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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第八章 第3讲 圆的方程


第 3 讲 圆的方程

1.圆的定义及方程 定义 标准方程 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) (x-a) +(y-b) =r (r>0)
2 2 2

圆心:(a,b),半径:r 圆心:(- ,- ), 2 2 1 2 2 半径: D +E -4F 2

D

E

一般方程

x +y +Dx+Ey+F=0(D +E
-4F>0)

2

2

2

2

2.点与圆的位置关系 点 M(x0,y0)与圆(x-a) +(y-b) =r 的位置关系: (1)若 M(x0,y0)在圆外,则(x0-a) +(y0-b) >r . (2)若 M(x0,y0)在圆上,则(x0-a) +(y0-b) =r . (3)若 M(x0,y0)在圆内,则(x0-a) +(y0-b) <r . [做一做] 1.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A.x +(y-2) =1 B.x +(y+2) =1 C.(x-1) +(y-3) =1 D.x +(y-3) =1 答案:A 2.点(1,1)在圆(x-a) +(y+a) =4 内,则实数 a 的取值范围是( A.(-1,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(0,1) D.(1,+∞)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

)

解析:选 A.∵点(1,1)在圆的内部, ∴(1-a) +(1+a) <4, ∴-1<a<1.
2 2

1.辨明两个易误点

(1)解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算. (2)对于方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示圆时易忽视 D +E -4F>0 这一条件. 2.待定系数法求圆的方程 (1)若已知条件与圆心(a,b)和半径 r 有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关 于 a,b,r 的方程组,从而求出 a,b,r 的值; (2)若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关 于 D,E,F 的方程组,进而求出 D,E,F 的值. [做一做] 3.方程 x +y +4mx-2y+5m=0 表示圆的充要条件的是( 1 A. <m<1 4 1 C.m< 4 1 B.m< 或 m>1 4 D.m>1
2 2 2 2 2 2

)

1 2 解析:选 B.由(4m) +4-4?5m>0,得 m< 或 m>1. 4 4.圆心在 y 轴上且经过点(3,1)的圆与 x 轴相切,则该圆的方程是( A.x +y +10y=0 C.x +y +10x=0
2 2 2 2

)

B.x +y -10y=0 D.x +y -10x=0
2 2

2

2

解析:选 B.设圆心为(0,b),半径为 r,则 r=|b|, ∴圆的方程为 x +(y-b) =b . ∵点(3,1)在圆上, ∴9+(1-b) =b ,解得:b=5. ∴圆的方程为 x +y -10y=0.
2 2 2 2 2 2 2

考点一__求圆的方程__________________________

根据下列条件,求圆的方程: (1)经过 P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在 x 轴上截得的弦长等于 6; (2)圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2). [解] (1)设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0, 将 P、Q 点的坐标分别代入得
? ?2D-4E-F=20, ? ?3D-E+F=-10. ?
2 2 2

① ②

又令 y=0,得 x +Dx+F=0.③

设 x1,x2 是方程③的两根, 由|x1-x2|=6,有 D -4F=36,④ 由①②④解得 D=-2,E=-4,F=-8 或 D=-6,E=-8,F=0. 故所求圆的方程为 x +y -2x-4y-8=0 或 x +y -6x-8y=0. (2)设所求方程为(x-x0) +(y-y0) =r , 根据已知条件得
2 2 2 2 2 2 2 2

y =-4x , ? ?(3-x ) +(-2-y ) =r , ?|x +y -1| =r, ? ? 2
0 0 2 2 2 0 0 0 0

=1, ?x 解得?y =-4, ?r=2 2.
0 0

因此所求圆的方程为(x-1) +(y+4) =8. [规律方法] 求圆的方程,主要有两种方法: (1)几何法:具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如:①圆心在过切 点且与切线垂直的直线上;②圆心在任意弦的中垂线上;③两圆相切时,切点与两圆心三点 共线. (2)代数法: 根据条件设出圆的方程, 再由题目给出的条件,列出等式,求出相关量. 一 般地,与圆心和半径有关,选择标准式,否则,选择一般式.不论是哪种形式,都要确定三 个独立参数,所以应该有三个独立等式. 1.(1)已知圆心为 C 的圆经过点 A(0,-6),B(1,-5),且圆心在直 线 l:x-y+1=0 上,求圆的标准方程; (2)若不同的四点 A(5,0)、B(-1,0)、C(-3,3)、D(a,3)共圆,求 a 的值. 解: (1) 法一:设圆的方程为 x + y + Dx + Ey + F = 0(D + E - 4F>0) ,则圆心坐标为
2 2 2 2

2

2

?-D,-E?. ? 2 ? 2? ?
(-6) -6E+F=0 ? ? 2 2 由题意可得?1 +(-5) +D-5E+F=0, ? ?D-E-2=0 消去 F 得?
?D+E-10=0 ? ?D-E-2=0 ?
2



解得?

? ?D=6 ?E=4 ?

,代入求得 F=-12,
2 2

所以圆的方程为 x +y +6x+4y-12=0,

标准方程为(x+3) +(y+2) =25. 法二:因为 A(0,-6),B(1,-5), 11? ?1 所以线段 AB 的中点 D 的坐标为? ,- ?, 2? ?2 -5-(-6) 直线 AB 的斜率 kAB= =1, 1-0 因此线段 AB 的垂直平分线 l 的方程是

2

2

y+ =-?x- ?, 2

11 2

? ?

1?

?

即 x+y+5=0. 圆心 C 的坐标是方程组?
? ?x=-3 ?y=-2 ? ?x+y+5=0 ? ? ?x-y+1=0

的解,

解得?



所以圆心 C 的坐标是(-3,-2). 圆的半径长

r=|AC|= (0+3)2+(-6+2)2=5,
所以,圆心为 C 的圆的标准方程是(x+3) +(y+2) =25. (2)设过 A、B、C 三点的圆的方程为
2 2

x2+y2+Dx+Ey+F=0,
分别代入 A、B、C 三点坐标,得 25+5D+F=0, ? ? ?1-D+F=0, ? ?9+9-3D+3E+F=0,

D=-4, ? ? 25 解得?E=- , 3 ? ?F=-5.
25 2 2 ∴A、B、C 三点确定的圆的方程为 x +y -4x- y-5=0. 3 ∵D(a,3)也在此圆上, ∴a +9-4a-25-5=0. ∴a=7 或 a=-3(舍去). 即 a 的值为 7. 考点二__与圆有关的最值问题(高频考点)________
2

与圆有关的最值问题,是高考命题的热点,多以选择题、填空题的形式呈现,试题难度 不大,多为容易题、中档题. 高考中对与圆有关的最值问题的考查主要有以下四个命题角度: (1)求一次或二次式的最值; (2)求圆上的点与圆外点距离的最值; (3)求圆上的点到直线距离的最值; (4)求 z=

y+n 的最值. x+m
2 2

已知实数 x,y 满足方程 x +y -4x+1=0. (1)求 的最大值和最小值; (2)求 y-x 的最大值和最小值; (3)求 x +y 的最大值和最小值. [解] 原方程可化为(x-2) +y =3,表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆. (1) 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, 所以设 =k,即 y=kx. |2k-0| 当直线 y=kx 与圆相切时, 斜率 k 取最大值或最小值, 此时 2 = 3, 解得 k=± 3 k +1 (如图 1). 所以 的最大值为 3,最小值为- 3.
2 2 2 2

y x

y x

y x

y x

(2)y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截距,当直线 y=x+b 与圆相切时,纵截距

b 取得最大值或最小值,此时

|2-0+b| = 3,解得 b=-2± 6(如图 2). 2

所以 y-x 的最大值为-2+ 6,最小值为-2- 6. (3)x +y 表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线 与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图 3). 又圆心到原点的距离为 (2-0) +(0-0) =2, 所以 x +y 的最大值是(2+ 3) =7+4 3,x +y 的最小值是(2- 3) =7-4 3.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

[规律方法] 与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型: (1)与圆有关的长度或距离的最值问题,转化为圆的圆心到点、直线的距离,再加半径、 减半径求出最值; (2)形如 μ =

y-b 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; x-a

(3)形如 t=ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题; (4)形如(x-a) +(y-b) 形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值 问题. 2.已知 M 为圆 C:x +y -4x-14y+45=0 上任意一点,且点 Q(-2,3). (1)求|MQ|的最大值和最小值; (2)求点 M 到直线 x+y-7=0 的最大距离; (3)若 M(m,n),求
2 2 2 2 2

n-3 的最大值和最小值. m+2

解:由圆 C:x +y -4x-14y+45=0, 可得(x-2) +(y-7) =8, ∴圆心 C 的坐标为(2,7),半径 r=2 2. (1)|QC|= (2+2) +(7-3) =4 2.
2 2 2 2

2

∴|MQ|max=4 2+2 2=6 2, |MQ|min=4 2-2 2=2 2. |2+7-7| (2)圆心 C(2,7)到直线 x+y-7=0 的距离为 d= = 2. 2 则点 M 到直线 x+y-7=0 的最大距离为 2+2 2=3 2. (3)可知

n-3 表示直线 MQ 的斜率, m+2

设直线 MQ 的方程为 y-3=k(x+2), 即 kx-y+2k+3=0,则

n-3 =k. m+2

由直线 MQ 与圆 C 有交点, ∴ |2k-7+2k+3| ≤2 2. 2 1+k

可得 2- 3≤k≤2+ 3, ∴

n-3 的最大值为 2+ 3,最小值为 2- 3. m+2

考点三__与圆有关的轨迹问题__________________

已知圆 x +y =4 上一定点 A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q 为圆上的动 点. (1)求线段 AP 中点的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90°,求线段 PQ 中点的轨迹方程. [解] (1)设 AP 的中点为 M(x,y),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x-2,2y). 因为 P 点在圆 x +y =4 上,所以(2x-2) +(2y) =4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x-1) +y =1. (2)设 PQ 的中点为 N(x,y),在 Rt△PBQ 中,|PN|=|BN|,设 O 为坐标原点, 连接 ON(图 略),则 ON⊥PQ,所以|OP| =|ON| +|PN| =|ON| +|BN| , 所以 x +y +(x-1) +(y-1) =4. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x +y -x-y-1=0. [规律方法] 求与圆有关的轨迹方程时,根据题设条件的不同常采用以下方法: (1)直接法:直接根据题目提供的条件列方程. (2)定义法:根据圆、直线等定义列方程. (3)几何法:利用圆的几何性质列方程. (4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等. 3.已知在 Rt△ABC 中,A(0,0),B(6,0),求直角顶点 C 的轨迹方程. 解:法一:依题意,顶点 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆,且去掉端点 A,B,圆心坐标为 (3,0),半径为 3, 故直角顶点 C 的轨迹方程为(x-3) +y =9(y≠0). 法二:设顶点 C 的坐标为(x,y), 由于 AC⊥BC,故 kAC?kBC=-1, ∴ ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

y y =-1, x x-6
2

∴x +y -6x=0, 即直角顶点 C 的轨迹方程为(x-3) +y =9(y≠0).
2 2

方法思想——转化与化归思想求与圆有关的最值

(2015?河北唐山一中调研)已知点 A(-3,0),B(3,0),动点 P 满足|PA| =2|PB|. (1)若点 P 的轨迹为曲线 C,求此曲线的方程; (2)若点 Q 在直线 l1:x+y+3=0 上,直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M,

求|QM|的最小值. [解] (1)设点 P 的坐标为(x,y), 则 (x+3) +y =2 (x-3) +y . 化简可得(x-5) +y =16,此即为所求. (2)曲线 C 是以点(5,0)为圆心,4 为半径的圆,如图所 示. 由直线 l2 是此圆的切线,连接 CQ, 则|QM|= |CQ| -|CM| = |CQ| -16, 当 CQ⊥l1 时,|CQ|取最小值, |5+3| 此时|CQ|= =4 2, 2 则|QM|的最小值为 32-16=4. [名师点评] 本题在求最值时,利用了转化与化归及数形结合的思想,把|QM|用|CQ|
2 2 2 2 2 2 2 2 2

表示,由|CQ|的最值确定|QM|的最值,体现了转化思想. 已知圆 C1:(x-2) +(y-3) =1,圆 C2:(x-3) +(y-4) =9,M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( A.5 2-4 C.6-2 2 B. 17-1 D. 17 )
2 2 2 2

解析:选 A.两圆的圆心均在第一象限,先求|PC1|+|PC2|的最小值,作点 C1 关于 x 轴的 对称点 C′1(2,-3),则(|PC1|+|PC2|)min=|C′1C2|=5 2,所以(|PM|+|PN|)min=5 2- (1+3)=5 2-4.

1.经过点(1,0),且圆心是两直线 x=1 与 x+y=2 的交点的圆的方程为( A.(x-1) +y =1 C.x +(y-1) =1 解析:选 B.由?
?x=1 ? ?x=1, ? ,得? ?x+y=2 ?y=1, ? ?
2 2 2 2

)

B.(x-1) +(y-1) =1 D.(x-1) +(y-1) =2
2 2

2

2

即所求圆的圆心坐标为(1,1),又由该圆过点(1,0),得其半径为 1,故圆的方程为(x -1) +(y-1) =1. 2. 已知⊙C: x +y +Dx+Ey+F=0, 则“F=E=0 且 D<0”是“⊙C 与 y 轴相切于原点” 的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2 2 2 2

解析:选 A.由题意可知,要求圆心坐标为?- ,0?,而 D 可以大于 0. ? 2 ? 3.圆(x+2) +y =5 关于直线 y=x 对称的圆的方程为( A.(x-2) +y =5 C.(x+2) +(y+2) =5
2 2 2 2 2 2

? D

?

)

B.x +(y-2) =5 D.x +(y+2) =5
2 2 2 2

2

2

解析:选 D.由题意知所求圆的圆心坐标为(0,-2),所以所求圆的方程为 x +(y+2) =5.

4.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆 的标准方程是(
2

)
2

A.(x-2) +(y-1) =1 C.(x+2) +(y-1) =1
2 2

B.(x-2) +(y+1) =1 D.(x-3) +(y-1) =1
2 2

2

2

解析:选 A.由于圆心在第一象限且与 x 轴相切,故设圆心为(a,1),又圆与直线 4x- |4a-3| 2 2 3y=0 相切,可得 =1,解得 a=2,故圆的标准方程为(x-2) +(y-1) =1. 5 5.(2015?温州模拟)已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB 是 圆 C:x +y -2y=0 的两条切线,A,B 为切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值 为( ) A.4 B.3
2 2

C.2 D. 2 解析:选 C.圆 C 的方程可化为 x +(y-1) =1,因为四边形 PACB 的最小面积是 2,且 此时切线长为 2,故圆心(0,1)到直线 kx+y+4=0 的距离为 5,即 =±2,又 k>0,所以 k=2. 6.如果直线 l 将圆 C:(x-2) +(y+3) =13 平分,那么坐标原点 O 到直线 l 的最大距 离为________. 解析:由题意,知直线 l 过圆心 C(2,-3), 当直线 OC⊥l 时,坐标原点到直线 l 的距离最大, |OC|= 2 +(-3) = 13. 答案: 13 7.已知 A、B 是圆 O:x +y =16 上的两点,且|AB|=6,若以 AB 的长为直径的圆 M 恰 好经过点 C(1,-1),则圆心 M 的轨迹方程是________________. 解析:设圆心坐标为 M(x,y), 则(x-1) +(y+1) =?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

5 1+k
2

= 5,解得 k

?|AB|? , ? ? 2 ?
2
2

即(x-1) +(y+1) =9. 答案:(x-1) +(y+1) =9 8.(2015?太原市模拟)已知点 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,点 C 是圆 x +y -2x -2y+1=0 的圆心,那么|PC|的最小值是________. 解析:点 C 到直线 3x+4y+8=0 上的动点 P 的最小距离即为点 C 到直线 3x+4y+8=0 的距离,而圆心 C 的坐标是(1,1),因此最小距离为 答案:3 9.在平面直角坐标系 xOy 中,求与 x 轴相交于 A(1,0)和 B(5,0)两点且半径为 5的 圆的标准方程. 解:法一:设圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =5. 因为点 A,B 在圆上,所以可得到方程组:
? ? ?(1-a) +(0-b) =5, ?a=3, ? 解得? 2 2 ? ? ?(5-a) +(0-b) =5, ?b=±1.
2 2 2 2 2 2 2

|3?1+4?1+8| =3. 5

所以圆的标准方程是(x-3) +(y-1) =5 或(x-3) +(y+1) =5. 法二:由于 A,B 两点在圆上,那么线段 AB 是圆的一条弦,根据平面几何知识:这个圆 的圆心在线段 AB 的垂直平分线 x=3 上,于是可以设圆心为 C(3,b).
2 2

2

2

又 AC= 5,得

(3-1) +b = 5.

2

2

解得 b=1 或 b=-1. 因此,所求圆的标准方程为(x-3) +(y-1) =5 或(x-3) +(y+1) =5. 10.已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(-1,0)和 B(3,4),线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D,且|CD|=4 10. (1)求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程. 解:(1)直线 AB 的斜率 k=1,AB 的中点坐标为(1,2). 则直线 CD 的方程为 y-2=-(x-1),即 x+y-3=0. (2)设圆心 P(a,b),则由点 P 在 CD 上, 得 a+b-3=0.① 又∵直径|CD|=4 10,∴|PA|=2 10, ∴(a+1) +b =40.② 由①②解得?
?a=-3 ? ? ?b=6
2 2 2 2 2 2

或?

?a=5, ? ? ?b=-2.

∴圆心 P(-3,6)或 P(5,-2). ∴圆 P 的方程为(x+3) +(y-6) =40 或(x-5) +(y+2) =40.
2 2 2 2

1.若曲线 C:x +y +2ax-4ay+5a -4=0 上所有的点均在第二象限内,则 a 的取值 范围为( ) B.(-∞,-1) D.(2,+∞)
2 2

2

2

2

A.(-∞,-2) C.(1,+∞)

解析:选 D.曲线 C 的方程可化为(x+a) +(y-2a) =4, 其为圆心为(-a,2a),半径为 2 的圆, 要使圆 C 的所有的点均在第二象限内, 则圆心(-a,2a)必须在第二象限,从而有 a>0, 并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆 C 的半径, 易知圆心到坐标轴的最短距离为|-a|, 则有|-a|>2,得 a>2. 2.已知两点 A(0,-3)、B(4,0),若点 P 是圆 C:x +y -2y=0 上的动点,则△ABP 面积的最小值为( )
2 2

A.6 C.8

B. D.

11 2 21 2

解析:选 B.如图,过圆心 C 向直线 AB 作垂线交圆于点 P,这时△ABP 的面积最小.直 线 AB 的 方 程 为 + = 1 , 即 3x - 4y - 12 = 0 , 圆心 C 到 直 线 AB 的 距 离为 d = 4 -3 |3?0-4?1-12| 16 = , 2 2 5 3 +(-4)

x

y

1 16 11 ∴△ABP 的面积的最小值为 ?5?( -1)= . 2 5 2 3.当方程 x +y +kx+2y+k =0 所表示的圆的面积取最大值时,直线 y=(k-1)x+2 的倾斜角 α =________. 1 2 1 2 2 解析:由题意知,圆的半径 r= k +4-4k = 4-3k ≤1,当半径 r 取最大值时, 2 2 圆的面积最大, 此时 k=0, r=1, 所以直线方程为 y=-x+2, 则有 tan α =-1, 又 α ∈[0, 3π π ),故 α = . 4 3π 答案: 4 4.(创新题)已知直线 2ax+by=1(a,b 是实数)与圆 O:x +y =1(O 是坐标原点)相 交于 A,B 两点,且△AOB 是直角三角形,点 P(a,b)是以点 M(0,1)为圆心的圆 M 上的任意 一点,则圆 M 的面积的最小值为________. 解析:因为直线与圆 O 相交所得△AOB 是直角三角形,可知∠AOB=90°,所以圆心 O 到直线的距离为 1 2a + b
2 2 2 2 2 2 2 2



2 1 2 2 ,所以 a =1- b ≥0,即- 2≤b≤ 2.设圆 M 的半径为 r, 2 2
2

则 r=|PM|= a +(b-1) =

1 2 2 b -2b+2= (2-b),又- 2 ≤b≤ 2,所以 2 + 2 2

1≥|PM|≥ 2-1,所以圆 M 的面积的最小值为(3-2 2)π . 答案:(3-2 2)π 5.(2013?高考课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段

长为 2 2,在 y 轴上截得线段长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 2 ,求圆 P 的方程. 2

解:(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 由题设 y +2=r ,x +3=r ,从而 y +2=x +3. 故 P 点的轨迹方程为 y -x =1. |x0-y0| 2 (2)设 P(x0,y0).由已知得 = . 2 2
?|x0-y0|=1, ? 2 2 又 P 点在双曲线 y -x =1 上,从而得? 2 2 ? ?y0-x0=1.
2 2 2 2 2 2 2 2

由?

? ?x0-y0=1,

? ?x0=0, ? 得 2 2 ?y0-x0=1, ? ?y0=-1. ?

此时,圆 P 的半径 r= 3. 由?
?x0-y0=-1, ? ?y -x =1, ?
2 0 2 0

得?

?x0=0, ? ?y0=1, ?

此时,圆 P 的半径 r= 3. 故圆 P 的方程为 x +(y+1) =3 或 x +(y-1) =3. 6.(选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为 2 2的圆 C 与直 线 y=x 相切于坐标原点 O. (1)求圆 C 的方程; (2)试探求 C 上是否存在异于原点的点 Q, 使 Q 到定点 F(4, 0)的距离等于线段 OF 的长? 若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)设圆 C 的圆心为 C(a,b), 则圆 C 的方程为(x-a) +(y-b) =8. ∵直线 y=x 与圆 C 相切于原点 O, ∴O 点在圆 C 上, 且 OC 垂直于直线 y=x,
2 2 2 2 2 2

a +b =8 ? ? ? ? ?a=2 ?a=-2 于是有?b ?? 或? . ?b=-2 ? ?b=2 =-1 ? ? a ?
由于点 C(a,b)在第二象限,故 a<0,b>0, ∴圆 C 的方程为(x+2) +(y-2) =8. (2)假设存在点 Q 符合要求,设 Q(x,y),
2 2

2

2

? ?(x-4) +y =16, 则有? 2 2 ? ?(x+2) +(y-2) =8,

2

2

4 解之得 x= 或 x=0(舍去). 5 4 12 ∴存在点 Q( , ),使 Q 到定点 F(4,0)的距离等于线段 OF 的长. 5 5


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