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零点存在定理的教案


教案
课题:零点存在定理 授课人:
一、内容及内容解析: 本章位于全书的第 3 章,零点主要是解决方程求解的问题,应用函数思想的 方法,把方程与函数相结合,它在较难方程的求根方面有巨大的贡献,而零点存 在定理能确定零点的存在范围,从而近似的确定零点的值,也即方程的近似根. 各个内容之间的联系: 方程的根 ? 零点 ? 零点存在定理 ? 二分法 二、三维目标: 知识与技能:会使用零点存在定理解决问题,准确确定根的范围,并且使用 二分法找到相应方程的近似解. 过程与方法:通过分析零点附近的值的关系,得到 f (a) f (b) ? 0 的特点,并且 通过辨析引出定理,得到定理后,还要针对定理中的每一项进行辨析,得知定理 中的每一项必不可少.通过定理我们知道了零点存在的区间,为了得到零点的值 我们又引入了二分法,从而能近似的求解出零点. 情感态度价值观 :让学生了解到每一点数学知识都是环环相扣的 ,并初步体 会到函数思想的巧妙转化,感受到方程与函数的联系,并且得出另一种解方程的 方法,让学生体会到数学教学的巧妙之处和知识与知识的紧密联系. 三、教学难点与重点: [难点] 二分法的使用及对定理的理解. [重点] 定理的使用及求解方程的近似根. 四、设计教学 上节课我们学习了零点的定义,所以我们知道了如果画出了函数图像,我们 就能知道函数是不是有零点, 那么如果有些方程的相应函数我们不会画图像怎么 办?我们还能知道函数有没有零点吗?通过今天的学习, 我们就可以不画图像直 接知道函数是否有零点.
1、引入定理

通过之前的例题,我们知道函数的零点可能有若干个,为了使问题简化,我 们首先考虑函数只有一个零点的情况. 请大家思考:若函数 y=f(x)是连续不断的函数,且有一个零点,则函数零点 两端的函数值有何特征? 因为函数只有一个零点,所以函数图象与 x 轴只有一个交点。那函数图象与 x 轴会有哪些位置关系呢?不难想到(无非是两种情况) :一种为函数图象不穿

过 x 轴;另一种是函数图象穿过 x 轴。 (1)大家先看第一种情况,函数零点附近函数值有何特征呢?(同学回答)

这种情况下,零点附近函数值同号。那我在零点两端各选一个代表 a,b,则 它们对应的函数值 f(a)、f(b)的乘积大于 0; (2)我们再看另一种情况,此时零点附近函数值有何特征呢?

(图像在 PPT 上显示动画过程,让学生观察出图像穿过 x 轴的过程,然后知 道零点附近的值相反.) 无论怎么穿过,都有零点左右函数值异号,同样,我在零点两端各选一个代 表 a,b,则它们对应的函数值 f(a)、f(b)的乘积就小于 0. 【分析】 (1)如果函数的图象是连续不断的一条曲线,满足 f(a)f(b)>0,那么函数在 区间(a,b)内一定有零点吗? ①(不一定)那好,你能给大家举一个反例吗? ②(一定)好,你先请坐。其他同学有不同意见么? 如果函数有零点, 说明函数图象一定与 x 轴有交点。 条件告诉我们 f(a)f(b)>0, 那我不妨设 f(a)、f(b)同时为正,大家请看,通过这两个点的函数图象一定能与 x 轴有交点么? 显然是不一定的,比如我举的这个反例。 这就说明满足这样条件的函数,不能确定 函数一定有零点。

(2)如果函数的图象是连续不断的一条曲线,满足 f(a)f(b)<0,那我就不妨 设 f(a)小于 0,f(b)大于 0,那么函数在区间(a,b)内一定有零点吗?大家可以 在纸上画一画,试试看。 ①(一定)好,那其他同学呢?都同意他的观点吗? ②(不一定)你能为大家说明一下你的理由么? 由于函数的图象是连续不断的,并且端点函数值异号,所以无论怎么画,函 数图象一定会与 x 轴有交点,从而说明函数怎么样?——一定有零点! 这样,我们就得到了判断函数是否有零点的方法,即函数零点存在性定理: 2、零点存在定理 若函数 y=f (x) 的图象在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线, 且有 f(a)f(b)<0, 那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点。即:存在实数 c 属于(a,b) ,使 得 f(c)=0,其中 c 为方程 f(x)=0 的根。 现在我有一个问题:若函数满足在[a,b]上有 f(a)f(b)<0,一定能推出(a,b)之 间有零点吗?(思考) 如果可以请说明理由,不能的话请同学们举个反例.

在这个反例中,f(a)<0, f(b)>0,f(0)=0.5 我们来看,这个定理是我们通过结合函数图象探究而得的,而至于它的严格 证明,需要到大学阶段再去研究。 这样,我们通过引入函数的零点,将方程与函数建立起了联系,并且为我们 提供了一种新的解决方程问题的途径。 此前我们学习过的一元一次方程以及一元 二次方程都有公式解,但是对于高次方程、超越方程等其他形式的方程而言,通 常没有求根公式。而通过函数零点存在性定理,就可以去研究这样一般形式方程 根的问题了。 【例】求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数. 【解析】 因为 f (2) ? 0, f (3) ? 0, 所以在 (2,3) 之间有零点, 又因为函数 f(x)在 (0,??) 上是单调递增的,所以这个函数只有一个零点. 根据零点存在定理,我们知道函数是否有零点,但是如果我们想知道零点的 值怎么办呢?接下来,我们要学习一个新的求根方法-----二分法.

3、二分法(求根的近似值) 我们就以上面的例子来研究,即如何求 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点呢? 一个最直观的想法就是:如果我们把零点存在的范围 (2,3) 尽量缩小,那么 在一定的精确范围内,我们就可以得到零点的近似值.那我们如何缩小范围呢? 显然最简单、最可行的方法就是“取中点”.接下来,我们解答上面的例子来看 看二分法是如何运用的. 【解析】 应用零点存在定理, 我们知道了 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 在 (2,3) 之间有一 个零点. 接下来我们要用“取中点”的方法缩小零点存在的范围. 取 (2,3) 的中点 2.5 ,用计算器计算 f (2.5) ? ?0.084 ? 0 ,而 f (3) ? 0 ,那么
f (2.5) f (3) ? 0 ,所以在 (2.5,3) 之间有零点,即缩小了零点所在的范围.

再 取 区 间 (2.5,3) 的 中 点 2.75 , 用 计 算 器 计 算 f (2.75) ? 0.512 ? 0 , 而
f (2.5) ? 0 ,即: f (2.5) f (2.75) ? 0 ,所以在 (2.5,2.75) 之间有零点.

我们可以看出零点存在的范围越来越小了,如果一直取下去,零点存在的范 围会越来越小,这样,在一定的精确度下,我们就可以在有限次重复步骤之后, 将所得的零点存在的区间内任意一点作为函数零点的近似值. 我们把上面例题缩小区间的过程画在表格中:

如果当精确度为 0.01 时, 由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01,所以我们 可以将 2.532 作为函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点近似值, 也即方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0 的近似根.

通过这道例题, 我们总结一下使用二分法求近似根 (给定精确度 ? ) 的步骤: 1、确定区间[a,b],验证 f (a) ? f (b) ? 0 ,给定精确度 ? ; 2、求区间 (a, b)的中点x1 ; 3、计算 f ( x1 )的值; (1) 若f ( x1 ) ? 0, 则x1就是函数的零点; (2) 若f (a ) f ( x1 ) ? 0, 则令b ? x1 , 此时零点x0 ? (a, x1 ) ; (3) 若f ( x1 ) f (b) ? 0, 则令a ? x1 , 此时零点x0 ? ( x1 , b). 4、判断是否达到精确度 ? :即若 | a ? b |? ? ,则零点的近似值是 a(或 b) ;否 则重复 2-4 步.

【课堂练习】 1、借助计算器, 用二分法求方程 x ? 3 ? lg x 在区间 (2,3) 的近似解(精确到 . 0.01) 2、借助计算器,用二分法求函数 f ( x) ? ln x ? 到 0.1)
2 在区间(2,3)内的零点.(精确 x

【作业】

P108, 1、 3、 4、 6和P109, 3、 4.


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