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7.3等比数列(一)


1.某工厂今年的产值是1000万元,如果通过实行 技术改造,在今后的5年内,每年都比上一年增加 产值10%,那么今年以及今后5年的产值构成下面 的一个数列(单位:万元):
1000, 1000 ?1.1, 1000 ? 1.12 , 1000 ? 1.13 , 1000 ? 1.14 , 1000 ? 1.15
2.3的1次幂,3的2次幂,3的3次幂,3的4

次幂,…构成 一个数列

3, 3 , 3 , 3 , ……
2
3 4

观察以上两 个数列有什 么共同点?

如果一个数列从第2项开始,每一项与它的前一项的比 都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这 个常数叫做这个等比数列的公比,用字母 q 来表示.
an 若?an ? 为等比数列, q为公比, 则a1与q均不为零, 且有 ? q, an ?1



an = an- 1 孜 q(n N* , n ? 2)

例1 已知等比数列的首项为5,公比为3,试写出这个 数列的第2项到第5项. 解 由于 a1 = 5,

q = 3,
你能很快地 写出这个数 列的第9项 吗?

所以 a2 ? a1 ? q ? 5 ? 3 ? 15

a3 ? a2 ? q ? 15 ? 3 ? 45 a4 ? a3 ? q ? 45 ? 3 ? 135 a5 ? a4 ? q ? 135 ? 3 ? 405

练习7.3.1
1.已知{a n } 为等比数列,a3 = - 6, 公比 q = 2,

试写出这个数列的前6项.
答案

3 ? , ?6, ?12, ?24, ?48 2

2.写出等比数列 3, - 6,12, - 24, L ,的第5项到第9项.
答案

第5项到第9项依次为: 48, - 96,192, - 384, 768

设等比数列 {a n } 的公比为 q, 则

a2 = a1 ?q,
a3 = a2 ?q a4 = a3 ?q (a1 鬃 q) q = a1 ?q 2 , (a1 鬃 q ) q = a1 ?q ,
2 3

…… 依此类推,得到等比数列的通项公式:

a n ? a1 ? q

n ?1

只要知道了等比数列的首项和公比, 就可以由通项公式求出数列的任意一项.

1 1 1 ?1, , ? , ,? 的第10项. 例2 求等比数列: 2 4 8



数列中
n ?1

an ? a1 ? q

1 n?1 1 n ?1 1 n ?1 n ? ?1 ? (? ) ? ?1 ? (?1) ? ( ) ? (?1) ? n?1 . 2 2 2

a2 1 ? ? , 通项公式为 a1 ? ?1, q ? a1 2

于是,这个数列的第10项为 1 1 10 a10 ? ( ?1) 10?1 ? . 512 2 等比数列的公比,可以由任意两个相邻 项的比来求出,但必须是后项比前项.

例3

1 1 已知等比数列 {a n }的第7项为 ,公比为 , 3 9
6 由已知条件有 a7 ? a1 ? q ,

求该数列的第3项.


即 故

1 1 6 = a1 ( ) , 9 3

1 2 a3 ? a1 ? q ? 81 ? ( ) ? 9. 所以 3 等比数列中 a7 和 a3 有什么关系?
2

a1 ? 34 ? 81,

例3还有其他的解法吗?

例4

方法是等比数列中的常用方法 求它的第 13项. 1 解 由已知: a5 = - 1, a8 = - . 设公比为 q, 8 则由通项公式有: - 1 = a1 ?q4 , (1) 1 - = a1 ?q 7 , (2) 8 式(2)的两边分别除以式(1)的两边,有
1 因此, q = , 2

1 { a } , 已知等比数列 本例中通过两式相除求出公比的 n 的第5项是 ? 1 ,第8项是8

1 ? q3 , 8
4 a = 2 . 故 1

从而得 a13 = a1 ?q

12

1 12 - 2 ?( ) 2
4

- 2

- 8

1 =. 256

例5 银行贷款一般都按复利(计算本利和时,把上 期产生的利息也纳入本期的本金计算利息,即“利滚 利”)来计算利息.假如某人从银行贷款 P 万元, 贷款期限为3年,月利率(复利率)为 0.45 0 0 ,试求到 期后该人应偿还银行多少钱呢? 分析 贷款第一个月后的本利和为

P ? P ? 0.45 0 0 ? P(1 ? 0.0045) ? 1.0045P,
第二个月后的本利和为 2 0 1.0045P ? 1.0045P ? 0.45 0 ? 1.0045 P, 依次下去,从第一个月起,每个月的本利和 组成的数列为等比数列

1.0045P, 1.00452 P, 1.00453 P,?.

解:

每个月的本利和组成的等比数列.

a1 ? 1.0045P, q ? 1.0045,
3年共36个月,到期偿还钱数为等比数列的第36项:

a36 ? 1.0045P ? 1.0045

36?1

? 1.0045 P,

36

故到期后该人应偿还银行 1.004536 P 万元. 设本利和为 F , 你能写出 P 元本金在利率为 i 时,经

n 期后,按复利计算的本利和公式(即复利公式)吗?

练习7.3.2
1.求等比数列
答案

2 , 2, 6, L 的通项公式与第7项. 3
1 {an }的第2项是, 第5项是 - 5, 25

an = 2? 3

n- 2

, a7 = 486.

2.等比数列
答案

那么第几项是-125?

第7项 3.已知本金为2000元,复利率为 5 0 0 ,期数为4, 求到期后的本利和.
习题7.3(A组):2.(1)、(2).

1.本节内容
等比数列的定义 等比数列(一) 等比数列的通项公式 2.需要注意的问题

(1)等比数列的特点.
(2)a1 , q, n, an 几个量在解题中的灵活运用.

课后练习:习题7.3 A:2、3. 达标训练7.3 A:1、3、4. 作业:习题7.3 A:4、5、6.


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