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1-6极限存在准则及两个重要极限


第六节 极限存在准则及 两个重要极限
一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限

第一章

教学目的与要求
? 了解极限存在的两个准则 ? 会用两个重要极限求极限 ? 重点: 掌握利用两个重要极限求极限公式求极 限的方法

一、极限存在准则
1.夹逼准则

则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及z n 满足下列条件:

(1) yn ? x n ? z n ( 2) lim yn ? a ,
n? ?

( n ? 1,2,3?) lim z n ? a ,
n? ?
n? ?

那末数列 x n 的极限存在, 且lim x n ? a .

证 ? yn ? a ,

zn ? a ,

? ? ? 0 , ? N 1 ? 0 , N 2 ? 0 , 使得

当 n ? N 1时恒有 当 n ? N 2 时恒有

yn ? a ? ?, zn ? a ? ?,

取 N ? max{ N 1 , N 2 }, 即 a ? ? ? yn ? a ? ?,
当 n ? N 时 , 恒有

上两式同时成立,
a ? ? ? zn ? a ? ?,

a ? ? ? yn ? xn ? zn ? a ? ? ,

即 x n ? a ? ? 成立 ,

? lim x n ? a .
n? ?

上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限

准则Ⅰ′ 如果当 x ? U ? ( x0 ) (或 x ? M )时,有
0

(1) g ( x ) ? f ( x ) ? h( x ), ( 2) lim g ( x ) ? A,
x ? x0 ( x ?? ) x ? x0 ( x ?? )

lim h( x ) ? A,

那末 lim f ( x ) 存在, 且等于A .
x ? x0 ( x?? )

准则 Ⅰ和准则 Ⅰ'称为夹逼准则.

注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn ,
并且 yn与 z n的极限是容易求的 .

例1 求 lim (
n? ?

1 n ?1
2

?

1 n ? 2
2

???
1 n ? n
2

1 n ? n
2

).



?

n n ? n
2

?
n

1 n ?1
2

???
1 1? 1 n

?

n n ?1
2

,

又 lim

n? ?

n ? n
2

? lim

n? ?

? 1,

lim

n n ?1
2

n? ?

? lim

1 1? 1 n
2

n? ?

? 1,

由夹逼定理得
1 n ? n
2

lim (
n? ?

1 n ?1
2

?

1 n ? 2
2

???

) ? 1.

2.单调有界准则
如果数列 x n 满足条件
x 1 ? x 2 ? ? x n ? x n ? 1 ? ? , 单调增加 x 1 ? x 2 ? ? x n ? x n ? 1 ? ? , 单调减少
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.

单调数列

几何解释:
x1

x 2 x 3x n x n ? 1

A

M

x

例2

证明数列 .

xn ?

3?

3?

??

3

( n 重根

式 )的极限存在



显然 x n ? 1 ? x n ,

? ? x n ? 是单调递增的
x k ?1 ?

;
3 ? 3 ? 3,

又 ? x1 ?

3 ? 3 , 假定 x k ? 3 ,

3 ? x k?

? ? x n ? 是有界的
? x n?1 ?
A
2

;
2

? lim x n 存在 .
n? ?

3 ? xn ,

x n?1 ? 3 ? x n ,

lim x n ? 1 ? lim ( 3 ? x n ),
2 n? ? n? ?

? 3 ? A,

解得 A ?

1? 2

13

, A?

1? 2

13

(舍去)

? lim x n ?
n? ?

1? 2

13

.

C

二、两个重要极限
(1)
lim
x ?0

B
x

sin x x

?1

o

D

A

设单位圆

O , 圆心角 ? AOB ? x , ( 0 ? x ?
,得 ? ACO .

?
2

)

作单位圆的切线

扇形 OAB 的圆心角为
于是有 sin x ? BD ,

x,

? OAB 的高为 BD ,
tan x ? AC ,

x ? 弧 AB ,

△AOB 的面积<圆扇形AOB的面积<△ACO的面积 即
1 sin 2

x?

? 1 tan x 2
sin x x ? 1,

? sin x ? x ? tan x ,
? ? 2

即 cos x ?

上式对于

? x ? 0 也成立 .

当 0? x ? x x

?
2

时,

0 ? cos x ? 1 ? 1 ? cos x ? 2 sin

2

? 2( ) ? , 2 2 2
2

x

2

? lim

x

2

x? 0

? 0,

? lim ( 1 ? cos x ) ? 0 ,
x? 0

2

? lim cos x ? 1 ,
x? 0

又 ? lim 1 ? 1 ,
x? 0

? lim
x ?0

sin x x

? 1.

说明: 计算中注意利用:

关健!

注:

代表相同的表达式

例3. 求 解: lim
tan x x
? sin x 1 ? ? lim ? ? x ? 0? x cos x ?

x ?0

? lim

sin x x

x ?0

? lim

1 x

x ? 0 cos

?1

例4. 求

解: 令 t ? arcsin x , 则 x ? sin t , 因此 原式 ? lim
t
sin t t
t ? 0 sin t

?1

例5

求 lim

1 ? cos x x
2

x? 0

.
x 2 ( x 2 )
2

2 sin

2

x 2
? 1 2 x 2 )2 lim
x? 0

sin

2



原式 ? lim

x? 0

x

2

?

1 2

sin lim (
x? 0

x 2

?

1 2

?1

2

?

1 2

.

例6. 已知圆内接正 n 边形面积为
An ? n R sin ? cos ? n n
2

?

n

R
证:
n ??

lim An ? lim ? R
n ??

sin ? 2 n
?
n

cos ? n

(2)

lim (1 ?
x ??

1 x

) ?e
x
1 z

说明: 此极限也可写为:lim (1 ? z ) ? e
z ?0

定义 lim (1 ? ) ? e
n n? ?

1

n

设 x n ? (1 ?

1 n

)

n

n 1 n( n ? 1) 1 n ( n ? 1)? ( n ? n ? 1) 1 ? 1? ? ? ? 2 ?? ? ? n 1! n 2! n n! n

? 1?1?

1 2!

(1 ?

1 n

)???

1 n!

(1 ?

1 n

)( 1 ?

2 n

) ? (1 ?

n?1 n

).

类似地,

x n?1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 n! 1 ( n ? 1 )! (1 ?

1 2! 1

(1 ?

1 n?1 2

)?? ) ? (1 ? 2 n? 2 n?1 n?1 ) n n?1 ).

n?1 (1 ?

)( 1 ? 1 n?1

n?2 )( 1 ?

) ? (1 ?
;

显然 x n ? 1 ? x n ,

? ? x n ? 是单调递增的

xn ? 1 ? 1 ? ? 3? 2
n? ?

1 2!

???
? 3,

1 n!

?1?1?

1 2

??? 2

1
n?1

1
n?1

? ? x n ? 是有界的 ;

? lim x n 存在 .

记为 lim (1 ?
n? ?

1 n

) ? e (e ? 2.71828?)
n

当 x ? 1时,

有 [ x ] ? x ? [ x ] ? 1,
[x]

(1 ?

1 [x] ? 1

)

? (1 ?
[ x ]? 1

1 x

) ? (1 ?
x

1 [x] 1 )

)

[ x ]? 1

, 1 [x] ) ? e,

而 lim ( 1 ?
x ? ??

1 [x]
1

)

? lim ( 1 ?
x ? ??

[x]

? lim ( 1 ?
x ? ??

[x]

x ? ??

lim ( 1 ?

[x] ? 1 1

)

[x]

? lim ( 1 ?
x ? ??

[x] ? 1

)

[ x ]? 1

? lim ( 1 ?
x ? ??

1 [x] ? 1

)

?1

? e,

? lim (1 ?
x ? ??

1 x

) ? e.
x

令 t ? ? x,

? lim ( 1 ?
x ? ??

1 x

)

x

? lim ( 1 ?
t ? ?? t ?1

1 t

)

?t

? lim ( 1 ?
t ? ??

1 t?1

)

t

? lim ( 1 ?
t ? ??

1 t?1

)

(1 ?

1 t?1

) ? e.

?

lim (1 ?
x ??

1 x

) ?e
x
1 x

令 t ?

1 x

,

lim(1 ? x ) ? lim(1 ? ) ? e . x ?0 t ?? t
t

1

1

lim(1 ? x ) x ? e
x ?0

说明 :计算中注意利用:

? ( x )??

lim (1 ?

? ( x) 1 ? ( x)

)

? e,

关健!

注: 代表相同的表达式

例4 求 lim ( 1 ?
x? ?

1 x

) .
1 ? x )
?x

x



原式 ? lim [( 1 ?
x? ?

]

?1

? lim

1 (1 ? 1 ? x )
?x

x? ?

?

1 e

.

例5 求 lim (
x? ?

3? x 2? x

)

2x

.
1
x?2



原式 ? lim [( 1 ?
x? ?

x? 2

)

] (1 ?
2

1 x? 2

)

?4

? e .
2

例6. 求

解: 原式 =

2 lim [(sin 1 ? cos 1 ) ] 2 x x x ??
x 2

x

? lim (1 ? sin 2 )
x ?? x

(1 ? sin 2 )
x

1 sin 2
x

?e

三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .

2.两个重要极限
设 ? 为某过程中的无穷小 ,
1

1

0

lim
某过程

sin ? ?

? 1;

2

0

lim (1 ? ? ) ? ? e .
某过程


注: 代表相同的表达式

思考题
求极限 lim ?3 x ? 9 x ? x
x ? ?? 1

思考题解答
1

x ? ??

lim ? 3 ? 9
x

x

?

1 x

? 1 ?x ? lim ?9 ? x ? x ? 1 ? x ? ?? ?3 ?
x
1 3
x

1

?? 1 ? ? 9 ? lim ? ? 1 ? x ? x ? ?? 3 ? ?? ?

? ? ? ?

3 ?x

x

? 9?e ? 9
0

思考与练习
填空题 ( 1~4 )
1. 3.
x ??

lim

sin x x

0 ? _____ ;
1 x

2. 4.

x ??

lim x sin 1

1 x
n

? ____ ; 1

lim x sin
x ?0

0 ? ____ ;

?1 e lim (1 ? ) ? ____ ; n ?? n

练 习 题
一、填空题:
1、 lim sin ? x x sin 2 x sin 3 x ? __________ .
x? 0

? _________

.

2、 lim

x? 0

3、 lim
x? 0

arc cot x

x? 0

? __________
.

.

x

4、 lim x ? cot 3 x ? __________

5、 lim

sin x 2x

x? ?

? __________
1

.

6、 lim ( 1 ? x ) x ? _________
x? 0

.

7 、 lim (
x? ?

1? x x 1 x

) )

2x

? _________ ? _________ .

.

8、 lim ( 1 ?
x? ?

x

二、求下列各极限:
1、 lim 1 ? cos 2 x x sin x
tan 2 x
x? 0

2、 lim (tan x )
x?

?

4

3、 lim (
x? ?

x ? a x ?a
2

)

x

4、 lim (
n? ?

n ?1 n?1

)

n

1

5 、 lim ( 1 ? 2
n? ?

n

? 3 )n
n

三、利用极限存在准则证明数列
2, 2? 2, 2? 2? 2 ,...... 的 极 限 存 在 , 并 求

出该极限 .

练习题答案
一 、 1、? ; 5、 0; 二 、 1、 2; 5、 3. 三 、 lim x n ? 2 .
x? ?

2、

2 3



3、 1;
e 7、
2

4、
1 8、 e e 4、

1 3

; ;

6 、e ;
1 2、 ; e

; ;

3 、e

2a

?1




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