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高中数学高考总复习函数与方程及应用题习题及详解


高考总复习

高中数学高考总复习函数与方程及应用题习题及详解 一、选择题 2 1.(文)(2010· 北京市延庆县)函数 f(x)=lnx- 的零点所在的区间是( x A.(1,2) C.(e,3) [答案] B 2 [解析] ∵f(2)=ln2-1<0,f(e)=1- >0,故选 B. e (理)(2010· 北京东城区)若 f(x)=(m-2)

x2+mx+(2m+1)=0 的两个零点分别在区间(-1,0) 和区间(1,2)内,则 m 的取值范围是( 1 1 A.?-2,4? ? ? 1 1 C.?4,2? ? ? [答案] C 1 1 [解析] 由题意知,f(-1)· f(0)=(2m-1)· (2m+1)=4m2-1<0,∴- <m< ,又 f(1)· f(2) 2 2 1 7 1 1 =(4m-1)(8m-7)<0,∴ <m< ,∴ <m< . 4 8 4 2 2.(2010· 四川)函数 f(x)=x2+mx+1 的图象关于直线 x=1 对称的充要条件是( A.m=-2 C.m=-1 [答案] A m [解析] 由- =1 得,m=-2. 2
? 2 ?x +2x-3,x≤0, 3.(文)(2010· 福建理,4)函数 f(x)=? 的零点个数为( ?-2+lnx,x>0 ?

)

B.(2,e) D.(3,4)

) 1 1 B.?-4,2? ? ? 1 1 D.?4,2? ? ?

)

B.m=2 D.m=1

)

A.0 C.2 [答案] C

B.1 D.3

[解析] 令 x2+2x-3=0 得,x=-3 或 1 ∵x≤0,∴x=-3,令-2+lnx=0 得,lnx=2 ∴x=e2>0,故函数 f(x)有两个零点. (理)(2010· 福建省福州市)已知三个函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零点 依次为 a、b、c,则( )

含详解答案

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A.a<b<c C.b<a<c [答案] B

B.a<c<b D.c<a<b

1 1 [解析] 由于 f(-1)= -1=- <0, f(0)=1>0, f(x)=2x+x 的零点 a∈(-1,0); 故 ∵g(2) 2 2 1 1 1 1 =0,故 g(x)的零点 b=2;h?2?=-1+ =- <0,h(1)=1>0,故 h(x)的零点 c∈?2,1?,因 ? ? ? ? 2 2 此,a<c<b. [点评] 求函数 f(x)的零点可直接令 f(x)=0 解方程;若 f(x)为分段函数,则要注意每段 上自变量的允许取值范围; 若是讨论零点个数或比较零点的大小, 常用单调性和图象辅助讨 论.请再练习下列两题:
?lnx+2x-6 ?x>0? ? ①(2010· 合肥市)函数 f(x)=? 的零点个数是( ? ?-x?x+1? ?x≤0?

)

A.0 [答案] D

B.1

C.2

D.3

[解析] 令-x(x+1)=0 得 x=0 或-1,满足 x≤0; 当 x>0 时,∵lnx 与 2x-6 都是增函数, ∴f(x)=lnx+2x-6(x>0)为增函数, ∵f(1)=-4<0,f(3)=ln3>0, ∴f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点, 故 f(x)共有 3 个零点. 1 ②(2010· 吉林市质检)函数 f(x)=?2?x-sinx 在区间[0,2π]上的零点个数为( ? ? A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 [答案] B 1 [解析] 在同一坐标系中作出函数 y=?2?x 与 y=sinx 的图象,易知两函数图象在[0,2π] ? ? 内有两个交点. 4.(2010· 安徽江南十校联考)某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的 函数是( ) )

含详解答案

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|x| A.f(x)= x ex-e x C.f(x)= x -x e +e


1 1 B.f(x)= x + 2 -1 2 D.f(x)=lgsinx

[答案] C [解析] 根据程序框图知输出的函数为奇函数,并且此函数存在零点.经验证:f(x)=


|x| x

ex-e x 1 1 不存在零点;f(x)= x + 不存在零点;f(x)= x -x的定义域为全体实数,且 f(-x)= 2 -1 2 e +e e x-ex ex-e x =-f(x),故此函数为奇函数,且令 f(x)= x -x=0,得 x=0,函数 f(x)存在零点; -x e +ex e +e f(x)=lgsinx 不具有奇偶性. 5.(文)(2010· 福州市质检)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于任意 x≥0, 都有 f(x+2)=-f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(2009)+f(-2010)的值为( A.-2 C.1 [答案] C [解析] 依题意得,x≥0 时,有 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即 x≥0 时,f(x)是以 4 为周 期的函数. 因此, f(2009)+f(-2010)=f(2009)+f(2010)=f(1)+f(2), f(2)=-f(0)=-log2(0 而 +1)=0,f(1)=log2(1+1)=1,故 f(2009)+f(-2010)=1,故选 C.
?2x-1 ? (理)(2010· 安徽合肥质检)已知函数 f(x)=? ? ?f?x-1?+1
- -

)

B.-1 D.2

?x≤0? ?x>0?

,把函数 g(x)=f(x)-x 的 )

零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为( n?n-1? A.an= (n∈N*) 2 B.an=n(n-1)(n∈N*) C.an=n-1(n∈N*)

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D.an=2n-2(n∈N*) [答案] C [解析] 当 x≤0 时,f(x)=2x-1;当 0<x≤1 时,f(x)=f(x-1)+1=2x 1-1+1=2x 1; 当 1<x≤2 时,f(x)=f(x-1)+1=f(x-2)+2=2x 2-1+2=2x 2+1;? ∴当 x≤0 时,g(x)的零点为 x=0;当 0<x≤1 时,g(x)的零点为 x=1; 当 1<x≤2 时,g(x)的零点为 x=2;?当 n-1<x≤n(n∈N*)时,g(x)的零点为 n, 故 a1=0,a2=1,a3=2,?,an=n-1. 6.(文)(2010· 山东临沂)若 a,b 在区间[0, 3]上取值,则函数 f(x)= ax3+bx2+ax 在 R 上有两个相异极值点的概率是( 1 A. 2 C. 3 6 B. 3 3 3 6 )
- - - -

D.1-

[答案] C [分析] ①f(x)在 R 上有两个相异极值点,即 f(x)在 R 上的变化规律为增→减→增(或减 →增→减).又 f(x)为三次函数,故其导函数 f ′(x)为二次函数,f ′(x)=0 应有两不等实根, ∴Δ>0. ②凡涉及两个变量在实数区间内取值的概率问题, 一般都可以通过把这两个变量看作坐 标平面内点的坐标转化为平面上的区域问题求解. [解析] 易得 f ′(x)=3ax2+2bx+a, 函数 f(x)=ax3+bx2+ax 在 R 上有两个相异极值点 的充要条件是 a≠0 且其导函数的判别式大于 0,即 a≠0 且 4b2-12a2>0,又 a,b 在区间[0, 3]上取值,则 a>0,b> 3a,点(a,b)满足的区域如图中阴影部分所示,其中正方形区域的 面积为 3,阴影部分的面积为 3 3 ,故所求的概率是 . 2 6

(理)设 a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},则函数 f(x)=x3+ax-b 在区间[1,2]上有零点的概率 为( ) 1 A. 2 11 C. 16 [答案] C [解析] 因为 f(x)=x3+ax-b,所以 f ′(x)=3x2+a.因为 a∈{1,2,3,4},因此 f ′(x)>0, 所以函数 f(x)在区间[1,2]上为增函数.若存在零点,则
?f?1?=1+a-b≤0 ? ? , 解得 a+1≤b≤8+2a.因此能使函数在区间[1,2]上有零点的有: a ? ?f?2?=8+2a-b≥0

5 B. 8 3 D. 4

=1,2≤b≤10,故 b=2,b=4,b=8.a=2,3≤b≤12,故 b=4,b=8,b=12.a=3,4≤b≤14,
含详解答案

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11 故 b=4, b=8, b=12.a=4,5≤b≤16, b=8, 故 b=12.根据古典概型可得有零点的概率为 . 16 7.(文)(2010· 济南一中)如图,A、B、C、D 是四个采矿点,图中的直线和线段均表示公 路,四边形 ABQP、BCRQ、CDSR 近似于正方形,A、B、C、D 四个采矿点的采矿量之比为 6?2?3?4 ,且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比.现从 P、Q、R、S 中选一个中转站, 要使中转费用最少,则应选( )

A.P 点 C.R 点 [答案] B

B.Q 点 D.S 点

[解析] 设图中每个小正方形的边长均为 1,A、B、C、D 四个采矿点的采矿量分别为 6a,2a,3a,4a(a>0), si(i=1,2,3,4)表示运矿费用的总和,则只需比较中转站在不同位置时 si(i 设 =1,2,3,4)的大小.如果选在 P 点,s1=6a+2a×2+3a×3+4a×4=35a,如果选在 Q 点,s2 =6a×2+2a+3a×2+4a×3=32a,如果选在 R 处,s3=6a×4+2a×3+3a+4a×2=33a, 如果选在 S 处,s4=6a×4+2a×3+3a×2+4a=40a,显然,中转站选在 Q 点时,中转费用 最少. (理)(2010· 北京西城区抽检)某航空公司经营 A、 C、 这四个城市之间的客运业务. B、 D 它 的部分机票价格如下:A—B 为 2000 元;A—C 为 1600 元;A—D 为 2500 元;B—C 为 1200 元; C—D 为 900 元. 若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比, B—D 则 的机票价格为( )

(注:计算时视 A、B、C、D 四城市位于同一平面内) A.1000 元 C.1400 元 [答案] D [解析] 注意观察各地价格可以发现:A、C、D 三点共线,A、C、B 构成以 C 为顶点 的直角三角形,如图可知 BD=5×300=1500. B.1200 元 D.1500 元

[点评] 观察、分析、联想是重要的数学能力,要在学习过程中加强培养. 8.定义域为 D 的函数 f(x)同时满足条件:①常数 a,b 满足 a<b,区间[a,b]?D,② 使 f(x)在[a, b]上的值域为[ka, kb](k∈N*), 那么我们把 f(x)叫做[a, b]上的“k 级矩形”函数. 函

含详解答案

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数 f(x)=x3 是[a,b]上的“1 级矩形”函数,则满足条件的常数对(a,b)共有( A.1 对 C.3 对 [答案] C B.2 对 D.4 对

)

[分析] 由“k 级矩形”函数的定义可知,f(x)=x3 的定义区间为[a,b]时,值域为[a, b],可考虑应用 f(x)的单调性解决. [解析] ∵f(x)=x3 在[a,b]上单调递增, ∴f(x)的值域为[a3,b3]. 又∵f(x)=x3 在[a,b]上为“1 级矩形”函数,
?a3=a ?a=-1 ?a=0 ?a=-1 ? ? ? ? ∴? 3 ,解得? 或? 或? , ? ? ? ? ?b =b ?b=0 ?b=1 ?b=1

故满足条件的常数对共有 3 对. [点评] 自定义题是近年来备受命题者青睐的题型,它能较好地考查学生对新知识的阅 读理解能力,而这恰是学生后续学习必须具备的能力,解决这类问题的关键是先仔细审题, 弄清“定义”的含义,把“定义”翻译为我们已掌握的数学知识.然后加以解决. 9.(文)(2010· 江苏南通九校)若 a>1,设函数 f(x)=ax+x-4 的零点为 m,g(x)=logax+x 1 1 -4 的零点为 n,则 + 的取值范围是( m n A.(3.5,+∞) C.(4,+∞) [答案] B 1 1 [分析] 欲求 + 的取值范围,很容易联想到基本不等式,于是需探讨 m、n 之间的关 m n 系,观察 f(x)与 g(x)的表达式,根据函数零点的意义,可以把题目中两个函数的零点和转化 为指数函数 y=ax 和对数函数 y=logax 与直线 y=-x+4 的交点的横坐标,因为指数函数 y =ax 和对数函数 y=logax 互为反函数,故其图象关于直线 y=x 对称,又因直线 y=-x+4 垂直于直线 y=x,指数函数 y=ax 和对数函数 y=logax 与直线 y=-x+4 的交点的横坐标之 和是直线 y=x 与 y=-x+4 的交点的横坐标的 2 倍,这样即可建立起 m,n 的数量关系式, 进而利用基本不等式求解即可. [解析] 令 ax+x-4=0 得 ax=-x+4,令 logax+x-4=0 得 logax=-x+4, 在同一坐标系中画出函数 y=ax,y=logax,y=-x+4 的图象,结合图形可知,n+m
?y=x ? 为直线 y=x 与 y=-x+4 的交点的横坐标的 2 倍,由? ,解得 x=2,所以 n+m ? ?y=-x+4

)

B.(1,+∞) D.(4.5,+∞)

=4,

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1 1 1 1 m n 1 1 因为(n+m)?n+m?=1+1+ + ≥4,又 n≠m,故(n+m)?n+m?>4,则 + >1. ? ? ? ? n m n m (理)函数 f(x)=x2-ax+2b 的零点有两个,一个在区间(0,1)上,另一个在区间(1,2)上, 则 2a+3b 的取值范围是( A.(2,9) C.(4,9) [答案] A [解析] f(x)=x2-ax+2b, ) B.(2,4) D.(4,17)

?b>0 ?f?0?>0 ? ? 由题意知,?f?1?<0 ,∴?a-2b-1>0 , ?f?2?>0 ?a-b-2<0 ? ?
二元一次不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示(不包括边界),

? ?a-2b-1=0 由? ,解得 A(3,1), ?a-b-2=0 ? ?a-2b-1=0 ? 由? ,解得 B(1,0). ? ?b=0

令 z=2a+3b,则当直线 2a+3b=z 经过可行域内点 A 时,zmax=2×3+3×1=9,经过 可行域内点 B(1,0)时, zmin=2×1-3×0=2,故 z∈(2,9),选 A. 10.如图所示,为了测量该工件上面凹槽的圆弧半径 R,由于没有直接的测量工具,工 人用三个半径均为 r(r 相对 R 较小)的圆柱棒 O1、 2、 3 放在如图与工件圆弧相切的位置上, O O 通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒 O2 顶侧面的垂直深度 h,若 r=10mm,h=4mm, 则 R 的值为( )

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A.25mm C.50mm [答案] C

B.5mm D.15mm

[解析] 如图所示,在△O1O2H 中,O1O2=20, O2H=(r+h)-r=4.

∵O1H2=O1O22-O2H2=OO12-OH2 ∴202-42=R2-(R-4)2,∴R=50(mm). [点评] 致力于数学应用是新课标的重要指导思想,近几年高考在命题形式上与生活联 系更加密切,贴近实际.像函数模型、正余弦定理、导数(理:定积分)都会成为高考的重要 出题点,要加强复习. 二、填空题 11.(文)(2010· 辽宁锦州)用二分法求方程 x3-2x-5=0 在区间[2,3]上的近似解,取区间 中点 x0=2.5,那么下一个有解区间为________. [答案] [2,2.5] 45 [解析] 令 f(x)=x3-2x-5, ∵f(2)=-1<0, f(2.5)= >0, ∴f(x)在区间[2,2.5]内有零点. 8 (理)设函数 f(x)=|x|x+bx+c,给出下列 4 个命题: ①b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实数根; ②c=0 时,y=f(x)是奇函数; ③y=f(x)的图象关于点(0,c)对称;
含详解答案

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④函数 f(x)至多有 2 个零点. 上述命题中的所有正确命题的序号是________. [答案] ①②③ [解析] 当 b=0 时,f(x)=x|x|+c=0,结合图形知 f(x)=0 只有一个实数根,故①正确; 当 c=0 时,f(x)=x|x|+bx,f(-x)=-f(x),故 y=f(x)是奇函数,故②正确;y=f(x)的图象可 由奇函数 f(x)=x|x|+bx 向上或向下平移|c|而得到,y=f(x)的图象与 y 轴交点为(0,c),故函 数 y=f(x)的图象关于点(0,c)对称,故③正确;方程|x|x-5x+6=0 有三个解-6、2、3,即 三个零点,故④错误. 12. (文)2005 年底, 某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查, 抽取 1000 户,按本地区确定的标准,情况如表: 高收入 125 户 中等收入 400 户 低收入 475 户

本地区在“十一五”规划中明确提出要缩小贫富差距,到 2010 年要实现一个美好的愿景由右边圆图显示,则中等收入家 庭的数量在原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量在 原有的基础要降低的百分比分别为________. [答案] 62.5% 57.9% [解析] 中等收入原有 400 户,2010 年要变为 650 户,提 650-400 475-200 高 =0.625, 低收入原有 475 户, 2010 年要变为 1000×20%=200 户, 需降低 400 475 ≈0.579. (理)(2010· 揭阳市模拟)某农场,可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物,且产 品全部供应距农场 d(km)(d<200km)的中心城市,其产销资料如表:当距离 d 达到 n(km)以上 时,四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高.(经济效益=市场销售价值-生产成本 -运输成本),则 n 的值为________. 作物 项目 市场价格(元/kg) 生产成本(元/kg) 运输成本(元/kg· km) 单位面积相对产量(kg) [答案] 50 [解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为 y1、y2、y3、 y4,则 y1=50-0.6d,y2=15-0.3d,y3=40-0.4d,y4=18-0.3d,
含详解答案

水果 8 3 0.06 10

蔬菜 3 2 0.02 15

稻米 2 1 0.01 40

甘蔗 1 0.4 0.01 30

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?y ≥y ?y ≥y 由? y ≥y ?d<200 ?
3 3 1 2 3 4

?50≤d<200,故 n=50.

13. (文)(2010· 上海市嘉定区模考)已知函数 y=f(x)的定义域和值域都是[-1,1](其图象如 下图所示),函数 g(x)=sinx,x∈[-π,π].定义:当 f(x1)=0(x1∈[-1,1])且 g(x2)=x1(x2∈[- π,π])时,称 x2 是方程 f(g(x))=0 的一个实数根.则方程 f(g(x))=0 的所有不同实数根的个数 是________.

[答案] 8 1 ? 1 ? 1 [解析] 由图知 f(x)在[-1,1]上有 4 个零点, 分别位于区间?-1,-2?,-2,0?,0,2? ? ? ? ? ? ? 1 1 和 ,1 内,当 f(x1)=0,x1∈?-1,-2?时,存在两个值 x2∈[-π,π],使 g(x2)=sinx2=x1, ? ? 2 同理在其它区间上也都有两个这样的 x2,故在[-π,π]上共有 8 个 x2,使 f[g(x2)]=0 成立. x-1 (理)对于函数 f(x)= , f1(x)=f(x),2(x)=f[f1(x)],3(x)=f[f2(x)], fn+1(x)=f[fn(x)](n 设 f f ?, x+1 ∈N*,且 n≥2),若 x∈C(C 为复数集),则方程 f2010(x)=x 的解集是________. [答案] {i,-i} 2 2 [解析] f1(x)=1- ,f (x)=1- =1- x+1 2 f1?x?+1 x-1 =f(x). x+1 1+x 1 =- ,f3(x)= ,f (x)=x, 2 x 1-x 4 2- x+1 2

f5(x)=

故{fn(x)}是周期为 4 的函数列. 1 ∴f2010(x)=f2(x)=- , x 1 故方程 f2010(x)=x 化为- =x,∴x=± i. x 14.(2010· 浙江金华十校联考)有一批材料可以建成 200m 长的围墙,如果用此批材料在 一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示), 则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计).

含详解答案

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[答案] 2500m2 200-x 200-x [解析] 设所围场地的长为 x,则宽为 ,其中 0<x<200,场地的面积为 x× 4 4 1 x+200-x?2 2 ≤ ? 4? 2 ? =2500m ,等号当且仅当 x=100 时成立. 三、解答题 15.(2010· 山东烟台)设某市现有从事第二产业人员 100 万人,平均每人每年创造产值 a 万元(a 为正常数),现在决定从中分流 x 万人去加强第三产业.分流后,继续从事第二产业 的人员平均每人每年创造产值可增加 2x%(0<x<100).而分流出的从事第三产业的人员,平 均每人每年可创造产值 1.2a 万元. (1)若要保证第二产业的产值不减少,求 x 的取值范围; (2)在(1)的条件下,问应分流出多少人,才能使该市第二、三产业的总产值增加最多? [解析] (1)由题意得,
? ?0<x<100 ? , ? ??100-x??1+2x%?a≥100a ? ?0<x<100 ∴? 2 ,∴0<x≤50. ? ?x -50x≤0

(2)设该市第二、三产业的总产值增加 f(x)(0<x≤50)万元,则 f(x)=(100-x)(1+2x%)a- 100a+1.2ax a a =- (x2-110x)=- [(x-55)2-3025] 50 50 ∵x∈(0,50]时,f(x)单调递增, ∴x=50 时,f(x)max=60a 即应分流出 50 万人才能使该市第二、三产业的总产值增加最多. 16.(2010· 济南一中)2009 年,浙江吉利与褔特就收购福特旗下的沃尔沃达成初步协议, 吉利计划投资 20 亿美元来发展该品牌.据专家预测,从 2009 年起,沃尔沃汽车的销售量每 年比上一年增加 10000 辆(2009 年销售量为 20000 辆),销售利润每辆每年比上一年减少 10%(2009 年销售利润为 2 万美元/辆). (1)第 n 年的销售利润为多少? (2)求到 2013 年年底,浙江吉利能否实现盈利(即销售利润超过总投资,0.95≈0.59). [解析] (1)∵沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加 10000 辆, ∴沃尔沃汽车的销售量构成了首项为 20000,公差为 10000 的等差数列{an}.
含详解答案

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∴an=10000+10000n. ∵沃尔沃汽车的销售利润按照每辆每年比上一年减少 10%,因此每辆汽车的销售利润 构成了首项为 2,公比为 1-10%的等比数列{bn}. ∴bn=2×0.9n 1. 第 n 年的销售利润记为 cn,则 cn=an·n=(10000+10000n)×2×0.9n 1. b (2)设到 2013 年年底,浙江吉利盈利为 S,则 S=20000×2+30000×2×0.9+40000×2×0.92+50000×2×0.93+60000×2×0.94① 0 . 9S = 20000×2×0.9 + 30000×2×0.92 + 40000×2×0.93 + 50000×2×0.94 + 60000×2×0.95② ①-②得,0.1S=20000×2+20000×(0.9+0.92+0.93+0.94)-60000×2×0.95, 解得 S=10×(220000-320000×0.95)≈31.2×104>(20+1.5)×104. 所以到 2013 年年底,浙江吉利能实现盈利. 17.(文)甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有 权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付的情况下,乙方的年利润 x(元)与年产量 t(吨)满足函数关系:x=2000 t.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以 下称 s 为赔付价格). (1)将乙方的年利润 w(元)表示为年产量 t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产 量; (2)在乙方年产量为 t 吨时,甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y=0.002t2(元), 在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下, 甲方要在索赔中获得最大净收入, 应向 乙方要求的赔付价格 s 是多少? [解析] (1)因为赔付价格为 s 元/吨,所以乙方的实际年利润为: w=2000 t-st(t≥0) 1000 2 10002 因为 w=2000 t-st=-s( t- )+ , s s 1000 所以当 t=? s ?2 时,w 取得最大值. ? ? 1000 所以乙方取得最大利润的年产量 t=? s ?2 吨 ? ? (2)设甲方净收入为 v 元,则 v=st-0.002t2, 1000 将 t=? s ?2 代入上式,得到甲方纯收入 v 与赔付价格 s 之间的函数关系式: ? ? 10002 2×1000 v= - , s s4
3 2 3 10002 8×1000 1000 ?8000-s ? 又 v′=- 2 + = , s s5 s5 3
- -

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高考总复习

令 v′=0 得 s=20. 当 s<20 时,v′>0; 当 s>20 时,v′<0. 所以 s=20 时,v 取得最大值. 因此甲方向乙方要求赔付价格 s=20(元/吨)时,获最大纯收入. (理)某乡镇为了盘活资本,优化组合,决定引进资本拯救出现严重亏损的企业.长年在 外经商的王先生为了回报家乡,决定投资线路板厂和机械加工厂.王先生经过预算,如果引 进新技术在优化管理的情况下,线路板厂和机械加工厂可能的最大盈利率分别为 95%和 80%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%。由于金融危机的影响,王先生决定最多出资 100 万元引进新技术,要求确保可能的资金亏损不超过 18 万元.问王先生对线路板厂和机 械加工厂各投资多少万元,才能使可能的盈利最大? [分析] 这是一个实际生活中的最优化问题,可根据条件列出线性约束条件和目标函

数,画出可行域求解. [解析] 设王先生分别用 x 万元、y 万元投资线路板厂和机械加工厂两个项目,盈利为 z 万元.

?x+y≤100 ?0.3x+0.1y≤18 由题意知? x≥0 ?y≥0 ?
目标函数 z=0.95x+0.8y



上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域.

作直线 l0:0.95x+0.8y=0,作平行于直线 l0 的一组直线 l:0.95x+0.8y=z,z∈R,当 直线 l 经过可行域上的 M 点时,z 取最大值,这里 M 点是直线 x+y=100 和 0.3x+0.1y=18 的交点.
?x+y=100 ? 解方程组? 得 x=40,y=60 ? ?0.3x+0.y=18

此时 z=0.95×40+0.8×60=86(万元). 所以当 x=40,y=60 时 z 取得最大值.
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高考总复习

答:王先生用 40 万元投资线路板厂、60 万元投资机械加工厂,才能在确保亏损不超过 18 万元的前提下,使可能的盈利最大为 86 万元.

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