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重庆市巴蜀中学2015-2016学年高一上学期期中数学试卷


2015-2016 学年重庆市巴蜀中学高一(上)期中数学试卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的. 1.集合 A={3,|a|},B={a,1},若 A∩B={2},则 A∪B=( A.{0,1,3} B.{1,2,3} )

C.{0,1,2,3} D.{1,2,3,﹣2}

2.已知 a,b∈R ,则

+

=(

)

A.

B.

C.

D.

3.下列各组函数中,表示同一函数的是( A.f(x)=2
x﹣1

)

?2 ,g(x)=4 B.

x+1

x

C.

D.

4.下列函数中,即是奇函数又是定义域内的增函数的是( A. B.y=|x+1|﹣1 C.y=x|x| D.y=x2

)

5.函数 A. (﹣∞,1)

的单调递减区间是( B. (1,+∞) C. D.

)

6.“

”是“2x﹣1≤1”成立的(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7.关于 x 的方程 x +kx﹣k=0 有两个不相等的实数根 x1,x2,且满足 1<x1<2<x2<3,则实数 k 的取值范围是( A. ) B. C. (﹣6,﹣4) D.

2

8.函数 A. B. C.

的值域为(

) D.

9.关于 x 的方程 A. (﹣1,1)

有负实数根,则 a 的取值范围是( B. (0,1) C. (﹣1,0) D.

)

10.若函数 A. B.

的定义域为 R,则实数 t 的取值范围是(

)

C. (﹣∞,2014]∪∪,则函数 f(2x﹣1)+f(2x+1)的定义域是__________.

15.有如下几个结论: ①若函数 y=f(x)满足: ,则 2 为 y=f(x)的一个周期,

②若函数 y=f(x)满足:f(2x)=f(2x+1) ,则 为 y=f(x)的一个周期, ③若函数 y=f(x)满足:f(x+1)=f(1﹣x) ,则 y=f(x+1)为偶函数, ④若函数 y=f(x)满足:f(x+3)+f(1﹣x)=2,则(3,1)为函数 y=f(x﹣1)的图象的 对称中心. 正确的结论为__________(填上正确结论的序号)

16.已知函数

,若函数 F(x)=f 与 y=f(x)在 x∈R 时

有相同的值域,实数 t 的取值范围是__________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.已知集合 A={x|x+2≥0,x∈R},集合 (1)求集合 A∩B,A∪B; (2)求集合(?uA)∩B. .

18.已知二次函数 f(x)的最小值为 1,f(0)=f(2)=3,g(x)=f(x)+ax(a∈R) . ①求 f(x)的解析式; ②若函数 g(x)在上不是单调函数,求实数 a 的取值范围.

19.已知函数 (1)求 k 的值; (2)若

为偶函数.

,当 x∈(0,1]时,求 g(x)的值域.

20.已知

,若函数 f(x)=ax ﹣2x+1 的定义域.

2

(1)求 f(x)在定义域上的最小值(用 a 表示) ; (2)记 f(x)在定义域上的最大值为 M(a) ,最小值 N(a) ,求 M(a)﹣N(a)的最小值.

21.函数 f(x)对于任意的 a,b∈R 均有 f(a+b)=f(a)+f(b)﹣1,且当 x>0 时,f(x) >1 成立. (1)求证为 R 上的增函数; (2)若 数 x 的取值范围. 对一切满足 的 m 恒成立,求实

22.已知函数 f(x)=|2x|,现将 y=f(x)的图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位 得到函数 h(x)的图象. (1)求函数 h(x)的解析式;

(2)函数 y=h(x)的图象与函数 g(x)=kx 的图象在 数 k 的取值范围.

2

上至少有一个交点,求实

四、附加题:本小题满分 0 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,本题所 得分数计入总分. 23.已知 ,如果存在 x1,x2∈使得

成立,求 a 的取值范围.

2015-2016 学年重庆市巴蜀中学高一(上)期中数学试卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的. 1.集合 A={3,|a|},B={a,1},若 A∩B={2},则 A∪B=( A.{0,1,3} B.{1,2,3} )

C.{0,1,2,3} D.{1,2,3,﹣2}

【考点】并集及其运算. 【专题】计算题;定义法;集合. 【分析】根据 A,B,以及两集合的交集确定出 a 的值,进而确定出 A,求出 A 与 B 的并集即 可. 【解答】解:∵A={3,|a|},B={a,1},且 A∩B={2}, ∴|a|=2,即 a=2 或﹣2, 当 a=﹣2 时,A={2,3},B={1,﹣2},不合题意,舍去, ∴a=2,即 A={2,3},B={1,2}, 则 A∪B={1,2,3}, 故选:B. 【点评】此题考查了并集及其运算,交集及其运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2.已知 a,b∈R+,则

=(

)

A.

B.

C.

D.

【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 【专题】计算题;函数的性质及应用.

【分析】利用根式与分数指数幂化简

=

=

,从而解得.

【解答】解:

=

= = ,

故选 B. 【点评】本题考查了根式与分数指数幂的互化.

3.下列各组函数中,表示同一函数的是( A.f(x)=2x﹣1?2x+1,g(x)=4x B.

)

C.

D.

【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】判断两个函数的定义域是否相同,对应法则是否相同即可. 【解答】解:f(x)=2 相同函数. 两个函数的定义域不相同,所以不是相同函数.
x﹣1

?2 =4 ,g(x)=4 两个函数的定义域相同,对应法则相同,所以是

x+1

x

x

两个函数的定义域不相同,所以不是相同函数.

两个函数的定义域不相同,所以不是相同函数. 故选:A. 【点评】本题考查两个函数是否相同的判断,考查定义域以及对应法则的判断,是基础题.

4.下列函数中,即是奇函数又是定义域内的增函数的是( A. B.y=|x+1|﹣1 C.y=x|x| D.y=x
2

)

【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】综合题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.

【分析】对四个选项,分别进行判断,即可得出结论. 【解答】解:A,是奇函数,在(﹣∞,0) , (0,+∞)上是增函数,不合题意; B,不是奇函数,不合题意; C,设 f(x)=x|x|,可得 f(﹣x)=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f(x) 所以函数 y=x|x|是奇函数; 又∵当 x≥0 时,y=x|x|=x ,在(0,+∞)上是增函数, 且当 x<0 时,y=x|x|=﹣x2,在(﹣∞,0)上是增函数 ∴函数 y=x|x|是 R 上的增函数 因此,函数 y=x|x|是奇函数,且在其定义域内是函数,可得正确; D 是偶函数,正确, 故选:D. 【点评】本题给出几何基本初等函数,要我们找出其中单调增的奇函数,着重考查了基本初 等函数的单调性、奇偶性及其判断方法的知识,属于基础题.
2

5.函数 A. (﹣∞,1)

的单调递减区间是( B. (1,+∞) C. D.

)

【考点】复合函数的单调性. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】先确定函数的定义域,再考虑二次函数的单调性,即可求得结论. 【解答】解:令 t=﹣x +2x+3,则由﹣x +2x+3≥0 可得﹣1≤x≤3 ∵﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴当 1≤x≤3 时,函数单调递减 ∵ ∴函数 故选 D. 【点评】本题考查函数的单调性,解题的关键是确定函数的定义域,确定二次函数的单调性, 属于中档题. 在定义域内为增函数 的单调递减区间是.
2 2

6.“

”是“2x﹣1≤1”成立的(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】转化思想;综合法;简易逻辑. 【分析】分别解不等式,结合集合的包含关系判断即可. 【解答】解:由 ,解得:0<x≤1,

由 2x﹣1≤1,解得:x≤1, 故“ 故选:A. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查解不等式问题,是一道基础题. ”是“2x﹣1≤1”成立的充分不必要条件,

7.关于 x 的方程 x +kx﹣k=0 有两个不相等的实数根 x1,x2,且满足 1<x1<2<x2<3,则实数 k 的取值范围是( A. ) B. C. (﹣6,﹣4) D.

2

【考点】函数的零点与方程根的关系;函数零点的判定定理. 【专题】计算题;函数思想;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】利用函数的零点判定定理,列出不等式组求解即可. 【解答】解:关于 x 的方程 x +kx﹣k=0 有两个不相等的实数根 x1,x2,且满足 1<x1<2<x2 <3,
2

可得:



解得:k 故选:A.



【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系,转化思想的应用,考查计算能力.

8.函数 A. B. C.

的值域为(

) D.

【考点】函数的值域.

【专题】计算题;函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 【分析】设 2x=sinθ ,利用三角函数化简 y= 而求值域. 【解答】解:设 2x=sinθ , 则 =|sin = = +cos + + + = |+|sin )|+ ﹣cos |sin( + | ﹣ + + )| )|) )|≤ + , )|)≤2, (|sin( + )|+|cos( + )|) ,从

|sin( (|sin(

)|+|cos( )|+|cos( +

∵1≤|sin( ∴ ≤

(|sin(

)|+|cos(

故选 C. 【点评】本题考查了三角函数的化简与值域的求法,关键在于换元.

9.关于 x 的方程 A. (﹣1,1)

有负实数根,则 a 的取值范围是( B. (0,1) C. (﹣1,0) D.

)

【考点】函数的零点与方程根的关系. 【专题】计算题;函数思想;转化法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】化简可得 >1,从而解不等式即可. >1,

【解答】解:∵x<0 时, ∴ >1,

∴a∈(0,1) ; 故选:B. 【点评】本题考查了指数的运算及分式不等式的解法.

10.若函数

的定义域为 R,则实数 t 的取值范围是(

)

A. B. C. (﹣∞,2014]∪∪∪,则函数 f(2x﹣1)+f(2x+1)的定义域是. 【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题;函数思想;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可 【解答】解:∵函数 f(x+1)的定义域为, ∴﹣2≤x≤2, 则﹣1≤x+1≤3, 即函数 f(x)的定义域为, 由 解得 0≤x≤1, 故答案为: . 【点评】本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握复合函数定义域之间的关系. ,

15.有如下几个结论: ①若函数 y=f(x)满足: ,则 2 为 y=f(x)的一个周期,

②若函数 y=f(x)满足:f(2x)=f(2x+1) ,则 为 y=f(x)的一个周期, ③若函数 y=f(x)满足:f(x+1)=f(1﹣x) ,则 y=f(x+1)为偶函数, ④若函数 y=f(x)满足:f(x+3)+f(1﹣x)=2,则(3,1)为函数 y=f(x﹣1)的图象的 对称中心. 正确的结论为①③(填上正确结论的序号) 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】转化思想;函数的性质及应用;简易逻辑. 【分析】根据已知分析函数的周期性,可判断①②;分析函数的奇偶性,可判断③;分析函 数的对称性,可判断④. 【解答】解:① ∴f(x+1)=﹣ , ,

∴f(x)=f(x+2) ,则 2 为 y=f(x)的一个周期,故正确; ②f(2x)=f(2x+1) , 令 t=2x, ∴f(t)=f(t+1) , ∴f(x)=f(x+1) ,则 1 为 y=f(x)的一个周期,故错误; ③y=f(x+1)为偶函数, ∴f(﹣x+1)=f(x+1) ,故正确; ④若函数 y=f(x)满足:f(x+3)+f(1﹣x)=2, 令 t=x+3,则 x=t﹣3,1﹣x=4﹣t, 即 f(t)+f(4﹣x)=2, 即函数 y=f(x)的图象关于(2,1)点对称, 则函数 y=f(x﹣1)的图象的对称中心为(0,0) ,故错误; 故正确的结论为:①③ 故答案为:①③ 【点评】本题考查的知识点是函数的周期性,函数的奇偶性,函数的对称性,是函数图象和 性质的综合应用,难度中档.

16.已知函数

,若函数 F(x)=f 与 y=f(x)在 x∈R 时

有相同的值域,实数 t 的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪(4,+∞) . . 【考点】函数的值域. 【专题】计算题;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】由题意可得 ≤﹣ ,从而解得.

【解答】解:F(x)=f=|f(x)+ |+







≤﹣ ,

∴t≤﹣2 或 t≥4, 故答案为: (﹣∞,﹣2)∪(4,+∞) . 【点评】本题考查了函数的值域的求法及应用.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.已知集合 A={x|x+2≥0,x∈R},集合 (1)求集合 A∩B,A∪B; (2)求集合(?uA)∩B. 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;集合思想;不等式的解法及应用;集合. 【分析】 (1)由已知集合 A,求出 A=上不是单调函数,求实数 a 的取值范围. 【考点】函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的判断与证明. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】①根据条件可知,二次函数 f(x)的对称轴为 x=1,从而可设 f(x)=m(x﹣1) +1, 根据 f(0)=3 便可求出 m=2,这样即可得出 f(x)=2(x﹣1) +1; ②求出 g(x)=2x ﹣(4﹣a)x+3,求出 g(x)的对称轴为 x= 是单调函数便可得出 【解答】解:①f(0)=f(2)=3; ∴f(x)的对称轴为 x=1; ∴设 f(x)=m(x﹣1)2+1; ∴f(0)=m+1=3; ∴m=2; ∴f(x)=2(x﹣1) +1; ②g(x)=2x2﹣(4﹣a)x+3; ∴g(x)的对称轴为 x= ;
2 2 2 2



,这样根据 g(x)在上不

,从而解该不等式便可求出实数 a 的取值范围.

∵g(x)在上不是单调函数; ∴ 解得 0<a<8; ;

∴实数 a 的取值范围为(0,8) . 【点评】考查二次函数的对称轴,二次函数的最小值,以及二次函数的单调性,待定系数求 函数解析式的方法.

19.已知函数 (1)求 k 的值; (2)若

为偶函数.

,当 x∈(0,1]时,求 g(x)的值域.

【考点】函数奇偶性的判断;函数奇偶性的性质. 【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)利用偶函数的定义,建立方程,即可求 k 的值; (2)确定 的解析式,即可求出当 x∈(0,1]时,g(x)的值域.

【解答】解: (1)因为

为偶函数,

所以

恒成立,解得 k=1.

(2)

所以



【点评】本题考查合适的奇偶性,考查函数的值域,考查学生的计算能力,属于中档题.

20.已知

,若函数 f(x)=ax2﹣2x+1 的定义域.

(1)求 f(x)在定义域上的最小值(用 a 表示) ; (2)记 f(x)在定义域上的最大值为 M(a) ,最小值 N(a) ,求 M(a)﹣N(a)的最小值. 【考点】二次函数在闭区间上的最值. 【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.

【分析】 (1)f(x)=ax ﹣2x+1 的对称轴为 x= ,由 ≤a≤1,知 1≤ ≤3,结合函数的单调 性判断即可; (2)由 a 的符号进行分类讨论,能求出 M(a)﹣N(a)的解析式,从而求出其最小值即可. 【解答】解: (1)f(x)=ax ﹣2x+1 的对称轴为 x= , ∵ ≤a≤1,∴1≤ ≤3, ∴f(x)在递增, ∴f(x)在上,所以
2 2

2



(2)∵f(x)=ax ﹣2x+1 在区间上的最大值为 M(a) ,最小值为 N(a) , ∴①当 1≤ ≤2,即 ≤a≤1 时, M(a)=f(3)=9a﹣5,N(a)=f( )=1﹣ . ∴M(a)﹣N(a)=9a+ ﹣6. ②当 2< ≤3,即 ≤a< 时, M(a)=f(1)=a﹣1,N(a)=f( )=1﹣ ∴M(a)﹣N(a)=a+ ﹣2,





当 当

时,最小值为 , 时,最小值也是 ,

综上,M(a)﹣N(a)的最小值为 . 【点评】本题考查函数的解析式的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意分类讨论思想 的合理运用.

21.函数 f(x)对于任意的 a,b∈R 均有 f(a+b)=f(a)+f(b)﹣1,且当 x>0 时,f(x) >1 成立. (1)求证为 R 上的增函数;

(2)若 数 x 的取值范围. 【考点】抽象函数及其应用.

对一切满足

的 m 恒成立,求实

【专题】综合题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)设 x1>x2,结合 f(a+b)=f(a)+f(b)﹣1,可得 f(x2﹣x1)=f(x1﹣x2)﹣1, 由 x>0 时,有 f(x)>1,可得 f(x1)>f(x2) ,证明函数在 R 上单调递增; (2)根据已知条件,原不等式转化为(1+x) >x2﹣1,对 恒成立,令 t= ,

则 t∈,原式等价于(1+x)t>x2﹣1,t∈ 恒成立, 构造函数,求出 x 的范围即可. 【解答】解: (1)证明:设 x1>x2(x1,x2∈R) ,则 x1﹣x2>0,又当 x>0 时,f(x)>1, 所以 f(x1)﹣f(x2)=f﹣f(x2)=f(x1﹣x2)+f(x2)﹣1﹣f(x2)=f(x1﹣x2)﹣1>1﹣1=0, 所以 f(x1)>f(x2) , 故 f(x)为 R 上的增函数; (2)因为 f(x)为 R 上的增函数,由 ∴f>f(x ﹣1) , ∴(1+x) 令 t= >x2﹣1,对 恒成立
2



,则 t∈,
2

原式等价于(1+x)t>x ﹣1,t∈恒成立, 令 g(t)=(1+x)t﹣x2+1,要使得 时恒成立,

只需要



解得﹣1<x< . 【点评】本题考查抽象函数的性质单调性的判断,考查不等式恒成立思想的运用,考查运算 能力,属于中档题.

22.已知函数 f(x)=|2x|,现将 y=f(x)的图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位 得到函数 h(x)的图象.

(1)求函数 h(x)的解析式; (2)函数 y=h(x)的图象与函数 g(x)=kx2 的图象在 数 k 的取值范围. 【考点】函数的图象与图象变化;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】综合题;分类讨论;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)根据图象的平移即可得到函数的解析式, (2)方法一,采取分离参数,转化为 在 x∈上有解或者 在 上至少有一个交点,求实

上有解,根据函数的性质即可求出 k 的范围 方法二,采用根的分布,原题等价于 kx2﹣2(x﹣1)﹣1=0 在 x∈上有解或者 kx2﹣2(1﹣x) ﹣1=0 在 上有解,分别根据根与系数的关系即可求出 k 的范围.

【解答】解: (1)由图象的平移,h(x)=2|x﹣1|+1 (2)解:函数 y=h(x)的图象与函数 g(x)=kx 的图象在 等价于 h(x)﹣g(x)=0 在 即 2|x﹣1|+1﹣kx2=0 在 上有解, 上有解,
2

上至少有一个交点,

解法一:用分离参数处理:kx =2|x﹣1|+1 在

2

上有解,



上有解,

等价于 因为

在 x∈上有解或者



上有解,

综上,



解法二:用实根分布:

原题等价于 kx ﹣2(x﹣1)﹣1=0 在 x∈上有解或者 kx ﹣2(1﹣x)﹣1=0 在 解, (1)kx ﹣2(x﹣1)﹣1=0 在 x∈上有解 令 g(x)=kx ﹣2(x﹣1)﹣1,k=0 时显然无解. 当 k<0 时, (舍)
2 2

2

2

上有

当 k>0,

或者

所以 (2)kx ﹣2(1﹣x)﹣1=0 在 令 h(x)=kx +2x﹣3,k=0 时显然无解. 当 k>0 时, ,所以 1≤k≤8
2 2

上有解:

当 k<0 时,

(舍)或者

所以 1≤k≤8 综上, .

【点评】本题考查了函数解析式的求法和根的分布问题,关键是分类讨论,考查学生分析解 决问题的能力,属于中档题

四、附加题:本小题满分 0 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,本题所 得分数计入总分.

23.已知

,如果存在 x1,x2∈使得

成立,求 a 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题. 【专题】综合题;分类讨论;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 由题意转化为在 x∈上, f (x) (x) max﹣f min≥ , 即原题函数模型变为 g (t) =at+

﹣2,t∈,分类讨论,利用函数的单调性,即可求出 a 的范围. 【解答】解:首先存在 x1,x2∈使得 在 x∈上,f(x)max﹣f(x)min≥ , 成立的意思是:

f(x)=

=a?2x+

﹣2



,原题函数模型变为 g(t)=at+ 单调递减,所以 ,所以 a≤0

﹣2,t∈,

1°当 a≤0 时,g(t)在 等价于

2°当 0<a<1 时,



g(t)在 所以需要比较 ① ∵ ∴g(2)﹣g( )≥ ∴ ≤a<1, ②当 ∵ 时, 时,

上单调递减,在 的位置与

上单调递增

的关系,从而得到分类标准: 单调递增,

时,g(t)在 , ,解得 a≥ ,

时,g(t)在 ,

单调递减,

∴g( )﹣g(2)≥ ∴ ③ 中取较大者,作差比较 (1)当 由 得到 g( )﹣g( 时,

,解得 a≤ ,

时,

, 最大值在 ,得到分类讨论标准: ,此时

)≥

, ,或 a≤

∴32a2﹣40a+9≥0,解得 a≥ ∴ ,

(2)当 ≤a< 时,g( )﹣g(2)=3a﹣ >0,此时 g(t)max=g(2) , 由 ∴g(2)﹣g( ∴a≥2 ∴此时 a∈?, 在此分类讨论中,a∈(0, 由 ∴g(2)﹣g( )≥ ∴a≥1, 综上三大类情况,可得 a 的范围为(﹣∞, ]∪[ ,+∞) . ]∪上单调递增, , ,解得 a≥ , )≥ , ,

,解得 a≥ ,

【点评】本题考查二次函数的图象和性质的运用,主要考查不等式恒成立问题,注意运用分 类讨论和绝对值不等式的性质,考查运算能力,属于难题.


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