当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

高中数学竞赛讲义(9)不等式


高中数学竞赛讲义(九) ──不等式 一、基础知识 不等式的基本性质: (1)a>b (3)a>b a-b>0; (2)a>b, b>c a>c;

a+c>b+c; (4)a>b, c>0 ac<bc; an>bn;

ac>bc; ac>bd; ;
<

br />(5)a>b, c<0

(6)a>b>0, c>d>0 (8)a>b>0, n∈N+

(7)a>b>0, n∈N+ (9)a>0, |x|<a

-a<x<a, |x|>a

x>a 或 x<-a;

(10)a, b∈R,则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; (11)a, b∈R,则(a-b)2≥0 (12)x, y, z∈R+,则 x+y≥2 a2+b2≥2ab; , x+y+z

前五条是显然的,以下从第六条开始给出证明。 (6)因为 a>b>0, c>d>0,所以 ac>bc, bc>bd,所以 ac>bd;重 复利用性质 (6) 可得性质 , (7) 再证性质 ; (8) 用反证法, , 若 由性质 (7)得 所以 ,

, a≤b, a>b 矛盾,所以假设不成立, 即 与

; 由 绝 对 值 的 意 义 知 ( 9 ) 成 立 ; -|a|≤a≤|a|,

-|b|≤b≤|b| , 所 以 -(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b| , 所 以 |a+b|≤|a|+|b| ; 下 面 再 证 ( 10 ) 的 左 边 , 因 为 |a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|,所以|a|-|b|≤|a+b|,所以(10)成立; (11)显然成立;下证(12),因为 x+y-2 x+y≥ ≥0,所以

,当且仅当 x=y 时,等号成立,再证另一不等式,令
1

,因为 x3+b3+c3-3abc =(a+b) 3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b) 3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b) 2-(a+b)c+c 2]-3ab(a+b+c)=(a +b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0, , 等号当且仅当 x=y=z 时成立。

所以 a3+b3+c3≥3abc, x+y+z≥ 即 二、方法与例题 1.不等式证明的基本方法。

(1)比较法,在证明 A>B 或 A<B 时利用 A-B 与 0 比较大小,或把 (A,B>0)与 1 比较大小,最后得出结论。 例 1 设 a, b, c ∈ R+ , 试 证 : 对 任 意 实 数 x, y, z, 有

x2+y2+z2 【证明】 左边-右边= x2+y2+z2

所以左边≥右边,不等式成立。 例 2 若 a<x<1,比较大小:|loga(1-x)|与|loga(1+x)|.

2

【解】

因 为 1-x

1 , 所 以 loga(1-x)

0,

=|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log (1-x) 0<1-x2<1,所以 >1-x>0, 0<1-x<1).

>log(1-x)(1-x)=1 ( 因 为

所以|loga(1+x)|>|log a(1-x)|. (2)分析法,即从欲证不等式出发,层层推出使之成立的充分条 件,直到已知为止,叙述方式为:要证??,只需证??。 例 3 已知 a, b, c∈R+,求证:a+b+c-3 【 证 明】 , 因为 例 4 ,所以原不等式成立。 已 知 实 数 a, b, c 满 足 0<a≤b≤c≤ ,求证: 要 证 a+b+c ≥a+b ≥a+b 只 需 证

【证明】

因为 0<a≤b≤c≤ ,由二次函数性质可证 a(1-a)

≤b(1-b) ≤c(1-c), 所以 所以 所以只需证明 , , ,

3

也就是证



只需证 b(a-b) ≤a(a-b),即(a-b)2≥0,显然成立。所以命题成 立。 (3)数学归纳法。 例 5 对任意正整数 n(≥3),求证:nn+1>(n+1) n. 【证明】 1)当 n=3 时,因为 34=81>64=43,所以命题成立。 2) n=k 时有 kk+1>(k+1) k, n=k+1 时, 设 当 只需证(k+1)k+2>(k+2)k+1,



>1. 因为

,所以只需证

,即证

(k+1)2k+2>[k(k+2)] k+1, 只需证(k+1)2>k(k+2), 即证 k2+2k+1>k 2+2k. 显 然成立。 所以由数学归纳法,命题成立。 (4)反证法。 例 6 设 实 数 a0, a 1, ? ,an 满 足 a0=an=0 , 且 a0-2a1+a2≥0,

a1-2a2+a3≥0,?, an-2-2an-1+an≥0,求证 ak≤0(k=1, 2,?, n-1). 【证明】 假设 ak(k=1, 2,?,n-1) 中至少有一个正数,不妨设 ar 是 a1, a2,?, an-1 中第一个出现的正数, a1≤0, a2≤0,?, ar-1≤0, 则 ar>0. 于是 ar-ar-1>0,依题设 ak+1-ak≥ak-ak-1(k=1, 2, ?, n-1)。 所以从 k=r 起有 an-ak-1≥an-1-an-2 ≥?≥ar-ar-1>0. 因为 an≥ak-1≥?≥ar+1≥ar >0 与 an=0 矛盾。故命题获证。 (5)分类讨论法。

4

例 7 已知 x, y, z∈R+,求证: 【证明】 不妨设 x≥y, x≥z. ⅰ)x≥y≥z,则 ,x2≥y2≥z2,由排序原理可得 ,原不等式成立。 ⅱ)x≥z≥y,则 ,x2≥z2≥y2,由排序原理可得 ,原不等式成立。

(6)放缩法,即要证 A>B,可证 A>C1, C1≥C2,?,Cn-1≥Cn, Cn>B(n ∈N+). 例 8 求证:

【证明】 ,得证。 例 9 已 知 a, b, c 是 △ ABC 的 三 条 边 长 , m>0 , 求 证 :

【证明】 (因为 a+b>c),得证。 (7)引入参变量法。
5

例 10 已知 x, y∈R+, l, a, b 为待定正数,求 f(x, y)= 的最小值。

【解】 设

,则

,f(x,y)=

(a3+b3+3a2b+3ab2)= ,等号当且仅当 例 11 设 时成立。所以 f(x, y)min= x2+x3+x4≥x1 , 求 证 :

x1≥x2≥x3≥x4≥2,

(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4. 【证明】 设 x1=k(x2+x3+x4),依题设有 ≤k≤1, x 3x4≥4,原不 等式等价于(1+k)2(x2+x3+x4)2≤4kx2x3x4(x2+x3+x4),即 (x2+x3+x4) ≤x2x3x4,因为 f(k)=k+ 在 所以 (x2+x3+x4)= (x2+x3+x4) 上递减,



·3x2=4x2≤x2x3x4.

所以原不等式成立。 (8)局部不等式。

6

例 12 已知 x, y, z∈R+, x2+y2+z2=1, 且 求证:

【证明】 先证 因为 x(1-x2)= ,

所以 同理 , 所以 例 13 已知 0≤a, b, c≤1,求证: 【证明】 先证 即 a+b+c≤2bc+2. 即证(b-1)(c-1)+1+bc≥a. 因为 0≤a, b, c≤1,所以①式成立。 同理 三个不等式相加即得原不等式成立。 (9)利用函数的思想。
7



≤2。



例 14 c)=

已知非负实数 a, b, c 满足 ab+bc+ca=1,求 f(a, b, 的最小值。

【解】 当 a, b, c 中有一个为 0,另两个为 1 时,f(a, b, c)= , 以下证明 f(a, b, c) ≥ . 不妨设 a≥b≥c,则 0≤c≤ c)= 因为 1=(a+b)c+ab≤ +(a+b)c, -c). )上单调递增。 , f(a, b,

解关于 a+b 的不等式得 a+b≥2( 考虑函数 g(t)= 又 因 为 0≤c≤ 2 ≥ 所以 f(a, b, c)= , g(t)在[

, 所 以 3c2≤1. 所 以 c2+a≥4c2. 所 以

≥ = = ≥

8



证 ≥0

0

① 因为 ,所以①式成

c2+6c+9≥9c 2+9 立。

所以 f(a, b, c) ≥ ,所以 f(a, b, c) min= 2.几个常用的不等式。 ( 1 ) 柯 西 不 等 式 : 若 ai ∈ R, bi ∈ R, i=1, 2, ? , n , 则

等号当且仅当存在 λ ∈R,使得对任意 i=1, 2, , n, a i=λ bi,

变式 1:若 ai∈R, bi∈R, i=1, 2, ?, n,则 等号成立条件为 ai=λ bi,(i=1, 2, ?, n)。

变式 2: ai, bi 同号且不为 0(i=1, 2, ?, n), 设 则 等号成立当且仅当 b1=b2=?=bn.

(2)平均值不等式:设 a1, a2,?,an∈R+,记 Hn= Gn= , An=

, , 则

Hn≤Gn≤An≤Qn. 即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。 其中等号成立的条件均为 a1=a2=?=an.
9

【证明】 由柯西不等式得 An≤Qn,再由 Gn≤An 可得 Hn≤Gn,以下 仅证 Gn≤An. 1)当 n=2 时,显然成立; 2)设 n=k 时有 Gk≤Ak,当 n=k+1 时,记 因为 a1+a2+?+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥ ≥ 2kGk+1, =Gk+1.

所以 a1+a2+?+ak+1≥(k+1)Gk+1,即 Ak+1≥Gk+1. 所以由数学归纳法,结论成立。 (3)排序不等式:若两组实数 a1≤a2≤?≤an 且 b1≤b2≤?≤bn, 则 对 于 b1, b2, ?, bn 的 任 意 排 列 +anb1≤ 【证明】 = ≤a1b1+a2b2+?+anbn. 引 理 : 记 A0=0 , Ak= (阿贝尔求和法)。 ≥b1+b2+?+bk. ,则 , 有 a1bn+a2bn-1+ ?

证法一:因为 b1≤b2≤?≤bn,所以 记 sk= 所 以 +snan≤0.

-( b1+b2+?+bk),则 sk≥0(k=1, 2, ?, n)。 -(a1b1+a2b2+ ? +anbn)=

最后一个不等式的理由是 aj-aj+1≤0(j=1, 2, ?, n-1, sn=0), 所以右侧不等式成立,同理可证左侧不等式。 证法二: (调整法)考察 ,若 ,则存在。
10

若 因为

(j≤n-1),则将 与

互换。

≥0, 所 调整后,和是不减的,接下来若 ,则继续同样的调整。

至多经 n-1 次调整就可将乱序和调整为顺序和, 而且每次调整后和是 不减的,这说明右边不等式成立,同理可得左边不等式。 例 15 +an. 【证明】证法一:因为 ≥2an. 上述不等式相加即得 证法二:由柯西不等式 +an)≥(a1+a2+?+an)2, 因为 a1+a2+?+an >0,所以 证法三: 设 a1, a2,?,an 从小到大排列为 , ,由排序原理可得 ≥a1+a2+?+an. ,则 ≥a1+a2+?+an. (a1+a2+ ? ,?, 已知 a1, a2,?,an∈R +, 求证; a1+a2+?

11

=a1+a2+?+an≥

,得证。

注:本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用,希望读者在解题 中再加以总结。

三、基础训练题 1.已知 0<x<1,a, b∈R+,则 2.已知 x∈R+,则 的最小值是____________.

的最小值是____________.

3.已知 a, b, c∈R,且 a2+b2+c2=1, ab+bc+ca 的最大值为 M,最 小值为 N,则 MN=___________. 4.若不等式 围是____________. 5.若不 等式 ____________. 6.“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8 的解集是{x|-2<x<6}” 的____________条件. 7 . 若 a, b∈R+ , 则 a+b=1 ,以 下 结论 成立 是__________. ① x+a 的 解 是 x>m , 则 m 的 最 小 值 是 对所有实数 x 成立,则 a 的取值范

a4+b4≥ ;② ≤a3+b3<1;③ ;⑥ 8.已知 0< < ,若

;④

;⑤

,则 =____________.
12

9 . 已知

, p=(x1-

)2+(x2-

)2+ ? +(xn-

)2,

q=(x1-a)2+(x2-a)2+?+(xn-a)2, 若

, 则比较大小: p___________q.

10. 已 知 a>0, b>0 且 a b, m=a abb, n=abba, 则 比 较 大小 : m_________n. 11.已知 n∈N+,求证: 12.已知 0<a<1,x2+y=0,求证:loga(ax+ay) ≤loga2+ . 13.已知 x∈R, 四、高考水平训练题 1. 已知 A=asin2x+bcos2x, B=acos 2x+bsin 2x(a, b, x∈R), m=AB, 设 n=ab, P=A 2+B2, q=a2+b2, 则下列结论成立的有]__________. (1) m≥n, p≥q;(2)m≤n, p≤q;(3)m+p≥n+q;(4)m+q≥n+p. 2 . 已 知 a, b, c, d ∈ R , M=4(a-b)(c-d), ,求证:

N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d),则比较大小: M________N. 3.若 列为________. 4.已知△ABC 的三边长 a, b, c 满足 b+c≤2a, a+c≤2b,则 的 取值范围是________. R+,且 , ,将 从小到大排

13

5.若实数 x, y 满足|x|+|y|≤1,则 z=x2-xy+y2 的最大值与最小 值的和为________. 6.设函数 f(x)= ________. 7.对 x1>x2>0, 1>a>0,记 小:x1x2________y 1y2. 8 .已 知函 数 ________. 9. a≤b<c 是直角△ABC 的三边长,若不等式 设 恒成立,则 M 最大值为________. 10.实系数方程 x2+ax+2b=0 的一个根大于 0 且小于 1,另一个根 大于 1 且小于 2,则 的取值范围是________. 的 值域 是 , 则实 数 a 的 值为 ,比较大 (x∈[-4,2]),则 f(x)的值域是

11.已知 a, b, c∈R+且满足 a+b+c≥abc,求证:下列三个式子 中至少有两个成立: 12 . 已 知 a, b ∈ R+ 且 (a+b)n-an-bn≥22n-2n+1. 13.已知 a, b, c ∈R+,求证: 14.设 x, y, z 是 3 个不全为零的实数,求 的最大值。
14

, 求 证 : 对 一 切 n ∈ N+ ,

五、联赛一试水平训练题 1 . 已 知 a1, a2, b1, b2, c1, c ∈ R , a1c1P=(a1-a2)(c1-c2), Q=(b1-b2)2,比较大小:P_______Q. 2.已知 x2+y2-xy=1,则|x+y-3|+|x+y+2|=__________. 3.二次函数 f(x)=x2+ax+b,记 M=max{|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|}, 则 M 的最小值为__________. 4.设实数 a, b, c, d 满足 a≤b≤c≤d 或者 a≥b≥c≥d,比较 大小: 4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d). 5.已知 xi∈R+, i=1, 2, ?,n 且 值为__________(这里 n>1). 6.已知 x, y∈R, f(x, y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72 的最小值为 __________. 7 . 已 知 0≤ak≤1(k=1, 2, ? ,2n) , 记 a2n+1=a1, a2n+2=a2 , 则 的最大值为__________. 8.已知 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1,则 大值为__________. 9.已知 ≤x≤5,求证: 10.对于不全相等的正整数 a, b, c,求证: 的最 ,则 x1x2?xn 的最小 =a2c2 >0,

15

11. 已知 ai>0(i=1, 2, ?, n), 且 求证: ≤

=1。 0<λ 1≤λ 2≤?≤λ n, 又

六、联赛二试水平训练题 1 . 设 正 实 数 x, y, z 满 足 x+y+z=1 , 求 证 :

2 . 设 整 数 x1, x2, ? ,xn 与 y1, y2, ?, yn 满 足 1<x1<x2< ? <xn<y1<y2<?<ym, x1+x2+?+xn>y1+y2+?+ym,求证:x1x2xn>y1y2?ym. 3.设 f(x)=x2+a,记 f(x), fn(x)=f(f n-1(x))(n=2, 3, ?), 。

M={a∈R|对所有正整数 n, |fn(0)| ≤2},求证:

4.给定正数 λ 和正整数 n(n≥2),求最小的正数 M(λ ),使得 对于所有非负数 x1, x2,?,xn ,有 M(λ ) 5 . 已 知 x, y, z ∈ R+ , 求 证 :

(xy+yz+zx) 6 . 已 知 非 负 实 数 a, b, c 满 足 a+b+c=1 , 求 证 : 2≤(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≤(1+a)(1+b)(1+c), 并求出等号成立的条 件。

16


相关文章:
高中数学竞赛讲义(9)不等式
高中数学竞赛讲义 ──不等式 一、基础知识 不等式的基本性质: (1)a>b (3)a>b a-b>0; (2)a>b, b>c a>c; a+c>b+c; (4)a>b, c>0 ac<...
高中数学竞赛讲义_不等式
高中数学竞赛讲义_不等式_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛习题不...an>bn; (8)a>b>0, n∈ N+ ? (9)a>0, |x|...
高中数学竞赛_不等式【讲义】
高中数学竞赛_不等式【讲义】_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛讲义今日推荐 160份文档 2014全国计算机等级考试 全国计算机等级考试一级练习题 公共基础知识辅...
高中数学奥赛讲义:竞赛中常用的重要不等式
高中数学奥赛讲义:竞赛中常用的重要不等式_学科竞赛_高中教育_教育专区。hao不...高中数学:排序不等式(竞... 4页 免费 高中数学奥林匹克竞赛讲... 9页 免费...
全国高中数学竞赛专题-不等式
全国高中数学竞赛专题-不等式_高三数学_数学_高中教育_教育专区。全国高中数学竞赛...4 k 4k 4 2 所以原不等式成立。 9.局部不等式 例 13 已知 x, y, z∈...
高中数学竞赛讲义十
10. 二元一次不等式表示的平面区域, 若直线 l 方程为 Ax+By+C=0. 若 B...高中数学竞赛讲义十 暂无评价 9页 免费 2010高中数学竞赛标准讲... 8页 5...
高中数学竞赛重要不等式(一)
高中数学竞赛重要不等式(一)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学竞赛重要...2011全国高中数学竞赛不... 8页 免费 高中数学竞赛标准讲义:... 9页 1下载...
高中数学竞赛讲义(五)──数列
使≥3.999 均成立; (2)寻求这样的一个数列使不等式 <4 对任一 n 均成立...高中数学竞赛讲义(八)─... 高中数学竞赛讲义(九)─... 高中数学竞赛讲义(十...
全国高中数学联赛讲义
几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理: 在...高中数学竞赛讲义(一) ──集合与简易逻辑一、基础...{1,2,6,9,10}, {1,3,4,10,11}, {1,3,...
更多相关标签:
高中数学竞赛不等式 | 高中数学竞赛讲义 | 高中数学竞赛数论讲义 | 数学竞赛不等式 | 初中数学竞赛 不等式 | 高中生物竞赛讲义 | 高中物理竞赛讲义 | 初中数学竞赛讲义 |