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江苏省常州市西夏墅中学高中数学 数列专题复习2 数列中的数学思想教学设计 苏教版必修5


数列专题复习 2——数列中的数学思想
教学目标: 1.知识与技能: 能够灵活运用方程思想、化归与转化思想、函数思想对数列问题进行求解. 2.过程与方法: 使学生 在已掌握的数列 题型求解方法上进一步提高解题水平,明确数列与数学思想的 内在联系.

教学重点: 掌握数列题型中数学思想方法的应用; 教学难点: 掌握数列题型中数学思想方法的应用.

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教学方法 : 讲练结合、自主探 究.

教学过程: 一、问题情境 问题 1.我们以前的学习中接触过哪些数学思想方法? 问题 2.前一段的数列学习中运用了哪些数学思想方法? 二、学生活动 1.数列中有方程思想、化归与转化思想、函数与数形结合思想. 2.讨论并从习题中找出具体的题目中分别体现哪些思想方法. 三、建构数学 引导学生自己总结出数学中几种思想方法. (一)数列中的方程思想: 等差数列有两个基本量 a1 , d ,等比数列有两个基本量 a1 , q ,等差与等比数列的两个基 本问题 an , S n 都可以用两个基本量来表示,所 以列出关于两个关于基 解,这种方法又可称为基本量法. 本量的方程组来求

1

(二)数列 中的化归与转化思想: 我们在处理数学问题时,常常将待解决的问题通过转化,化归 成为一类我们比较熟悉 问题来解决. (三)数列中的函数与数形结合思想: 数列是一种特殊的函数,数列的通项公式和前 n 项和公式都可以看成 n 的函数,特别是 等差数列的通项公式可以看成是 n 的一次函数, 而其求和公式可以看成是常数项为零的二次 函数,因此许多数列问题可以用函数的思想进行分析,加以解决. 四、数学运用 例 1 在等比数列 ?an ? 中, 如果 a1 ? a2 ? 40,a3 ? a4 ? 60,那么 a7 ? a8 ? .

分析 以等比数列的首项 a1 和公比 q 为基本量列方程组求解,适当运用整体思想可使 运算简化. 解

? a1 ? a1q ? 40, 3 ? q2 ? , ? 2 3 2 ?a1q ? a1q ? 60.

3 a 7 ? a8 ? a1 q 6 ? a1 q 7 ? a1 q 6 (1 ? q) ? 40 ? ( ) 3 ? 135 . 2
变式 已知等比数列 ?an ? 中前 8 项的和 S8 ? 30 ,前 16 项的和 S16 ? 150,求 S 20 . 解 设 ?an ? 的公比为 q ,当 q ? 1 时, S 8 ? 8a1 ? 30 ? a1 ?

15 , 4

S16 ? 16 a1 ? 150 ? a1 ?

75 , 8

故 q ? 1.

? a1 ?1 ? q8 ? ? ? 30 ?1? ? 1? q ?? 16 ? a1 ?1 ? q ? ? 150   ? 2? ? ? 1? q

?1? 得 1 ? q8 ? 5, ?2 ?

? q8 ? 4.

? q4 ? 2.

带入(1)式可得

a1 ? ?10 , 1? q

2

? S 20

a1 1 ? q 20 a1 1 ? q 4 ? ? 1? q 1? q

?

?

?

? ? ? ? 310.
5

点 评 解题过程中应注意对等比数列中 q ? 1 这种特殊情况的讨论.另外本题的求解需

要有整体思想,即必须把

a1 当成一个 整体来解. 1? q

例 2 已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? 2an ? 1 ,且 a1 ? 1 , (1)证明数列 ?an ? 1? 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通 项公式.

解 (1)令 bn ? an ? 1,故只需证 ?bn ? 是等比数列,

bn?1 an?1 ? 1 2an ? 1 ? 1 2?an ? 1? ? ? ? ? 2 , b1 ? a1 ? 1 ? 2 , bn an ? 1 an ? 1 an ? 1

? 数列 ?bn ? 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列.
即数列 ?an ? 1?是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列. (2) bn ? 2 ? 2 n?1 ? 2 n ,即 an ? 1 ? 2 n , ∴ an ? 2 n ? 1. 变式 已知数列 ?an ? 的前 n 项和满足 S n ? ?an ? n ,且 a1 ?

1 , 2

(1)证明数列 ?an ? 1? 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n . 解

S n ?1 ? S n ? ?a n ?1 ? n ? 1 ? ?? a n ? n ? ? a n ?1 ?

1 1 an ? 2 2

令 bn ? an ? 1,故只需证 ?bn ? 是等比数列,

bn ?1 bn

1? ?1 1 1 1 ? an ? ? ? 1 ?an ? 1? 1 an ? a n?1 ? 1 ? 2 1 2? 2 2 2 ? ? ? ? ? , b1 ? a1 ? 1 ? ? , 2 an ? 1 an ? 1 an ? 1 an ? 1 2

1 1 为首项, 为公比的等比数列. 2 2 1 1 即数列 ?an ? 1? 是以 ? 为首项, 为公比的等比数列. 2 2
∴数列 ?bn ? 是以 ?

3

(2) bn ? ? ? ? ?

1 ?1? 2 ? 2?

n ?1

?1? ?1? ? ? ? ? ,即 an ? 1 ? ? ? ? ? 2? ?2?

n

n

∴ an ? 1 ?

1 . 2n

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 1? ? 1? 1? ? 1? ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ?1 ? 3 ? ? ? ? ?1 ? n ? ? 2? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? n 1 ? ?1? ? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? 1 ? 1 ? ?2? ? ? ?1 1 1 ? n ? ? ? 2 ? 3 ?? ? n ? ? n ? ? n ?1? n . 1 2 ? 2 ?2 2 2 1? 2
例 3 已知数列 ?an ? 是等差数列,数列 ?bn ? 是等比数列,其公比 q ? 1 ,且 bi ? 0 .

y ( i ? 1 , 2 , 3 , ?) ,若 a1 ? b1 , a11 ? b11 ,则 a6与b6 的大小关系为
分析 (方法一) q ? 1 ? b1 ? b11 , bi ? 0 , 所以

a6 ?


a1 ? a11 b1 ? b11 ? ? b1b11 ? b62 ? b6 2 2



x

( 方法二)等差数列是定义在正整数集 上 的一次函数,等比数列( q ? 1 )时是定义在正 整数集上的指数函数.由 a1 ? b1 , a11 ? b11 知 两函数有两个交点如图, 显然 a6 ? b6 , 而且当 1 ? n ? 11, n ? N 时都有 an ? bn , 当 n ? 11 时,

an ? bn .
五、 要点归纳与方法小结 1. 数列中的方程思想:基本量法是通法,要注意运算技巧. 2. 数列中的化学与转化思想:将非等差等比问题转化为等差等比数列问题求解是突破 点. 3. 数列中的函数与数形结合思想:构造函数,用图象辅助,能起到出奇制胜的效果 .

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