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2.3.1双曲线及其标准方程


2. 3.1 双曲线及其标准方程
课前预习学案
一.
二. 预习目标:了解双曲线的定义及焦点、焦距的意义。 预习内容:平面内与两定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于| F1 F2 |)的点的轨

迹叫做------- 。两定点 F1 , F2 叫做双曲线的_________ ,两焦点间的距离| F1 F2 |叫做

双曲线的 ________ .

三、提出疑惑:同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案
一.学习目标:掌握双曲线的标准方程及其 特点;会求简单的双曲线的标准方程。 学习重难点:双曲线的定义的理解和标准方程的特点 二.学习过程:
问题 1 :把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹 会怎样? 如图 2-23,定点 F1 ,

F2

是两个按钉,MN 是一个细套管,两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管,

点M 移动时, | MF | 是常数,这样就画出一条曲线; 1 | - | MF 2 由 | MF2 | - | MF1 | 是同一常数,可以画出另一支.

新知 1:双曲线的定义:平面内与两定点 轨迹叫做双曲线。

F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于| F1 F2 | )的点的

两定点 F1 , F2 叫做双曲线的_________ , 两焦点间的距离| F1 F2 |叫做双曲线的________ . 反思:设常数为2a ,为什么2a < | F1 F2 | ? 2a = | F1 F2 |时,轨迹是__________ ; 2a > | F1 F2 | 时,轨迹____________ . 试一试:点 A( 1,0) , B (-1 ,0) ,若 |AC| - |BC| = 1 ,则点C 的轨迹是__________ .
2 2 2 2 2 新知 2: 双曲线的标准方程: x ? y ? 1 ,(a> 0,b> 0, c ? a ? b ) (焦点在x 轴) 其焦点坐标为 F1 (2 2

a

b

c ,0) , F2 (c ,0) .
1

思考:若焦 点在 y 轴,标准方程又如何?

三.反思总结:1.双曲线定义中需要注意 的条件: 2c ? 2a

2.双曲线方程的特点(注意与椭圆对比、区分) : x 2 、 y 2 的系数符号相反,若 x 2 的系数为正,则焦点在 x 轴上,反之则在 y 轴上。 3.求双曲线方程关健是确定 a 2 、 b2 ,常见的方法是待定系数法或直接由定义确 定。 四 . 当堂检测 1.已知点 F1 (?4,0) 和 F2 (4,0) ,曲线上的动点 P 到 F1 、 F2 的距离之
差为 6,则曲线方程为( ) A.

x2 y2 ? ?1 9 7 y2 x2 ? ? 1( y ? 0) 9 7

B.

x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 C. 9 7 9 7
D.

x2 y2 ? ? 1( x ? 0) 9 7
2 2

2. “ab<0”是“方程 ax ? by ? c 表示双曲线”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

答案: 1.D 2.A

课后练习与提高
1. 动圆与两圆 x ? y ? 1 和 x ? y ? 8x ? 12 ? 0 都相切, 则动圆圆心的轨迹为 ( )
2 2 2 2

A.抛物线 B.圆 C.双曲线的一支 D.椭圆

x2 y2 2.P 为双曲线 2 ? 2 ? 1 上的一点,F 为一个焦点,以 PF 为直径的圆与圆 a b

x 2 ? y 2 ? a 2 的位置关系是( )

2

A.内切 B.内切或外切 C.外切 D.相离或相交 3.双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左焦点为 F,点 P 为左支的下半支上任一点(非顶点) ,则直 线 PF 的斜率的范围是( ) A. (-∞,0]∪[1,+∞) B. (-∞,0)∪(1,+∞) C. (-∞,-1)∪[1,+∞) D. (-∞,-1)∪(1,+∞) 4.双曲线 2 x 2 ? y 2 ? m 的一个焦点是 (0, 3 ) ,则 m 的值是_________。

5.过双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点且垂直于 x 轴的弦的长度为_______ a2 b2

6.已知双曲线 过点 A(-2,4) 、B(4,4) ,它的一个焦点是 F1 (1,0) ,求它的另一个 焦点 F2 的轨迹方程。 答案:1.C 2.B 3.B 4. -2 5.

2b 2 . 6.提示:易知 | AF 1 |?| BF 1 |? 5 a

由双曲线定义知 || AF 1 | ? | AF 2 ||?|| BF 1 | ? | BF 2 || 即 | 5? | AF2 ||?| 5? | BF2 || ① 5? | AF2 |? 5? | BF2 | 即 | AF2 |?| BF2 |

此时点 F2 的轨迹为线段 AB 的中垂线,其方程为 x=1(y≠0) ② 5? | AF2 |? ?(5? | BF2 |) 即 | AF2 | ? | BF2 |? 10

此时点 F2 的轨迹为以 A、B 为焦点,长轴长为 10 的椭圆,其方程为

( x ? 1) 2 ( y ? 4) 2 ? ? 1 (y≠0) 25 16

3

2.3.1 双曲线及其标准方程
【教学目标】掌握双曲线的标准方程及其特点;会求简单的双曲线的标准方程。 教学重点:双曲线的定义及其标准方程. 教学难点:双曲线标准方程的推导. 【教学过程】
预习检查、总结疑惑:察看导学案做的情况 情景导入、展示目标:(一)复习提问,平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数 2a 时, 形成的轨迹? (1)平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆. (2)到两定点 F1、F2 的距离 的 和等于常数(等于|F1F2|)的点的轨迹是线段. (3)常数 2a ? |F1F2|时,无轨迹. (二)双曲线的概念 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”, 那么点的轨迹会怎样?它的方程是怎样的呢? 合作探究、精讲点拨:观察如图 2-23,定点 F1 , F2 是两个按钉,MN 是一个细套管, 两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管,点M 移动时, | MF1 | - | MF2 | 是常数,这样就 画出一条曲线; 由 | MF2 | - | MF1 | 是同一常数,可以画出另一支.

双曲线的定义: 平面内与两定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于| F1 F2 |)的点 的轨迹叫做双曲线。现在来研究双曲线的方程.我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双 曲线的方程.这时设问:求椭圆的方程的一般步骤方法是什么?不要求学生回答,主要引起 学生思考,随即引导学生给出双曲线的方程的推导. 标准方程的推导: (1)建系设点 取 过 焦 点 F1 、 F2 的 直 线 为 x 轴 , 线 段 F1F2 的 垂 直 平 分 线 为 y 轴 ( 如 图 2-24)

建立直角坐 标系. 设 M(x,y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距是 2c(c>0),那么 F1、F2 的坐标分别是(-c,
4

0)、(c,0).又设点 M 与 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数. (2)点的集合 由定义可知,双曲线就是集合: P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}. (3)代数方程

(4)化简方程 将这个方程移项,两边平方得:

两边再平方,整 理得: (以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.) 由双曲线定义,2c>2a
2 2 2

即 c>a,所以 c ? a ? 0
2 2

设 c ? a ? b (b>0),代入上式得:

这就是双曲线的标准方程. 两种标准方程的比较(引导学生归纳):

教师指出: (1)双曲线标准方程中,a>0,b>0,但 a 不一定大于 b; (2)如果 x2 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上;如果 y2 项的系数是正的,那么焦点在 y 轴上.注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上. (3)双曲线标准方程中 a、b、c 的关系是 c2=a2+b2,不同于椭圆方程中 c2=a2-b2. 例 1 若一个动点 P(x,y)到两个定点 A(-1,0)、A′(1,0)的距离差的绝对值为定值 a, 求点 P 的轨迹方程,并说明轨迹的形状. 解:∵|AA′|=2, ∴(1)当 a=2 时,轨迹方程是 y=0(x≥1 或 x≤-1),轨迹是两条射线. (2)当 a=0 时,轨迹是线段 AA′的垂直平分线 x=0. (3)当 0<a<2 时,轨迹方程是

y2 x2 =1,轨迹是双曲线. ? a2 a2 1? 4 4
5

点评:注意定值的取值范围不同,所得轨迹方程不同.

y2 x2 ? =1 表示双曲线,则 k∈( 10 ? k 5 ? k y2 x2 ? 解析:∵方程 =1 表示双曲线, 10 ? k 5 ? k ∴(10-k)(5-k)<0,∴5<k<10 .
变式 训练 1.方程

)

例 2 一炮弹在某处爆炸, 在 F1(-5000, 0)处听到爆炸声的时间比在 F2(5000, 0)处晚

300 17

秒,已知坐标轴的单位长度为 1 米,声速为 340 米/秒,爆炸点应在什么样的曲线上?并求爆 炸点所在的曲线方程.

点评:在 F1 处听到爆炸声比 F2 处晚

300 秒,相当于爆炸点离 F1 的距离比 F2 远 6000 17

米, 这是解应用题的第一关——审题关; 根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲 线,这是解应用题的第二关——文化关(用数学文化反映实际问题).借助双曲线的标准方程 写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关(用数学知识解决第二关提出的问 题). 变式训练 2 F1、F2 为双曲线 =90°,则△F1PF2 的面积是( 解析:双曲线

x2 -y2=-1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且∠F1PF2 4 )

x2 -y2=-1 的两个焦点是 F1(0,- 5 )、F2(0, 5 ), 4 ∵∠F1PF2=90°,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2. 即|PF1|2+|PF2|2=20 ① ∵|PF1|-|PF2|=±2, ∴|PF1|2-2|PF2|?|PF1|+|PF2|2=4 ② 1 ①-②得 2|PF1|?|PF2|=16,∴ S ?F1PF2 = |PF1|?|PF2|=4. 2 反思总结,当堂检测。1.双曲线定义中需要注意的条件: 2c ? 2a

2.双曲线方程的特点(注意与椭圆对比、区分) : x 2 、 y 2 的系数符号相反,若 x 2 的系数为正,则焦点在 x 轴上,反之则在 y 轴上。 3.求双曲线方程关健是确定 a 2 、 b2 ,常见的方法是待定系数法或直接由定义确
6

定。
检测题:1. P 是双曲线 x2-y2=16 的左支上一点,F1、F2 分别是左、右焦点,则|PF1| -|PF2|=______. 2. 焦点在 x 轴上, 中心在原点且经过点 P(2 7 , 3)和 Q(-7, -6 2 )的双曲线方程是______

x2 y2 x2 y2 ? 2 =1 与双曲线 2 ? =1 有相同焦点,则 a 的值是______. 4 a 2 a x2 y2 ? 答案:1. -8 2. =1 3. a=±1 25 75
3. 椭圆

作业:发导学案、布置预习。

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