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第2讲直接证明与间接证明


第2讲 直接证明与间接证明 1.在历年的高考中,证明方法是常考内容,考查的主要方式是对它们原理的理解和用法.难度多 为中档题,也有高档题. 2.从考查形式上看,主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体,考 查综合法、分析法、反证法等方法. 【复习指导】 在备考中,对本部分的内容,要抓住关键,即分析法、综合法、反证法,要搞清三种方法的特点, 把握三种方法在解决问题中的一般步骤,熟悉三种方法适用于解决的问题的类型,同时也要加强训 练,达到熟能生巧,有效运用它们的目的. 1.直接证明 (1)综合法 ①定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要 证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. ②框图表示: P?Q1 → Q1?Q2 → Q2?Q3 →…→ Qn?Q (其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示要证的结论). (2)分析法 ①定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为 判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.这种证明方法叫做分析法. ②框图表示: Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →…→ 得到一个明显成立的条件 . 2.间接证明 一般地,由证明 p?q 转向证明:假设 q 为假?r???t. t 与假设矛盾,或与某个真命题矛盾.从而判定假设 q 为假,推出 q 为真的方法,叫做反证法. 一个关系 综合法与分析法的关系 分析法与综合法相辅相成,对较复杂的问题,常常先从结论进行分析,寻求结论与条件、基础知识 之间的关系,找到解决问题的思路,再运用综合法证明,或者在证明时将两种方法交叉使用. 两个防范 (1)利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并用假设命题进行推理,没有用假设命题推理而 school.chinaedu.com 推出矛盾结果,其推理过程是错误的. (2)用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用 “要证(欲证)…”“即要证…”“就要 证…”等分析到一个明显成立的结论 P,再说明所要证明的数学问题成立. 1.p= ab+ cd,q= ma+nc· A.p≥q 解析 q= B.p≤q b d + (m、n、a、b、c、d 均为正数),则 p、q 的大小为( m n D.不确定 ). C.p>q mad nbc ab+ + +cd≥ ab+2 abcd+cd n m mad abc = ab+ cd=p,当且仅当 = 时取等号. n m 答案 B 2.设 a=lg 2+lg 5,b=ex(x<0),则 a 与 b 大小关系为( A.a>b C.a=b 解析 a=lg 2+lg 5=1,b=ex,当 x<0 时,0<b<1. ∴a>b. 答案 A 3.否定“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时,正确的反设为( A.a,b,c 都是奇数 B.a,b,c 都是偶数 C.a,b,c 中至少有两个偶数 D.a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 解析 ∵a,b,c 恰有一个偶数,即 a,b,c 中只有一个偶数,其反面是有两个或两个以上偶数或 没有一个偶数即全都是奇数,故只有 D 正确. 答案 D 4.设 a、b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中正确的是( A.b-a>0 B.a +b <0 3 3 ). B.a<b D.a≤b ). ). D.b+a>0 C.a -b <0 2 2 解析 ∵a-|b|>0,∴|b|<a,∴a>0,∴-a<b<

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