当前位置:首页 >> 高三数学 >>

动静转化,巧解高考压轴题


动静转化,巧解高考压轴题
----------一道高考题的换位思考
摘 要:本文通过一道高考题 ,分析动静转化解题策略在实际解题过程中寻求较 优解的具体应用,得出了一类高考压轴难题的解题方法。 关键词:动静转化 换位思想 优解
在《数学思维论》 (任樟辉,1990)中,提出了八大解题策略,其中特别提到了数形转 换,动静转化,具有迅速找到较优解的功能,如果把这一重要思想应用到 2014 年天津理科 卷最后一道压轴题,则可以获得非常简洁的解题过程

ln x ? 首先证明不等式: 当x ? 1时,
证明如下: 令: f ( x) ? ln x ?

x ?1 。 x

x ?1 2 x ? x ?1 , f ?( x) ? ?0 x 2x x
x ?1 x

ln x ? 所以, f ( x) 是关于变量 x 的减函数,所以 f ( x) ? f (1) ? 0 ,于是,当x ? 1时,
恒成立。

x 问题: (2014 天津理科 22) 设f ( x)=x ? ae (a ? R), x ? R. 已知函数 y ? f ( x) 有两个零点

x1 , x2 ,且 x1 ? x2 .
(1)求 a 的取值范围; (2)证明:

x2 随 a 的减小而增大;证明: x1 ? x2 随 a 的减小而增大。 x1
x x 的图像与函数 y=e 的图像有两个不同交点,显然 a

证明: (1) ,问题条件等价于直线 y=

a ? 0, ,若 a ? 0 ,两图像只有一个交点,不合题意,故 a ? 0 ;当两图像相切时,切点的
横坐标设为 x0 ,有

x 1 1 1 ? e x0 并且 0 ? e x0 从而有 a ? , x0 ? 1 ,于是符合条件的 a ? (0, ) 。 a a e e

这一小问的解答,充分利用了数形结合的思想,过程简单流畅,易于理解。 (2)依题意有, x1 ? ae 1 ? 0 ;…….(1)
x

x2 ? aex2 ? 0 ;…….(2)
由上一问的解题过程可知 x1 ? 1 ? x2 , 在(1)式中,字母 a 可以看作关于字母 x1 的函数,两边同时对字母 a 求导数, (注意,此时

e x1 是关于字母 a 的复合函数) ,得:

( x1 )a? ? [1? e x1 ? a ? e x1 ? ( x1 )a? ] ? 0 ? ( x1 )a? ?

e x1 e x1 ? ? 0, 1 ? ae x1 1 ? x1

这说明字母 x1 是关于字母 a 的增函数,即 x1 随 a 的减小而减小;同理得:

( x2 )a? ? [1? e x2 ? a ? e x2 ? ( x2 )a? ] ? 0 ? ( x2 )a? ?

e x2 e x2 ? ?0 1 ? ae x2 1 ? x2

这说明字母 x2 是关于字母 a 的减函数,即 x2 随 a 的减小而增大。 综上可知:

x2 随 a 的减小而增大; x1

又对(1)式两边取对数得: ln x1 ? ln a ? x1 ……..(3);

ln x2 ? ln a ? x2 …….(4)
两式相减,并令

ln t t ln t x2 , x2 = , ? t 得: x2 - x1 = ln t ,从而有 x1 = t ?1 t ?1 x1

所以 x1 ? x2 =

ln t t ln t t 2 ? 2t ln t ? 1 + 两边对字母 t 求导数得: ( x1 ? x2 )? = ,现在证明: t t ?1 t ?1 t (t ? 1)2

t 2 ? 2t ln t ?1 >0, 即 证 明 : ln t ?

t 2 ?1 ,这是因为根据本文开头的不等式有: 2t

当x ? 1时, ln x ?

t 2 ?1 x ?1 x ?1 x2 ?1 , 又容易证明: , 所以 ln t ? 恒成立, 这说明 x1 ? x2 ? 2t 2x x x

是关于字母 t 是的增函数,又由(2)的结论可知: t 是关于变量 a 的减函数,根据复合函 数的单调性,可知 x1 ? x2 是关于变量 a 的减函数,也即, x1 ? x2 随 a 的减小而增大。证明 完毕。 第二小问的解答,采用了动静转换的思想,把参数 a ,由静变为动,通过讨论字母 x1 , x2

关于 a 的单调性,使问题迎刃而解。 由此可见,合理的应用数学思想方法解决数学问题,尤其是难题,能够减少尝试或失败的 次数,能够节省探索的时间和解题的长度,体现出选择的机智和组合的艺术。 参考文献: 1 葛军,数学教学论与数学教学改革【M】 ,1999,东北师范大学出版社。 2 赵振伟,中学数学教材教法【M】,1994,华东师范大学出版社。


相关文章:
更多相关标签: