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浙江省台州中学2011届高三第二学期第四次统练试题自选模块


台州中学 2010— 台州中学 2010—2011 学年第二学期第四次统练试题 高三
题号: 题号:03 “数学史与不等式选讲 模块(10 分) 数学史与不等式选讲”模块 数学史与不等式选讲 模块( 已知 f ( x) =
2

IB 选修模块

x2 + 3 ( x ∈ R) 3x 2 + 1
2 2

(1)若 x1 + x 2 + x3 = 1 ,求 f ( x1 ) + f ( x 2 ) + f ( x3 ) 的最小值; (2)若 0 < x1 < 1, x n +1 = x n f ( x n ) ,求证: 0 < x n < 1 . 题号: 题号:04 “矩阵与变换和坐标系与参数方程 模块(10 分) 矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块 矩阵与变换和坐标系与参数方程 模块( 在极坐标系中,O 为极点,P( ρ , θ )为直线 l : ρ =

1 上任意一点. 2 cos θ + sin θ

(1) 过点 O 作 OP 的垂线交 l 于点 M,求三角形 OPM 面积的最小值; (2) 当 θ =

π

3

时,设以 OP 为直径的圆交直线 l 于点 N,直线 l 上点 Q 满足 ∠POQ = 2∠PON ,

求点 Q 的极径. 题号: 题号:03 “数学史与不等式选讲 模块(10 分) 数学史与不等式选讲”模块 数学史与不等式选讲 模块(

x2 + 3 1 8 1 = + ,由柯西不等式知: 3x 2 + 1 3 3 3x 2 + 1 1 1 1 2 2 (3 x12 + 1 + 3 x 2 + 1 + 3 x3 + 1 )( 2 + 2 + 2 ) ≥ (1 + 1 + 1) 2 , 3 x1 + 1 3 x 2 + 1 3 x3 + 1 1 1 1 3 ∴ 2 + 2 + 2 ≥ , 3 x1 + 1 3 x 2 + 1 3 x3 + 1 2 8 1 1 1 f ( x1 ) + f ( x 2 ) + f ( x3 ) = 1 + ( 2 + 2 + 2 ) ≥ 5, 3 3 x1 + 1 3 x 2 + 1 3 x3 + 1 ∴ f ( x1 ) + f ( x 2 ) + f ( x3 )的最小值为5
( ) 解: 1) f ( x ) = ks5u 1 2 2 当且仅当x12 = x 2 = x3 = 时取到最小值 3 (2)用数学归纳法证明: )用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,不等式成立 ②假设 n=k 时, 0 < x k < 1 成立 那么当 n=k+1 时, x k +1

x k ( x k2 + 3) = > 0 成立 成立, 3 x k2 + 1

3 2 x k ( x k2 + 3) ? x k + 3 x k ? 3 x k + 1 (1 ? x k ) 3 1 ? x k +1 = 1 ? = = >0 3 x k2 + 1 3 x k2 + 1 1 + 3 x k2 所以 0 < x k +1 < 1 成立

不等式也成立, 即当 n=k+1 时,不等式也成立, * ①②知对任意的 由①②知对任意的 n∈N ,都有 0 < x n < 1 成立 题号: 题号:04 “矩阵与变换和坐标系与参数方程 模块(10 分) 矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块 矩阵与变换和坐标系与参数方程 模块( ,则 ρ = 解: (1)设 M( ρ1 , θ 1 ) 则 S ?OPM

1 1 , ρ1 = 2 cos θ + sin θ 2 sin θ ? cos θ 1 1 1 = ρρ 1 = 2 2 2 4 sin θ cos θ ? 2 cos θ + 2 sin 2 θ ? sin θ cos θ

1 1 1 1 ≥ ,且等号能取到,所以三角形 OPM 面积的最小值为 2 3 5 5 sin 2θ ? 2 cos 2θ 2 π π 5 1 (2) 当 θ = 时,易得点 P( 4 ? 2 3 , ) ,设 N( ρ 2 , θ 2 ) ,则 ρ 2 = , tan θ 2 = (这里的 θ 2 3 3 5 2 1 2 3 4 为点 N 的极角)则 sin θ 2 = , cos θ 2 = , cos 2θ 2 = , sin 2θ 2 = 。 5 5 5 5 ①当点 Q 在点 P 下方时,ON 既是 ?POQ 边 PQ 上的高,又是 ∠POQ 的角平分线, =
所以,点 Q 的极径等于点 P 的极径等于 4 ? 2 3 ②当点 Q 在点 P 上方时, ∠PON = 因为点 Q 在直线 l 上, 所以点 Q 的极径为 ρ =

π

3

? θ 2 ,则 ∠POQ =

2π ? 2θ 2 ,则点 Q 的极角为 π ? 2θ 2 3

∵ ρ < 0,∴ 点 Q 在点 P 下方,不合题意,即此时点 Q 不存在。
综上①②,点 Q 的极径为 4 ? 2 3

1 1 5 = =? 2 cos(π ? 2θ 2 ) + sin(π ? 2θ 2 ) ? 2 cos 2θ 2 + sin 2θ 2 2


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