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三角形的五心综合讲稿(陶平生)


【几何十讲】

三角形的五心-B(欧拉线心)
(外心、重心与垂心) 陶平生

三角形的五心是指内心、 外心、 重心、 垂心与旁心; 在数学竞赛中占有十分重要的位置. 从赛题统计方面来看,其中又以内心问题最为突出,必须熟悉五心的基本性质,基本构形, 常用辅助线以及基本定理的应用. 外心、重心与垂心 ?ABC 的外心为 O ,重心为

G ,垂心为 H ,则有

(1) 、 O, G, H 三点共线(欧拉线)且
OG : GH ? DG : AG ? DO : AH ? 1: 2 ;
A

(2) 、?BOC ? 2 A, ?COA ? 2B, ?AOB ? 2C ;
1 (3) 、 ?AGB ? ?BGC ? ?CGA ? ?ABC ; 3
O G H

(4) 、 ?HAB, ?HBC, ?HCA 与 ?ABC 具有相
等的外接圆半径;

B

D

E

C

(5) 、 ?ABC 的垂心 H 是其垂足三角形的内心.
? O 例 1 、 ABC 中, 为外心, 三条高 AD, BE , CF 交于点 H , 直线 ED 和 AB 交于点 M ,
FD 和 AC 交于点 N ;
0 0 求证: (1 ) 、 OB ? DF , OC ? DE ; (2 ) 、 OH ? MN .

( 2001 全国联赛)

A

A

O
F

K
T

O
H V

E

F

H

E

G P

B

D

C

B

D

C

N M

M W N

证一、 (纯几何方法) OK ? AB 于 K , ?KOB = 设 则

1 ?AOB =C , 又由 AFDC 共圆, 2
1

0 则 ?BFD ? C ? ?KOP ,所以 KOPF 共圆,所以 ?OPF =?OKF =90 ,因此

OB ? DF ,同理有 OC ? DE .
为证 OH ? MN ,由 AEDB, AFDC 分别共圆, ?FDB=A,?MDB=?EDC =A ,

?FDM ? 2 A ? ?BOC ,设 OB ? CF ? T ,在直角三角形 BTF 中,由于 DF ? BT , 则 ?OTC =?BTF =?DFB ,因此 ?COT ∽ ?MDF ,且其对应边互相垂直. OH ? DG , O C 作 DG ∥ MN , 于是只要证, 即要证 ?MDG ∽ ?COH , ?D F =?T 由 M , MG CH = 只要证 ? ① MD CO MG MG MF ND MF ND CT = ? = ? = ? 因 ? ② MD MF MD NF MD NF CO ND CH = 据①②,只要证 ? ③ NF CT 注意 ?CDH ∽ ?AFH , ?CTB ∽ ?AHB , ?NDC ∽ ?NAF ,则 CH CD AH AB CH AB ? CD AB NC = , = = = ? ,相乘得 ? ④ AH AF CT CB CT BC ? AF BC NF ND AB = 由③④,只要证 ? ⑤ NC BC DN NC = 由于 ?DCE ∽ ?ACB ,且 DC 平分 ?NDE ,则 , DE CE ND DE AB = = 所以 ,因此 OH ? DG ,即有 OH ? MN . NC CE BC
证二、 (利用根轴性质)为证 OB ? DF ,只要证, OD ? OF =BD ? BF ,
2 2 2 2

据斯特瓦特定理, OD =R ?
2 2

CD 2 BD +R ? ? CD ? BD =R 2 ? CD ? BD ,同样有 BC BC

OF 2 =R 2 ? BF ? AF ,据 AFDC 共圆,又有 BF ? BA=BD ? BC ,所以

OD2 ? OF 2 =BF ? AF ? BD ? CD=BF (AB ? BF ) ? BD ? (BC ? BD) =(BF ? BA ? BD ? BC)+(BD2 ? BF 2 )=BD2 ? BF 2 ,因此 OB ? DF ,同理有 OC ? DE .
2 2 2 2 再证 OH ? MN ,据 CF ? MA ,得 MC ? MH =AC ? AH 2 2 2 2 由 BE ? NA 得 NB ? NH =AB ? AH

? ①;

? ②; ? ③;

由 DA ? BC 得 BD ? CD =BA ? AC
2 2 2 2 2 2

2

由 OB ? DF 得 BN ? BD =ON ? OD

2

? ④ ? ⑤

2 2 2 2 由 OC ? DE 得 CM ? CD =OM ? OD

2

①+③+④ -②-⑤得 NH 2 ? MH 2 =ON 2 ? OM 2 ,所以 OH ? MN . 证三、 (面积与三角方法) (仅证 OH ? MN . ) 如图,作 DW ∥ AN ,点 W 在 MN 上,在 ?OBH 与 ?NDW 中,因为 OB ? ND , BE ? AN ,即 BH ? DW ,于是 ?NDW =?OBH ;

DW BH = ? ① DN BO BH BD 1 AB ? cos B DW DW EN MD EN = ? = =2 cos B , = ? = ? 因 ? ②, BO sin C R R sin C DN EN DN ME DN EN sin ?EDN sin 2 A = = 而 , DN sin ?DEN sin B
为证 OH ? WN ,只要证 ?NDW ∽ ?OBH ,即要证

MD ?AMD AM ? AD sin ?BAD AD cos B AB sin B cos B sin 2 B = = = = = . ME ?AME AM ? AE sin A AE sin A AB cos A sin A sin 2 A
故由②,

DW MD EN sin 2 B sin 2 A = ? = ? =2 cos B ,因此①成立,故结论得证. DN ME DN sin 2 A sin B

证四、 (解析法) (10 ) 、取 D 为原点, DA 为 Y 轴,建立直角坐标系,设三顶点坐标为

x y ?b?c a? A(0, a), B(b, 0), C (c, 0) ,则重心为 G ? , ? ,于是 AB 的方程为: ? ? 1 , AC 的 b a ? 3 3?
方程为:

x y x y ? ? 1 ;再设垂心为 H (0, h) ,则 CH 的方程为: ? ? 1 ; c a c h

由于 CH ? AB ,则 ?1 ? kCH ? k AB ? ? ?

? h ? ? a ? ah , ??? ? ? ? ? c ? ? b ? bc

因此, h ? ?

x ay bc bc ? ? ? 1 ,且垂心坐标为 H ? 0, ? ? ,于是 CH 的方程为: ? c bc a a ? ?
x ay ? ? 1; b bc HO ? ?3 ;记 O( x0 , y0 ) , OG

同理得, BH 的方程为:

因 O, G, H 共线(欧拉线) ,且点 O 外分线段 HG 为定比 ?3 :

则 x0 ?

0 ? (?3)

b?c bc a ? ? (?3) 2 2 b?c 3 ? 3 ? a ? bc ,即 O ? b ? c , a ? bc ? , , y0 ? a ? ? 1 ? (?3) 2 1 ? ( ?3) 2a 2a ? ? 2

故 kOH

a 2 ? bc ? bc ? a 2 ? bc ??? ? ?0 2 a 2 ? bc a 2 ? bc 2a ? a ? ? a ? 3bc , k ? 2a ? , kOC ? , ? OB b?c b?c a (b ? c) a(b ? c) a (c ? b ) ?0 ?b 2 2

因 DF 过 CH 与 AB 的交点 F ,故 DF 的方程可表为: ?

? x ay ? ?x y ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 1? ? 0 , ? c bc ? ?b a ?
3

注意 DF 过原点,得 ? ? ?1 ,所以 DF 的方程为: ?

?1 1? ?1 a ? ? ? x ?? ? ? y ? 0, ? c b ? ? a bc ?

同理知, DE 的方程为: ? 所以 k DF ?

?1 1? ?1 a ? ? ? x ? ? ? ? y ? 0; ?c b? ? a bc ?

a (b ? c ) a (c ? b ) , k DE ? 2 ; 2 a ? bc a ? bc

由于 kOB ? kDF ? ?1, kOC ? kDE ? ?1 ,所以 OB ? DF , OC ? DE ;

(20 ) 、先求 MN 的方程:一方面,由于 MN 过 DF 与 AC 的交点 N ,故 MN 的方程可
表为: ? ?

?? 1 1 ? ? 1 a ? ? ?x y ? ? ? x ? ? ? ? y ? ? ? ? ? ? 1? ? 0 ,即: ?c a ? ? ? c b ? ? a bc ? ?

? 1? ? 1 ? ? 1? ? a ? ? 1? ? 1 ? ? 1? ? a ? ? ? x ?? ? ? y ? ? ,也即 ? ? ? ? x ?? ? ? ? y ? ?? ? ① ? b? ? a bc ? b? bc ? ? c ? c ? a
另一方面,由于 MN 过 DE 与 AB 的交点 M ,故 MN 的方程可表为:

?? 1 1 ? ? 1 a ? ? ?x y ? ? ? c ? b ? x ? ? a ? bc ? y ? ? ? ? b ? a ? 1? ? 0 ,即: ? ? ? ? ? ? ??
? 1 1? ? ? ? b ?c ? ? 1? ? a ? ? 1 1? ? ? ? y ? ? ,也即 ? ? ? ?x?? bc ? b ? ? a ?c ? ? 1? ? a ? ? ? y ? ?? ? ② ?x??? bc ? ? ? a

由于方程①和②表示同一条直线 MN ,所以

??

? 1? ? a ? ? 1? ? a ? ? 1? ? 1 ? ? 1 1? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ④ ? ? ③, ?? ? bc ? bc ? b? b ? ? a ? a ? c ?c

由③得 (c ? b)(?? ? ? ? ? ) ? 0 , 显然有 c ? 0, b ? 0 , c ? b ? 0 ,所以 ?? ? ? ? ? ? 0 ?? ⑤
2 由④得 (a ? bc)(? ? ? ) ? 0 , (因 k DF ?

a (b ? c ) a (c ? b ) 2 ,k DE ? 2 有意义,则 a ? bc ? 0 ) 2 a ? bc a ? bc

所以 ? ? ? ? 0 ??⑥,由⑤⑥得 ? ? 2, ? ? ?2 ,于是 MN 的方程为:

?1 1? ?3 a ? 2 即 ( ? 3 ( b y b2 c ? ? ? x ? ? ? ? y ? 2 , ab cx) ?c a ? ) a ? ?b c? ? a bc ?
前已得到 kOH ?

k , 因此, MN ? ?

a(b ? c) , a 2 ? 3bc

a 2 ? 3bc ,所以 kOH ? kMN ? ?1 ,从而 OH ? MN . a(b ? c)

4

例 2 、如图,以 ?ABC 的一边 BC 为直径作圆,分别交

AB, AC 所在直线于 E , F ,过 E , F 分别作圆的切线交于一点
E

A

P ,直线 AP 与 BF 交于一点 D ;
证明: D, C, E 三点共线. 证: EF , EC , CD , 连 则弦切角 ?PEF ? ?PFE ? ?EBF , 由 AF ? BF ,
0 0 得 ?BAF ? 90 ? ?EBF ? 90 ? ?PEF ?

B F

C

P

D

1 ?EPF ,以 P 为圆心, PE ? ? PF ? 为半径作 2


1 EF B A ? P, 交直线 BA 于 A? , ?E ? ? ?P ??F 则 AF 2
故 A, A? 共点;所以

A E
0

PA ? PE , ?PAE ? ?ABC ? ?PEA ? ?PEC ? 90 ,
得 BC ? AP ,因此 C 是 ?ABD 的垂心. 所以 CD ? AB ,又因 CE ? AB ,则 D, C, E 三点共线.

B F

C

P

D

例 3 、如图, M , N 分别是 ?ABC 的边 AB, AC 上的点,且 求证:线段 MN 过 ?ABC 的重心. 证:取 AC 的中点 E , MN 截 ?ABE 于 M , P, N ,

BM CN ? ? 1; MA NA
A

EP BM AN BP BM AN ? CN ? AN ? ? ? 1 ,则 ? ? ? ?1 ? ? PB MA NE PE MA NE ? NA ? NE 2 NE AN ? ? ? 2 ,因为 P 在中线 BE 上,所以 P 是重心. AN NE
以上用到,

F M P

E N

B

D

C

NA ? CN ? ( NE ? EA) ? CN ? ( NE ? EC ) ? CN ? NE ? (CN ? NE ) ? CN ? 2 NE .
例 4 、? O1 , ? O2 是 ?ABC 的旁切圆, 已知 ? O1 分别切 AB, BC , CA 三边于 D, E, F ;

? O2 分别切 AB, BC , CA 三边于 M , N , K ; O1O2 ? EF ? S , O1O2 ? MN ? T ;
MN ? EF ? P ; ED ? NK ? H .
证明: ?1? . P, A, H 共线 l1 , E , D, H , T 共线 l2 , N , K , H , S 共线 l3 ;

5

? 2?. l1 ? BC, l2 ? PN, l3 ? PE .
证: ?1? . 作 AQ ? BC 于 Q ,设
P

QA ? NM ? P , ? O1 , ? O2 的半径分别记为 r1 , r2 , 1
B A M tan AT ?AMT 2 ? 2 则 ? ? F B B T TO2 ?MTO2 O2 A r2 sin tan S 2 2 H O1 D K A tan AS E C N B Q 2 ,因为 PA ∥ O N ,则 同理, ? 2 1 SO1 t a nC 2 A tan P A AT 1 2 ?r . ,故 P A ? ? 1 B 2 r2 TO2 tan 2 A tan 2 ? r ,为证 P A ? P A ,只要证, 又设 QA ? EF ? P ,则 P2 A ? 2 1 2 C 1 tan 2 B C r2 cot ? r1 cot ,即 BN ? CE ,连 BO2 , CO1 ,因 O1B ? BO2 , MN ? BO2 ,故 2 2 AM cos

O1B ∥ MN ,同理, O2C ? O1C ,于是 BCO2O1 共圆,得 ?CBO2 ? CO1O2 ,
BN ? r2 cot OC B C ? r2 cot ?CO1O2 ? r2 1 ? O1C cos ? CE ,所以 P A ? P2 A . 1 2 O2C 2

即 EF , MN , AQ 三线共点.

? 2?. 因 ?BED ? 2 , ?ENM ? ?BMN ? 2 ? 2 ,所以

B

?

B

ED ? MN ,因

A A tan tan AT AD AD r1 2 ,而 2 , 所以, AT ? AD ,因此 ? ? ? ? TO2 DB TO2 tan B DB r1 DB tan B 2 2
DT ∥ BO2 ,而 BO2 ? MN ,所以 DT ? MN ,且 E, D, T 共线.
即 E, D, T 所共直线为 ?PEN 的一条高线;同理可得, N , K , S 共线,且其所共直线也 构成 ?PEN 的一条高线,因此 ED 与 NK 的交点 H 为 ?PEN 的垂心,故在另一条高线

PAQ 上,因此结论得证.

6

0 例5 、 如图, ?ABC 中,AB ? AC ,AB ? AC ,E , F 是 BC 上的点, ?EAF ? 45 ; 且

?AEF 的外接圆分别交 AB, AC 于 M , N .
求证: BM ? CN ? MN .
A

A

N M B E F C

N M B E F

P

C

证:如右图,设 BM ? x, CN ? y, BE ? b, CF ? c, EF ? a ,则

AB ? AC ?

BC a ? b ? c 0 ? ,将 ?ABE 绕 A 反时针旋转 90 至 ?ACP , 2 2
0

则 ?PCF ? ?PCA ? ?ACF ? 90 ,所以 ?PCF 为直角三角形; 又显然 ?PAF ? 45 ? ?EAF ,所以 ?PAF ≌?EAF ,
0

故由 PF ? PC ? FC ,得 a ? b ? c
2 2 2 2 2

2

记圆的半径为 r ,则直径 MN ? 2r , a ? EF ? 2 r , 由圆幂定理, BM ? BA ? BE ? BF , CN ? CA ? CF ? CE , 即 x?

a?b?c a?b?c ? b( a ? b ) , y ? ? c(a ? c) ; 2 2

所以 x ? y ?

2 2 [b2 ? c 2 ? a(b ? c)] ? [a 2 ? a(b ? c)] ? 2 a ? 2r , a?b?c a?b?c

即 BM ? CN ? MN . 例 6 、过 ?ABC 的外心 O 任作一直线,分别交边 AB, AC 于 M , N , E, F 分别是

BN , CM 的中点.证明: ?EOF ? ?A .
证:我们证明以上结论对任何三角形都成立. 分三种情况考虑,对于直角三角形 ABC ,结论是显然的,事实上,如图一中左图,若

?ABC 为直角,则外心 O 是斜边 AC 的中点,过 O 的直线交 AB, AC 于 M , N ,则 O, N 共
点,由于 F 是 CM 的中点,故中位线 OF ∥ AM ,所以 ?EOF ? ?OBA ? ?OAB ? ?A ;

7

以下考虑 ?ABC 为锐角三角形或钝角三角形的情况, (如图一中右边两图所示) (图一)
A

A
M E

A
M O

O (N)
M

O
F

N

N

F E

B

E F

C

B

C

C

B

先证引理:如右图,过 ? O 的直径 KL 上的两点 A, B 分别作弦 CD, EF ,连 CE , DF , 分别交 K , L 于 M , N ,若 OA ? OB ,则 MA ? NB . 引 理 证 明 : 设 C D? E F? P 直 线 C E, D F分 别 截 ?PAB , 据 梅 涅 劳 斯 定 理 , ,

AC PE BM BF PD AN ? ? ?1, ? ? ? 1; CP EB MA FP DA NB MA AC ? AD ? PE ? PF ? BM ? 则 ? ① NB BE ? BF ? PC ? PD ? AN 而由相交弦,得 PC ? PD ? PE ? PF ? ② 若 ? O 的半径为 R , OA ? OB ? a ,则

D E P
M N

K

AO B F C

L

AC ? AD ? AK ? AL ? R2 ? a 2 ? BK ? BL ? BE ? BF ?③,
据①②③得,

MA MB MA MA ? AB AB ? ? ? ? 1 .因此 MA ? NB .引理得证. ,即 NB NA NB NB ? AB AB
回 到 本 题 , 如 下 图 ( 两图 都 适 用 ) 延 长 MN 得 直 径 KK1 , 在 直 径 上 取 点 M 1 , 使 , (右图 OM1 ? OM,设 CM1 ? ? O ? A1 ,连 A1B 交 KK1 于 N1 ,由引理, MN1 ? M1 N , 中则是 M1 N1 ? MN )因此, O 是 NN1 的中点,故 OE, OF 分别是 ?NBN1 及 ?MCM1 的中 位线,于是得 ?EOF ? ?BA1C ? ?A .
A1

A
A A1
M O M1 F E N1 K 1

K

N1

M

O M1 N
F E

K1

N

K

B

C

C

B

8

例 7 、锐角三角形 ABC 的三边互不相等,其垂心为 H , D 是 BC 的中点,直线
BH ? AC ? E, CH ? AB ? F ,
AH ? BC ? T , BDE 交 ? CDF 于 G , ? 直线 AG 与
M

? BDE, ? CDF 分别交于 M , N .
证明: ?1? 、 AH 平分 ?MTN ;

AG
F H E N

? 2 ? 、 ME, NF , AH 三线共点.
证: 如图, DE, DF , MB, NC , BE 连 因 CF

B

D

T

C

D 共圆, 为圆心, DE ? DF ? DB ? DC , 则

连 GD, GE, GF ,由 BDEG 共圆,得 ?DGE ? ?DBE ? ?TAC ;又由 CDFG 共圆,得

?DGF ? ?DCF ? ?TAB ,相加得, ?EGF ? ?EAF ,故 EGAF 共圆,又因 EAFH 共
圆, 即有 AGEHF 五点共圆, 所以 ?HGE ? ?HAE ? ?TAC ? ?DGE , D, H , G 共线; 即 五点圆 AGEHF 的直径为 AH ,设圆心为 P ( P 为 AH 的中点) ,由

?AGH ? ?AEH ? 900 ,即 DG ? MN ,故 MD 为 ? BDE 的直径,从而 MB ? BC ,进
0 而由 ?DGN ? 90 ,知 DN 为 ? CDF 的直径,所以 NC ? BC , MB ∥ AT ∥ NC ,因直

? 径 MD 过 BDE 的中点 D ,故 MD 垂直且平分弦 BE ;同理, ? CDF 的直径 DN ? CF ,
又由 BE ? AC, CF ? AB , 所以 MD ∥ AC ,
M

ND ∥ AB ,则 Rt ?ABT ∽ Rt ?NCD , BT AT ? 则 ??○; 1 DC NC 由 MD ∥ AC ,得 Rt ?MDB ∽ Rt ?ACT , BD MB ? ??○. 2 TC AT
1 2 ○、○相乘,并注意 BD ? CD ,
B

A F H P

G N E

D

T

C

BT MB ? ,所以 ?MBT ∽ ?NCT , TC NC TN TC AN ? ? 由此, ,故 AT 平分 ?MTN . TM TB AM
有 为证 ME , NF , AH 三线共点,只要证 ME , NF 皆过点 P ,据五点圆 AGEHF 的圆 心角 ?HPE ? 2?HAE ? 2?HBC ? ?EDC ? ?BME ,所以 PE ∥ ME ,因此 M , P, E 共 线;同理可得, N , P, F 共线,因此 ME , NF , AH 三线共点.

9

例 8 、锐角三角形 ABC 中, BC ? a, AC ? b, AB ? c ,在边 BC , CA, AB 上分别有动 点 D, E, F ,试确定,当 DE ? EF ? FD 取得最小值时 ?DEF 的面积.
2 2 2

解: 对于任一个内接 ?DEF , 暂将 EF 固定, 而让 D 在 BC 上移动, EF 的中点为 M , 设 则由中线长公式,

DE 2 ? DF 2 ?

EF 2 ? 2 ? DM 2 ,因此在 EF 固定后,欲使 DE 2 ? EF 2 ? FD2 取得最小 2

DM 达最小, 值, 当使 DM 达最小, 但是 M 为 EF 上的定点, 则当 DM ? BC 时, 再对 E , F
作同样的讨论,可知,当 DE ? EF ? FD 取得最小值时, ?DEF 的三条中线必定垂直于
2 2 2

三角形 ABC 的相应边;
今设 ?DEF 重心为 G ,面积为 S0 , ?ABC 的面积为 S ,则

S?GDE ? S?GEF ? S?GFD ?

S0 ??○ 1 3
F
M

A

由于 GDCE, GEAF , GFBD 分别共圆,则

E

?DGE ? ? ? C, ?EGF ? ? ? A, ?FGD ? ? ? B ,
故由○, GD ? GE ? sin C ? GE ? GF ? sin A ? GF ? GD ? sin B , 1 同除以 2S ,得
B

G D C

GD ? GE GE ? GF GD ? GF ? ? ,所以 a ?b b?c a ?c GD GE GF ? ? ? ? , ? ②,又由 a b c
2S ,因而 a ? b2 ? c2
2

GD ? a ? GE ? b ? GF ? c ? 2S ,即 ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 2 S ,所以 ? ?

1 1 12S 3 S0 ? 3 ? GD ? GE sin C ? 3? 2 ? ab sin C ? 3? 2 S ? . 2 2 2 a 2 ? b2 ? c 2 ? ?
(其中 S ?

p ? p ? a ?? p ? b ?? p ? c ? , p ?

a?b?c ) 2

例 9 、如图,△ PAB 中, E , F 分别是边 PA, PB 上的点,在 AP, BP 的延长线上分别 取点 C , D ,使 PC ? AE, PD ? BF ;点 M , N 分别是△ PCD , △ PEF 的垂心. 证明: MN ? AB . 证:如图,设线段 DE , CF , PF 的中点分别为 G, H , K ,则 K
E

D
M

p

C

F N

也是 BD 的中点,据中位线知,

A

B

10

在△ BDE 中, KG ∥ BE , KG ? 在△ PCF 中, KH ∥ PC , KH ?

1 BE ; 2

1 PC ,即 2

1 AE ,所以△ KHG ?△ EAB , 2 1 且 HG ∥ AB , HG ? AB . 2 为证 MN ? AB ,只要证 MN ? HG . 以 G 为圆心,DE 为直径作 ? G , 其半径记为 R ; H 以 为圆心, CF 为直径作 ? H ,其半径记为 r ,设直线 AC 交
KH ∥ AE , KH ? MD 于 Q ,MC 交 BD 于 W ,由于点 M 是△ PCD 的垂心,
E

D
Q W

p
G S K F T

C
H

M

N

则 MD ? PQ , MC ? PD , 所 以 DWCQ 共 圆 , 故 有
A

B

MQ ? MD ? MC ? MW ? ? ①
另一方面,由于 ?EQD ? 90? , ?FWC ? 90? , 可知, Q 在 ? G 上, W 在 ? H 上,从而 1 MQ ? MD ? MG2 ? R2 , MC ? MW ? MH 2 ? r 2 ,因此○化为 MG 2 ? R2 ? MH 2 ? r 2 , 即 MG ? MH ? R ? r
2 2 2 2

? ?②

又设直线 NF 交 AC 于 S , NE 交 BD 于 T ,由于点 N 是△ PEF 的垂心, ,则 NS ? PE , NE ? PF ,所以 ETFS 共圆,故有 NT ? NE ? NF ? NS ? ? ③
? ? 再由 ?DTE ? 90 , ?CSF ? 90 , 可知, T 在 ? G 上, S 在 ? H 上,从而

NT ? NE ? NG2 ? R2 , NF ? NS ? NH 2 ? r 2 ,因此③化为 NG 2 ? R 2 ? NH 2 ? r 2 ,
即 NG ? NH ? R ? r
2 2 2 2

? ④ 据②、④得, MG ? MH ? NG ? NH ,
2 2 2 2

故 MN ? GH ,而 HG ∥ AB ,所以 MN ? AB . 例 10 、 ?ABC 中,a ? c ? 3b ,内心为 I , 在 内切圆在 AB, BC 边上的切点分别为 D, E , 设 K 是 D 关于点 I 的对称点, L 是 E 关于点 I 的对称点. 求证: A, C, K , L 四点共圆.
A
D L

A
D
L

I K

I
N K

M

P

B
C

E

C

B

E

11

? 证:设直线 BI 交 ?ABC 的外接圆于点 P ,易知 P 是 AC 的中点,记 AC 的中点为 M ,
则 PM ? AC .设点 P 在直线 DI 上的射影为 N , 由于 a ? c ? 3b, 则半周长 p ?

a?b?c ? 2b , 2

于是 BD ? BE ? p ? b ? b ? AC ? 2CM , 又 ?ABP ? ?ACP, ?BDI ? ?CMP ? 900 所以 ?DBI ∽ ?MCP ,且相似比为 2 , 熟知; PI ? PC ? PA 。又 ?DBI ∽ ?NPI , 所以 DI ? 2 IN ,即 N 是 IK 的中点 进而 PK ? PI . 同理 PL ? PI , , 所以 A C,K,I,L 都在以 P 为圆心的同一个圆周上. 例 11 、 ?ABC 的内切圆分别切 BC , CA, AB 于 A0 , B0 , C0 ,而 A1 , B1 , C1 分别是边 BC ,

CA ,AB 的中点, A1 作 B0C0 的垂线 la , B1 作 C0 A0 的 过 过
垂线 lb ,过 C1 作 A0 B0 的垂线 lc ; 证明: ?1? 、 la , lb , lc 三线共点;
C1 C0 B2

A
A2

B1 B0 C2

? 2 ? 、每条线皆平分 ?ABC 的周长.
证: ?1? 、连 A1B1 , B C , C A ,我们来证明, la , lb , lc 交于 1 1 1 1
B

A1 A0

C

?A1B1C1 的内心,设 ?A, ?B, ?C 的平分线为
( ta , tb , tc , ta ?D A )由 AB0 ? AC0 易知,ta ? B0C0 ,所以 t a ∥ la ,同理有 tb ∥ lb , t c ∥

lc ,而由 A1C1 ∥ AC , B1C1 ∥ BC , A1B1 ∥ AB ,
得 ?C1 A1 A2 ?

A ? ?B1 A1 A2 ,即 A1 A2 平分 2
P

?B1 AC1 ,同理 B1B2 , C1C2 分别平分 1 ?A1B1C1 与 ?B1C1 A1 ,因此这三线交于
一点( ?A B1C1 的内心) . 1
C0 B0

A
A2

? 2 ? 、延长 BA 到 P ,使 AP ? AC ,则 PC ∥ AD ,
故 A1 A2 ∥ PC , 因 此 A2 是 BP 的 中 点 , 所 以 由

B

A1 D

C

12

BA2 ? A2 P ? A2 A ? AC , BA1 ? AC ,得 A1 A2 平分 ?ABC 的周长. 1
例 12 、 D 为正三角形 ABC 的边 BC 上的任意一点,设 ?ABD 与 ?ACD 的内心分别为
2 2 I1 , I 2 ,外心分别为 O1 , O2 ;证明: O1I12 ? O2 I 2 ? I1I 2 .

证明:如图,据内心性质,有 ?AI1 D ? 90 ?
0

B ? 1200 ,所以 AI1DC 共圆,即点 I1 在 2

? ADC 上,而 ?AO1D ? 2B ? 1200 ,得点 O1 也在 ? ADC 上,即 AO1I1DC 五点共圆.此
圆的圆心即为 ? ADC 的圆心 O2 ;
A A

O1 I1

O2 O1 I2 I1 I2

O2

B

D

C

B

D

C

注意 ?C 的平分线也是 AB 的中垂线,即 C, I 2 , O1 共线,因此

?DI1O1 ? ?DI1 A ? ?AI1O1 ? ?DI1 A ? ?ACO1 ? 1200 ? 300 ? 1500 ;
同理有 AO2 I 2 DB 五点共圆,圆心为 O1 ,因此 DO1 ? DO2 ? O1O2 ,且 ?DI 2O2 ? 1500 . 由于 ?I1DI 2 ? 900 , ?O1DO2 ? 600 ,则 ?I1DO1 ? ?I 2 DO2 ? 300 ;又在 ?DO1I1 中,

?I1DO1 ? ?DO1I1 ? 300 ;在 ?DO2 I 2 中, ?I 2 DO2 ? ?DO2 I 2 ? 300 ;
所以 ?I1DO1 ? ?I 2O2 D, ?I1O1D ? ?I 2 DO2 ,于是 ?I1DO1 ≌ ?I 2O2 D .
2 2 从而 O1I1 ? DI 2 , O2 I 2 ? DI1 ,由于在直角三角形 DI1 I 2 中, DI 2 ? DI12 ? I1I 2 , 2 2 所以有 O1I12 ? O2 I 2 ? I1I 2 .

例 13 、?ABC 中, AB ? AC , D 是 AB 的中点,G 是 ?ACD 的重心,O 是 ?ABC 的 外心;证明: OG ? CD . C 证:设 AG 交 CD 于 E , AO 交 BC 于 F , 则 E , F 分别是 CD, CB 的中点,且 AF ? BC , 作 EM ? CD 交 AF 于 M ,则 M 是 ?BCD 的 外心,又作 MN ? BD 于 N ,则 N 是 BD 的中点;
E G O M

F

A

D

N

B
13

OM DN 1 GE ? ? ? , AO AD 2 AG 所以 OG ∥ ME ,由于 ME ? CD , 则 OG ? CD .
于是 例 14 、 ?ABC 内接于 ? O , I 是三角形的内心,直线 AI , BI 分别交 ? O 于 D, E ,过 点 I 作直线 l I ∥ AB ,又过点 C 作 ? O 的切线 lC ,若 lC 与 l I 相交于 F , 证明: D, E, F 三点共线.
F1

证:设 l I 交 DE 于 F ,连 FC ,据“鸡爪定理” , 1 1

A
E

DC ? DI , EC ? EI , ?IDE 与 ?CDE 关于直线 DE 对称, 故
即直线 DE 是线段 IC 的中垂线,所以 F1I =FC , 1
B

I O

C

?DCP=1800 ? ?DCF1 =1800 ? ?DIF1 =?AIF1 =?IAB=?BCD=?CBD

D

P

因此据弦切角性质可知,直线 CF1 是 ? O 的切线,从而 F , F1 共点,即 D, E, F 三点共线.

? 例 15 、 ?ABC 的内心是 I , 设 外接圆为 ? . 直线 AI 交圆 ? 于另一点 D . E 是弧 BDC 设
上的一点, F 是边 BC 上的一点,使得 ?BAF ? ?CAE ?

1 ?BAC . 2

设 G 是线段 IF 的中点.证明:直线 DG 与 EI 的交点在圆 ? 上. 2010IMO 试题) ( 证明: 设直线 AD 与 BC 交于点 H , 射线 DG 与 AF 交于点 K , 射线 DG 与射线 EI 交 于点 T .

1 ? ?BAC ? ?BCA? , ?IDC ? ?ADC ? ?ABC , 2 1 1 则 ?ICD ? ? ? ?ABC ? ? ?BAC ? ?BCA ? ? ? ?BAC ? ?BCA ? ? ?DIC , 2 2
由于 ?DIC ? ?IAC ? ?ICA ? 所以 ID ? DC . 因为 ?ADC ? ?ABC ? ?ABH , 且 ?DAC ? ?BAH ,所以 ?DAC ∽ ?BAH , 故 ,
I G T A

K

AB BH ? 由于 ?ABI ? ?HBI ,所以 , AI HI AH ? BH AB ? 于是 ,故 AH AI

B

F

H E D

C

14

AB ? AC ? AI ( AD ? ID) .
因为 ?ABF ? ?ABC ? ?AEC ,且 ?BAF ? ?EAC ,所以 ?ABF ∽ ?AEC , 于是 AE ? AF ? AB ? AC ? AI ( AD ? ID) .

AK FG ID ? ? ? 1, KF GI DA AK DA AK DA ? ? 由于 FG ? GI ,所以 ,故 ,即 AK ? AE ? DA ? AI ; KF DI AF DA ? DI
对 ?AFI 与截线 KGD ,由梅内劳斯定理 由于 , ?KAD ? ?IAE ,所以 ?KAD ∽ ?IAE ,于是 ?KDA ? ?IEA ;

所以 ?TDA ? ?TEA ,故 A, T , D, E 四点共圆, T 在圆 Г 上,即 DG 与 EI 的延长线交于 圆 Г 上一点.

? ? 例 16 、 ABC 的外心为 O , 内心为 I , C ? 30 , AC 上的点 D 与边 BC 上的点 E , 边
0

使 AD ? BE ? AB ;求证: OI ? DE, OI ? DE .

A
D O

A
D O

I F

C
I

E

B

C

E

B

M

? 证:设 AI 交 ?ABC 的外接圆于 M ,则 M 是 BC 的中点,于是 OM ? BC ;连 BD ,
因 AB ? AD ,则角 A 平分线 AM ? BD , ?OMI ? ?EBD , (对应边垂直)
0 由 ?C ? 30 ,得 AB ? OM ? R (外接圆半径) ,所以 OM ? EB ;

连 OC , CM , ?COM ? 2?CAM ? ?DAB ,故等腰三角形 ?COM ≌ ?DAB , 因此 MC ? BD ,而 I 是内心,有 MI ? MC ,所以 MI ? BD ,得 ?OMI ≌ ?EBD , 所以 OI ? ED ,且因 ?OMI 与 ?EBD 有两对对应边互垂,则第三对对应边也垂直,即有

OI ? DE .
例 17 、 ?ABC 的内心为 I ,外心为 O ,外接圆半径为 R ; ?B ? 60 , ?A ? ?C ,
0

角 A 的外角平分线交 ? O 于 E ;

15

证明: (10 ) 、 OI ? AE ; (20 ) 、 2 R ? IO ? IA ? IC ? 1 ? 3 R . 94 全国联赛) ( 证: (10 ) 、如图,延长 AI 交 ? O 于 F ,因 AE, AF 是角 A 的内、外角分线,故

?

?

AE ? AF ,所以 EF 为 ? O 的直径;设 BI 交 ? O 于 M ,
则 ?AOM ? 2?ABM ? 60 , ?AOM 为正三角形,
0

E

A

且 MC ? MI ? MA ? MO ? R ,即 A, O, I , C 共圆, 其圆心为 M ,半径也是 R ; ? M 与 ? O 为等圆) ( 所以圆心角 ?OMI ? 2 ? 圆周角 ?OAI ? 2?OAF ? ?AOE ,因此 OI ? AE .
M O I

(20 ) 、由 FI ? FC , ?AFC ? ?ABC ? 600 ,
则 ?IFC 为正三角形,所以 IC ? IF ;

B F

C

0 由此, IO ? IA ? IC ? AE ? AI ? IF ? AE ? AF ? EF ? 2 R ;且 ?AEF ? ?AFE ? 90 ,

又据条件, ?ABC 中, A ? C ? 1200 , A ? C ,所以 A ? 60 ,
0

由于 ?AEF ? ?ABF ? B ?

A 0 0 0 ,则 60 ? ?AEF ? 90 , 0 ? ?AFE ? 30 , 2
0 0

设 ?AFE ? 300 ? ? ? ? , ?AEF ? 600 ? ? ? 900 ? ? ,其中 0 ? ? ? 30 , 0 ? ? ? 30 ;

IO ? IA ? IC ? AE ? AF ? 2 R ? sin ? ? sin(900 ? ? ) ? ? 2 R ? sin ? ? cos ? ?

? 2 2 R sin(450 ? ? ) ? 2 2 R ? sin 750 ? 2 2 R ?

6? 2 ? 1? 3 R . 4

?

?

例 18 、 P 是 ?ABC 内的一点, D, E, F 分别是 BC , CA, AB 上的点,且 PD ? BC ,

PE ? CA, PF ? AB ; ?ABC 内的另一点 H 满足: ?HAB ? ?PAC, ?HCB ? ?PCA
证明: DE ? EF 当且仅当 H 是 ?BDF 的垂心. 证:必要性,如图,若 DE ? EF ,设

DH ? AB ? M , FH ? BC ? N , AEPF 共圆,CEPD 共圆, 据 由条件 ?HAB ? ?PAC 得
?HAC ? ?HCA ? ?PAF ? ?PCD

? ?PEF ? ?PED ? 900 ,即 ?AHC ? 900 ,
由于直角三角形 ?PAF ∽ ?CAH ∽ ?CPD ,得
F
M P H

A

E

AF AH CH CA AF PA ? ? ? , 故有 ,又, PA CA CD CP AH CA
B

N

D

C
16

?FAH ? ?PAC, ?ACP ? ?HCD ,
所以 ?AFH ∽ ?APC ∽ ?HDC , ?FAH ? ?DHC, ?FHA ? ?DCH ,于是

?DMB ? ?MAH ? ?MHA ? ?DCH ? ?MHA ? 1800 ? ?AHC ? 900 ,即 DM ? AB ,
同理得 FN ? BC ,故 H 是 ?BDF 的垂心; 充分性,若 H 是 ?BDF 的垂心,则易得四边形 PDHF 为平行四边形,且 BDPF ,

AEPF , CDPE, BMHN 分别共圆,记 ?HAB ? ?PAC ? ? , ?HCB ? ?PCA ? ? ,
则 ?EFP ? ? , ?EDP ? ? ,注意 ?AHF ? ?BFH ? ? ? 900 ? ( B ? ? ) ,

?AFH 中,

AF FH PD PC PA ? ? ? sin(C ? ? ) ? sin(C ? ? ) sin ?AHF sin ? sin ? sin ? sin ? cos( A ? ? ) sin(C ? ? ) ? , cos( B ? ? ) sin ?

因 AF ? PA cos( A ? ? ) ,由上式得

即 sin(C ? ? ) cos( B ? ? ) ? sin ? cos( A ? ? ) ? ① 将关系式 A ? B ? C ? (? ? ? ) ? 1800 ? (? ? ? ) 改写为

? ? ( A ? ? ) ? 1800 ? [(C ? ? ) ? ( B ? ? )] ,所以有
sin ? ? ? ( A ? ? ) ? ? sin ? (C ? ? ) ? (B ? ? ) ? ? ② ,即
sin ? cos( A ? ? ) ? cos ? sin( A ? ? ) ? sin(C ? ? ) cos( B ? ? ) ? cos(C ? ? )sin( B ? ? )
? ③ ? ④

利用①③又可得, sin[? ? ( A ? ? )] ? sin[(C ? ? ) ? ( B ? ? )]

所以 (C ? ? ) ? ( B ? ? ) ? ? ? ( A ? ? ) ? ? ⑤ , (注意,不可能有 ) (C ? ? ) ? ( B ? ? ) ? 1800 ? [? ? ( A ? ? )] ,否则将导致 C ? B ? 1800 ? A ,矛盾! 由⑤得, ? ? ? ? 90 ? B ,所以 ?AHC ? ? ? ? ? B ? 90 .由此得
0 0

?DEF ? ?DEP ? ?FEP ? ?DCP ? ?FAP ? ?CAH ? ?CAH ? 900 .
即 DE ? EF . 例 19 、如果一直线 l 将 ?ABC 的周长分成相等的两部分,就称 l 是 ?ABC 的一条“周 截线” ;过 ?ABC 三边 BC , CA, AB 的中点 A0 , B0 , C0 分别作 ?ABC 的周截线 la , lb , lc ;

17

(10 ) 、证明: la , lb , lc 三线共点; (20 ) 、设 la , lb , lc 三线的交点为 D ,
记 ?ABC ? max ?

A
A1 C0
D

B0

? AD BD CD ? , , ?, ? BC AC AB ?

对所有三角形,求 min ? .

B

B1

A0

C1

C

证: (10 ) 、不妨设 BC ? AB ? AC ,则周截线与 ?ABC 的边相交情况便如上图所示; 若 la ? AB ? A1 , lb ? BC ? B1 , lc ? CA ? C1 ;用 L( A, B, C ) 表示 ?ABC 的周长,其余三 角形类似表示, 由于 A0 B0 AC0 为平行四边形,?A0 A1C0 ? ?A1 A0 B0 ; 又因 A0 A1 为周截线, 则有 A1 B ? A0 B ?

1 L( A, B, C ) ? L( A0 BC0 ) ,所以 A1C0 ? A0C0 ,?A0 A1C0 ? ?A1 A0C0 , 2

故 ?A1 A0 B0 ? ?A1 A0C0 ,即 la 是 ?C0 A0 B0 的平分线;同理可得,lb , lc 分别是 ?A0 B0C0 与

?B0C0 A0 的平分线;因此 la , lb , lc 三线共点,其交点 D 为 ?A0 B0C0 的内心.
(20 ) 、我们利用三角系统求解;记 BC ? a, CA ? b, AB ? c ,当 ?ABC 为正三角形时,
则 D 是其三条中线的交点,即为重心,此时

AD BD CD 1 1 ? ? ? ,而 ? ? ; BC AC AB 3 3

以下证,对所有三角形, min ? ?

1 . 3
1 ,用 R 及 r 分别表示 ?ABC 的外接圆及 2

注意到 ?A0 B0C0 与 ?ABC 相似,其相似比为 内切圆半径,若 ?ABC 的内心为 I ,则有:

A0 D ?

1 r A 1 r B 1 r C AI ? csc ,B0 D ? BI ? csc ,C0 D ? CI ? csc ,在 ?BDC 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2

中, 由中线公式,2(BD ? CD ) ? a ? (2 A0 D) ? a ? AI , 同理在 ?CDA 和 ?ADB 中, 有 2(CD ? AD ) ? b ? (2B0 D) ? b ? BI , AD ? BD ) ? c ? (2C0 D) ? c ? CI ; 2(
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

因此, 4( AD ? BD ? CD ) ? (a ? b ? c ) ? ( AI ? BI ? CI ) ?? ①
2 2 2 2 2 2 2 2 2

假若结论不成立,即若有 ?ABC ,使得 AD ?

3 3 3 a, BD ? b, CD ? c ,则由①, 3 3 3

18

A B C 4 ? csc2 ? csc2 ) ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ,? ② 2 2 2 3 A B C a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3r 2 (csc2 ? csc2 ? csc2 ) ,即 2 2 2 A B C 4 R 2 (sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ) ? 3r 2 (csc 2 ? csc 2 ? csc 2 ) ? ③, 2 2 2 A B C 由于在 ?ABC 中,有 r ? 4 R sin sin sin ,③式成为 2 2 2 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? r 2 (csc2



A B B C C A? ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 12 ? sin 2 sin 2 ? sin 2 sin 2 ? sin 2 sin 2 ? ? ④, 2 2 2 2 2 2? ?
令 x ? tan

A B C , y ? tan , z ? tan , x ? z ? z 有y y x 2 2 2

? 1, 2 sin

A x2 B y2 , ? ,sin 2 ? 2 1 ? x2 2 1 ? y2

sin 2

C z2 2x 2y 2z ? ,sin B ? ,sin C ? , sin A ? ,④式成为 2 2 2 2 1? z 1? x 1? y 1? z2

? ? x2 y2 z2 x2 y 2 y2 z2 z 2 x2 , ? ? ? 3? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? (1 ? x ) (1 ? y ) (1 ? z ) (1 ? x )(1 ? y ) (1 ? y )(1 ? z ) (1 ? z )(1 ? x ) ? ?
由于 1 ? x2 ? ( x ? y)( x ? z),1 ? y 2 ? ( y ? x)( y ? z),1 ? z 2 ? ( z ? x)( z ? y) , 上式成为 x2 ( y ? z)2 ? y 2 ( z ? x)2 ? z 2 ( x ? y)2

? 3 ? x 2 y 2 (1 ? z 2 ) ? y 2 z 2 (1 ? x 2 ) ? z 2 x 2 (1 ? y 2 ) ? ? ?
2 2 2 2 2 2 2

? ⑤
2 2 2 2 2 2 2 2

即 2 xyz( x ? y ? z) ? x y ? y z ? x z ? 9x y z ,两边加 x y ? y z ? x z 得到

1 ? 2( x2 y 2 ? y2 z 2 ? x2 z 2 ) ? 9x2 y2 z 2 , ? ⑥,
由于当 x, y, z ? 0 , xy ? yz ? zx ? 1 时,有 2( x y ? y z ? x z ) ? 9x y z ? 1(见附证) .
2 2 2 2 2 2 2 2 2

即⑥式不能成立,故所设不真,从而对所有三角形, min ? ?

1 . 3
2 2 2 2 2

【附证】设 x, y, z ? 0 ,xy ? yz ? zx ? 1 ,则有 2( x y ? y z ? x z ) ? 9x y z ? 1 ? ①
2 2 2 2

证:令 a ? yz, b ? zx, c ? xy ,则 a, b, c ? 0, a ? b ? c ? 1 ,即要证

2(a2 ? b2 ? c2 ) ? 9abc ? 1 ? ②,两边齐次化,即要证 2(a2 ? b2 ? c2 )(a ? b ? c) ? 9abc ? (a ? b ? c)3 ? ③
由于 (a ? b ? c) ? (a ? b ? c ? 2ab ? 2bc ? 2ca)(a ? b ? c) ,则
3 2 2 2

19

2(a2 ? b2 ? c2 )(a ? b ? c) ? (a ? b ? c)3 ? (a2 ? b2 ? c2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca)(a ? b ? c) ? (a2 ? b2 ? c2 )(a ? b ? c) ? 2(ab ? bc ? ca)(a ? b ? c) ? (a3 ? b3 ? c3 ? a2b ? ab2 ? b2c ? bc2 ? c2a ? ca2 ) ?2(a2b ? ab2 ? b2c ? bc2 ? c2a ? ca2 ? 3abc) ,所以 2(a2 ? b2 ? c2 ) ? 9abc ?1 ? (a3 ? b3 ? c3 ) ? (a2b ? ab2 ? b2c ? bc2 ? c2a ? ca2 ) ? 3abc ;
据 a, b, c 的对称性,不妨设 a ? b ? c ,则因 a3 ? a2 (b ? c) ? abc ? a(a ? b)(a ? c) ,

b3 ? b2 (c ? a) ? abc ? b(b ? a)(b ? c) , c3 ? c2 (a ? b) ? abc ? c(c ? a)(c ? b)
于是 2(a2 ? b2 ? c2 ) ? 9abc ?1 ? a(a ? b)(a ? c) ? b(b ? a)(b ? c) ? c(c ? a)(c ? b) ? ④ 由于 c(c ? a)(c ? b) ? 0 , a(a ? b)(a ? c) ? b(b ? a)(b ? c) ? (a ? b)(a 2 ? ac ? b2 ? bc)

? (a ? b)(a ? b)(a ? b ? c) ? 0 ,即 a(a ? b)(a ? c) ? b(b ? a)(b ? c) ? c(c ? a)(c ? b) ? 0 ,
所以 2(a2 ? b2 ? c2 ) ? 9abc ?1 ? 0 ,即②成立,故结论得证. 例 20 、设 a, b, c ? R ? ,试求以下方程的正根 x :

abx ? a ? b ? x ? ? bcx ? b ? c ? x ? ? cax ? c ? a ? x ? ? abc ? a ? b ? c ? .

? ①

解:以 a ? b, b ? c, c ? a 为边构作 ?ABC ,以 A, B, C 为心, a, b, c 为半径分别作圆, 设 ? O 与上述三个圆相外切,其半径为 x0 ,则此 x0 便是所求的正根. 这是由于,

?OAB ? ?OBC ? ?OCA ? ?ABC .
(记号 ? 表示三角形面积).由海伦公式,

A

a a

?OAB ? abx ? a ? b ? x0 ? , ?OBC ? bcx ? b ? c ? x0 ? , ?OCA ? cax ? c ? a ? x0 ? , ?ABC ? abc ? a ? b ? c ? ,
因此得方程的解 x0 .
B
b

F
K N
I O c

E

M
b

D

c

C

20

易知, ? A, ? B, ? C 两两的内公切线交于 ?ABC 的内心 I ,而 ID, IE, IF 为 ?ABC 的 内切圆半径,其长为

r?

?ABC abc ? ② ? a?b?c a?b?c

(若 ?ABC 的内切圆分别切 ?ABC 的三边于

D?, E?, F ? ,三个切点分 BC , CA, AB 成两段长为 b?, c? ; c?, a? ; a?, b? ,则 a? ? b? ? a ? b ,
b? ? c? ? b ? c , c? ? a? ? c ? a ,于是 a? ? b? ? c? ? a ? b ? c ? a? ? a, b? ? b, c? ? c ,
故 D?, E?, F ? 分别与 D, E, F 重合.) ,类似地, 三圆 ? O, ? B, ? C 两两的内公切线交于 ?OBC 的内心 M ,三圆 ? O, ? A, ? C 两两的内公 切线交于 ?OAC 的内心 N ,三圆 ? O, ? A, ? B 两两的内公切线交于 ?OAB 的内心 K ,而

?MNK 的内切圆就是 ? O ,设这四个圆的半径分别为 m, n, k , x ,则

m?

bcx cax abx mnk , n? , k? , x? , ? ③ b?c? x c?a?x a ?b? x m?n?k

注意到 ?INK 的边长为 r ? n, r ? k , n ? k ,它的旁切圆为 ? A ,其半径为 a ,由

?AIN ? ?AIK ? ?ANK ? ?INK ,即有
1 1 1 a ? r ? n ? ? a ? r ? k ? ? a ? n ? k ? ? rnk ? r ? n ? k ? ,得 a2 ? r ? n ? k ? ? rnk ?④ 2 2 2
同理有 b
2

? r ? m ? k ? ? rmk

??⑤, c

2

? r ? m ? n? ? rmn

??⑥,

由④,

1 1 1 1 ? 1 1 ?? 1 1 ? 1 1 ? ? ? 2 ?○,即 ? ? ?? ? ? ? 2 ? 2 ??⑦,同理有, * nk rn rk a a ? n r ?? k r ? r

? 1 1 ?? 1 1 ? 1 1 ? 1 1 ?? 1 1 ? 1 1 ? ? ?? ? ? ? 2 ? 2 ??⑧, ? ? ?? ? ? ? 2 ? 2 ?? ⑨ b c ? m r ?? k r ? r ? m r ?? n r ? r
由○得, 2

1 a?b?c 1 1 1 1 1 ? 1 1 ?? 1 1 ? ? ? ? ? ,所以, 2 ? 2 ? ? ? ?? ? ? ??⑩ 2 r abc ab bc ca r a ? a b ?? a c ?

同理有

1 1 ? 1 1 ?? 1 1 ? 1 1 ? 1 1 ?? 1 1 ? 11 12 ? 2 ? ? ? ?? ? ? ??○; 2 ? 2 ? ? ? ?? ? ? ??○. 2 r c ? a c ?? b c ? r b ? a b ?? b c ?

于是 ?

? 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ?? 1 1 ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? , ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? , ? m r ?? n r ? ? a c ?? b c ? ? n r ?? k r ? ? a b ?? a c ?
21

? 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ?? 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ,所以, ? m r ?? k r ? ? a b ?? b c ? ? 1 1 ?? 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ?? 1 1 ?? 1 1 ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ,据以上四式得, ? m r ?? n r ?? k r ? ? a b ?? b c ?? c a ?
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ,??○ 13 m r b c n r a c k r a b
由②③,

1 1 1 1 1 1 1 1 , ? ,??○, 14 ? ? ? ? ? r ab bc ca x mn nk km
1 1 1?1 1? 1 1 1? 1 1? ? 2 ? ? ? ? ,类似有, ? 2 ? ? ? ?, nk a r ? n k ? mn c r ? m n ?

又由○, *

1 1 1? 1 1 ? 1 1 1 1 1 1 2? 1 1 1? 13 ? 2 ? ? ? ? ,据此及○, ? ? ? 2? 2? 2? ? ? ? ? mk b r ? m k ? mn nk km a b c r?m n k?

1 1 1 2?3 2 2 2? ?1 1 1 2? (最后一等号用到○式中: 14 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? , a b c r ?r a b c? ?a b c r ?
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ? ? ? .) 因此, ? ? ? ? ? ? ? 2 r ab bc ca x mn nk km a b c r

2

?

1 1 1 a?b?c abc ,从而 x ? . ? ? ?2 a b c abc ab ? bc ? ca ? 2 abc ? a ? b ? c ?

22


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