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贵州省遵义航天高级中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


2015~2016 学年度第一学期期末考试 高二数学(理)
全卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 一、选择题。 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、如果命题“
?

?p

? q ? ”是假命题,则下列说法正确的是(



A、 p,q 均为真命题 C、 p,q 均为假命题

B、 p,q 中至少有一个为真命题 D、 p,q 中至少有一个为假命题

2、经过点 A(4,2m ? 1),B(2,?3)的直线的倾斜角为

? ,则 m ? ( 4



A、 ?1 B、 ?3 C、 0 D、 2 3、如图是某几何体的三视图(正视图、侧视图相同) ,则该几何体的体积为(



A、

9? ? 12 2

B、

9? ? 18 2

3 2 正视图 侧视图

C、 9? ? 42

D、 36? ? 18

3 俯视图 4、已知双曲线 x
2

?

y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m 的值为( m
B、

2



A、 4

1 4

C、 ?

1 4

D、 ?4 [来源:学*科网]

5、已知两个不同的平面 ? , ? 和两条不重合的直线 a ,b ,则下列四个命题正确的是( A、若 a / /b ,b ? ? ,则 a / /? B、若 a ?



? ,b ? ? ,a / /? ,b / / ? ,则 ? / /?

C、若 ? ? ? ,? ? ? ? b ,a ? b ,则 a ? ? D、若 ? / /? ,a ? 6、将圆 x
2

? ,a ? ? ,a / /? ,则 a / /?
)[来源:学*科网]

? y 2 ? 2x ? 4y ? 1 ? 0 平分的直线可以是(

A、 x ? y ? 1 ? 0 B、 x ? y ? 3 ? 0 C、 x ? y ? 1 ? 0 D、 x ? y ? 3 ? 0
1

7、四棱锥 P ? ABCD 的所有侧棱长都是 5 ,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,则异面直线 CD 与 PA 所成 角的余弦值为( A、 ) B、
2

5 5

2 5 5

C、

4 5

D、

3 5


8、抛物线 y A、 1

? 4x 上的点 M (x 0 ,y 0 )到焦点 F 的距离为 5 ,则 x 0 的值为(
B、 3 C、 4 D、 5

9、已知长方体 ABCD ? A、 36?

A1B1C 1D1 的底面是边长为 4 的正方形,高为 2 ,则它的外接球的表面积为(
B、 9? C、 20? D、 16?



y ? 2 ? 0 互相平行”的( ) 10、“ a ? 1 ”是“两直线 y ? ax ? 2 和 3x ? (a ? 2)
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

11、如图,空间四边形 OABC 中,OA ? 的中点,则 MN ? (

?? ?

a ,OB ? b ,OC ? c ,点 M 在 OA 上,且 OM ? 2MA , N 为 BC

?

???

?

???

?

??? ?



1? 2? 1? A、 a ? b ? c 2 3 2 1? 1? 2? C、 a ? b ? c 2 2 3
12、设 F1 ,F2 是椭圆 C :
0

2? 1? 1? B、 ? a ? b ? c 3 2 2 2? 2? 1? D、 a ? b ? c 3 3 2
A

O M C N B

3a x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0)的左右焦点, P 为直线 x ? 上一点, ?F1PF2 是 2 2 a b


底角为 30 的等腰三角形,则 C 的离心率为(

A、

1 2

B、

2 3

C、

3 4

D、

4 5

二、填空题。 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、双曲线

x2
4

?

y2
12

? 1 的渐近线方程为



14、命题: “ ?x ?

R ,e x ? x ”的否定是
x2
25 ?

(写出否定命题)

15、 已知 F1 ,F2 是椭圆 C :

y2
9

? 1 的左、 右焦点, 点 P 是椭圆 C 上一点, 且 F1P ? F2P , 则 ?F1PF2
P D A B 2 M C

的面积为 。 16、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD 且底面各边都相等, M 是 PC 上一点, 当点 M 满足 时,平面 MBD ? 底面 PCD (只要填写一个你认 为正确的条件即可)

三、解答题。 (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤) 17、(本小题满分 10 分)已知两条直线 l1 : ax ?

by ? 4 ? 0 和 l2 : (a ? 1) x ? y ? b ? 0 ,若

l1 ? l2 且 l1 过点(?3,?1),求 a,b 的值。

18、(本小题满分 12 分)如图,三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 底面 ABC ,

?BCA ? 900 ,PB ? BC ? CA ? 4 ,点 E 、 F 分别为 PC 、 PA 的中点。
(1)求证: BE ? 平面 PAC ; (2)求三棱锥 F ? ABE 的体积。 P E

F [来源:Z-xk.Com] B

C

A

19、(本小题满分 12 分)已知圆 C :

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 的圆心 C 在直线 x ? y ? 1 ? 0

上,且点 C 在第二象限,半径为 2 。 (1)求圆 C 的方程 ; (2)斜率为 2 的直线 l 与圆 C 交于 A ,B 两点,若 AB ? 2 ,求直线 l 方程。

[来源:学*科网]

3

20、(本小题满分 12 分)设抛物线 C :

y 2 ? 4x , F 为 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两

点,求证: OA ? OB 是一个定值(其中 O 为坐标原点) 。

?? ?

???

21、(本小题满分 12 分)如图,已知圆柱的高为 4 , AA1 ,BB1 ,CC 1 是圆柱的三条母线, AB 是底面圆 O 的 直径, AC ? 3,AB ? 5 。 (1)求证: AC 1 //平面 COB1 ; (2)求二面角 A ?

C1 A1 B1

BC 1 ? C 的正切值。
O

22、 (本小题满分 12 分)设椭圆 E :

3 x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0)的左焦点为 F ,离心率为 ,过点 F 2 3 a b

且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

4 3 (1)求椭圆 E 的方程。 (2)设 A ,B 分别为椭圆的左、 3 。

DB ? 右顶点,过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C ,D 两点,若 AC ?

??? ? ???

AD ? CB ? 8 ,求 k 的值。

???????

4

高二数学(理)答案 一、选择题 1、B 2、A 7、A 8、C 二、填空题 3、B 4、D 5、D 6、C 9、A 10、C 11、B 12、C 14、 ?x0 ? R, 使e x0 ? x0

13、 3x ? y ? 0

15、9

16、 DM ? PC(或BM ? PC) 三、解答题 17、解:由 l1 ? l2 ,得: a(a ? 1) ? b ? 0 (1) (2)

( - 3, - 1) 由 l1 过点 ,得 - 3a ? b ? 4 ? 0
由(1) (2)可得: a ? 2, b ? 2

18、 (几何法) (1)? PB ? 底面ABC, AC ? 平面ABC P F B

? PB ? AC
E
0 又?BCA C ? 90 ,即AC ? BC , 而PB ? BC ? B

? AC ? 平面PBC

又BE ? 平面PBC,? BE A

? AC

由PB ? BC.E是PC的中点,得 BE ? PC 而AC ? PC ? C ,? BE ? 平面PAC

1 1 VF ? ABE ? VE ? ABF ? VE ? ABP ? VC ? ABP 2 4 1 1 1 ? VP ? ABC ? ? S ?ABC ? PB 4 3 (向量法)如图,以点 C 4 为原点建立空间直角坐标系 C-XYZ(其中 Z 轴 1 1 1 8 // PB ) ,由已知, 得: Z ? ? ? ? 4? 4? 4 ? 4 3 2 3 P
(2) E [来源:学+科网ZXK] X B Y F

C (0, 0, 0) , A(0, 4, 0), B(4, 0, 0), P(4, 0, 4), E(2, 0, 2), F (2, 2,2) [来源:学科网]
Y A1) BE ? (

C

???

? ?2,0,2? ,CA

?? ?

??? ? ? 0,4,0 ? ,CP ? ? 4,0,4 ?

??? ?? ? ? BE ? CA ? ?2 ? 0 ? 0 ? 4 ? 2 ? 0 ? 0 ??? ??? BE ? CP ? ?2 ? 4 ? 0 ? 0 ? 2 ? 4 ? ?8 ? 8 ? 0 ? BE ? CA 且 BE ? CP ,故 BE ? 平面 PAC

5

V F ? ABE ? V E ? ABF (2)



S ?ABF ?

1 1 1 S ?PAB ? ? ? 4 2 ? 4 ? 4 2 2 2 2

??? ?AB ? ? 4, ?4,0 ? ? ? 又由 ? ??? 可求得平面 ABF 的一个法向量 n ? ?1,1,0 ? ? ? ? AF ? ? 2, ?2,2 ?
而 AE ? 2, ?4,2

???

?

?

? E 到平面 ABF 的距离 d ?

n ?AE n
?

? ??? ?

2?4 2

?

2

? VF ? ABE ? VE ? ABF ?

1 1 8 S ?ABF ? d ? ?4 2? 2 ? 3 3 3

19、解: (1)由题意,可设点 C a ,1 ? a

?

? ?a

? 0?

? D ? ? a ? ? D ? ?2a ? 2 ?? 即? ?? E ? 1 ? a ?E ? 2a ? 2 ? ? 2
故圆 C 方程为: x
2

? y 2 ? 2ax ? (2a ? 2) y ?3 ? 0
2

? r2 ?
又r ?

? ?2a ?
2

2

? ? 2a ? 2? ? 4 ? 3 4

? 2a 2 ? 2a ? 2

? 2a 2 ? 2a ? 2 ? 2 解得 a ? ?1 或 a ? 2 (舍)

? 圆 C 方程为: x 2 ? y 2 ? 2x ? 4y ? 3 ? 0
(2)由(1)得圆 C 方程为 x ? 1

?

?

2

? ? y ? 2? ? 2 ,圆心 C ? ?1,2 ?
2

设所求直线 l : y ? 2x ? m ,即 2x ? y ? m ? 0 圆心 C 到直线 l 的距离为 d ,由 AB ? 2 而 AB ? 2 r 2 ? d 2 ,可得 d ? 1

?

?2 ? 2 ? m 5

? 1 ,解得 m ? 4 ?

5

? 直线 l 方程为 y ? 2x ? 4 ?

5

20、证明:由 C :

y 2 ? 4x ,可得 F ?1,0 ?
? A ?1,2 ? ,B ?1, ?2 ?

若 l ? x 轴,则 l : x ? 1

?? ? ??? ? OA ? OB ? x ? 2 ? (?2) ? ?3
若 l 与 x 轴不垂直,设 l : y ? k(x ? 1),A x 1 ,y 1 ,B x 2 ,y 2

?

?

?

?
6

联立 ?

2 ? y 2 ? 4x 消 x 得: ky ? 4y ? 4k ? 0 ?y ? k(x ? 1)

? y 1y 2 ?

?4k

k

? ?4

从而 x1 ? x2 ?

y 12 y 22
4 ?

?? ? ?? ? ? OA? OB ? x1x2 ? y1y 2 ? 1 ? 4 ? ?3
Y C1 A1

2 (y 1y 2 ) ?1 4 16 ?? ? ??? 综上可知:? OA ? OB ? ?3 (定值)

?

21、解:由 AB 是 ? o 直径,可知 AC ? BC ,故由 AC ? 3,AB ? 5 可得: BC ? 4 ,以点 C 为坐标原点建立空间直角坐标系 C ? XYZ (如图) B1 则 A 3,0,0 ,B 0,4,0 ,C 1 0,0,4 ,O ? B ? ??? Z

?

?

?

?

?

?

C A

?3 ? ,2,0 ? ,B1 ? 0,4,4 ? ?2 ?

X

?3 ? ? ?CO ? ? ,2,0 ? ?2 ? 可得平面 COB1 的一个法向量 n ? ? 4, ?3,3 ? (1)由 ? ? ? ??? CB ? 1 ? ? 0,4,4 ? ???? ???? ? ???? ? 又 AC 1 ? ? ?3,0,4 ? ? AC 1 ? n ? ?3 ? 4 ? 0 ? (?3) ? 4 ? 3 ? 0 ? AC 1 ? n
又 AC 1 ? 平面 COB1

? AC 1 / / 平面 COB1

???? ?BC ? ? 0, ?4,4 ? ?? ? ? 1 (2)由 ? ??? 可得平面 ABC 1 的一个法向量 n1 ? ? 4,3,3 ? , ? ? BA ? ? 3, ?4,0 ? ???? ?BC ? ? 0,?4,4 ? ?? ? ? 1 由 ? ??? 可得平面 BCC 1 的一个法向量 n 2 ? ?1,0,0 ? ? ? ? BC ? ? 0,?4,0 ?

[来源:学科网]

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? n1 ? n2 设二面角 A ? BC 1 ? C 为 ? ,则 cos ? ? cos ? n1,n2 ?? ?? ? ?? ? ?

4 34

n1 n2

sin ? ?
即二面角

1 ? cos2 ? ?

3 2 34
3 2 4

tan ? ?

sin ? 3 2 ? cos ? 4

A ? BC 1 ? C 的正切值为

22、解: (1)由题意,可知

? c 3 ? (1) ? ? a 3 ? 2 4 3 ? 2b ? (2) ? ? a 3

7



a 2 ? b 2 ? c 2 (3) 由(1) 、 (2) 、 (3)可解得: a ?
?E :

3,b ?

2,c ? 1

x2
3

?

y2
2

? 1

(2)由(1)可知: A ?3,0 ,B

?

?

?
?

3,0 ,F ? ?1,0 ?

?

直线 CD : y ? k(x ? 1) 设 C x 1 ,y 1 ,D x 2 ,y 2

?

?

?

?y ? k(x ? 1) ? 2 联立 ? x 2 消 y 得:(2 ? 3k ) x 2 ? 6k 2x ? 3k 2 ? 6 ? 0 y2 ? ? 1 ? ? 3 2
? x1 ? x 2 ? ? 6k 2 2 ? 3k 2

x 1 ?x 2 ?

3k 2 ? 6 2 ? 3k 2

? y 1 ? y 2 ? k(x 1 ? 1) ? k(x 2 ? 1) ?
又 AC ?

4k 2 ? 3k 2

? y1? y2 ?

?4k 2 2 ? 3k 2

? ??? CB ? ? 3 ? x ,?y ?
x1 ? 3,y 1
1 1

??? ?

?

DB ?

???

?

3 ? x 2 ,?y 2

?

AD ? x 2 ? 3,y 2

???

?

?

??? ? ??? ??? ??? ? AC ?DB ? AD ? CB ? (x 1 ? ? ?2x 1x 2 ? 2y 1y 2 ? 6 ?
解得

3)( 3 ? x 2 ) ? 2y 1y 2 ? (x 2 ?

3)( 3 ? x 1 )

2k 2 ? 12 ?6 ? 8 2 ? 3k 2

k ? ? 2

8


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