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2.1 曲线的参数方程


2.1 曲线的参数方程
班别:____ 组别:____ 姓名:____ 评价:____
【学习目标】 1.理解曲线参数方程的有关概念. 2.掌握圆的参数方程. 3.掌握参数方程与普通方程互化的基本方法

☆预习案☆ (约 分钟) 依据课前预习案通读教材,进行知识梳理,完成预习自测题目,并将预习中不能解决的问题填写 到后面“我的疑惑”处。
【知识要点】 (阅读课文 22—26 页,完成导学案) 1.参数方程的概念 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数 ?

? x ? f ?t ? ? .并且 ? y ? g ?t ?

对于 t 的每一个允许值,由方程?所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么方程?就叫做这条曲线的 _________,联系变数 x,y 的变数 t 叫做_________,简称_________。相对于参数方程而言,直接给出点 的坐标间关系的方程叫做_________。 2.圆的参数方程 圆心在原点 O,半径为 r 的圆的参数方程__________,其中 θ 的几何意义是 OM 0 绕点 O_______旋转 到 OM 的位置时, OM 0 转过的角度。圆心在 O1 ?a, b ? ,半径为 r 的圆的参数方程为 ?

? x ? a ? r cos? ? y ? b ? r sin ?

(θ 为参数)
3.参数方程转化为普通方程 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过 _________而从参数方程得到普通 方程 4.普通方程转化为参数方程 如果知道变数 x,y 中的一个与参数 t 的关系,例如________把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的 关系________,那么 ? 值范围保持一致。 【预习自测】 1.已知曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? f ?t ? 就是曲线的参数方程。在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x,y 的取 ? y ? g ?t ?

? x ? 3 ? 2t (t 为参数) ? y ? ?1 ? 4t

(1)判断点 M1 ?1,-5?, M 2 ?5,1? 与曲线 C 的位置关系 (2)已知点 M 3 ?6,a ? 在曲线 C 上,求 a 的值 (3)将参数方程 ?

? x ? 3 ? 2t (t 是参数)化为普通方程为 ? y ? ?1 ? 4t

.

2.将下列参数方程化为普通方程

(1) ?

? x ? cos? (θ 为参数) ? y ? sin ?

(2) ?

? x ? 3 ? cos? (θ 为参数) ? y ? 2 ? sin ?

【我的疑惑】 请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来,等待课堂上与老师和同学探究解决。

☆探究案☆ (约

分钟)

【典型例题】 例题 1。将下列参数方程化为普通方程,并说明他们各表示什么曲线: (1) ?

? x ? t ?1 ?y ? 1? 2 t

(t 为参数)

(2) ?

? x ? sin ? ? cos? (θ 为参数) ? y ? 1 ? sin 2?

x2 y2 ? ? 1 的参数方程: 例题 2。求椭圆 (1)设 x ? 3 cos? , ? 为参数; (2)设 y=2t,t 为参数 9 4

☆训练案☆ (约
【基础训练】——把最简单的题做好就叫不简单!

分钟)

1.把圆 x2+y2+2x-4y+1=0 化为参数方程为________.
2. 把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线: 1 x=1+ t, 2 (1) (t 为参数); 3 y=2+ t 2

? ? ?

?x=4sin θ+1, ? (2)? (θ 为参数). ? ?y=5cos θ

?x=1+cos θ , ?3 ? 3.曲线? 经过点?2,a?,则 a=________. ? ? ?y=2sin θ
4、( 2009 文)(坐标系与参数方程选做题)若直线 ? 数k = .

? x ? 1 ? 2t (t 为参数)与直线 4 x ? ky ? 1 垂直,则常 ? y ? 2 ? 3t

5、( 2011 文)已知两曲线参数方程分别为 ?

5 2 ? ? ? x ? 5 cos ? ?x ? t (0 ? ? < ? )和 ? 4 (t ? R ),它们的交点坐 y ? sin ? ? ? ? ?y ? t

标为

.

【能力训练】——挑战高手,我能行! 6、 (2012 文) . (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为

? 2 x ? 1? t ? ? x ? 5 cos ? ?? ? ? ? 2 ? 为参数, 0 ? ? ? 和 (t为参数) ? ? ? ? ,则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为 2 ? ? ? x ? 5 sin ? 2 ?y ? ? ? t ? 2 ?
_______。
? ?x=1+cos θ, 7.已知曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数),则曲线 C 上的点到直线 x+y+2=0 的距离的最 ?y=sin θ ? 大值为__________.

【自主总结】——概念、定义、公式、定理、题型、方法…… 1、学会了 2、掌握了 3、还有疑难

1.解析 圆 x2+y2+2x-4y+1=0 的标准方程是(x+1)2+(y-2)2=4, 圆心为(-1,2),半径为 2, ?x=-1+2cos θ, 故参数方程为? (θ 为参数). ?y=2+2sin θ ?x=-1+2cos θ 答案 ? (θ 为参数) ?y=2+2sin θ
1 2. 解:(1)由 x=1+ t,得 t=2x-2. 2 3 ∴y=2+ (2x-2). 2 ∴ 3x-y+2- 3=0,此方程表示直线.
?x=4sin θ+1, ? (2)由? 得 ? ?y=5cos θ

1 , ?sin θ=x- 4 ? y ?cos θ=5,

(x-1)2 y2 两式平方相加得 + =1,此方程表示椭圆 16 25

1 ?3 ? 3.解析 点?2,a?代入曲线方程得 cos θ=2,a=2sin θ=±2 ? ? 答案 ± 3
4.【解析】 :直线 ?

1 1-4=± 3.

? x ? 1 ? 2t (t 为参数)的普通普通方程是 3x ? 2 y ? 7 ? 0 , 直线 3x ? 2 y ? 7 ? 0 与直 ? y ? 2 ? 3t

线 4 x ? ky ? 1 垂直,? 12 ? 2 k ? 0 ,得 k ? ?6 .

5 2 ? ? x ? 5 cos ? x2 ? ?x ? t 2 ? y ? 1( y ? 0) 曲线 ? 5.【解析】 :曲线 ? 的普通普通方程是 4 的普通方程是 5 ? ? y ? sin ? ? ?y ? t
? x2 ? y 2 ? 1( y ? 0) ? 4 2 ? y 2 ? x ? 解方程组 ? 5 5) 得交点坐标为 (1, 5 5 4 2 ?y ? x ? 5 ?
【能力训练】——挑战高手,我能行! 6. C1 : x ? y ? 5( x, y ? 0), C2 : y ? x ?1 解得:交点坐标为 (2,1)
2 2

7.

3 2 +1 解析:曲线 C 化为普通方程为(x-1)2+y2=1. 2

因为圆 C 到直线的最大距离是圆心到直线的距离加上半径. |1+0+2| 3 2 所以,dmax= 2 2 +1= 2 +1. 1 +1


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