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黑龙江省大庆实验中学2015-2016学年高二上学期开学考试数学(理)试题


大庆实验中学2015---2016学年度上学期开学考试

高二年级数学(理科)试题
一.选择题(共 12 小题,每题 5 分)
1.下列命题正确的是( ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.三角形的两条边平行 于一个平面,则第三边也平行于这个平面

D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 2.过点 A(1,?1), B(?1,1) ,且圆心在直线 x ? y ? 2 ? 0 上的圆的方程是( A. ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 B. ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 D. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 ) D.150° ).

3.在 ?ABC 中, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3bc, 则 ? A 等于( A.60° B.45° C.120 °

4.设公比为 q(q ? 0) 的等比数列 {an } 的前 n 项和 S n .若 S 2 ? 3a2 ? 2, S 4 ? 3a4 ? 2 , 则 q=_______ _. ( A. )

1 C. 2 D. 3 2 cos A b ? ,则 ?ABC 是( 5.在 ?ABC 中,若 cos B a
B. A.等腰三角形 B.等边三角形

3 2

)

6.若等差数列 ?an ? 满足 a 7 ? a8 ? a9 ? 0 , a7 ? a10 ? 0 ,则当 n ? ________时数列

C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

?an ? 的前 n 项和最大.(
A. 15 B. 16 C. 8

) D. 9

7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体 的体积是 A.6 B.8 C.10 D.12

8. 已知点 A(?3,?4), B(6,3) 到直线 l : ax ? y ? 1 ? 0 的距离相等,则实数 a 的值等于( A.

)

7 9

B. ?

1 3

C. ?

7 1 或? 3 9

D. ?

7 1 或 9 3

9. 已知点 A(2,?3) , B(?3,?2) 直线 l 过点 P(1,1) ,且与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率的取值

k 范围是 (



1 3 3 3 D. [ , 4 ] 4 4 4 4 2 2 10. 已知点 A 是圆 C : x ? y ? ax ? 4 y ? 30 ? 0 上任意一点, A 关于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的
A. (?? ,?4] ? [ ,?? ) B. ( ?? ,? ] ? [ ,?? ) C. [ ?4, ] 对称点也在圆 C 上,则实数 a 的值 A. 10 B. ? 10 C. 4 ( )

3 4

D. ? 4

11. 已知一个正四面体纸盒的棱长为 2 6 ,若在该正四面体纸盒内放一个正方体,使正方体 可以在纸盒内任意转动,则正方体棱长的最大值为 A. 1 B. ( )

2 3 3

C.

3 2

D.

2 2

12.数列 {an } 满足 an?1

1 ? 2 a n , (0 ? a n ? ) ? 3 ? 2 ,若 a1 ? ,则 a 2015 ? ( ?? 5 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n n ? 2 ?
C.



2 1 B. 5 5 二.填空题(共 4 小题,每题 5 分)
A. 13. 已知正数 x , y 满足 x ? 2 y ? 2 ,则
2 2

3 5

D.

4 5

x ? 8y 的最小值为__________. xy

2 2 14. 若两圆 x ? y ? 1 和 ( x ? 4) ? ( y ? a) ? 25 有三条公切线,则常数 a ? _______

?2 x ? y ? 1 ? 0 ? 15.已知实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 | 3x ? 4 y ? 2 | 的取值范围是__________ ? x ? y ?1 ?
16.如图,等腰梯形 ABCD 中, AB ? AD ? DC ?

1 BC ? 1 , 2 现将三角形 ACD 沿 AC 向上折起,满足平面 ABC ? 平面 ACD ,则三棱锥 D ? ABC 的外接球的表面积为 _______
B

A

D

C

三.解答题(17 题 10 分,其它题 12 分,写出必要的文字说明)
17.已知 ?ABC 中,角 A,B,C,所对的边分别是 a, b, c ,且 2 a 2 ? b2 ? c 2 ? 3ab ; (1)求 sin
2

?

?

A? B 2

(2)若 c ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值。

18. 如图,已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P , PA ? 平面

ABCD , E , F 分别是 AB, PC 的中点, AB ?

1 AD ? 1 。 2

P

A E B

F

D

C

(1) 求证: EF || 平面 PAD (2)若 ?PDA ?

?
4

,求直线 AC 与平面 PCD 所成角的正弦值。

19.解关于 x 的不等式 ax2 ? (2a ? 2) x ? 4 ? 0

20.正项数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? (

an ? 1 2 ) (n ? N * ) 。 2

(I)证明数列 {an } 为等差数列并求其通项公式; (II)设 c n ?

1 1 1 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,证明: ? Tn ? 3 2 a n a n ?1

21. 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 AA1 ? 平面 ABC , ?ABC 为等腰直角三角形,

?BAC ? 90? ,且 AB ? AA1 , E, F 分别是 CC1 , BC 的中点.
(Ⅰ)求证: B1F ? 平面 AEF ; (Ⅱ)求锐二面角 B1 ? AE ? F 的余弦值.

C1 A1 E C A

B1

F

B

22. 已知数列中 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ?

an (n ? N *) an ? 3

(1)求证: 数列 {

1 1 ? } 是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式 an an 2

( 2 ) 若 数 列 {bn } 满 足 bn ? (3 ? 1) ?
n

n ? a n , 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 为 Tn , 若 不 等 式 2n

( ?1) n ? ? Tn ?

n 对一切 n ? N * 恒成立,求 ? 的取值范围。 2 n ?1

开学考试答案: 选择题: 1 ? 5 CCDAD,6 ? 10 CDCAB 11? 12BB 填空题:13. 9 解 答题: 17. (Ⅰ )? a ? b ? c ?
2 2 2

14. ? 2 5 ,15. [0,9]

16. 5?

3 a2 ? b2 ? c2 3 ab,? cosC ? ? 2 2ab 4

A ? B 1 ? cos ? A ? B ? 1 ? cos C 7 ? ? ? 2 2 2 8 3 3 2 2 2 ? a 2 ? b 2 ? 4 ? ab, (Ⅱ)? a ? b ? c ? ab, 且c ? 2, 2 2 3 2 2 又? a ? b ? 2ab,? ab ? 2ab ? 4,? ab ? 8 2 ? A ? B ? ? ? C ,? sin 2

3 7 ?3? ? cosC ? ,? sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? ? ? ? 4 4 ?4?
? S ?ABC ? 1 ab sin C ? 7 , 2

2

当且仅当 a ? b ? 2 2 时,△ ABC 面积取最大值,最大值为 7 . 18.(1)证明:取 PD 中点 M ,连结 AM , FM

? MF || CD, MF ?

1 CD , 2 1 AE || CD, AE ? CD 2

? MF || AE, MF ? AE

? 四边形 AEFM 为平行四边形
所以 AM || EF, AM ? 平面 PAD

? EF || 平面 PAD
(2)连结 AM , CM ,由条件知 AM ? PD , CD ? 平面 PAD

? CD ? AM , PD ? CD ? D
所以 AM ? 平面 PCD , ? ?ACM 就是直线 AC 与平面 PCD 所成的角 经计算得 AM ?

2, CM ? 3, AC ? 5

? sin ?ACM ?

AM 10 ? AC 5

19.解:因式分解得 (ax ? 2)(x ? 2) ? 0 (1)若 a ? 0, 则解集为 {x | x ? 2} (2)若 a ? 0, 则解集为 {x |

2 ? x ? 2} a 2 } a

(3)若 0 ? a ? 1, 则解集为 {x | x ? 2 或 x ? (4)若 a ? 1, 则解集为 {x | x ? 2} (5)若 a ? 1, 则解集为 {x | x ? 2 或 x ?

2 } a

20.(1) 4S n ? (an ? 1) 2 , 4S n?1 ? (an?1 ? 1) 2 作差得
2 2 an ? an ?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 0

(an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ,由正项数列知 an ? an?1 ? 0

? an ? an?1 ? 2 ,所以数列 {an } 是等差数列,其中 a1 ? 1
an ? 2n ? 1
(2) c n ?

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

? Tn ?

1 1 1 (1 ? ) ? ,又因为 Tn 是单调递增 数列 2 2n ? 1 2 1 1 1 所以 Tn ? T1 ? ,? ? Tn ? 3 3 2
21. (1)证明:由条件知 AF ? 平面 CC BB1 ,令 AC ? 1

? AF ? B1 F ,经计算得 B1 F ?

6 3 3 , EF ? , B1 E ? 2 2 2

? B1 E 2 ? B1 F 2 ? EF 2 ,即 B1 F ? EF ,又因为 EF ? AF ? F ? B1F ? 平面 AEF ;
(2)过 F 作 FM ? AE ,连结 B1 M 由已知得 EA ? MF , EA ? B1 F

? EA ? 平面 B1 MF ? EA ? B1 M ? ?B1 MF 就是二面角 B1 ? AE ? F 的平面角
经计算得 MF ?

30 3 MF 6 , B1 M ? 5 , cos?B1 MF ? ? 10 5 B1 M 6
1 ?

1 an ? 3 1 ? a n ?1 2 an 2 22. (1)证明:由已知 得 ? ? 3, 1 1 1 1 ? ? an 2 an 2
所以数列 { (2) bn ?

2 1 1 ? } 是等比数列, a n ? n 3 ?1 an 2

n 2
n n ?1

,又错位相减得 Tn ? 4 ?

n?2 2 n ?1
为单调递增

代入得 ( ?1) ? ? 4 ?

2
n ?1

2 当 n 是偶数时 ? ? 4 ? 1 ? 3

,易证 4 ?

2 2 n ?1

当 n 是奇数时 ? ? ? 4 ? 2 ? 2, ? ? ?2 所以 ? 2 ? ? ? 3


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