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第一章 1.2 第二课时 复合函数求导及应用


理解教材新知

突破常考题型
第 一 章 1.2 第 二 课 时

跨越高分障碍 应用落实体验 课时达标检测

1.2

导数的计算

第二课时

复合函数求导及应用

复合函数
[提出问题]
? π? ,y

=sin?2x+6?. ? ?

已知 y=(3x+2)

2

问题 1:这两个函数是复合函数吗?
提示:是复合函数.

问题 2:试说明 y=(3x+2)2 是如何复合的.

提示:令 u=g(x)=3x+2,y=f(u)=u2,则 y=f(u) =f(g(x))=(3x+2)2.

问题 3: 试求 y=(3x+2)2, f(u)=u2, g(x)=3x+2 的导数.

提示:y′=(9x2+12x+4)′=18x+12,f′(u)=2u,g′ (x)=3.

问题 4:观察问题 3 中的导数有何关系.

提示:y′=[f(g(x))]′=f′(u)· g′(x).

[导入新知]

1.复合函数的概念 对于两个函数 y=f(u)和 u=g(x),如果通过变量 u,y 可 以表示成

x 的函数 ,那么称这个函数为函数 y=f(u)和 u=

g(x)的复合函数,记作 y=f(g(x)) . 2.复合函数的求导法则 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u), u=g(x)的导数

ux ′ 间的关系为 yx′= yu′· ,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的
导数与 u 对 x 的导数的乘积 . _________________________

[化解疑难]

对复合函数概念的理解 (1)在复合函数中, 内层函数的值域必须是外层函数定义 域的子集. (2)对于复合函数,中间变量应该选择基本初等函数.判 断一个函数是基本初等函数的标准是: 运用求导公式可直接 求导.

简单的复合函数求导问题
[例 1] 求下列函数的导数:

(1)y= 1-2x2;(2)y=esin x;
? π? (3)y=sin?2x+3 ?;(4)y=5log2(2x+1). ? ?

[ 解]

(1)设 y=u ,u=1-2x2,
1 2

1 2

则 y′=(u

?1 - 1 ? 2? )′(1-2x2)′=? u (-4x) ?2 ?· ? ?

1 - -2x 1 2 2 = (1-2x ) (-4x)= 2 . 2 1-2x

(2)设 y=eu,u=sin x, 则 yx′=yu′· ux′=eu· cos x=esin xcos x. π (3)设 y=sin u,u=2x+ , 3 则 yx′=yu′· ux′=cos
? π? u· 2=2cos?2x+3 ?. ? ?

(4)设 y=5log2u,u=2x+1, 10 10 则 y′=5(log2u)′(2x+1)′= = . uln 2 ?2x+1?ln 2

[类题通法] 复合函数的求导步骤

[活学活用] 求下列函数的导数: (1)y=(2x-1)4; (2)y=102x 3;


(3)y=sin4x+cos4x.
解:(1)令 u=2x-1,则 y=u4, ∴y′x=y′u· u′x=4u3· (2x-1)′=4u3· 2 =8(2x-1)3. (2)令 u=2x+3,则 y=10u, ∴y′x=y′u· u′x=10u· ln 10· (2x+3)′ =2ln 10· 102x+3.

(3)y=sin4x+cos4x =(sin2x+cos2x)2-2sin2x· cos2x 1 2 =1- sin 2x 2 1 =1- (1-cos 4x) 4 3 1 = + cos 4x. 4 4 所以
?3 1 y′=?4+4cos ? ? 4x?′=-sin ?

4x.

复合函数与导数的运算法则的综合应用
[例 2] 求下列函数的导数:

(1)y=x 1+x2;
? π? ? π? (2)y=xcos?2x+2 ?sin?2x+2 ?. ? ? ? ?

[解]

(1)y′=(x 1+x2)′

=x′ 1+x2+x( 1+x2)′ =
2 2 2 ? 1 + 2 x ? 1 + x x 1+x2+ . 2 2= 1+x 1+x

? π? ? π? (2)∵y=xcos?2x+2 ?sin?2x+2 ? ? ? ? ?

1 =x(-sin 2x)cos 2x=- xsin 4x, 2
? 1 ∴y′=?-2xsin ? ? 4x?′ ?

1 x =- sin 4x- cos 4x×4 2 2 1 =- sin 4x-2xcos 4x. 2

[类题通法] 复合函数求导应注意的问题 (1)在对函数求导时, 应仔细观察及分析函数的结构特 征,紧扣求导法则,联系学过的求导公式,对不易用求导 法则求导的函数[如(2)],可适当地进行等价变形,以达到 化异求同、化繁为简的目的. (2)复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,即不 必再写出函数的复合过程,直接运用公式,从外层开始由 外及内逐层求导.

[活学活用] 求下列函数的导数: (1)y=sin ;(2)y=sin3x+sin x3; 3 (3)y=xln(1+2x).
? 解:(1)y′=?sin2 ?
2x

x? x? x? ? ?sin ?′ 3?′=2sin 3· 3? ?

x x ?x? 1 2x ? ?′= sin =2sin · cos · . 3 3 3? ? 3 3

(2)y′=(sin3x+sin x3)′=(sin3x)′+(sin x3)′ =3sin2xcos x+cos x3· 3x2 =3sin2xcos x+3x2cos x3. (3)y′=x′ln(1+2x)+x[ln(1+2x)]′ 2x =ln(1+2x)+ . 1+2x

复合函数导数的综合问题
[例 3] 设 f(x)=ln(x+1)+ x+1+ax+b(a, b∈R, a,

3 b 为常数),曲线 y=f(x)与直线 y= x 在(0,0)点相切.求 a, 2 b 的值.
[ 解] 由曲线 y=f(x)过(0,0)点,

可得 ln 1+1+b=0,故 b=-1. 由 f(x)=ln(x+1)+ x+1+ax+b, 1 1 得 f′(x)= + +a, x+1 2 x+1

1 3 则 f′(0)=1+ +a= +a, 2 2 此即为曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率. 3 3 由题意,得 +a= ,故 a=0. 2 2

[类题通法] 解决复合函数求导与导数几何意义综合问题的方法 本题正确求出复合函数的导数是前提, 审题时注意所给 点是否是切点,挖掘题目隐含条件,求出参数,解决已知经 过一定点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键.

[活学活用] 有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离 s( 单位: m) 关于时间 t( 单位: s) 的函数为 y = s(t) = 5 - 7 25-9t .求函数在 t= 时的导数,并解释它的实际意义. 15
2

解:函数 y=5- 25-9t2可以看作函数 f(x)=5- x和 x =φ(t)=25-9t2 的复合函数,其中 x 是中间变量. 1 -1 由导数公式表可得 f′(x)=- x 2 ,φ′(t)=-18t. 2

再由复合函数求导法则得 y′t=s′(t)=f′(x)φ′(t)=
? 1 -1 ? ? 2? - x (-18t)= ? 2 ?· ? ?

9t 2, 25-9t

?7? 7 将 t= 代入 s′(t),得 s′?15?=0.875. 15 ? ?

7 它表示当 t= 时,梯子上端下滑的速度为 0.875 m/s. 15

3.复合函数求导不完全致误
[典例]
[ 解析 ] -2x)′=e1 [答案]

函数 y=x· e1-2x 的导数为________.
y′ = e1
-2x - 2x

+ x(e1

- 2x

)′ = e1

- 2x

+ xe1 .

- 2x

· (1

+xe1

-2x

×(-2)=(1-2x)e1

-2x

y′=(1-2x)e1-2x

[易错防范] 1.本题易发生对 e1
-2x

的求导不按照复合函数的求导

法则进行,导致求导不完全,得出 y′=e1-2x+x(e1-2x)′ =e1-2x+xe1-2x=(1+x)e1-2x 的错误结论. 2.复合函数的求导法则通常称为链条法则,因为它 像链条一样,必须一环一环套下去,而不能丢掉其中的任 何一环.

[成功破障] ex 函数 y=ln 在 x=0 处的导数为________. 1+ex
ex x x x 解析: y=ln 则 y′= x=ln e -ln(1+e )=x-ln(1+e ), 1+e ex 1 1 1- .当 x=0 时,y′=1- = . 1+ex 1+1 2 1 答案: 2

[随堂即时演练]
1.函数 y=(2 015-8x)3 的导数 y′= A.3(2 015-8x)2 C.-24(2 015-8x)2 B.-24x D.24(2 015-8x)2 ( )

解析:y′=3(2 015-8x)2×(2 015-8x)′=3 (2 015-8x)2×(-8)=-24(2 015-8x)2. 答案:C

2.函数 y=x2cos 2x 的导数为 A.y′=2xcos 2x-x2sin 2x B.y′=2xcos 2x-2x2sin 2x C.y′=x2cos 2x-2xsin 2x D.y′=2xcos 2x+2x2sin 2x

(

)

解析: y′= (x2)′cos 2x + x2(cos 2x)′= 2xcos 2x + x2· (-sin 2x)(2x)′=2xcos 2x-2x2sin 2x. 答案:B

3.已知 f(x)=ln(3x-1),则 f′(1)=________.

1 3 解析:f′(x)= · (3x-1)′= , 3x-1 3x-1 3 ∴f′(1)= . 2 3 答案: 2

4. 设曲线 y=eax 在点(0,1)处的切线与直线 x+2y+1=0 垂 直,则 a=________.

解析:令 y=f(x),则曲线 y=eax 在点(0,1)处的切线的斜率 为 f′(0),又切线与直线 x+2y+1=0 垂直,所以 f′(0) =2.因为 f(x)=eax,所以 f′(x)=(eax)′=eax· (ax)′=aeax, 所以 f′(0)=ae0=a,故 a=2. 答案:2

5.求下列函数的导数: (1)y=cos(x+3);(2)y=(2x-1)3; (3)y=e
-2x+1

.

解:(1)函数 y=cos(x+3)可以看作函数 y=cos u 和 u= x+3 的复合函数, 由复合函数的求导法则可得 yx′=yu′· ux′=(cos u)′· (x+3)′ =-sin u· 1=-sin u=-sin(x+3).

(2)函数 y=(2x-1)3 可以看作函数 y=u3 和 u=2x-1 的复 合函数, 由复合函数的求导法则可得 yx′=yu′· ux′=(u3)′· (2x-1)′ =3u2· 2=6u2=6(2x-1)2. (3)y′=e-2x+1· (-2x+1)′=-2e-2x+1.

课时达标检测见课时跟踪检测(四)


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