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必修五 1.1.1正弦定理


第一章:解三角形

芦溪中学

陈山

教学目标:1、理解正弦定理且会推导正弦定理; 2、会利用正弦定理解决两类解三角形问题; 3、利用正弦定理进行边与对应角的正弦的转化。

教学重难点:

重点:
难点:

1、理解正弦定理; 2、利用正弦定理解三

角形; 1、已知两边与一边的对角解三角形问题 2、正弦定理及其推论的灵活应用。

(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和量角 设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗 B ?

我们这一节所学习的内容就是解决这些问题 的有力工具.

A

1.1.1 正弦定理 2.定理的推导
回忆一下直角三角形的边角关系?
a ? c sin A b ? c sin B 两等式间有联系吗?
B c a

A
b C

a b ? ?c sin A sin B
sin C ? 1

a b c ? ? sin A sin B sin C

思考: 对一般的三角形,这个结论还能成立吗?

1.1.1 正弦定理
(1)当 ?ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢? C 如图:作AB上的高是CD,根椐 E 三角形的定义,得到 b a

CD ? a sin B, CD ? b sin A 所以 a sin B ? b sin A
a b 得到 ? sin A sin B 同理, 作AE ? BC .有

B

D

A

c

b c ? sin B sin C

a b c ? ? ? sin A sin B sin C

1.1.1 正弦定理

(2)当 ?ABC 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
C

b
a
D

B

c

A

对于钝角三角形仍然成立,请同学们课 后自己证明。

正弦定理:
a b c ? ? sin A sin B sin C

(1)文字叙述 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对 角的正弦的比相等. (2)方程的观点 正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.

剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C
1、A+B+C=π 2、大角对大边,大边对大角

剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C
3、正弦定理可以解决三角形中的问题: ① 已知两角和一边,求其他角和边 ② 已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角,进而可求其他的边和角

剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C
4、一般地,把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫解三角形

典例导悟
类型一 已知两角及一边解三角形 [例 1] 求 A ,b,c. [分析] 已知两角和一边,可由内角和求第三个角 A , 在△ABC 中,已知 a=8,B =60°,C=75°,

再由正弦定理求 b,c.

[解]

A =180°-(B +C)=180°-(60°+75°)=45°. b a = 得, sin B sin A

由正弦定理

b=

asin B 8×sin60° = =4 6, sin A sin45°



a c = 得, sin A sin C 2+ 6 4 =4( 3+1). 2 2

8× asin C 8×sin75° c= = = sin A sin45°

变式训练 1

(1)一个三角形的两内角分别为 45°与 60°,

如果 45°角所对的边长是 6 ,那么 60° 角所对的边的边长为 ( ) A.3 6 C .3 3 B.3 2 D.2 6

1 (2)在△ABC 中,若 tan A = ,C= 150°,BC= 1,则 AB 3 =________.

解析:(1)令 60°角所对的边为 a, a 6 则 = ,∴a=3 6. sin60° sin45° 1 10 (2)∵tan A = ,∴ sin A = . 3 10 由正弦定理知 BC 10 AB = ·sin C= 10sin150°= . sin A 2

10 答案:(1)A (2) 2

已知两边和其中一边的对角,求其它边和角。 例 2 已知a=16, b= 16 3, A=30° .解三角形。 a b 解:由正弦定理 ? C
sin A sin B
b sin A 16 3 sin 30 ? 3 ? ? 得 sin B ? a 16 2
16 3
300

16

16

所以B=60°,或B=120° 当 B=60°时
C=90°

A

B

8 3

B

c ? 32 .
a sin C c? ? 16 . sin A

当B=120°时 C=30°

类型二

已知两边及一边的对角解三角形

[变式 1] 下列三角形是否有解?有解的作出解答. (1)a=7,b=8,A=105°; (2)b=10,c=5 6,C=60°; (3)a=2 3,b=6,A=30°. [ 分析 ] 利用三角形中大边对大角 、三角形内角和

以及 ?1 ? sin x ? 1 来考虑.

[解] (1)a=7,b=8,a<b,A=105°>90°,本题无解. (2)∵b=10,c=5 6,∴B<C bsinC 10·sin60° 2 ∵sinB= = = , c 2 5 6 ∴B=45°或 B=135°(舍去) ,A=180°-(B+C)=75°. 6+ 2 10× bsinA 10×sin75° 4 ∴a= = = =5( 3+1). sinB sin45° 2 2

(3)∵a=2 3,b=6,∴A<B 由正弦定理得: bsinA 6sin30° 3 sinB= = = ,B=60°或 120°, a 2 2 3 asinC 2 3sin90° 当 B=60°时,C=90°,c= = =4 3 ; sin A sin30 ° 当 B=120°时,C=30°,

asinC 2 3sin30° c= sinA = sin30° =2 3. ∴B=60° ,C=90° ,c=4 3 或B=120° ,C=30° ,c= 2 3.

课后探究 ( : 1)你还可以用其它方法证明 正弦定理吗?

a b c (2) sin A ? sin B ? sin C ? k 那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有 关的量来表示吗?

新知初探
1.正弦定理

正弦 (1)定理:在一个三角形中,各边和它所对角的_____ c a b sinC 的比相等,即在△ABC中,sinA=sinB=______.
(2)变形:设△ABC的外接圆的半径为R,则有 a b c 2R sinA=sinB=sinC=_____.

sinB ①a:b:c=sinA:_____:sin C.

sinB a sinA a sinA b ② = , = , =______. sinC b sinB c sinC c
a+b+c a b c ③ = = = . sinA sinB sinC sin A+sin B+sinC

2RsinC ④a=2Rsin A,b=2RsinB,c=________.
a b c ⑤sinA= ,sin B= ,sinC= . 2R 2R 2R

类型三 [例3]

判断三角形的形状 在△ABC中,若sin2A=sin2B+sin2C,sinA=

2sinB· cosC,试判断△ABC的形状. [分析] 正弦定理 2 sin A=sin B+sin C ――→ a =b2+c2
2 2 2

B+C=90° ――→ cosC=sinB

[解]

a b c 记sinA=sinB=sinC=k,

a b c 则sinA= k,sinB=k,sinC=k. a2 b2 c2 ∵sin A=sin B+sin C,∴( ) =( ) +( ) , k k k
2 2 2

即a2=b2+c2,A=90° . ∴C=90° -B,cosC=sinB. 2 ∴1=sinA=2sin B,sinB= . 2
2

∴B=45° 或B=135° (A+B=225° >180° ,舍去). ∴△ABC是以A为直角的等腰直角三角形.

[点评]

依据条件中的边角关系判断三角形的形状

时,主要有以下两种途径: (1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因 式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形 状;

(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间 的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而 判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结 论.在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因 式,应移项提取公因式,以免漏解.

变式训练3 已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根 之积等于两根之和,且a,b为△ABC的两边,A,B分别为 a,b的对角,试判断△ABC的形状.

解:设方程的两根为x1,x2,由韦达定理得x1+x2= bcosA,x1x2=acosB. 由题意得bcosA=acosB, 由正弦定理得sinBcosA=sinAcosB, 即sinAcosB-cosAsinB=0. ∴sin(A-B)=0.在△ABC中,A,B为其内角,-π<A- B<π,所以A=B. 即△ABC为等腰三角形.


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