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2012届高考文科数学第一轮复习课件2


学案2

常用逻辑用语

考纲解读 考点1 考向预测 填填知学情 课内考点突破 规律探究

? ? ? ? ? ? ? ? ?

考点2 考点3

考点4
考点5 考点6

◇◇◇ 考 纲 解 读

◇◇◇

>(1)了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题. (2)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义, 会分析四种命题的相互关系.

常用逻 辑用语

(3)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. (4)理解全称量词与存在量词的意义. (5)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

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◇◇◇ 考 向 预 测 ◇◇◇
对于常用逻辑用语,在高考中,常以选择题、填空 题题型出现,主要考查基本概念、基本运算以及数形结 合、等价转化、分类讨论、函数与方程等数学思想,有 时也出现在解答题中.

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1.命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以 判断真假 的

陈述句叫做命题.其中

判断为真

的语句叫真命题,

判断为假 的语句叫假命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题 返回目录





表述形式

原命题

若p,则q 若q ,则 p 若 ? p,则 ? q 若 ? q,则 ? p

逆命题 否命题 逆否命题

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(2) 四种命题间的逆否关系

逆命题

否命题

逆否命题

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(3)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题,它们有 相同 的真假性;
②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假 性 没有关系 .

3.命题 p∧q
p q

, p∨q ,?p的真假判断
p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真

?


真 假 假


假 真 假

p 假 假 真




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4.含有一个量词的命题的否定

?
命 题

? ?x∈M,P(x)
x∈M,P(x) ? 5.充分条件与必要条件

? x∈M,? P(x) ? ? x∈M,? P(x) ?

命题的否定

? (1)如果p? q,则p是q的 充分条件 ,q是p 必要条件 ;
(2)如果p? q,q ? ? ?p,则p是q的 充要条件 .

6.特别注意:命题的否命题是既否定命题的条件,又否
定命题的结论;而命题的否定是只否定命题的结论. 返回目录

考点1 判断含有逻辑联结词的命题的真假

[2010年高考课标全国卷]已知命题p1:函数y=2x-2-x在R上

为增函数,p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数,则在命题q1:
题是( C ) A.q1,q3 B.q2,q3 C.q1,q4 D.q2,q4

p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(? p1)∨p2和q4:p1∧( ? p2)中,真命

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【分析】先判断命题p1的真假性再判断命题p2的真假
性,再利用“或”“且”“非”命题的形式及其真值表判 断.

【解析】 ∵y=2x在R上是增函数,y=2-x在R上是减函
数,∴y=2x-2-x在R上是增函数,所以p1:函数y=2x-2-x在R 上为增函数是真命题.p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数

是假命题,故q1:p1∨p2是真命题,q2:p1∧p2是假命题,
命题是q1,q4.

q3:( ? p1)∨p2是假命题,q4:p1∧( ? p2)是真命题.故真

故应选C.

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判断含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的
真假:①必须弄清构成它的命题的真假;②弄清结构形 式;③由真值表判断真假.

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? 分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“ p”形式
的命题的真假.
(1) p:4∈{2,3},q:2∈{2,3}; (2) p:1是奇数,q:1 是质数;

? (3) p:0∈?,q:{x|x2-3x-5<0}?R; ?
(4) p:5≤5,q:27不是质数.

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(1) ∵p是假命题,q是真命题, ? ∴p∨q为真命题 , p∧q为假命题, p为真命题. (2) ∵1是奇数,∴p是真命题, 又∵1不是质数,∴q是假命题, 因此p∨q为真命题,p∧q为假命题, ? p为假命题.
(3) ∵0?? ?? ,∴p为假命题,
3 ? 29 3 ? 29 ?x? 2 2

? 又∵x2-3x-5<0?

∴{x|x2-3x-5<0}
? 3 ? 29 3 ? 29 ? ? ? = ?x ?x? ? ? R成立.∴q为真命题. 2 2 ? ? ? ?

∴p∨q为真命题, p∧q为假命题,

? p为真命题.

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(4)显然p:5≤5为真命题,q: 27不是质数为真命题, ∴p∨q为真命题,p∧q为真命题,

?p为假命题.

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考点2 判断命题“否定”的真假

[2010年高考安徽卷]命题“对任何x∈R,|x-2|+|x4|>3”的否定 是 . 【分析】在全称命题和特称命题的否定中,应明确全 称量词与存在量词是如何对应转换的, 全称命题的否定 是特称命题,而特称命题的否定是全称命题.

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【解析】存在x∈R,|x-2|+|x-4|≤3. 全称命题的否定为特称命题.

命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不 同的概念,对命题 p 的否定是否定命题所作的判断, 而“否命题”是对“若p,则q”形式的命题而言,既要 否定条件也要否定结论.

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写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p:?x∈R, x 2 - x ? 1 ? 0; ?
4

(2)q:所有的正方形都是矩形;
(3) r:?x∈R,x2+2x+2≤0; ? (4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.

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4 1 1 2 2-x+ =(x这是由于?x∈R, x ) ≥0恒成立. ? 4 2 (2) ? q:至少存在一个正方形不是矩形.(假)

? p:?x∈R, x2-x+ 1 <0.(假) 【解析】 (1) ?

(3) ? r: x∈R,x2+2x+2>0.(真) (4) ? s: x∈R,x3+1≠0.(假)

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考点3

四种命题及真假的判断

把下列命题改写成“若p ,则 q”的形式 ,并写出它们 的 逆命题、否命题、逆否命题.

(1)正三角形的三内角相等;
(2)全等三角形的面积相等; (3)已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d.

【分析】 先找出原命题的条件p和结论q , 然后根
据四种命题之间的关系直接写出.

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【解析】 (1) 原命题 : 若一个三角形是正三角形, 则 它的三个内角相等. 逆命题:若一个三角形的三个内角相等,则这个三角 形是正三角形(或写成 : 三个内角相等的三角形是正三 角形). 否命题:若一个三角形不是正三角形,则它的三个内 角不全相等. 逆否命题:若一个三角形的三个内角不全相等,那么 这个三角形不是正三角形 (或写成 :三个内角不全相等 的三角形不是正三角形).

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(2)原命题:若两个三角形全等 , 则它们的面积相等. 逆命题:若两个三角形面积相等,则这两个三角形全 等(或写成:面积相等的三角形全等). 否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形面积

不相等(或写成:不全等的三角形面积不相等).
逆否命题:若两个三角形面积不相等, 则这两个三角 形不全等.

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(3)原命题:已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则

a+c=b+d.其中“已知a,b,c,d是实数”是大前提, “a与 b, c与d都相等”是条件p,“a+c=b+d”是结论q,所以 逆命题:已知a,b,c,d是实数,若a+c=b+d , 则a 与 b,c与d都相等. 否命题:已知a,b,c,d是实数,若a与b,c与d不都相等,则 a+c≠b+d. 逆否命题:已知a,b,c,d是实数,若a+c≠b+d,则a与b, c 与d不都相等.

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已知原命题,写出它的其他三种命题,首先把原命题
改写成“若p,则q”的形式,然后找出其条件p和结论q,再 根据四种命题的定义写出其他命题.

? 逆命题:“若q,则p”;否命题:“若 p,则 q”; ?
逆否命题:“若 q,则 p”,对写出的命题也可 ? ? 简洁表述;对于含有大前提的命题,在改写命题形式 时,大前提不要动.

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把下列命题写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆
命题、否命题与逆否命题,并判断其真假.

(1)当x=2时,x2-3x+2=0;
(2)对顶角相等.

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【解析】 (1)原命题:若x=2,则x2-3x+2=0.为真命题. 逆命题:若x2-3x+2=0,则x=2.为假命题. 否命题:若x≠2,则x2-3x+2≠0.为假命题.

逆否命题:若x2-3x+2≠0,则x≠2.为真命题.
(2)原命题:若两个角是对顶角,则它们相等.为真命题. 逆命题:若两个角相等,则它们是对顶角.为假命题. 否命题:若两个角不是对顶角,则它们不相等.为假命题. 逆否命题:若两个角不相等,则它们不是对顶角.为真命题.

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考点4

充要条件的判断

(1) [2010年高考山东卷]设{an}是等比数列,则 “a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的( ) C A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)[2010年高考广东卷]“m<14”是“一元二次方程 x2+x+m=0有实数解”的( A ) A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 【分析】 (1)首先分清条件和结论.(2)再看条件能否 推出结论,结论能否推出条件.
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【解析】(1)设数列{an}的公比为q.若已知a1<a2<a3, 即有a1<a1q<a1q2,

q>1 0<q<1 解得 或 a1>0 a1<0. 当a1>0,q>1时,有a1qn-1<a1qn,即an<an+1,所以数列 {an}是递增数列;当a1<0,0<q<1时,有a1qn-1<a1qn,即 an<an+1,所以数列{an}是递增数列. 综上所述,若a1<a2<a3,则数列{an}是递增数列.反之, 若数列{an}是递增数列,则a1<a2<a3.所以“a1<a2<a3”是 “数列{an}是递增数列”的充分必要条件. 故应选C.

?

?

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(2)若一元二次方程x2+x+m=0有实数解, 1 则Δ=1-4m≥0,因此m≤ . 4 故m< 1 是方程x2+x+m=0有实数解的充分非必要 条件. 故应选A. (1)判断p 是q 的什么条件 , 关键是看p能否推出q,q 能否推出p. (2)若“p? q” 是否成立,不能判断或不好处理 , ?
4

则可看它的逆否命题是否成立.
(3)否定一个结论时,只需举一个反例即可. 返回目录

指出下列命题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”

“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要
条件”中选出一种作答). (1)在△ABC中, p:∠A=∠B,q:sinA=sinB; (2)对于实数x,y, p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6; (3)非空集合A,B中, p:x∈A∪B,q:x∈B;

(4)已知x,y∈R, p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.

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【解析】(1)在△ABC中,∠A=∠B ? sinA=sinB,反之, 若sinA=sinB,因为A与B不可能互补(因为三角形三个内 角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件. (2)易知, p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然? q?? p, 但 ?

?p

/ ?? q,即 ? q是 ? p的充分不必要条件,根据原命

题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件. (3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,

所以p是q的必要不充分条件.
(4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,

? 所以p? q但q ? p,故p是q的充分不必要条件. /
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考点5

充要条件的证明

已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 【分析】 此类问题需证明两个命题,即充分性与必要 性,故应分清谁是条件,谁是结论,然后再分别证明. 【证明】 (必要性) ∵a+b=1,∴a+b-1=0,∴a3+b3+ab-a2-b2 =(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.

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(充分性) ∵a3+b3+ab-a2-b2=0, 又ab≠0,∴a≠0且b≠0, ∴a2-ab+b2=(a- b )2+ 即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,
3 2 b >0, 4

∴a+b-1=0,即a+b=1.
-b2=0.

2

综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab- a2

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有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个 ? 是结论,由“条件”? “结论”是证明命题的充分性, ? 由“结论”?“条件”是证明命题的必要性. 证明要分 两个环节:一是充分性;二是必要性.

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证明一元二次方程ax2 + bx +c=0有一正根和一负根的充 要条件是ac<0. 证明:充分性:若ac<0,则b2-4ac>0,且ca<0,

∴方程ax2+bx+c=0有两个相异实根, 且两根异号, 即 方程有一正根和一负根. 必要性:若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负 根,则Δ=b2-4ac>0,x1x2=ca<0,∴ac<0. 综上所述,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负 根的充要条件是ac<0.
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考点6

利用复合命题的真假求参数的值或范围

已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根;q : 方程 4x2+4(m-2)x+1=0无实根 .若 p或q为真,p 且 q为假, 求m的取值范围. 【分析】(1)“p∧q”为假,包括“p真q假”“p假q真” “p假q假”; (2)“p∨q”为假,则“p假q假”; (3)“ ? p”为假,则“p真”.

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【解析】若方程x2+mx+1=0有两个不等的负根,则

Δ=m2- 4>0 解得m>2,即p:m>2. m>0, 若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根, 则Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0, 解得1<m<3,即q:1<m<3. 因为p或q为真,所以p,q至少有一个为真. 又p且q为假,所以p,q至少有一个为假. 因此,p,q两命题应一真一假, 即p为真,q为假或p为假,q为真. m>2 m≤2 或 所以 m≤1或m≥3 1<m<3,即m≥3 或1<m≤2.

?

?

?

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(1)由简单命题和逻辑联结词构成的复合命题的真

假可以用真值表来判断,反之根据复合命题的真假也可
以判断简单命题的真假.假若p且q真,则p 真,q也真;若 p或q真,则p,q至少有一个真;若p且q假,则p,q至少有 一个假. (2)可把“p或q”为真命题转化为并集的运算;把

“p且q”为真命题转化为交集的运算.

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设p:

是空集,若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求

m?2 2 ? m?3 3

;q:关于x的不等式x2-4x+m2≤0 的解集

m的取值范围.
【解析】 由
m?2 2 ? m?3 3 m?2 2 ? m?3 3 m m ? 3 ≤0,得0≤m<

,得

≤0,即

3,

? ∴p:? m∈R,0≤m<3.
由关于x的不等式x2-4x+m2≤0的解集是空集得Δ=16-

? 4m2<0, ∴m>2或m<-2,∴q:?m∈R,m>2或m<-2,
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∵p∨q为真,p∧q为假, ∴p,q有且只有一个为真. ①若p真q假,则0≤m<3且-2≤m≤2,

∴0≤m≤2.
②若p假q真,则m<0或m≥3,同时m<-2或m>2, ∴m<-2或m≥3. ∴m的取值范围是(-∞,-2)∪[0,2]∪[3,+∞).

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1.命题的否定与否命题是完全不同的概念

(1) 任何命题均有否定 ,无论是真命题还是假命题 ;
而否命题仅针对命题“若p,则q”提出来的. (2)命题的否定是原命题的矛盾命题,两者的真假性

必然是一真一假 ;而否命题与原命题可能是同真同 假,
也可能是一真一假. 2.一个命题的原命题与其逆否命题同真假;原命题的 逆命题与否命题互为逆否关系,也同真假.有时一个命题 的真假不易被判断时, 可以通过判断它的逆否命题的真 假,从而得知原命题的真假. 返回目录

3.“p∨q”为真,当且仅当p和q中至少一个为真(一 真为真);“p∧q”为假,当且仅当p和q中至少一个为 假(一假为假);p与 p真假相反. ? 4.A是B的充分不必要条件是指:A?B 且 B ? / A; ? ? 5.A的充分不必要条件是B,是指:B?A且 A ? / B. 这两种说法是在充分必要条件推理判断中经常出现且容 易混淆的说法 ,在解题中一定要根据问题的设问方式 , 弄清它们的区别,以免出现判断错误.

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