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赋值法在函数方程中的应用


赋值法在函数方程中的应用 赋值法是指给定的关于某些变量的一般关系式, 赋予恰当的数值或代数式后, 通过运算 推理,最后得出结论的一种解题方法。下面介绍它在函数方程中的应用。 一、判断函数的奇偶性 例 1 若 f (x+y)= f (x)+ f (y)中令 x=y=0,得 f (0)=0。 又在 f (x+y)= f (x)+ f (y)令 y=-x, f (x-x)= f (x)

+ f (-x) , 即 f (0)= f (x)+ f (-x) ,又 f (0)=0. 所以 f (-x)=- f (x) 。 由于 f (x)不恒为零,所以 f (x)是奇函数。 例 2 已知函数 y= f (x) (x∈R, x≠0) , 对任意非零实数 x1x2 都有 f (x1x2) = f (x1) + f (x2) ,试判断 f (x)的奇偶性。 解:取 x1=-1,x2=1 得 f (-1)= f (-1)+(1) ,所以 f (1)=0 又取 x1=x2=-1, 得 f (1)= f (-1)+ f (-1) , 所以 f (-1)=0 再取 x1=x,x2=-1,则有 f (-x)= f (x) ,即 f (-x)= f (x) 因为 f (x)为非零函数,所以 f (x)为偶函数。 例 3.对任意 x、y∈R,有(x+y)+ f (x-y)=2 f (x) · f (y) ,且 f (0)≠0, 判断 f (x)的奇偶性。 解:令 x=y=0 得 f (0)+ f (0)=2 f 2(0) ,因为 f (0)≠0,所以 f (0)=1,又 令 x=0 得 f (y)+ f (-y)=2 f (y) ,即 f (-y)= f (y) 。取 x=y,得 f (-x)= f (y).所以函数 y= f (x) 。 二、讨论函数的单调性 例 4. 设 f (x)定义于实数集 R 上,当 x>0 时, f (x)>1,且对任意 x,y∈R, 有 f (x+y)= f (x) f (y) ,求证 f (x)在 R 上为增函数。 证明:由 f (x+y)= f (x) f (y)中取 x=y=0 得 f (0)= f 2(0) 。 若 f (0)=0,令 x>0,y=0,则 f (x)=0,与 f (x)>1 矛盾。 所以 f (0)≠0,即有 f (0)=1。 当 x>0 时, f (x)>1>0,当 x<0 时, f (-x)>1>0,而 f ( x ) ? 时, f (0)=>0,所以 f (x)∈R, f (x)>0。 设 x1<x2,则 x1<x2>0, f (x2-x1)>1,所以 f (x2)= f [x1+(x2-x1)]= f (x1) ·f (x2-x1)> f (x1) ,所以 y=(x)在 R 上为增函数。 1 ? 0 ,又 x=0 f (? x) 三、求函数的值域 例 5 已知函数 f (x)在定义域 x∈R 上是增函数,且满足 f (xy)= f (x)+ f (y) (x、y∈R ) ,求 f (x)的值域。 解:因为 x=y=1 时, (1)=2 f (1) ,所以 f (1)=0 + + 又因为(x)在定义域 R+上是增函数,所以 x1>x2>0 时,令 x1=mx2(m>1) ,则 f (x1) - f <(x2)= f (m·x2)- f (x2)= f (m)+ f (x2)- f (x2)= f (m)>0。 得以对于 x>1 有 f (x)>0。 又设 x1=mx2>0(0<m<1) ,则 0<x1<x2

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