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2.2.3 独立重复试验与二项分布


独立重复试验与二项分布

复习回顾
前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独 立事件的意义,这些都是我们在具体求概率时需要 考虑的一些模型,吻合模型用公式去求概率简便. ⑴ P( A ? B) ? P( A) ? P( B)(当 A与B 互斥时) ; P ( AB ) ( P ( A) ? 0) ⑵ P ( B | A) ? P ( A) ⑶ P( AB) ? P ( A) P ( B) (当 A与B 相互独立时) 那么求概率还有什么模型呢?

分析下面的试验,它们有什么共同特点? ⑴ 投掷一个质地均匀骰子投掷 20 次; ⑵某人射击 1 次,击中目标的概率是 0.8, 他射击 10 次; ⑶实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比 赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局 就算胜出并停止比赛); ⑷一个盒子中装有 5 个球(3 个红球和 2 个 黑球) ,有放回地依次从中抽取 5 个球; ⑸生产一种零件,出现次品的概率是 0.04, 生产这种零件 4 件.
共同特点是: 多次重复地做同一个试验.

n 次独立重复试验: 一般地,在相同条件下,重复做的 n 次试验称 为 n 次独立重复试验.
在 n 次独立重复试验中,记 Ai 是“第 i 次试 验的结果” P( A1 A2 ? An ) = P( A1 ) P( A2 )? P( An )
“相同条件下” 等价于各次试验的结果不会受其他试 验的影响。

问题:某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.8,现连 续射击 3 次. ⑴第一次命中,后面两次不中的概率; ⑵恰有一次命中的概率; ⑶恰有两次命中的概率.

解: 记事件 “第 i 次击中目标” 为 Ai ,则 A1、A2、A3 相 互独立.且 P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? 0.8 .
⑴第一次命中,后面两次不中的事件即 A 1 A 2 A 3 ∴ P ( A1 A2 A3 ) ? P ( A1 ) ? ?1 ? P ( A2 )? ? ? ?1 ? P ( A3 )? ? =0.032

⑵恰有一次命中的事件即 A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ∴恰有一次命中的事件的概率 P2 ? 3 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.096

⑶恰有两次命中的事件即 A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ∴恰有两次命中的事件的概率 P3 ? 3 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.384

问题 1 的推广: 一般地, 在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数, 设每次试验中事件 A 发生的概率是 p , 那么事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn (X=k ) 是多少呢?
k k k k n? k Pn (X=k ) ? Cn p (1 ? p)n?k 或 Pn (X=k ) ? Cn p q (其 中 q ? 1 ? p ,一次试验中事件 A 发生的概率为 p) .

此 时 称 随 机 变 量 X 服 从 二 项 分 布 ( binomial distribution),记作 X~B(n, p),并称 p 为成功概率.

注: k k n? k n Pn (k ) ? cn p q 是( p ? q) 展开式中的第 k ? 1 项.

二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系?

1.两点分布是特殊的二项分布? ? ?(1? p)

2.一个袋中放有 M 个红球,( N ? M )个白球,依次从袋中 取 n 个球,记下红球的个数 ? . ⑴如果是不放回地取, 则 ? 服从超几何分布.
k n? k CM CN ?M P (? ? k ) ? (k ? 0,1, 2,?, m ) (其中 m ? min( M , n) n CN

M ) ⑵如果是有放回地取,则 ? ? B( n, N

例1:1名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个 交通岗,假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且概 率都是1/3.(1)求这名学生在途中遇到3次红灯的.(2)求这 名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

1 解:记ξ为学生在途中遇到红灯次数,则? ~ B(5, ) 3 (1)遇到3次红灯的概率为: 1 3 2 2 40 P (? ? 3) ? C ( ) ( ) ? 3 3 243
3 5

(2)至少遇到一次红灯的概率为:

2 5 211 P ? ? ? 1? ? 1 ? P ? ? ? 0 ? ? 1 ? ( ) ? . 3 243

例 2 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局就算胜出并停止比赛) . ⑴试求甲打完 5 局才能取胜的概率. ⑵按比赛规则甲获胜的概率.
解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为 1 1 ,乙获胜的概率为 . 2 2 ⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验, 且甲第 5 局比赛取胜,前 4 局恰好 2 胜 2 负 ∴甲打完 5 局才能取胜的概率 1 2 1 2 1 3 2 P1 ? C 4 ? ( ) ? ( ) ? ? . 2 2 2 16
王新敞
奎屯 新疆

(2) 记事件 A ? “甲打完 3 局才能取胜” , 事件 B =“甲打完 4 局才能取胜” , 事件 C =“甲打完 5 局才能取胜” . 事 件 D = “ 按 比 赛 规 则 甲 获 胜 ”, 则 D ? A ? B ? C ,又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥, 故 P ( D) ? P ( A ? B ? C ) ? P ( A) ? P ( B) ? P (C ) 1 3 3 1 ? ? ? ? . 8 16 16 2 1 答:按比赛规则甲获胜的概率为 . 2

练习巩固: 1.每次试验的成功率为 p(0 ? p ? 1) ,重复进行 10 次试验, 其中前 7 次都未成功后 3 次都成功的概率为( C) 3 3 3 3 (A) C10 p (1 ? p)7 (B) C10 p (1 ? p)3 (C) p3 (1 ? p)7 (D) p7 (1 ? p)3 2.某人参加一次考试,若 5 道题答对 4 道题则为及格,已 知他解 1 道题的正确率为 0.6,试求他能及格的概率(保留 2 位小数)。 4 4 5 5

C5 ? 0.6 ? 0.4 ? C5 ? 0.6 ? 0.34

3.某人对一目标进行射击,每次命中率都是 0.25,若使至少 命 中 1 次 的 概 率 不 小 于 0.75 , 至 少 应 射 击 几 次 ? ( lg 2 ? 0.3010, lg 3 ? 0.4771 )

3答案

3 .某 人对一 目标 进行射 击,每 次命 中率都是 0.25 ,若使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,至 少应射击几次?( lg 2 ? 0.3010, lg 3 ? 0.4771 )
解:设要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,应射击 n 次 记事件 A =“射击一次,击中目标” ,则 P( A) ? 0.25 . ∵射击 n 次相当于 n 次独立重复试验, ∴事件 A 至少发生 1 次的概率为 P ? 1 ? Pn (0) ? 1 ? 0.75n . 3 n 1 n 由题意,令 1 ? 0.75 ≥ 0.75 ,∴ ( ) ≤ , 4 4 1 lg ∴ n ≥ 4 ? 4.82 ,∴ n 至少取 5. 3 lg 4 答:要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75 ,至少应射击 5 次
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

思考

一个人开门 , 他共有n把钥匙, 其中仅有一把能 打开这个门 , 他随机地选取一把钥匙 开门,即每次以

1 的概率被选中 , 求该人在第k次打开门的概率 . n 解 令Bk 表示第k次打开门 ,则

1 k ?1 1 P ( Bk ) ? (1 ? ) n n

k ? 1,2,?

注:事件首次发生所需要的试验次数ξ服从几何分布 几 ξ 1 2 3 … k 何 分 P p pq pq2 … pqk-1 布

… …

练习:某射手有5发子弹,射击一次命中的概率为0.9, 思考 2 解: 如果命中了就停止射击,否则一直射击到子弹用完, ? 求耗用子弹数 的分布列 .
解:

P(? ? 1) ? 0.9 P(? ? 2) ? 0.1 ? 0.9 2 3 P(? ? 3) ? 0.1 ? 0.9 P(? ? 4) ? 0.1 ? 0.9

? 的所有取值为:1、2、3、4、5

“?

4 表示前四次都没射中 ? 5” ? P(? ? 5) ? 0.1

故所求分布列为:
?

1
0.9

2

3

4

5
0.14

P

2 3 0.1 ? 0.9 0.1 ? 0.90.1 ? 0.9

小结
独立重复试验
一般地,在相同条件下,重复做的 n 次试验称 为 n 次独立重复试验.

二项分布 ? ~ B(n, p)
P(? ? k ) ? C p (1 ? p) , k ? 0,1,2,?, n
k n k n? k

课外思考:

巴拿赫(Banach)火柴盒问题 ? 波兰数学家随身带着两盒火柴,分别放在 左、右两个衣袋里,每盒有n根火柴,每次 使用时,便随机地从其中一盒中取出一根。 试求他发现一盒已空时,另一盒中剩下的 火柴根数k的分布列。

P?C

n 2 n? k

作业:课本 P B 组第 2、 3 题 68

?1? ? 2? ? ?

2 n? k

, k ? 0,1, 2,? , n

2. n 重贝努利(Bernoulli)试验
若n 次重复试验具有下列特点: 1) 每次试验的可能结果只有两个A 或 A , 且 P ( A) ? p, P ( A ) ? 1 ? p ( 在各次试验中p是常数,保持不变)

2) 各次试验的结果相互独立,
则称这n次重复试验为n重贝努里试验,简称为 贝努里概型.

选做作业: 一批玉米种子,其发芽率是 0.8. ⑴问每穴至少种几粒,才能保证每穴至少有 一粒发芽的概率大于 98% ? ⑵ 若每穴 种 3 粒,求 恰好两 粒发 芽的概 率. ( lg 2 ? 0.3010 )

作业:第 68 页 B 组第 1 题

解:记事件 A =“种一粒种子,发芽” ,则 P( A) ? 0.8 , P( A) ? 1 ? 0.8 ? 0.2 , (1)设每穴至少种 n 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98% . ∵每穴种 n 粒相当于 n 次独立重复试验,记事件 B =“每穴至少有一粒发芽 则 P(B) ? Pn (0) ? Cn0 0.80 (1? 0.8)n ? 0.2n .∴ P(B) ? 1? P(B) ? 1? 0.2n . 由题意,令 P( B) ? 98% ,所以 0.2n ? 0.02 ,两边取常用对数得, n lg0.2 ? lg0.02 .即 n(lg 2 ?1) ? lg 2 ? 2 , lg 2 ? 2 1.6990 ∴n? ? ? 2.43 ,且 n ? N ,所以取 n ? 3 . lg 2 ? 1 0.6990 答:每穴至少种 3 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98% . (2)∵每穴种 3 粒相当于 3 次独立重复试验, 2 2 ∴每穴种 3 粒,恰好两粒发芽的概率为 P ? C3 ? 0.8 ? 0.2 ?? 0.384 , 答:每穴种 3 粒,恰好两粒发芽的概率为 0.384
王新敞
奎屯 新疆

练习 4:一袋中装有 5 个白球, 3 个红球, 现从袋中往外取球, 每次取一个,取出后记下球的颜色,然后放回,直到红球出 现 10 次时停止,停止时取球的次数 ? 是一个随机变量,试 求 ? ? ?? 的概率.

C ?3 ?5 ?3 9 3 10 5 2 P (? ? ?? ) ? ? C11 ( ) ( ) 12 8 8 8
9 11 9 2


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