当前位置:首页 >> 高中教育 >>

江苏2013届高三数学(文)试题分类汇编: 导数及其应用


广东省 13 大市 2013 届高三上期末考数学文试题分类汇编
导数及其应用
一、选择题、填空题 1、 (潮州市 2013 届高三上学期期末)定义域 R 的奇函数 f ( x) ,当 x ? ( ? ? , 0 ) 时 f ( x) ? xf '( x) ? 0 恒成立,若 a ? 3 f ( 3) , b ? f ( ) , c ? ?2 f ( ?

2 ) ,则 1 A. a ? c ? b C. c ? a ? b 答案:A B. c ? b ? a D. a ? b ? c

2、 (广州市 2013 届高三上学期期末)已知 e 为自然对数的底数,函数 y ? x e x 的单调递增 区间是 A . ??1, ?? ? 答案:B 3、 (增城市 2013 届高三上学期期末)函数 f ( x) ? ln x 的图像在点 x ? 1 处的切线方程 是 答案: y ? x ? 1 4、 (中山市 2013 届高三上学期期末)若曲线 y ? x 的一条切线与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,
4

?

B. ??, ?1? ?

?

C. ?1, ?? ?

?

D. ??,1? ?

?



则的方程为 答案:4x-y-3=0



5、 (中山市 2013 届高三上学期期末)函数 f ( x) ? x ? bx ? a 的图象如图所示,则函数
2

g ( x) ? ln x ? f ?( x) 的零点所在的区间是(
A. ( , ) C. (1,2) 答案:B 二、解答题



1 1 4 2

B. ( ,1) D. (2,3)

1 2

1 1、 (潮州市 2013 届高三上学期期末)二次函数 f ( x) 满足 f ( 0) ? f (1) ? 0 ,且最小值是 ? . 4 (1)求 f ( x) 的解析式;
(2)实数 a ? 0 ,函数 g ( x) ? xf ( x) ? ( a ? 1) x ? a x ,若 g ( x) 在区间 ( ? 3 , 2 )
2 2

上单调递减,求实数 a 的取值范围. 解: (1)由二次函数 f ( x) 满足 f ( 0) ? f (1) ? 0 .设 f ( x) ? ax( x ? 1) ( a ? 0) ,
1

1 a 则 f ( x) ? ax 2 ? ax ? a ( x ? ) 2 ? . 2 4 1 ?a 1 ? ? .解得 a ? 1 . 又 f ( x) 的最小值是 ? ,故 4 4 4
∴ f ( x) ? x 2 ? x ;
2 2 3 2 2 2 2

…… 4 分
3 2 2

(2) g ( x) ? xf ( x) ? ( a ? 1) x ? a x ? x ? x ? ax ? x ? a x ? x ? ax ? a x . ∴ g '( x) ? 3 x ? 2ax ? a ? ( 3 x ? a )( x ? a ) .
2 2

………… 6 分

a a ,或 x ? ? a ,又 a ? 0 ,故 ? ? a .………… 7 分 3 3 a a 当 ? ? a ,即 a ? 0 时,由 g '( x) ? 0 ,得 ? a ? x ? . ………… 8 分 3 3 a ∴ g ( x) 的减区间是 ( ? a , ) ,又 g ( x) 在区间 ( ? 3 , 2 ) 上单调递减, 3
由 g '( x) ? 0 ,得 x ?

??a ? ?3 ?a ? 3 ? ∴ ?a ,解得 ? ,故 a ? 6 (满足 a ? 0 ) ; ?2 ?a ? 6 ?3 ?


……… 10 分

a a ? ?a ,即 a ? 0 时,由 g '( x) ? 0 ,得 ? x ? ? a . 3 3 a ∴ g ( x) 的减区间是 ( , ? a ) ,又 g ( x) 在区间 ( ? 3 , 2 ) 上单调递减, 3

?a ?a ? ?9 ? ? ?3 ∴?3 ,解得 ? ,故 a ? ?9 (满足 a ? 0 ) . ?a ? ?2 ??a ? 2 ?
综上所述得 a ? ?9 ,或 a ? 6 . ∴实数 a 的取值范围为 ( ? ? , ? 9 ] ? [ 6 , ? ? ) .

……… 13 分

……… 14 分

2、 (东莞市 2013 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? ax ? b ln x ? c , (a, b, c 是常数) 在 x=e 处的切线方程为 (e ? 1) x ? ey ? e ? 0 , x ? 1 既是函数 y ? f ( x) 的零点,又是它的 极值点. (1)求常数 a,b,c 的值; (2)若函数 g ( x) ? x ? mf ( x)(m ? R ) 在区间(1,3)内不是单调函数,求实数 m 的取
2

值范围; (3)求函数 h( x) ? f ( x) ? 1 的单调递减区间,并证明:

2

ln 2 ln 3 ln 4 ln 2012 1 ? ? ?? ? ? 2 3 4 2012 2012
解: (1)由 f ( x) ? ax ? b ln x ? c 知, f (x) 的定义域为 (0,??) , f ' ( x) ? a ? 又 f (x) 在 x ? e 处的切线方程为 (e ? 1) x ? ey ? e ? 0 ,所以有

b , …1 分 x

f ' (e) ? a ?

b e ?1 ,① ?? e e

…………2 分 …………3 分 …………4 分 …………5 分

由 x ? 1 是函数 f (x) 的零点, f (1) ? a ? c ? 0 ,② 得 由 x ? 1 是函数 f (x) 的极值点,得 f (1) ? a ? b ? 0 ,③
'

由①②③,得 a ? ?1 , b ? 1 , c ? 1 . (2)由(1)知 f ( x) ? ? x ? ln x ? 1( x ? 0) , 因此, g ( x) ? x ? mf ( x) ? x ? mx ? m ln x ? m( x ? 0) ,所以
2 2

g ' ( x) ? 2 x ? m ?

m 1 ? (2 x 2 ? mx ? m)( x ? 0) . x x

…………6 分

要使函数 g (x) 在 (1,3) 内不是单调函数,则函数 g (x) 在 (1,3) 内一定有极值,而

g ' ( x) ?

1 (2 x 2 ? mx ? m) ,所以函数 g (x) 最多有两个极值. x
2

…………7 分

令 d ( x) ? 2 x ? mx ? m( x ? 0) . (ⅰ)当函数 g (x) 在 (1,3) 内有一个极值时, g ( x) ? 0 在 (1,3) 内有且仅有一个根,即
'

d ( x) ? 2 x 2 ? mx ? m ? 0 在 (1,3) 内有且仅有一个根,又因为 d (1) ? 2 ? 0 ,当
d (3) ? 0 ,即 m ? 9 时, d ( x) ? 2 x 2 ? mx ? m ? 0 在 (1,3) 内有且仅有一个根

x?
所以有 m ? 9 .

3 ,当 d (3) ? 0 时,应有 d (3) ? 0 ,即 2 ? 32 ? 3m ? m ? 0 ,解得 m ? 9 , 2
………8 分
'

.(ⅱ)当函数 g (x) 在 (1,3) 内有两个极值时, g ( x) ? 0 在 (1,3) 内有两个根,即二次函 数 d ( x) ? 2 x ? mx ? m ? 0 在 (1,3) 内有两个不等根,所以
2

3

?? ? m 2 ? 4 ? 2 ? m ? 0, ? ?d (1) ? 2 ? m ? m ? 0, ?d (3) ? 2 ? 32 ? 3m ? m ? 0, ? m ?1 ? ? 3, 4 ?

解得 8 ? m ? 9 .

…………9 分

综上,实数 m 的取值范围是 (8,??) . (3)由 h( x) ? f ( x) ? 1 ? ? x ? ln x( x ? 0) ,得 h ' ( x) ?
'

…10 分

1? x , x

令 h ( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,即 h(x) 的单调递减区间为 ?1,?? ? . 由函数 h(x) ? ? x ? ln x( x ? 0) 在 ?1,?? ? 上单调递减可知, 当 x ? (1,??) 时, h( x) ? h(1) ,即 ? x ? ln x ? ?1 , 亦即 ln x ? x ? 1 对一切 x ? (1, ??) 都成立, …………11 分

ln x x ? 1 对一切 x ? (1, ??) 都成立, ? x x ln 2 1 ln 3 2 ln 4 3 所以 0 ? ? , 0? ? , 0? ? , 2 2 3 3 4 4
亦即 0 ? …

…………12 分

ln 2012 2011 , …………13 分 ? 2012 2012 ln 2 ln 3 ln 4 ln 2012 1 2 3 2011 所以有 , ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 2 3 4 2012 2 3 4 2012 ln 2 ln 3 ln 4 ln 2012 1 所以 . …………14 ? ? ?? ? ? 2 3 4 2012 2012 0?

ex ?1 3、 (佛山市 2013 届高三上学期期末)设函数 f ( x) ? , x ? 0. x
(1)判断函数 f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上的单调性; (2)证明:对任意正数 a ,存在正数 x ,使不等式 f ( x) ? 1 ? a 成立. 解析: (1) f ?( x) ?
x

xe x ? (e x ? 1) ( x ? 1)e x ? 1 ? , x2 x2
x x x

-----------2 分

令 h( x) ? ( x ? 1)e ? 1 ,则 h?( x) ? e ? e ( x ? 1) ? xe , 当 x ? 0 时, h?( x) ? xe ? 0 ,∴ h( x ) 是 ? 0, ?? ? 上的增函数,
x

∴ h( x) ? h(0) ? 0 ,
4

故 f ?( x) ?

h( x) ? 0 ,即函数 f ( x) 是 ? 0, ?? ? 上的增函数. -----------------6 分 x2
ex ?1 ex ? x ?1 ?1 ? , x x
x
x

(2) f ( x) ? 1 ?

当 x ? 0 时,令 g ( x) ? e ? x ? 1 ,则 g ?( x) ? e ? 1 ? 0 , 故 g ( x) ? g (0) ? 0 ,∴ f ( x) ? 1 ?

---8 分

ex ? x ?1 , x

原不等式化为

ex ? x ?1 ? a ,即 e x ? (1 ? a) x ? 1 ? 0 ,-----------------10 分 x
x

令 ? ( x) ? e ? (1 ? a) x ? 1 ,则 ? ?( x) ? e ? (1 ? a) ,
x

由 ? ?( x) ? 0 得: e ? 1 ? a ,解得 x ? ln(1 ? a) ,
x

当 0 ? x ? ln(1 ? a) 时, ? ?( x) ? 0 ;当 x ? ln(1 ? a) 时, ? ?( x) ? 0 . 故当 x ? ln(1 ? a) 时,? ( x) 取最小值 ?[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) ,-----------------12 分 令 s(a) ?

1 1 a a ? ?? ?0. ? ln(1 ? a), a ? 0 ,则 s?(a) ? 2 (1 ? a) 1 ? a (1 ? a) 2 1? a

故 s(a) ? s(0) ? 0 ,即 ?[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) ? 0 . 因此,存在正数 x ? ln(1 ? a) ,使原不等式成立.----------------14 分 4、 (广州市 2013 届高三上学期期末)已知 f

? x ? 是二次函数,不等式 f ? x ?
y ? 1 ? 0 平行.

? 0 的解集是

? 0,5 ? ,且 f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线与直线 6 x ?
(1)求 f

? x ? 的解析式;
*

(2)是否存在 t ? N ,使得方程 f

? x ? ? 37 x

? 0 在区间 ? t ,t ? 1? 内有两个不等的实数

根?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由. (1)解法 1:∵ f ∴可设 f
/

? x ? 是二次函数,不等式 f ? x ?
? ax ? x ? 5 ? , a ? 0 .

? 0 的解集是 ? 0,5 ? ,
…………… 1 分 …………… 2 分

? x?

∴ f ( x) ? 2ax ? 5a .

5

∵函数 f ∴f
/

? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线与直线 6 x ?
? ?6 .

y ? 1 ? 0 平行,
…………… 3 分 …………… 4 分 …………… 5 分

?1?

∴ 2a ? 5a ? ?6 ,解得 a ? 2 . ∴f

? x?

? 2 x ? x ? 5 ? ? 2 x 2 ? 10 x .

解法 2:设 f

? x?

? ax 2 ? bx ? c ,
? 0 的解集是 ? 0,5 ? ,

∵不等式 f
2

? x?

∴方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根为 0,5 . ∴ c ? 0,25a ? 5b ? 0 . ∵ f ( x) ? 2ax ? b .
/



…………… 2 分

又函数 f ∴f
/

? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线与直线 6 x ?
? ?6 .


y ? 1 ? 0 平行,

?1?

∴ 2a ? b ? ?6 . 由①②,解得 a ? 2 , b ? ?10 . ∴f

…………… 3 分 …………… 4 分 …………… 5 分

? x?

? 2 x 2 ? 10 x .

(2)解:由(1)知,方程 f

? x ? ? 37 x

? 0 等价于方程 2 x3 ? 10 x2 ? 37 ? 0 .
…………… 6 分

设h x 则h
/

? ?

? 2 x3 ? 10 x 2 ? 37 ,
? 6 x 2 ? 20 x ? 2 x ? 3x ? 10 ? .
…………… 7 分

? x?
? ?

当 x ? ? 0,

? 10 ? 10 ? / ? 时, h ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减; ……… 8 分 3? ? 3?

当x ? ?

? 10 ? ? 10 ? , ?? ? 时, h / ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ? , ?? ? 上单调递增. … 9 分 ? 3 ? ? 3 ? ? 10 ? 1 ? 0,h ? 4 ? ? 5 ? 0 , ? ? ? 27 ? 3?
…………… 12 分

∵ h 3 ? 1 ? 0, h ?

??

6

∴方程 h x

? ?

? 10 ? ? 10 ? ? 0 在区间 ? 3, ? , ? , 4 ? 内分别有唯一实数根,在区间 ? 0,3? , ? 3? ? 3 ?
…………… 13 分

? 4,?? ? 内没有实数根.
∴存在唯一的自然数 t ? 3 ,使得方程 f 有两个不等的实数根. 5、 (惠州市 2013 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? x ? 3ax(a ? R)
3

? x ? ? 37 x

? 0 在区间 ? t ,t ? 1? 内有且只
…………… 14 分

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的极小值; (2) 若直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线, a 的取值范围; 求 (3)设 g ( x) ?| f ( x) |, x ?[ ?1,1] ,求 g ( x) 的最大值 F (a) 的解析式. 解: (1)?当a ? 1时, f ( x) ? 3x ? 3, 令f ( x) ? 0, 得x ? ?1或x ? 1 …………1 分
' 2 '

当 x ? (?1,1) 时, f ( x) ? 0,当x ? (??,?1] ? [1,??) 时, f ( x) ? 0 ,
' '

? f ( x)在(?1,1)上单调递减, 在(??,?1], [1,??)上单调递增

…………2 分

? f (x) 的极小值是 f (1) ? ?2
/ 2

…………………3 分

(2)法 1: f ( x ) ? 3 x ? 3a ,直线 x ? y ? m ? 0 即 y ? ? x ? m , 依题意,切线斜率 k ? f ( x) ? 3 x ? 3a ? ?1 ,即 3 x ? 3a ? 1 ? 0 无解……………4 分
/ 2

2

?? ? 0 ? 4 ? 3(?3a ? 1) ? 0

?a ?

1 3
/

………………6 分
2

法 2: f ( x ) ? 3 x ? 3a ? ?3a ,……………4 分 要使直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线,当且仅当 ?1 ? ?3a 时成立,? a ?

1 3

………………6 分
3

(3)因 g ( x) ?| f ( x) |?| x ? 3ax | 在[?1,1]上是偶函数, 故只要求在 [0,1] 上的最大值. …………7 分

7

①当 a ? 0 时, f ( x) ? 0, f ( x)在[0,1]上单调递增且f (0) ? 0,? g ( x) ? f ( x)
/

F (a) ? f (1) ? 1 ? 3a.
②当 a ? 0 时, f ( x) ? 3x ? 3a ? 3( x ?
' 2

…………………9 分

a )( x ? a ),

(ⅰ)当 a ? 1, 即a ? 1

g ( x) ?| f ( x) |? ? f ( x),

? f ( x) 在 [0,1] 上单调递增,此时 F (a) ? ? f (1) ? 3a ? 1 …………………10 分
(ⅱ)当 0 ?

a ? 1,即0 ? a ? 1 时, f ( x)在[0, a ]上单调递减, 在 [ a ,1] 单调递增;

1°当 f (1) ? 1 ? 3a ? 0,即 ? a ? 1 时,

1 3

g ( x) ?| f ( x) |? ? f ( x),? f ( x)在[0, a ]上单调递增, 在[ a ,1]上单调递减, F ( a ) ? ? f ( a ) ? 2a a ;
2°当 f (1) ? 1 ? 3a ? 0, 即0 ? a ?

1 3

1 时, F (a) ? f (1) ? 1 ? 3a 4 1 1 (ⅱ)当 ? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a,即 ? a ? 时, F (a) ? ? f ( a ) ? 2a a ……13 分 4 3
(ⅰ)当 ? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a,即0 ? a ?

综上

1 ? ?1 ? 3a, (a ? 4 ) ? 1 ? F ( x) ? ?2a a , ( ? a ? 1) 4 ? ?3a ? 1, (a ? 1) ? ?

………………14 分

6、 (江门市 2013 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? x ? ⑴若 x ? 2 是 f (x) 的极值点,求 a 的值; ⑵若 ?x ? 0 , f ( x) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围. 解:⑴ f ( x) ? 1 ? a ( x ? 1) ?
/

1 a ( x ? 1) 2 ? ln x ,其中 a ? R . 2

1 ……2 分, x / 因为 x ? 2 是 f (x) 的极值点,所以 f (2) ? 0 ……3 分, 1 1 解 1 ? a (2 ? 1) ? ? 0 得 a ? ……4 分, 2 2 1 2 2 ⑵(方法一)依题意 x ? a ( x ? 1) ? ln x ? 1 , a ( x ? 1) ? 2( x ? 1 ? ln x) , x ? 0 2

……5 分。

x ? 1时, a ( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1 ? ln x) 恒成立……6 分

8

x ? 0 且 x ? 1 时,由 a ( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1 ? ln x) 得 a ?
设 g ( x) ? x ? 1 ? ln x , x ? 0 , g / ( x) ? 1 ?

2 ( x ? 1 ? ln x) …8 分 ( x ? 1) 2

1 / ……9 分,当 0 ? x ? 1 时 g ( x) ? 0 , x / 当 x ? 1时 g ( x) ? 0 ……10 分,所以 ?x ? 0 , g ( x) ? g (1) ? 0 ……12 分 2 所以,当 x ? 0 且 x ? 1 时, ( x ? 1 ? ln x) ? 0 ,从而 a ? 0 ……13 分, ( x ? 1) 2 综上所述, a 的取值范围为 (?? , 0] ……14 分. 1 x ?1 (方法二)由⑴ f / ( x) ? 1 ? a ( x ? 1) ? ? (1 ? ax) ……5 分, x x / / 若 a ? 0 ,则 1 ? ax ? 0 ,由 f ( x) ? 0 得 x ? 1……7 分,且当 0 ? x ? 1 时 f ( x) ? 0 ,
当 x ? 1时 f ( x) ? 0 ……8 分,所以 ?x ? 0 , f ( x) ? f (1) ? 1 ……10 分
/

1 1 ? 1? ……11 分,取 m ? max ?1 , ? 为 1 与 两数 a a ? a? / 的 较 大 者 , 则 当 x ? m 时 f ( x) ? 0 … … 12 分 , 从 而 f (x) 在 (m , ? ?) 单 调 减 少 , 1 f ( x) ? x ? a ( x ? 1) 2 ? ln x 无最小值, f ( x) ? 1 不恒成立……13 分。 2 2 (说明一:本段解答如举反例亦可,评分如下:若 a ? 0 ,取 x0 ? 3 ? (? 3) ……11 a 2 1 2 2 2 2 分, f ( x0 ) ? 3 ? ? a(3 ? ? 1) ? ln(3 ? ) ? ?1 ? 2a ? ln(3 ? ) ? 0 ? 1 , f ( x) ? 1 a 2 a a a 不恒成立……13 分。说明二:若只讨论一个特例,例如 a ? 1 ,给 1 分) 综上所述, a 的取值范围为 (?? , 0] ……14 分. 1 3 2 7、 (茂名市 2013 届高三上学期期末)已知函数 g ( x) ? ax ? 2 x ? 2 x ,函数 f ( x) 是函数 3 g ( x) 的导函数. (1)若 a ? 1 ,求 g ( x) 的单调减区间; (2)当 a ? (0, ??) 时,若存在一个与 a 有关的负数 M,使得对任意 x ? ? M , 0? 时,
若 a ? 0 ,由 f ( x) ? 0 得 x ? 1或 x ?
/

?4 ? f ( x ) ? 4 恒成立,求 M 的最小值及相应的 a 值。

9

8、 (汕头市 2013 届高三上学期期末) 设函数 f ( x) ? ( x ? a )e ? (a ? 1) x ? a ,a ? R . (注:
x

e 为自然对数的底数. ) (1)当 a ? 1 时,球的单调区间; (2)(i)设 g (x) 是 f (x) 的导函数, 证明: a ? 2 时, (0,??) 上恰有—个 x0 使得 g ( x0 ) ? 0 当 在 (ii)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x ? [0,2] ,恒有 f ( x) ? 0 成立. 解:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 1)e ? 1,? f ( x) ? xe
x x

…………1 分

10

? e x ? 0 ,令 f ' ( x) ? 0 得: x ? 0 ;令 f ' ( x) ? 0 得: x ? 0
所以函数 f (x) 的减区间是 (??,0) ;增区间是 (0,??) (2)(i)证明: …………3 分

? g ( x) ? f ' ( x) ? e x ( x ? a ? 1) ? (a ? 1),? g ' ( x) ? e x ( x ? a ? 2)
? a ? 2,? a ? 2 ? 0 ,且 e x ? 0, x ? 0 ,
令 g ' ( x) ? 0 得: 0 ? x ? a ? 2 ;令 g ' ( x) ? 0 得: x ? a ? 2 则函数 g (x) 在 (0, a ? 2) 上递减;在 (a ? 2,??) 上递增

………4 分

………6 分

? g (0) ? 0,? g (a ? 2) ? 0 ,又 g (a) ? e a ? a ? 1 ? 0
所以函数 g (x) 在 (0, a ? 2) 上无零点,在 (a ? 2,??) 上有惟一零点 因此在 (0,??) 上恰有一个 x0 使得 g ( x0 ) ? 0 .
x

…………8 分

(ii)若 a ? 2 ,则 ? a ? 2 ? 0 ,对 ?x ? [0,2], g ' ( x) ? e ( x ? a ? 2) ? 0 恒成立, 故函数 g (x) 在 [0,2] 上是增函数, g ( x) ? g (0) ? 0 ,因此函数 f (x) 在 [0,2] 内单调递增, ? 而 f (0) ? 0 ,? f ( x) ? f (0) ? 0 ,不符题意。 ………10 分

?a ? 2 ,由(i)知 f (x) 在 (0, x0 ) 递减, ( x0 ,??) 递增,
设 f (x) 在[0,2]上最大值为 M,则 M ? max{ f (0), f (2)} , 故对任意的 x ? [0,2] ,恒有 f ( x) ? 0 成立等价于 ?

? f (0) ? 0 , ? f (2) ? 0

……12 分

由 f (2) ? 0 得: (2 ? a )e ? 2a ? 2 ? a ? 0 ,? a ?
2

2e 2 ? 2 4 ? 2? 2 ? 2, 2 e ?3 e ?3
……14 分

又 f (0) ? 0 ,? a ?

2e 2 ? 2 。 e2 ? 3
2 2

9、 (增城市 2013 届高三上学期期末)圆 x ? y ? 1 内接等腰梯形 ABCD ,其中 AB 为圆的 直径(如图) . (1)设 C ( x, y)( x ? 0) ,记梯形 ABCD 的周长为 D

y
C

f ( x) ,求 f ( x) 的解析式及最大值;
11

A O

B

x

(2)求梯形 ABCD 面积的最大值. 解: (1)过点 C 作 CE ? AB 于 E , 则 OE ? x(0 ? x ? 1)

? EB ? 1 ? x

1分 2分 3分 4分

? x 2 ? y 2 ? 1,? CB ?

y 2 ? (1 ? x) 2

? 2 ? 2x

? f ( x) ? 2 ? 2 x ? 2 2 ? 2 x (0 ? x ? 1)
2 令 2 ? 2 x ? t ,则 2 x ? 2 ? t (0 ? t ?

2)

5分 6分 7分 8分 9分 10 分

? f ( x) ? 4 ? t 2 ? 2t ? ?(t ? 1) 2 ? 5 ? 5

1 时 f (x) 有最大值 5 2 1 一、设 C ( x, y)( x ? 0) ,则 S ( x) ? ( AB ? DC ) y 2 1 ? (2 ? 2 x) y ? ( x ? 1) 1 ? x 2 (0 ? x ? 1) 2
当 t ? 1 ,即 x ?

1 ? 2x ? S ?( x) ? 1 ? x 2 ? ( x ? 1) ? ? 2 1? x2
? ? 2x2 ? x ?1 1? x2
=0

11 分

? 2 x 2 ? x ? 1 ? 0, (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0,? x ?
且当 0 ? x ? 所以当 x ?

1 2

12 分 13 分

1 1 时, S ?( x) ? 0 ,当 ? x ? 1 时, S ?( x) ? 0 2 2

3 3 1 时, S (x) 有最大值 ,即 4 2

14 分

或解:设 ?BAC ? ? (0 ? ? ? 90?) ,过点 C 作 CE ? AB 于 E

? AB 是直径,??ACB ? 90? ? AC ? 2 cos?
? AE ? AC ? c o ? ? 2 c o 2 ? , CE ? AC ? s i n ? 2 s i n c o ? s s ? ? s

8分 9分 10 分 11 分

?OE ? 2 s i n c o ? ?1 ? s 1 3 S (? ) ? (2 ? 4 s i n c o ? ? 2)2 s i n c o ? ? 4 s i n? c o ? ? s ? s s 2
2 3 ? S ?(? ) ? 4 ? 3 s i n ? c o ? c o ? ? 4 s i n? (? s i n ) s s ?

? 4 sin 2 ? (3 cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 4 sin 2 ? cos2 ? (3 ? tan2 ? ) ? 0
12

12 分

? tan? ? 3,?? ? 60?
当 0 ? ? ? 60? 时, S ?(? ) ? 0 ,当 60? ? ? ? 90? 时, S ?(? ) ? 0 所以当 ? ? 60? 时 S (? ) 有最大值 或解:设 C ( x, y)( x ? 0) ,则 S ( x) ?

13 分

3 3 4

14 分 8分 9分 10 分

1 ( AB ? DC ) y 2

1 ? (2 ? 2 x) y ? ( x ? 1) 1 ? x 2 (0 ? x ? 1) 2
? ( x ? 1) 3 (1 ? x)

?

1 ( x ? 1)( x ? 1)( x ? 1)(3 ? 3x) 3 1 6 4 3 3 ( ) ? 3 2 4

11 分

?
当且仅当 x ? 1 ? 3x ? 3 ,即 x ? 所以

12 分

1 时等号成立 2
14 分

13 分

10、 (湛江市 2013 届高三上学期期末)设函数 f ( x) ? x(e ? 2) ? ax ( x ? 0) ,其中 e 是自
x 2

然对数的底,a 为实数。 (1)若 a=1,求 f(x)的单调区间; (2)当 a≠1 时,f(x)≥-x 恒成立,求实数 a 的取值范围。

13

11、 (肇庆市 2013 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? (ax ? x)e ,其中 e 是自然对数的
2 x

底数, a ? R . (1)当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)当 a ? 0 时,求整数 t 的所有值,使方程 f ( x) ? x ? 2 在 [t , t ? 1] 上有解; (3)若 f ( x) 在 [?1,1] 上是单调增函数,求 a 的取值范围. 解:(1)因为 e x ? 0 ,所以不等式 f ( x) ? 0 即为 ax2 ? x ? 0 ,又因为 a ? 0 ,所以不等式可化为
1 ? 1 所以不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? ? , 0 x( x ? ) ? 0 , a ? a
? ?. ?

(4 分)

(2)当 a ? 0 时, 方程即为 xex ? x ? 2 ,由于 e x ? 0 ,所以 x ? 0 不是方程的解,所以原方程 2 2 2 等价于 e x ? ? 1 ? 0 ,令 h( x) ?e x ? ? ,因为 h?( x) ? e x ? 2 ? 0 对于 x ? ? ??,0 ? ? ? 0, ?? ? 恒 1 x x x 成立, 所以 h( x) 在 ? ??,0 ? 和 ? 0, ?? ? 内是单调增函数, 又 h(1) ? e ? 3 ? 0 , h(2) ? e2 ? 2 ? 0 ,
1 h(?3) ? e?3 ? ? 0 , h(?2) ? e?2 ? 0 ,所以方程 f ( x) ? x ? 2 有且只有两个实数根,且分别 3
2 ? 在区间 ?1,? 和 ? ?3, 2? 上,所以整数 t 的所有值为 ??3,1? .

(8

分) (3) f ?( x) ? (2ax ? 1)e x ? (ax2 ? x)e x ? [ax2 ? (2a ? 1) x ? 1]e x , ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? ( x ? 1)e , f ?( x) ≥ 0 在 [?1, 上恒成立,当且仅当 x ? ?1 时取等 1]
x

号 (10 分)





a?0











②当 a ? 0 时,令 g ( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? 1 ,因为 ? ? (2a ? 1)2 ? 4a ? 4a 2 ? 1 ? 0 , 所以 g ( x) ? 0 有两个不相等的实数根 x1 , x2 ,不妨设 x1 ? x2 ,因此 f ( x) 有极大值又有 极小值.

14

若 a ? 0 ,因为 g (?1) ? g (0) ? ?a ? 0 ,所以 f ( x) 在 (?1, 内有极值点, 1) 故 f ( x) 在 ? ?1, 上不单调. 1? 分) 若 a ? 0 ,可知 x1 ? 0 ? x2 , 因为 g ( x) 的图象开口向下,要使 f ( x) 在 [?1, 上单调,因为 g (0) ? 1 ? 0 ,必须满足 1]
? g (1) ≥ 0, ?3a ? 2 ≥ 0, 2 即? 所以 ? ≤ a ? 0 . ? 3 ? g (?1) ≥ 0. ?? a ≥ 0.

(12

? 2 ? 综上可知, a 的取值范围是 ? ? ,0? . ? 3 ?

(14 分)

12、 (中山市 2013 届高三上学期期末)已知函数 f ? x ? ? 数.

1 3 x ? ax ? b ,其中实数 a, b 是常 3

(Ⅰ)已知 a ? ?0,1,2?, b ? ?0,1,2? ,求事件 A :“ f ?1? ? 0 ”发生的概率;

(Ⅱ)若 f ? x ? 是 R 上的奇函数, g ?a ? 是 f ? x ? 在区间 ?? 1,1? 上的最小值,求当 a ? 1 时

g ?a ? 的解析式;
(Ⅲ) y ? f ? x ? 的导函数为 f ?? x ? , 记 则当 a ? 1 时, 对任意 x1 ? ?0,2? , 总存在 x2 ? ?0,2? 使得 f ( x1 ) ? f ?( x2 ) ,求实数 b 的取值范围. 解: (Ⅰ)当 a ? ?0,1, 2? , b ? ?0,1, 2? 时,等可能发生的基本事件 (a, b) 共有 9 个:

(0,,,,, (1,,,,,,,,,,, 0) (0 1) (0 2), 0) (11) (1 2) (2 0) (2 1) (2 2).
其中事件 A : “ f (1) ?

1 ? a ? b ? 0 ”,包含 6 个基本事件: 3

(0,,,,,,,,,,, 0) (0 1) (0 2) (11) (1 2) (2 2).

6 2 2 ? . 即事件“ f (1) ? 0 ”发生的概率 9 3 3 1 (Ⅱ) f ( x) ? x 3 ? ax ? b, 是 R 上的奇函数,得 f (0) ? 0, b ? 0. (5 分) 3 1 ∴ f ( x) ? x 3 ? ax, f ?( x) ? x 2 ? a , 3
故 P ( A) ? 16.当 a ? 1 时,因为 ?1 ? x ? 1 ,所以 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ? ?1,1? 上单调递减, 从而 g (a ) ? f (1) ?

1 ?a ; 3

17.当 a ? ?1 时,因为 ?1 ? x ? 1 ,所以 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ? ?1,1? 上单调递增,

15

从而 g (a ) ? f ( ?1) ? ?

1 ?a, 3 ? 1 ?a ? 3 , a ? ?1 ? 综上,知 g (a ) ? ? . 1 ??a ? , a ? 1 ? 3 ?

(Ⅲ)当 a ? 1 时,

1 3 x ? x ? b,? f ?? x ? ? x 2 ? 1 3 ?? x ? ? 0, 当x ? ?1,2 ?时f ?? x ? ? 0 当 x ? ?0,1?时f

f ?x ? ?

2 ? f ? x ?在?0,1?上递减,在?1,2 ?上递增 ,即 f ? x ?min ? f ?1? ? ? ? b 3 2 2 ? ? 2 又? f ?0 ? ? b, f ?2 ? ? ? b ? f ?0 ? ,?当x ? ?0,?时,f ? x ? ? ?? ? b, ? b ? 2 3 3 ? ? 3 2 而 f ? ? x ? ? x ? 1在x ? ? 0, 2? 上递增 , f ?( x) ? [ ?1,3] ? ? 对任意 x ? ?0,2? ,总存在 x ? ?0,2? 使得 f ( x1 ) ? f ( x2 )
1 2

2 ? 2 ? ? f ? x ?的值域 ? f ? ? x ?的值域, ?- ? b, ? b ? ? ? ?1,3? 即 3 ? 3 ? 2 2 1 7 ? - ? b ? ?1 且 ? b ? 3 ,解得 ? ? b ? 3 3 3 3
13、 (珠海市 2013 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? ln x ?

a ? 0.
(1)若曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线与直线 y ? (2)若函数 f ( x) 在区间[1,2]上的最小值为 解: f '( x) ?

a?x ,其中 a 为常数,且 x 1 x ? 1 垂直,求 a 的值; 2

1 ? x ? (a ? x) 1 a x ? a ? ? ? 2 ? 2 (x ?0) x x2 x x x

1 ,求 a 的值. 2
………………… 2 分

(1)因为曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线与直线 y ?

1 , x ? 1 垂直, 2

所以 f '(1) ? -2 ,即 1 ? a ? ?2, 解得a ? 3. ……………………………………4 分 (2)当 0 ? a ? 1 时, f '( x) ? 0 在(1,2)上恒成立, 这时 f ( x) 在[1,2]上为增函数

? f ( x) min ? f (1) ? a ? 1

………………………………………6 分

当 1 ? a ? 2 时,由 f '( x) ? 0 得, x ? a ? (1, 2)

? 对于 x ? (1, a ) 有 f '( x) ? 0, f ( x) 在[1,a]上为减函数,
16

对于 x ? (a, 2) 有 f '( x) ? 0, f ( x) 在[a,2]上为增函数,

? f ( x) min ? f (a ) ? ln a

…………………………………8 分

当 a ? 2 时, f '( x) ? 0 在(1,2)上恒成立, 这时 f ( x) 在[1,2]上为减函数,

? f ( x) min ? f (2) ? ln 2 ?

a ? 1 .…………………………………10 分 2

于是,①当 0 ? a ? 1 时, f ( x) min ? a ? 1 ? 0 ②当 1 ? a ? 2 时, f ( x) min ? ln a ,令 ln a ? ③当 2 ? a 时, f ( x) min 综上, a ?

1 ,得 a ? e …11 分 2 a 1 ? ln 2 ? ? 1 ? ln 2 ? …12 分 2 2

e

……………………………14 分

17


相关文章:
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--导数及其应用 Word版含答案
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--导数及其应用 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--导数...
江苏省13市县2016届高三数学上学期期末考试试题分类汇编 导数及其应用
江苏省 13 市县 2016 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编 导数及其应用一、填空题 1 ( x ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线分别 x 1 与 x 轴...
江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编:导数及其应用
江苏省 13 市县 2016 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编 导数及其应用一、填空题 1 ( x ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线分别与 x 轴,y 轴...
江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编:导数及其应用
江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编:导数及其应用_数学_高中教育_教育专区。江苏省 13 市县 2016 届高三上学期期末考试数学试题分类汇 编 导数...
江苏省12市2015届高三数学_分类汇编_导数及其应用
江苏省12市2015届高三数学_分类汇编_导数及其应用_数学_高中教育_教育专区。江苏省 12 市 2015 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编 导数及其应用一、填空题 ?p...
江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编:导数及其应用 Word版含答案
江苏省 13 市县 2016 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编 导数及其应用一、填空题 1 ( x ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线分别 x 1 与 x 轴...
2015-2016学年江苏13市高三数学期末考试试题分类汇编:导数及其应用(含答案)(上学期)
江苏省 13 市县 2016 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编 导数及其应用一、填空题 1 ( x ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线分别 x 1 与 x 轴...
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--导数及其应用
江苏省 13 大市 2013 届高三上学期期末数学试题分类汇编 导数及其应用 1、(南通市 2013 届高三期末)曲线 f ( x) ? 为▲. f ?(1) x 1 e ? f (0)...
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编-导数及其应用
江苏省 13 大市 2013 届高三上学期期末数学试题分类汇编 导数及其应用 1、 (南通市 2013 届高三期末)曲线 f ( x) ? 为▲. f ?(1) x 1 e ? f (0...
更多相关标签:
导数 | 导数及其应用测试题 | 高中数学选修2-2 | 导数及其应用ppt | 导数及其应用教案 | 导数及其应用知识点 | 牟合方盖 | 导数及其应用练习题 |