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如何解决立体几何教学的难点-论文


眚  I } 口 亿? 教育教学研究  

2 0 1 3 第 1 1 期 ( 总 第 8 3 期 )  

如 何解 决立体 几何教学 的难 点 
口 刘庆 民 
历年来立体几何 的学习都是个难点 , 学生  在 立体几 何部 分 的学 习中易 出现 以下 几种 情  况: 空间想象力 不够 ; 概 念不清 , 仅 注

意概念 中  较 明显 的特征 ; 图形 中各元素关 系理解错误 ; 符  号语 言不会运 用 ; 语言 表述 欠准 确 , 不 能准 确  使用 数学术语 , 表达不 够规范 、 严谨 ; 语言 表达  能力差 , 对“ 作、 证、 求” 三 个环节 交代 不清 , 因  果关 系不充分 , 从而导 致的证题 的书面表 达上  的错 误 ; 此外 , 高 中课程 内容也多 , 每节课 容量  远大于初 中 , 这些都是 立体几何 “ 难 学” 的客观  性原则。 首先, 在 图形方面 , 不但要学会看 图, 而  引导学 生发现规律 ,让学生通过 自己的努力得  且要学会画图 ,通过看图和画图培养 自己的空  到相应的结论 ,而不 是以简单方 式把结论直接  间想象能力是非常重要 的。其次 , 在语言方面 ,   告诉学生, 同时让学生明白, 对不同问题只要不满  很多同学能把问题想清楚 , 但是一落在纸 面上 ,   足于停留在表面, 敢于 自己主动发现问题 , 敢于深  不成话。需要记住的一句话——几何语言最讲  入过去善于归纳总结 , 就会有所发现, 有所创造 ,   究言之有据 , 言之有理 。 也就是说没有根据的话  则此使学生感受到一种成功感 , 增强了学习的兴  不要说 , 不符合定理 的话不要说。   趣与自信, 切实变被动为主动 , 变学会为会学 。   二、 激 发兴趣 , 严 格要求 。 启发 学生的数 学  在证 明题 目 时要从以下两方 面去思考 :   思维 。 提高学生的数学素质  是把几何 中所 有的定理分类 :按定理 的  立体几何教材的编排, 为学生灵活运用知识  已知条件分类是性质定理 , 按定理的结论分类是  原因 。   解决实际问题, 充分发挥学生发散思维和创 新思  判定定理。如 : 平行于 同一条直线 的两条直线平  其教学 目标既注重学生数学  行 , 针对这些 问题 ,在教学 中我认 为可以采取  维搭建了学习平 台, 既可以把它看成是两条直线平行的性质定理,   如下措施 :     素养的培养, 又关 注学生创新思维和创 新能力的  也可 以把它看成是两条直线平行的判定定理。 放慢进 度 。 立足 基础 . 培 养学 生的空 间  培 养, 注 重学生 自我学 习能力和 自我 发展的培  二是明确 自己要做什么 :一定要 知道 自己  观念 。 增强学生的学 习信心  养。 教学 中应重视激发学生的学习兴趣 , 启发学  要做什么 ! 在证 明之前就要设计好路线 , 明确 自   由于高中立体几何与初中几何基本没有联  生思维 的同时 , 重视对学生数学素质 的培养。 在  己每一步 的 目的,学会做辅助线 ,学会 大胆假  系 ,所以在立体几何部分的入门教学 中要放慢  解题 时 , 还要 经常注意引导学生从 不同的方面 ,   设, 仔细推理。   进度 , 加强基本概念 、 基础知识的教学 。讲课时  探求解题途径 , 以求最佳解法 。 鼓励学生有理有  立体几 何所研 究的 问题 是空 间中的 问题 ,   要注意 由浅人深 、由易到难 ,尽量降低学 习坡  据的 自由争辩 ,有利 于培养 学生独立思考和勇  这与初 中学习的平面几何有所不 同。 所 以, 立体  度, 分散难点 , 给予模仿性练习 的机会 。降低教  于发表不 同见解 的思 维品质 ,寻找到独特 的解  几何 的学 习, 需要建立 空间的观念 , 多画立体 图   材梯度 , 培养学生的空间观念 , 提高学生 的可接  题方法 。   形、 树立 图形观就显得很重要 了。但 是 , 也不能  受性 , 增强学生学习信心 , 提高学生的学习积极  三、 精心 准备 。 训练 思维 。 引导学 生发 现解  被 图形所局 限, 否则 , 问题 的本质有 时候 会把握  性。教学时可采取师生共 同探讨 , 教师引导鼓励  题规律 , 培养学生的解题能力  不住 。总之 , 在 熟练掌握立体几何的基本公理 、   学生总结和发现规律 ,巧设质疑让学生 自 主探  学 习的 目的在于运用 ,在 运用中培养学生  定 理 、 推论 的大前提下 , 多做一些 练习题 , 渐渐  索, 在 自主探索 的同时感觉到一种成就感 , 从而  的思维 与解题 能力 , 是 数学教 学的一个重要环  地感觉就会很好 了 ,学 习立体几 何也就不会觉  对今后的学 习增强 自 信。 这样安排 , 符合 学生 的   节 。立体 几何教 学中 , 要 加强变式训练 , 使学生  得 很 难 了。   年龄特点 ,也符合教学 中的可接受原则 与科学  理解和掌握知识的情况及时得到反馈 。教师应  ( 作者单位 : 河南省方城县第一高级中学 )  






关于 圆锥 曲线 一类“ 定位  ” 问  题 的处理策略 
口 秦 道 生 
学 习完 《 圆锥 曲线 》 这 一章 , 会 遇到 “ 椭 圆  ( 或双 曲线 ) 过两个 已知点 、 抛物 线过一个 已知  点, 求它们 的标 准方程 ” 的 问题 。通常的处理 策  略是 : 分别考 虑焦点在  轴 和 y轴 , 设 出方程 ,   代人点 的坐标 , 再解方程组 。结果往往是 : 点的  坐标代人后 造成 方程组过 于复杂 ,最终 不了了  之; 或 即使顺利解 出方程组 , 但 回首解 题过程则 
是繁杂冗长 。  

下面结合具体 的题 目,谈谈此类 问题 的处 
理策 略。  

问题 1 : ( 1 ) 椭 圆过两点 ( 5 , 一 3 、 /  ) 和( 一 8 ,   ) , 求椭圆的标准方程。  
] 

( 2 ) 双 曲线 过两点 ( 3 , 一 4 k / 2) 和(   , 5 ),   求双 曲线 的标准方程。   分析 : 解决此类题 型的关键是要考 虑焦点  的位置 ,那 能否找到一个方程既能表示焦点在  轴上又能表示焦点在 y轴上?这就是今天要  推荐的处理策略 : 设椭 圆方程 为 m z + n  = 1 ( m>   0 , n>0 ) , 设 双 曲线方程 为 , wz + n  = 1 ( m? n<o ) ,   代人点的坐标 ,解二元一次方程组求 出 m , n 的  值即可 。我们姑且把 “ m , x %n y 2 = l ” 称为椭圆 、 双  曲线 的统 一方程 ,既可 以表示焦点在  轴又可  以表示焦点在 l , 轴 的情形 , 只要代人点 的坐标 ,   由方程 自动约束 出焦点位 置, 免去讨论的麻烦。  

n  = 1 ( m>0 ,   为:   = 一 8 x  = 一   。   通过对 比这两种处理策略可 以发现 :通常  点的坐襦 :   一   策 略即使考虑到 焦点位置 , 但 会面 I 临 方程( 组)   过 于复杂 , 解方 程( 组) 的基本功不 扎实或意 志  薄弱而放弃 ; 即使解 出方程 ( 组) , 但 回顾解题过  程则过 于冗长 , 尤 其是椭 圆和双曲线 , 讨 论两种  ( 2 ) 设 双曲线方程为 n  ̄+ n y 2 = l r m? n < D )  ,   情况 , 但最终 只有一种情况有解 , 另一种情况无  代入点的 坐标得: f 9 m + 3 2 n = 1   f  一  解 。 推荐策略表面上看没有讨论焦点的位置 , 但  由于方程本 身包含 了各种可 能的情形 ,代 人点  的坐标会 自动约束 出焦点 的位置 , 解题 过程简  洁 明 了 。   所以双曲 线的 标准方程为:   一 妥= J   下面各给出一道类似题供读者练习 :   问题 2 : 抛物 线过点 ( 一 2 , 一 4 ) , 求 抛物 线 的   1 、 椭圆过两 点 ( 一 5 , 墨  ) ( 3 , 一 4 、 /  )   标准方程 。   0  分析 :解 决此 问题依 然要考 虑焦点 位置 ,   求椭 圆的标准方程。   考 虑焦点 在 四个位 置则太 过 于宽泛 ,通 常策  2 、 双 曲线过两 点 ( 8 ,   ) , ( 一 l O ,   )   略: 因( 一 2 , 一 4 ) 在 第三 象 限 , 故 开 口只能 向左  j  j  或 向下 , 设方 程为 :  = 2 p   f p > 0 J ,  = 一 2 p y ( q > D J ,   求双曲线的标准方程 。   代 入点 的坐标求 出 p , q即可 。推 荐策略 : 设 双  3 、 抛物线 过点 ( 3 , 一 4 ) , 求抛物 线的标 准方  曲线方 程为  =  ,  = b y , 代人 点 的坐标 , 直接  程。   求出  6 。 因为该 方程既 能表 示焦点 在正半轴  又能表示焦 点在负半轴 , 不必根据 点的位置判  断焦点 的可 能情况 , 代 入坐标后 由方程 自动 约  3 ;   j  一 孥 ; )   束 出焦点 的位 置。   q-   解: 设抛 物线方 程为 :  =  ,   2 = b y 分别 代入  ( 作者单位 : 江苏省南京市六合区实验高级  点( 一 2, 一 4 ) 得 。 一8 , b = 一 J, 所 以 抛物 线 的方 程  中学 )  

解: ( 1 ) 设椭 圆的方 程为 :  

代 入 点 的 坐 标 得

击  1 6 4   十   : 1 =  {   富  I :  

所 以 椭 圆 的 标 准 方 程 为 :   + 等  J 。  

I  卅 2 5 n = 1  ̄ I   :  



( 参 考 答 案 _ l ' 等+ j D     D q . = 1 ; 2 , 砉一 j o  Z 告 )   = 1 ;  

?

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