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【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.2不等式的性质课件 新人教A版必修5


3.1.2 不等式的性质 .

学习目标 掌握不等式的基本性质, 掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决 有关问题. 有关问题

3. 1.2 不 等 式 的 性 质

课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

>温故夯基 1.比较两个数(式)的大小方法是比较法. .比较两个数 式 的大小方法是比较法 的大小方法是比较法. 2.某小区的绿化面积B不小于该小区占地面积 .某小区的绿化面积 不小于该小区占地面积 不小于该小区占地面积A 的16%,写成不等式就是 ,写成不等式就是B≥16%A.

知新盖能 不等式的基本性质 (1)对称性:a>b?_______ 对称性: > ? b<a. 对称性 < > (2)传递性:a>b,b>c?_______ 传递性: > , > ? a>c. 传递性 + > + (3)可加性:a>b?____________ 可加性: > ? a+c>b+c. 可加性 (4)可乘性:a>b,c>0?_______;a>b,c< 可乘性: > , > ? ac>bc ; > , < 可乘性 > 0?_________. ? ac<bc < + > + (5)加法法则:a>b,c>d?____________. 加法法则: > , > ? a+c>b+d 加法法则 > (6)乘法法则:a>b>0,c>d>0?__________. 乘法法则: > > , > > ? ac>bd 乘法法则

n n ∈ , . (7)乘方法则:a>b>0?_____________________ 乘方法则: > > ? a >b >0(n∈N,n≥2). 乘方法则

n n > > ∈ , ≥ (8)开方法则:a>b>0?____________________ 2). 开方法则: 开方法则 > > ? a> b>0(n∈N,n≥ .
思考感悟 两个同向不等式可以相加和相乘吗? 两个同向不等式可以相加和相乘吗? 提示: 可以相加但不一定能相乘 例如2>- 可以相加但不一定能相乘, >-1, 提示:.可以相加但不一定能相乘,例如 >- , >-3. -1>- >-

课堂互动讲练

考点突破 利用不等式性质判断命题真假 运用不等式的性质判断时, 运用不等式的性质判断时,要注意不等式成立的 条件,不要弱化条件, 条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想当然随意 捏造性质.解有关不等式选择题时, 捏造性质.解有关不等式选择题时,也可采用特 殊值法进行排除,注意取值一定要遵循如下原则: 殊值法进行排除,注意取值一定要遵循如下原则: 一是满足题设条件;二是取值要简单, 一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证 计算. 计算.

对于实数 a,b,c,下列命题中的真命题 , , , ) 是( A.若 a>b,则 ac2>bc2 . > , 1 1 B.若 a>b>0,则 > . > > , a b b a C.若 a<b<0,则 > . < < , a b 1 1 D.若 a>b, > ,则 a>0,b<0 . > ,a b > , <
【思路点拨】 思路点拨】 本题可利用不等式性质直接判断 命题的真假,也可以采用特殊值法判断. 命题的真假,也可以采用特殊值法判断.

例1

【解析】 法一:∵c2≥0,∴c=0 时,有 ac2= 解析】 法一: , = bc2,故 A 为假命题; 为假命题; a b 1 1 由 a>b>0,有 ab>0?ab>ab?b>a, , ? 为假命题; 故 B 为假命题; 1 1 ? a<b<0?-a>-b>0?- >- >0? a b < < ? - ? b -a ?? > , ? b a a<b<0?-a>- >0 >-b> ? >- ? 为假命题; 故 C 为假命题; a>b?b-a<0 ? -
? ? b-a ??ab<0. - 1 1 1 1 > ? - >0? ? ab >0? a b a b ?

为真命题. ∵a>b,∴a>0 且 b<0,故 D 为真命题. , , 法二:特殊值排除法. 法二:特殊值排除法. 取 c=0,则 ac2=bc2,故 A 错; = , 1 1 1 1 1 取 a=2,b=1,则a= ,b=1,有a<b,故 B 错; = ,= , , 2 b 1 a =-2, =- =-1, 取 a=- ,b=- ,则a= ,b=2, =- , 2 b a 有a<b,故 C 错.
【答案】 答案】 D

利用不等式性质证明简单不等式 利用不等式性质证明简单的不等式的实质就是根 据性质把不等式进行变形, 据性质把不等式进行变形,要注意不等式性质成 立的条件.如果不能直接由不等式性质得到, 立的条件.如果不能直接由不等式性质得到,可 先根据需要证明的不等式的结构, 先根据需要证明的不等式的结构,再利用不等式 性质进行转化. 性质进行转化.

e 例2 已知 a>b>0,c<d<0,e<0.求证: 求证: > > , < < , < 求证 a-c - e . > b-d -

思路点拨】 【思路点拨】

e e 要证明 > ,由于 e<0, < , a-c b-d - -

1 1 .如果 a-c 与 b-d 同号 所以只需证明 < 如果 - - a-c b-d - - 只需证明 a-c>b-d.从已知条件可以得到这个 - > - 从已知条件可以得到这个 不等式,因此本题得证. 不等式,因此本题得证.

【证明】 ∵a>b>0,c<d<0, 证明】 > > , < < , >-d> , - > - > , ∴-c>- >0,a-c>b-d>0, >- 1 1 . ∴0< < < a-c b-d - - e e . 又∵e<0,∴ < , > a-c b-d - -

a b 若将本例中“ < ”去掉, 互动探究 若将本例中“e<0”去掉,试证d<c .

证明: < < , >-d> 证明:∵c<d<0,∴-c>- >0. >- 1 1 ∴0<-c <-d.又 a>b>0, <- 又 > > , a b ∴-d>-c >0. a b ∴ d< c .

不等式性质的综合应用 不等式有广泛的应用, 不等式有广泛的应用,在应用时应严格依据不 等式的基本性质和运算法则, 等式的基本性质和运算法则,做题时要有理有 据,这是正确解答此类题目的保证. 这是正确解答此类题目的保证.
例3 已知- 6<a<8,2<b<3,分别求 a+b,2a 已知- < < < < , +

a -b,b的取值范围. , 的取值范围.

【思路点拨】 思路点拨】 解.

利用不等式的可加性和可乘性求

【解】 ∵-6<a<8, < < , 2<b<3,∴-4<a+b<11. < < , < + < <-b<- 又∵-3<- <- ,-12<2a<16, <- <-2, < < , 1 1 1 ∴-15<2a-b<14.又 <b< , < - < 又 3 2
a ∴①当 0≤a<8 时,0≤b<4; ∴①当 ≤ < ≤ ; a a ,-3< ②当-6<a<0 时,- <b<0.由①②得-3<b<4. < < 由①②得 <

【名师点评】 名师点评】

解决此类问题,要注意题设中的 解决此类问题,

条件,充分利用已知求解,否则易出错. 条件,充分利用已知求解,否则易出错.同时在 变换过程中要熟练掌握、准确使用不等式的性质, 变换过程中要熟练掌握、准确使用不等式的性质, 不能出现开口方向相同的不等式相减、 不能出现开口方向相同的不等式相减、相除的错 误.

a 变式训练 已知 2<a≤5,3≤b<10, a-b、 的 < ≤ ≤ < , - 、 求 b 取值范围. 取值范围.

解:∵3≤b<10,∴-10<- ≤-3, <-b≤ , ≤ < , <- 又∵2<a≤5, < ≤ , ∴-8<a-b≤2. < - ≤ 1 a 5 1 1 1 又 <b≤ ,∴ <b≤ . 3 5 3 10

方法感悟 1.不等式性质定理的可逆性和传递性 . (1)不等式性质的可逆性 不等式性质的可逆性 在不等式的性质定理及推论中, 在不等式的性质定理及推论中,有的是可以逆推 的,即具备双向性,有的是不可以逆推的,即只 即具备双向性,有的是不可以逆推的, 能是单向的.其中定理 和定理 具备双向性, 和定理3具备双向性 能是单向的.其中定理1和定理 具备双向性,可 以表示为: 以表示为:a>b?b<a;a>b?a+c>b+c,其他均 ? ; ? + + , 不可逆推. 不可逆推.

(2)不等式性质的传递性 不等式性质的传递性 在使用不等式的传递性时, 在使用不等式的传递性时,如果两个不等式中有 一个带“=”号,另一个不带 =”号,那么 =”号 一个带 = 号 另一个不带“= 号 那么“= 号 是传递不过去的. 是传递不过去的.如a>b且b≥c?a>c,而不是 且 ? ,而不是a>b 且b≥c?a≥c. ?

2.在应用不等式性质时应注意的问题 . 使用不等式的性质时, 使用不等式的性质时,一定要注意它们成立的前 提条件,不可强化或弱化它们成立的条件, 提条件,不可强化或弱化它们成立的条件,盲目 套用.例如: 套用.例如: (1)a>b,c>d?a+c>b+d,已知的两个不等式必须 , ? + + , 是同向不等式; 是同向不等式; (2)a>b>0且c>d>0?ac>bd,两个已知不等式不仅 且 ? , 要求同向,而且不等式两边必须为正值. 要求同向,而且不等式两边必须为正值.


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