ! 又; 所以函数 ;# 上单调递增( G# $$ ' .$(!' ' $$ ' 6 =$. $ (! $(1 在 . #( */ )"( $ $ $ !

* * $ $ # '( (1( * ' 6 =*( (1( ;# ;# ! ! * * * 得 * 3 由 ;# $ $ # '( (1$"( * ' 6 =*( (1) ( ( $1$ 6 =*( !  # !分 ;# ! ! + ! + 解, # $ 因为椭圆 ( 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 %.+槡 ! #! # !( 所以 ! *.! +'%.+槡 !( !( !( ! ( 又椭圆的离心率为!槡 即 + '!槡 所以+'!槡 * * * * * 所以 *'*( +'!槡 !(
! ! 所以)'#( 椭圆 ( 的方程为$ .: '#!  + 分 3 # $ # 法一 $ 由# $ 得( $ ( ! # 2# *( "

不妨设 # $ # $ ( 2 的方程:' -# $(* -*" # 则% $ ( 2 的方程为:'( # $(* $ ( -# $(* :' 3 # ! ! ! ! ! 由2 得# $ . $ (% $.3 (#'"( $ ! 3 .: '#( 43
! ! ! 2 # (3( ! , (*( ! ,(* 设 %# ( ( 因为 * 所以 $ 同理可得 $ ( $ ## $ $ #( #$ !( !$ !' !' #' : : ! ! ! 3 .# 3 .# 3. ! ! %槡 #. % -槡 #. 所以# ( ( # 2 % 2 #' # #' ! ! 3 - .# 3. -

# # ! -. $ # ( 46%#2 ' # # 2 % 2 # # #' ! # ! % + # -. $ . 3 # ! 7 * 当且仅当 2 设7 则 4' ! ' -. )!( ' 7 ' 时取等号 ( $ ( * % + % + 2 ! 7. 7 . 3 3 7 * 所以 6% # 2 面积的最大值为 !  # !分 2 # 法二 $ 显然直线, 与$ 轴不平行 ( 不妨设直线, 的方程为$' = :.1(

$' = :.1( 3 ! ! ! ! 由2 消去 $ 得 # $ = .3 = 1 : .! :.1 (3'"! $ ! ( 43 .: '#
! = 1( 1! (3( 设 %# ( ( 则有 : $ ## $  #( #$ !( !$ #. ! '( ! # !' ! : : : : : = .3 = .3

;: ;: 因为以 % 所以2 # 为直径的圆过点 2( %"2 #'"( ;: ;: 由2 ( ( ( ( 得# $ # $ ( %' # $ 2 #' # $ $ $ .: # (* #$ ! (* !$ # (* ! (* # ! '" : : : 将$ ( 代入上式 ( = = #' # .1 $ !' ! .1 : :
! ! 得# $ $ # $ = .# =# 1(* .# 1(* '"( # !. #. !$ : : : :

!或 将  代入上式 ( 解得 1'# # 舍$ ( 1'* $ !( # ! $ 所以 1'# 此时直线 % 与椭圆有两个交点 ( # 经过定点 ? # ( "( $ $ # * # 3 ! 所以 46%#2 ' ## ? 2 # # #' 4 槡 #( ! : : #. ! $ (+ # !' : : : : ! ! $ $ # + + ! # $ = .3 ( ! $( ! ! # $ = .3 %



! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第$ $页 # %页$ ! ! 文科 !

# 则 3 # ( 设7 ' ! "& 7 46%#2 ' $ ( 3 $ = .3

( 7. 7( ! $ 槡

# + +!

! $ #( #/ * 所以当7 时( ' 46%#2 取得最大值 !  # !分 +" ! 2 2 3 2 证明 , # $ 连结 D 因为 2 ! !! # 2( %( 2 # 分别与圆 D 切于 % ( # 两点 ( 所以 D 又因为 D   2 平分 9% D #( 0 平分 9# D / 交2 # 的延长线于 0 (
! 所以 90 ( 又D 所以 D D 2'3 " E #,2 0( # '# 2"# 0!  $ 分 # $ 延长 ? 因为 # ! # 交D % 于 >( ?-% 2( 2 %,D %(

 





所以 # 所以 9% ( >,D %( D #. 9> # D'3 " E 又D 所以 9> ( #,# 0( # D. 9? # 0'3 " E 所以 9? # 0' 9% D #!  # "分 解, # $ 由 ! *! #

$'(!. 槡 # " C ? B #( ! ! 得# $ $.! .: '# "( ( # " B < = # :' 槡 ! ! $ 1 曲线 2 $.! .: '# "! # 的普通方程为 # ! ( 0 '! C ? B .% B < = 1 '! C ? B .% B < = # # # * * * * #( ! ! ! ! ( 即 # $ # 1$ .: '! $.% $ (# . (* "( : : $'#

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! ! $ $ 1 曲线 2 $(# .# '# "!  $ 分 ! 的直角坐标方程为 # :(* # $ $ ( 圆2 $ ( ! 0圆 2 (!( " #( * # 的圆心为 # ! 的圆心为 # ! ! # $ $ 1# 2 2 (!(# .# "(* #' 槡 # !

'*槡 !&! 槡 # "( 1 两圆相交 ! 设相交弦长为 6( 0 两圆半径相等 ( 1 公共弦垂直平分线段 2 2 # !(

6 ! # *槡 !$ ! ! ( 1# $ . '# 16' 槡 ! !( 1 公共弦长为 槡 "分 # "$ ! !!  # 槡 ! !
# # * * 3 $& ( 3 $$$ ( 3 $* ( ! ! 或2 ! 解, # $ 原不等式 02 或2! ! +! # 4 4 +(+ $$$ 4 !$$ + $(+$$( # 3 因此不等式的解集为 $+ . ( ( / !  $ 分 + + # # $ 由于 ;# 的定义域为 ( 则 8# ! $$ ' #$ $$ .1'" 在  上无解 ( 8 $ .1 又 8# ( 当且仅当 # $ # $ $$ '# ! $(# . ! $(* ! $(# ( ! $.* '! ! $(# ! $(* # # # )# # $"( 即 # $$$ * 时 ( 的最小值为 !( 所以 !.1*"( 即 1* (!!  # $$ "分 8# ! !

! 共$ ! " # $ 高三单元卷 " 数学参考答案 ! 第$ %页 # %页$ ! ! 文科 !

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