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大纲版2012届高三上学期单元测试(10)数学试题


高中学生学科素质训练系列试题

高三上学期数学单元测试(10)
[原人教版] 排列、组合、二项式定理(第十章)
注意事项: 1.本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束,试题和 答题卡一并收回。 3. 第Ⅰ卷每题选出答案后,都必须用

2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD) 涂黑,如需改动,必须先用橡皮擦干净,再改涂其它答案。

第Ⅰ卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 。
2 1.C 1 +C 33 +C 3 +?+C 33 除以 9 的余数是 33 33 33

( ) A.0 B.11 C.2 D.7 2.计算 1!+2!+3!+?+100!得到的数,其个位数字是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3.从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、 乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有 ( ) A.280 种 B.240 种 C.180 种 D.96 种 4.从编号为 1,2,3,?,10,11 的 11 个球中,取出 5 个球,使这 5 个球的编号之 和为奇数,其取法总 数为 ( ) A.236 B.328 C.462 D.2640 5.有 386、486、586 型电脑各一台,甲、乙、丙、丁四名操作人员的技术等次各不相同, 甲、乙会操作三种型号的电脑,丙不能操作 586,而丁只能操作 386,今从这四名操作人 乙、员中选 3 人分别去操作以上电脑,则不同的选派方法有 ( ) A.12 种 B.8 种 C.6 种 D.4 种 6.在 100 件产品中有 6 件次品,现从中任取 3 件产品,至少有 1 件次品的不同取法的种数是 ( )
2 B.C 1 C 99 6 3 C.C 100 -C 3 94 3 D.A 100 -A 3 94

2 A.C 1 C 94 6

7.0.9910 的小数点后第 1 位数字为 n1,第 2 位数字为 n2,第 3 位数字为 n3,则 n1,n2,n3 分别为

( ) A.9,4,0

B.9,0,4

C.9,2,0

D.9,0,2

8.有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位.现安排 2 人就座,规定前排中间的 3 个座位不 能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是 . ( ) A.234 B.346 C.350 D.363

9.若(1+x)n 的展开式中 x2 项的系数为 an,则 1 + 1 +?+ 1 的值 a 2 a3 an ( ) B.小于 2 C.等于 2 D.大于 3
2

A.大于 2

10.从 6 名短跑运动员中选出 4 人参加 4×100 m 接力赛,如果甲、乙两人都不跑第一棒,那 么不同的参赛方案有 ( ) A.180 种 B.240 种 C.300 种 D.360 种 11.某银行储蓄卡的密码是一个 4 位数码,某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位 上的数字(如 2816)的方法设计密码,当积为一位数时,十位上数字选 0,千位、百位 上都能取 0.这样设计出来的密码共有 A.90 个 B.99 个 C.100 个 D.112 个 12.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次, 但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为 ( ) A.180 B.160 C.96 D.60

第Ⅱ卷
二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 。 13.将标号为 1,2,?,10 的 10 个球放入标号为 1,2,?,10 的 10 个盒子内.每个盒内放一个球,则 恰好有 3 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有______种. 以数字作答) ( . 14.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质的三块土地上,其 中黄瓜必须种植.不同的种植方法有______种. 15.从 0,1,2,3,4 中每次取出不同的三个数字组成三位数,那么这些三位数的个位数之 和为______.

16. (1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+?+(1+x)20 的展开式中 x3 的系数是______. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 70 分) 。 17. (本小题满分 10 分)某种产品有 3 只次品和 6 只正品,每次取出一只测试,直到 3 只次 品全部测出为止,求第三只次品在第 6 次测试时被发现的不同的测试情况有多少种.

18. (本小题满分 12 分)有红、黄、蓝三色的卡片各 5 张,且同色的 5 张卡片上都标有 A、B、 C、D、E 五个字母,现从这 15 张卡片中任取 4 张,要求字母互不相同且三色齐全的取法 有多少种?

[来源:ZXXK]

19. (本小题满分 12 分)用 0,1,2,3,?,9 这十个数字组成五位数,其中含有三个奇数 数字与两个偶数数字的五位数有多少个?

20. (本小题满分 12 分)今有 3 个成人和 2 个小孩乘船游玩,现有船 3 只,1 号船可乘 3 人, 2 号船可乘 2 人,3 号船可乘 1 人(注“可乘”是最大容量) ,他们可从中任 选两只或三 只船乘坐,但小孩不能单独乘坐一只船,问有多少种分乘的方法?

[来源:Zxxk.Com]

21. (本小题满分 12 分)解方程:
x 2 (1) C13?1 ? C13x?3 ;
?2 ?3 (2)解方程: C xx? 2 ? C xx? 2 ?

1 3 Ax ?3 . 10

[来源:]

22. (本小题满分 12 分)7 个人到 7 个地方去旅游,甲不去 A 地,乙不去 B 地,丙不去 C 地,丁不 去 D 地,问:共有多少种旅游方案?

参考答案
2 0 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60分) 0 1.D 解:本题主要考查二项式定理在整除中的应用. 8 2.B 解:∵5!+6!?+100!的个位数字是 0,而 1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33. 1 ∴个位数字是 3. 1 3.B 解:因为甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,所以翻译工作从余下的四名志愿者中选 1 人, 2 5 有 4 种选法,再从余下的 5 人中选 3 人从事导游、导购、保洁,有 A 3 种选法.所以有 4A 3 =240 种. 5 5 4.A 解:分三类.第一类,取五个编号为奇数的小球,共有 C 5 种取法; 6
2 第二类,取三个编号为奇数的小球,再取两个编号为偶数的小球, 共有 C 3 C 5 =200 种取法; 6 4 第三类,取一个编号为奇数的小球,再取四个编号为偶数的小球,共有 C 1 ·C 5 =30 种取法. 6

根据分类计数原理,所以共有 N=6+200+30=236 种取法. 5.B 解:分类讨论法 (1)不选丁,有 C 1 ·A 2 =4 种选法; 2 2 (2)选丁,①选丙,有 2 种选法,②不选丙,有 A 2 =2 种选法. 2 所以共有 4+2+2=8 种. 6.C 解:任取 3 件产品,其中至少有 1 件次品的情况分为有 1 件次品,有 2 件次品,有 3 件次品.
2 2 3 那么不同取法的种数是 C 1 C 94 +C 6 C 1 +C 3 或 C 100 -C 3 .故选 C. 6 94 6 94 2 3 4 7.B 解:0.9910=(1-0.01)10=1-C 1 ·0.01+C 10 ·0.012-C 10 ·0.013+C 10 ·0.014-?=1- 10

0.1+0.0045-0.00012+?=0.90438+?. 8.B 解法 1:∵前排中间 3 个座位不能坐, ∴实际可坐的位置前排 8 个,后排 12 个. (1)两人一个前排,一个后排,方法数为 C 1 C 12 A 2 ; 8 (2)两人均在后排,共 A 12 种,还需排除两人相邻的情况:A 11 A 2 ,即 A 12 -A 11 A 2 ; (3)两人均在前排,又分两类:①两人一左一右,为 C 4 C 4 A 2 ,②两人同左或同右时,有 2
1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2

(A 4 -A 1 A 2 )种. 3 综上,不同排法的种数为 C 1 C 12 A 2 +(A 12 -A 11 A 2 )+C 4 C 4 A 2 +2(A 4 -A 1 A 2 )=346. 8 3 解法 2:一共可坐的位子有 20 个,2 个人坐的方法数为 A 2 ,还需排除两左右相邻的情况. 20
1 2 2 1 2 1 1 2 2 2

2

2

把可坐的 20 个座位排成连续一行(B 与 C 相接),任两个座位看成一个整体,即相邻的坐 法有 A 1 A 2 ,但这其中包括 B、C 相邻,与 E、F 相邻,而这两种相邻在实际中是不相邻的, 2 19 还应再加上 2A 2 .∴不同排法的种数为 A 2 -A 1 ·A 2 +2A 2 =346. 2 2 2 20 19 9.B 解: (1+x) n 的展开式中 x2 项的系数为 an=C 2 = n(n ? 1) , n
n

故 1 =
an

2 =2( 1 - 1 ). n ?1 n n(n ? 1)

于是

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 2(1 ? ) <2. a 2 a3 a 4 an n

10.B 解:分为三种情况: (1)甲、乙都不参加,有 A 4 =24 种; (2)甲、乙仅有 1 人参加,有 2C 1 A 4 =144 种; 3
2 (3)甲、乙两人都参加,有 A 3 A 4 =72 种.

4

3

2

∴共有 24+144+72 =240 种. 11. C 解:由于千位、百位确定下来后十位、个位就随之确定,则只考虑千位、百位即可,千 位、百位各有 10 种选择,所以有 10×10 种=100 种.故选 C. 12. A 解: 为①着色有 5 种方法, 为②着色有 4 种方法,为③着色有 3 种方法,为④着色也只 有 3 种方法. ∴ 共有着色方法 5×4×3×3=180 种.故选 A. 同理图二为 5×4×3×4=240 种, 图三为 5×4×4×4=320 种. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
3 13. 解:从 10 个球中任取 3 个,有 C 10 种方法.取出的 3 个球与其所在盒子的标号不一致的方 240 3 法有 2 种.∴共有 2C 10 种方法. 2 14. 解:因为黄瓜必须种植,在余下的 3 种蔬菜品种中再选两种,进行排列,共有 C 3 A 3 种,即有 18 3

18 种. 15.90 解:0 在个位的三位数的个位数字之和为 0.1,2,3,4 在个位的个位数各有 A 1 A 1 个. 3 3 所以,这些三位数的个位数之和为(1+2+3+4)×9=90. 16.5985 解法 1:所求 x3 的系数为
[来源:Zxxk.Com]

4 C 3 +C 4 +C 3 +?+C 3 =(C 4 +C 4 )+C 3 +?+C 3 =(C 5 +C 3 )+C 3 +?+C 3 3 5 20 5 20 5 6 20 4 =(C 6 +C 3 )+?+C 3 =C 4 +C 3 =C 21 ,∴展开式中 x3 的系数是 C 21 =5985. 6 20 20 20

3

4

3

[来源:学+科+网]

4

4

(1 ? x) 3 [1 ? (1 ? x)18 ] (1 ? x) 21 ? (1 ? x) 3 解法 2:原式= = , x 1 ? (1 ? x)
显然只有(1+x)21 中 x4 项与字母 x 相除可得 x3 项,∴x3 的系数为 C 21 =5985.
4

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分) 17.解:第六次测试到次品的方法有 C 1 种,?????????????3 分 3 前 5 次有 2 只次品和 3 只正品的测试方法有 C 3 ·A 5 种. ???????????6 分 6 5 因此共有 C 1 ·C 3 ·A 5 =7200(种). 3 6 5 ?????????????10 分 ?????????3 分

18.解:第 一步,选定 2 张同色卡片的颜色,有 C 1 种. 3

2 第二步,选定各同色卡片的字母,有 C 5 种. ?????????6 分

第三步,余下两种颜色各 1 张及字母的选法有 C 1 ·C 1 种.?????????10 分 2 3
2 ∴共有 C 1 ·C 5 ·C 1 ·C 2 =180(种). ????????????12 分 3 3
2 1 9.解法 1:考虑 0 的特殊要求,如果对 0 不加限制,应有 C 3 C 5 A 5 个,?????3 分 5 5

1

其中 0 居首位的有 C 3 C 4 A 4 个. 5

1

4

?????????????8 分
1 4

2 故符合条件的五位数共有 C 3 C 5 A 5 -C 3 C 4 A 4 =11040(个). ????????12 分 5 5 5

解法 2:按元素分类:奇数字有 1,3,5,7,9;偶数字有 0,2,4,6,8. 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类:①不含 0 的;②含 0 的.???3 分 ①不含 0 的,由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有 C 3 C 4 A 5 个;????6 分 5 5 ②含 0 的,这时 0 只能排在除首位以外的四个数位上,有 A 4 种排法,再选三个奇数数 字与一个偶数数字全排放在其他数位上,共有 C 3 C 4 A 4 A 4 种排法.???10 分 5 综合①和②,由分类计数原理,符合条件的五位数共有 C 3 C 4 A 5 +C 3 C 4 A 4 A 4 =11040(个). ????????????12 分 5 5 5 20.解:依题意列表如下: 船号 坐法 1 1大1小 1大2小 1大2小 2大1小 2 1大1小 1大 2大 1大1小 3 1大 1大 0 0 坐法种数 C 1 ·C 1 ·C 1 ·C 1 ·C 1 3 2 2 1 1 C 1 ·C 2 ·C 1 ·C 1 3 2 2 1 C 1 ·C 2 ·C 2 3 2 2
2 C 3 ·C 1 ·C 1 ·C 1 2 1 1 2 1 4 1 1 4 1 1 2

由表可知,共有 27 种坐法. ????????????12 分

21.解: (1)由原方程得 x ? 1 ? 2 x ? 3 或 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 13 ,∴ x ? 4 或 x ? 5 , 又由 ?1 ? 2 x ? 3 ? 13, 得 2 ? x ? 8 且 x ? N ? ,∴原方程的解为 x ? 4 或 x ? 5 .
? ?x ? N ?, ? ?1 ? x ? 1 ? 13,

上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把 x ? 4 和 x ? 5 代入检验,这样运算量小得 多. ?????????????6 分
? (2)原方程可化为 C xx?32 ? 1 Ax3?3 ,即 Cx5?3 ? 1 Ax3?3 ,∴ ( x ? 3)! ? ( x ? 3)! ,

10

10

5!( x ? 2)!

10 ? x !



1 1 , ? 120( x ? 2)! 10 ? x( x ? 1) ? ( x ? 2)!

∴ x 2 ? x ? 12 ? 0 ,解得 x ? 4 或 x ? ?3 , 经检验: x ? 4 是原方程的解. ????????????12 分 22.解:此题可用排除法,7 个人分赴 7 个地方共有 A 7 种可能. 7 (1)若甲、乙、丙、丁 4 人同时都去各自不能去的地方旅游,而其余的人可以去余 下的地 方旅游的不同选法有 A 3 =6 种. 3 ????????????3 分

(2)若甲、乙、丙、丁中有 3 人同时去各自不能去的地方旅游,有 C 3 种,而 4 人中剩下 1 人 4 旅游的地方是 C 1 种,都选完后,再考虑无条件 3 人的旅游方法是 A 3 种,所以共有 C 4 C 1 A 3 =72 3 3 3 3 种.????6 分 (3)若甲、乙、丙、丁 4 人中有 2 人同时去各自不能去的地方旅游,有 C 2 种,余下的 5 个 4 人分赴 5 个不同的地方的方案有 A 5 种,但是其中又包括了有条件的四人中的两 人(不妨 5 设甲、乙两人)同时去各自不能去的地方共 A 3 种,和这两人中有一人去了自己不能去的地 3 方有 2A 1 A 3 种,所以共有 C 4 (A 5 -A 3 -2A 1 A 3 )=468 种. 3 3 5 3 3 3
2 3

???????9 分
1

(4)若甲、乙、丙、丁 4 人中只有 1 人去了自己不能去的地方旅游,有 C 4 种方案,而余下 的六个人的旅游方案仍与(3)想法一致,共有
2 C 4 [A 6 -A 3 -C 3 (A 4 -A 3 )-C 1 (A 5 -A 3 -2A 1 ·A 3 ) 6 3 3 3 5 3 3 3 ]=1704 种.

1

4

所以满足以上情况的不同旅游方案共有 A 7 -(6+72+468+1704)=27 90(种).??12 分 7


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