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直线的一般式方程ppt课件-数学必修2第三章直线方程3.2.2第一课时人教A版


第三章 直线方程
3.2直线的方程 3.2.3 直线的一般式方程

学习目标
? [1]明确理解直线一般式方程的形式特征 ? [2]理解直线方程几种形式之间的内在联系 ? [3]能在总体把握直线方程的基础上,掌握各种形式之 间的相互转化 ? [4]通过直线方程一般式的学习,培养学生全面、系统、 周密地分类讨论问题的能力

r /> 复习引入
名 称 几何条件 方程 适用范围

点斜式 点P(x0,y0)和斜率k 斜截式 斜率k,y轴

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

有斜率的直线

上的纵截距b
两点式 P1(x1,y1), P2(x2,y2) 截距式 在x轴上的截距a, 在y轴上的截距b

y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y1 ? y2 x1 ? x2

有斜率的直线 不垂直于x、
y轴直线 不垂直于x、y轴的 直线,不过原点的 直线

x y ? ?1 a b

探究新知
填空 y-1=2(x-2) 1.过点(2,1),斜率为2的直线的方程____________

y=1 2.过点(2,1),斜率为0的直线方程是___________
x=2 3.过点(2,1),斜率不存在的直线的方程_________
思考1:以上三个方程是否都是二元一次方程?
(1)中方程可化为2x-y-3=0,故直线方程是二元一次方程。 (2)中方程为y=1,但可以看做0x+y=1,故直线方程是二元一次方程。 (3)中方程为x=2,但可以看做x+0y=2,故直线方程是二元一次方程。

思考2:所有的直线方程是否都是二元一次方程?

探究新知
第一种:点斜式 第二种:斜截式

y ? y1 ? k ( x ? x1 )

y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ?1 a b


第三种:两点式
第四种:截距式 能否统一写成

x ??

y?



?0

探究新知

上述四种直线方程,能否写成如下统一形式? ? x+ ? y+ ? =0

y ? y 1 ? k ( x ? x1 )
y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1
x y ? ?1 a b

kx ? (?1) y ? y1 ? kx1 ? 0
kx ? (?1) y ? b ? 0
( y2 ? y1 ) x ? ( x1 ? x2 ) y ? x1 ( y1 ? y2 ) ? y1 ( x2 ? x1 ) ? 0

bx ? ay ? ( ? ab) ? 0

上述四式都可以写成直线方程的一般形式:
Ax+By+C=0, A、B不同时为0。

形成新知

直线方程一般式
点斜式,斜截式,两点式,截距式四种方程都可以化成 Ax+By+C=0(其中A,B,C是常数,A,B不全为0)的形式. Ax+By+C=0叫做方程的一般式.
几点说明 (1)x的系数一般为正数 (2)x、y的系数及常数一般为整数

(3)按x项、y项、常数项的顺序排列
(4)无特殊要求,求直线方程的结果写成一般式

在直线方程一般式中方程Ax+By+C=0中,A,B,C为
何值时,方程表示的直线为:

(1)平行于x轴
平行于y轴

A=0
B=0




By+C=0
Ax+C=0 y=0
x=0

与x轴重合
与y轴重合

A=0 且C=0 即
B=0 且C=0 即

新知应用 例题讲解

4 例1、已知直线经过点A(6,- 4),斜率为 ? , 3

求直线的点斜式和一般式方程.
由点A(6, - 4)及斜率为得:y ? 4 ? ? 4 ( x ? 6) 3

解:

4 和直线点斜式方程 3

化为一般式方程得: 4 x ? 3 y ?12 ? 0

注意

对于直线方程的一般式,一般作如下约定:

x的系数为正,x,y的系数及常数项一般不出现分数, 一般按含x项,含y项、常数项顺序排列.

跟踪训练

根据下列条件,写出直线的方程,并把它化成一般式 (1)经过点A(8,-2),斜率是 ? 1 ; (2)经过点B(4,2),平行于x轴; (3)在x轴,y轴上的截距分别是
解:(1)
由点A(8, - 2)及斜率为1 得:y ? 2 ? ? ( x ? 8) 2

2

3 2

,-3.

1 和直线点斜式方程 2

化为一般式方程得: x ? 2y ? 4 ? 0

跟踪训练

根据下列条件,写出直线的方程,并把它化成一般式 (1)经过点A(8,-2),斜率是 ? 1 ; (2)经过点B(4,2),平行于x轴; (3)在x轴,y轴上的截距分别是
解:(2)
3 2

2

,-3.

由点题可知直线的方程 为y ? 2

化为一般式方程得: y?2 ? 0

跟踪训练 根据下列条件,写出直线的方程,并把它化成一般式
1 (1)经过点A(8,-2),斜率是 ? ; 2

(2)经过点B(4,2),平行于x轴; (3)在x轴,y轴上的截距分别是
解:(3)

3 2

,-3.

x y 由直线的方程的截距式 知: ? ?1 3 ?3 2

化为一般式方程得: 2x ? y ? 3 ? 0

例2、把直线l 的方程 x–2y+6=0 化成斜截式,求 出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距,并画图.
将直线 l的一般式方程化为斜截 式y ? 由斜截式知直线的斜率 k ? 1 x?3 2 1 , 它在 y轴的截距为 3 2 由斜截式或一般式求得 直线与x轴、y轴的交点分别为

A(- 6,0),B(0, 3), 过A、B两点作直线即得(如图 )

.B
. A
O x

y

跟踪训练

1、若直线(2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾斜角 为450,则m的值是 ( B) ( A) 3 (B) 2 (C)-2 ( D) 2 与 3

2、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为 -6 3,则m的值是__________

跟踪训练
求满足下列条件的直线的方程: 4 x ? y ? 2 ? 0 平行; ⑴ 经过点 A(3, 2) 且与直线
解: 直线 4 x ?

y ? 2 ? 0 的斜率是 ?4 , 所求直线和已知直 线平行, 因此它的斜率是 ?4 , 又过点 A(3, 2) 所以所 求直线方程为 y ? 2 ? ?4( x ? 3) 即 4 x ? y ? 14 ? 0

⑵ 经过点 B (3, 0) 且与直线
解: 直线 2 x ?

2 x ? y ? 5 ? 0 垂直.
1 , 又过点 2

y ? 5 ? 0的斜率是 ?2

所以与已知直线垂直的直线的斜率为

B(3, 0) , 所以所求直线方程为

1 y ? ( x ? 3) , 即 x ? 2 y ? 3 ? 0 2

直线方程的几种形式总结
已知条件 斜率k和y轴 斜截式 上的截距b
0 0 0

名称

标准方程

使用范围
不包括y轴及平行 于y轴的直线 不包括y轴及与y 轴平行的直线

y ? kx ? b

斜率k和一点 y ? y ? k ( x ? x ) 点斜式 P ( x , y ) 0 0 两点式 截距式 一般式 点 P1 ( x1 , y1 ) ,
P2 ( x2 , y2 )
在x轴上的截距 ( a , 0 ) 在y a,即点 轴上的截距b,即 点 ( 0, b )

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

不包括坐标轴以 及与坐标轴平行 的直线
不包括过原点的 直线以及与坐标 轴平行的直线

x y ? ?1 a b

Ax ? By ? C ? 0 A,B不同时为零

综合演练
用适当的方法求出直线的方程

1、求过点P(-5,-4),且倾斜角是直线 y ? ? 3x ? 3 的倾斜角的一半的直线。 解:(1)直线y ? ? 3x ? 3的斜率为K ? - 3,
所以 tan? ? ? 3 , 且0? ? ? ? 180?, 所以? ? 120?,故所求直线斜率为 3

因此利用直线的点斜式 求得 y ? 4 ? 3 ( x ? 5) 整理得:3 x ? y ? 5 3 ? 4 ? 0

综合演练
用适当的方法求出直线的方程

2、求在x,y轴上截距分别是-3,4的直线方程。
由已知条件用直线的截 距式得: 解:(2) x y ? ?1 ?3 4

化为一般式: 4 x ? 3 y ? 12 ? 0

综合演练
用适当的方法求出直线的方程

3、写出斜率为2,且在y轴上的截距为m的直线方程, 当m为何值时,直线过点(1,1)?
: 解:(3) 由直线的斜截式方程得 y ? 2x ? m 将点( 1,1 )带入得: m ? ?1 故y ? 2 x -1

综合演练
用适当的方法求出直线的方程

4、如果直线l过点(-1,-1),(2,5)两点,点(1003,m) 在直线l上,那么m的值是多少?

解:(4) 由直线方程的两点式可



y ?1 x ?1 ? 5 ?1 2 ?1

当x ? 1003 时,带入得 m ? 2007

两条直线的几种位置关系
直线方程

位置 关系

l1 : y ? k1 x ? b1

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0

重 合 平 行

l 2 : y ? k 2 x ? b2 l2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 A1B2 ? A2 B1 ? 0 k1 ? k 2且b1 ? b2 且A1C 2 ? A2C1 ? 0 A1B2 ? A2 B1 ? 0 k1 ? k 2且b1 ? b2 且A1C 2 ? A2C1 ? 0

垂 直
相 交

k1k2 ? ?1
k1 ? k2

A1 A2 ? B1B2 ? 0 A1B2 ? A2 B1 ? 0

课堂小结
(1)直线方程的一般形式,可以表示任何 一条直线 (2)几种直线方程的互化 (3)根据不同的已知条件利用相应直线方程 求出其解析式


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