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高二数学(理科)上学期期末试题及答案


高二期末考试试题 数学理科
5i = 2?i
A.– 1 + 2i 2.抛物线 y ? ? B.1 + 2i C.– 5 + 10i D.– 1 – 2i 时量:120 分钟 总分:100 分 第 I 卷(选择题 共 45 分) 一、选择题(每题 3 分,共 45 分) 1.

1 2 x 的准线方程是 8 1 A. x ? B. y ?

2 32

C. y ?

1 32

D. y ? ?2

3.向量 a ? (2,?1,2) ,则与其共线且满足 a ? x ? ?18 的向量 x 是 A. ( , , ? )

1 1 2 3

1 4

B. (4,-2,4)

C. (-4,2,-4)

D. (2,-3,4)

4. A, B, C 三点不共线,面 ABC 外的任一点 O ,下列条件中能确定点 M 与点 A, B, C 一定共 面的是 A. OM ? OA ? OB ? OC C. OM ? OA ? B. OM ? 2OA ? OB ? OC D. OM ? OA ? OB ? OC

1 1 OB ? OC 2 3

1 3

1 3

1 3

5.已知两点 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) ,且 F1 F2 是 PF1 与 PF2 的等差中项,则动点 P 的轨迹方 程是 A.

x2 y 2 ? ?1 16 9

B.

x2 y 2 ? ?1 16 12

C.

x2 y 2 ? ?1 4 3

D.

x2 y 2 ? ?1 3 4

6 4 6. (x- 2 y)10 的展开式中 x y 项的系数是

A. 840
3 2

B. -840

C. 210

D.-210

7.函数 y ? 2x ? 3x ? 12x ? 5 在[0,3]上最大,最小值分别为 A. 5,-15 B. 5,4 C. -4,-15 2 8.抛物线 y=x 到直线 2x-y=4 距离最近的点的坐标是 A. ( D. 5,-16

3 5 , ) 2 4

B.(1,1)

C. (

3 9 , ) 2 4

D.(2,4)

9.给出下列三个命题:

(1) ?x ? N , x 3 ? x 2 ; (2) ?m ? R ,方程 x 2 ? 2 x ? m ? 0 无实数根; (3)所有能被 3 整除的整数都是奇数. 其中正确的命题的个数是 A.0 B.1 10.若 k ? R ,则“ k ? 3 ”是“方程
2 2

C.2

D.3

y x ? ? 1 表示双曲线”的 k ?3 k ?3

A.充分不必要条件.

B.必要不充分条件.

C.充要条件. D.既不充分也不必要条件. 11.在 200 件产品中有 3 件次品,现从中任意抽取 5 件,其中至少有 2 件次品的抽法有
2 3 A. C3 C197 种 2 3 C. C3 C198 种 5 1 4 B.( C200 - C3 ) 种 C197 2 3 3 2 D.( C3 C197 ? C3 C197 )种

12. 将 1,2,3 填入 3× 3 的方格中,要求每行、每列都没有重复数字(下面是一种填法),则 不同的填写方法共有 A.6 种 B.12 种 C.24 种 D.48 种 13.曲线 y ? e 2 在点 (4,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
2
1 x

A.

9 2 e 2

B. 4e
3

2

C. 2e
2

2

D. e

2

14. 对 ?x ? R ,函数 f ? x ? ? x ? ax ? 7ax 不存在极值的充要条件是 A. 0 ? a ? 21 C. a ? 0 或 21 B. a ? 0 或 7 D. a ? 0 或 a ? 21
D1 A1 B1 C1

15.如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 2,点 P 是平 面 ABCD 上的动点,点 M 在棱 AB 上,且 AM ?

1 ,且动点 3

则 P 到直线 A1D1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 4, 动点 P 的轨迹是 A.圆 B.抛物线 C.双曲 线 D.椭圆 第Ⅱ卷(非选择题,共 55 分) 二、填空题(每题 3 分,共 15 分)
A

D P M B

C

16.已知 ABCD 是复平面内的平行四边形,且 A,B,C 三点对应的复数分别是 1 ? 3i,-i,2+i ,则点 D 对应的复数是_____________.

17.平行六面体从一个顶点出发的三条棱长度都为 1,且每两条成的角都为 60° ,则从这个顶点 出发的平行六面体的对角线长为_________. 18.焦点在 x 轴上的双曲线 ax 2 ? by 2 ? 1 的离心率为 5 ,则 19. 函数 y ? 2x ? sin 2 x 的导数是_______. 20.过抛物线 y 2 ? ? x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,且 A, B 在直线 x ? 分别是 M , N ,则 ?MFN 的大小为 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 8 分,共 40 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.) 21. (8 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ?

a ? b 1 上的射影 4

an (n ? 1, 2,3, ) , 1 ? an

(1)求 a2 , a3 , (2)试推测出数列 ?an ? 的通项公式,并给出证明.

22. (8 分)求直线 y ?

1 x 与抛物线 y ? x ? x 2 所围成图形的面积。 2

23.(8 分)如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为 AB 的中点. (1)求异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值; (2)求二面角 A1 ? EC ? A 的余弦值.

24.(8 分)已知函数 y ? f ( x ) ?

ln x 。 x

(1)求函数 y ? f ( x) 的图像在 x ? (2)求 y ? f ( x) 的最大值;

1 处的切线方程; e

(3) 设实数 a ? 0 ,求函数 F ( x) ? af ( x) 在 ?a,2a? 上的最小值

25、(8 分) 已知椭圆的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的 四边形为正方形,两准线间的距离为 4. (1)求椭圆的方程; (2)直线 l 过点 P(0,2) 且与椭圆相交于 A, B 两点,当 ?AOB 面积取得最大值时,求直线 l 的 方程.

参考答案 一. 二. ABCDC AABBA DBDAB

3 ? 5i, 6, y? ? 2x ln 2 ? 2cos 2 x, 4,90

三.

21.(1)

1 1 , , 2 3

2分 8分

(2) an ?

1 , 5 分。 证明略 n

1 ? 1 ?y ? x 22.解, 方程组 ? 得: 直线与抛物线 y ? x ? x 2 的交点的横坐标为 x ? 0 和 x ? , 2 2 ? y ? x ? x2 ?
2分 由题设得

S ? ? 2 ( x ? x 2 )dx ? ? 2
0 0

1

1

1 xdx 2

4分

1 1 1 ? ? 2 ( x ? x 2 )dx ? 0 2 48

8


23.(1)

15 ; 15

4分

(2) D1 D ? 平面 AEC ,所以 D1 D 为平面 AEC 的法向量, D1 D ? (0,0,1) , 设平面 A1 EC 法向量为 n ? ( x, y, z ) ,又 A1 E ? (0,

1 ,?1) , A1C ? (?1,1,?1) , 2

?1 ? ?n ? A1 E ? 0 ? y ? z ? 0 即 ,取 n ? (1,2,1) , ?2 ? ? n ? A C ? 0 ? 1 ? ?? x ? y ? z ? 0
所以 cos ? DD1 , n ??

6 …………8 分 6

24.解:f ?(x) ?

1-lnx x2

1 1 ? f ( ) ? ?e , 又 ? k ? f / ( ) ? 2e 2 e e 1 ? 函数 y ? f ( x) 的在 x ? 处的切线方程为: e 1 y ? e ? 2e 2 ( x ? ) , e
即 y ? 2e x ? 3e
2

2分

(2)令 f ( x) ? 0 得 x ? e
/

? 当 x ? (0, e) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, e) 上为增函数

当 x ? (e,??) 时, f / ( x) ? 0 ,在 (e,??) 上为减函数

? f max ( x) ? f (e) ?

1 e

5分

(3)? a ? 0 ,由(2)知:

F ( x) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e,??) 上单调递减。

? F ( x) 在 ?a,2a? 上的最小值 f min ( x) ? min{F (a), F (2a)}
? F ( a ) ? F ( 2a ) ? 1 a ln 2 2

故当 0 ? a ? 2 时, F (a) ? F (2a) ? 0, f min ( x) ? F (a) ? ln a ; 当 2 ? a 时 F (a) ? F (2a) ? 0 , f min ( x) ? F ( 2a ) ?
25.解设椭圆方程为

1 ln 2a 2

8分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

?b ? c ?a 2 ? 2 ? 2 x2 ? 2 2a (1)由已知得 ? ∴所求椭圆方程为 ? y2 ? 1 ?4 ? ?b ? 1 ? 2 ?c 2 ? 1 ? c 2 2 2 ? ? a ? b ? c ?

2分

(2)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由? ?

? y ? kx ? 2

,消去 y 得关于 x 的方程: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8kx ? 6 ? 0 x2 2 ? ? y ?1 ?2

4分

由直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,? ? 0 ? 64k 2 ? 24(1 ? 2k 2 ) ? 0 ,解得 k 2 ?

3 2

8k ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 , 又由韦达定理得 ? ?x ? x ? 6 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?

?| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
原点 O 到直线 l 的距离 d ?

1? k 2 16k 2 ? 24 1 ? 2k 2

2 1? k 2
6分

S

AOB

?

1 16k 2 ? 24 2 2 2k 2 ? 3 . | AB | ?d ? ? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

令 m ? 2k 2 ? 3(m ? 0) ,则 2k 2 ? m2 ? 3

?S ?

2 2m 2 2 2 ? ? m2 ? 4 m ? 4 2 m

当且仅当 m ?

4 14 2 即 m ? 2 时, S max ? ,此时 k ? ? m 2 2
8分

所以,所求直线方程为 ? 14 ? 2 y ? 4 ? 0


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