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1.1正弦定理和余弦定理


让更多的孩子得到更好的教育

正弦定理和余弦定理
(1.1 正弦定理和余弦定理)

一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件,要做到心中有数! 学习目标:
? ? ? 使学生掌握正弦、余弦定理的推导过程,能初步运用正弦、余弦定理解斜三角形; 熟记正弦、余弦定理及其变形形式; 通过正弦

、余弦定理的推导体现数形结合的思想、分类讨论的思想。

重点难点:
? ? 重点:正、余弦定理的推导及应用。 难点:正、余弦定理的向量证明,两个定理的综合运用。

学习策略:
? 从特殊到一般:从熟悉的直角三角形的边角关系出发,概括出直角三角形中的正、余弦定理,再推广到一般,探究 任意三角形中的边角关系。

二、学习与应用
“凡事预则立,不预则废” 。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 性。我们要在预习的基础上,认真听讲,做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾——复习
学习新知识之前,看看你的知识贮备过关了吗? 详细内容请参看网校资源 ID:#tbjx6#208608

(一)三角形 ?ABC 中

(1)一般约定: ?ABC 中角 A、B、C 所对的边分别为 (2) A ? B ? C ? (3)大边对 ,大角对 ; ,即 B ? C ? b ? c ;等边对



,等角对

,即 B ? C ? b ? c ; 1

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(4)两边之和

第三边,两边之差
0

第三边,即 a ? c............b , a ? c...........b .

(二) Rt ?ABC 中, ?C ? 90

(1) B ? A ?.................. ; (2) a2 ? b2 ?.................. (3) sin A ?.................. , sin B ?.................. , sin C ?.................. ; cos A ?.................. , cos B ?.................. , cos C ?.................. 。

知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材,尝试把下列知识要点内容补充完整,带着自己预习的疑惑认真听课 学习。 课堂笔记或者其它补充填在右栏。 预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID: #tbjx7#208608

知识点一:正弦定理
正弦定理:

即: (一)直角三角形中的正弦定理的推导 证明:

(二)斜三角形中正弦定理的推导 法一:构造直角三角形 (1)当 ?ABC 为锐角三角形时

2

让更多的孩子得到更好的教育 如图,作 AB 边上的高线 CD 交 AB 于 D ,则 在 Rt ?CBD 中, CD ? sin B ,即 CD ? a sin B ,

a

在 Rt ?ACD 中, CD ? sin A ,即 CD ? b sin A ,

b

∴ a sin B ? b sin A ,即

a b . ? sin A sin B

b c ? sin B sin C a b c ? ? ∴ sin A sin B sin C (2)当 ?ABC 为钝角三角形时
同理可证

法二:圆转化法 (1)当 ?ABC 为锐角三角形时

如图,圆 O 是 ?ABC 的外接圆,直径为 AD ? 2 R , 则 ?C ? ?D ,∴ sin C ? sin D ? c , 2R ∴ 2R ?

c ( R 为 ?ABC 的外接圆半径) sin C a , b 2R ? sin A sin B

同理, 2 R ? 故

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

(2)当 ?ABC 为钝角三角形时

3

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法三:面积法 (详细内容请参考知识导学,ID:#tbjx9#208608) 法四:向量法 (1)当 ?ABC 为锐角三角形时

过 A 作单位向量 j 垂直于 AC , 则 AC + CB = AB 两边同乘以单位向量 j , 得 j ? ( AC + CB )= j ? AB ,即 j ? AC ? j ? CB ? j ? AB ∴ | j | ? | AC | cos900 ? | j | ? | CB | cos(90 ? C)

?| j | ? | AB | cos(90 ? A) ,
∵ j ? AC ? 0 , | j |? 1 , | CB |? a , | AB |? c ,

cos(90 ? C) ? sin C , cos(90 ? A) ? sin A
∴ a sin

C ? c sin A ,∴ a ? c ,
sin A sin C

同理:若过 C 作 j 垂直于 CB 得: b ? c sin B sin C ∴

a b c , ? ? sin A sin B sin C

(2)当 ?ABC 为钝角三角形时

说明: (1)正弦定理适合于 三角形; 4

让更多的孩子得到更好的教育 (2)设 R 为 ?ABC 的外接圆半径,可以证明:

a b c ? ? ? _____ sin A sin B sin C
(3)每个等式可视为一个方程:知三求一。 (三)利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: (1) (2)

知识点二:余弦定理
余弦定理:

即:

(一)余弦定理的推导 已知: ?ABC 中, BC ? a , AC ? b 及角 C ,求角 C 的对应边 c . 方法一:几何法 (1)当 ?ABC 为锐角三角形时

如图,作 BC 边上的高 AD 根据勾股定理有:

AC 2 ? AD2 ? CD2 , AB 2 ? AD2 ? BD2 ,
∵ Rt ?ADC 中, CD ? AC cos C , ∴ AB2 ? ( AC 2 ? CD2 ) ? BD2 ? AC 2 ? ( AC cos C)2 ? (CB ? CD)2

? b2 ? b2 cos2 C ? (a ? b cos C)2
= b2 ? a 2 ? 2ab cos C 即: c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C . (2)当 ?ABC 为钝角三角形且 C 为钝角时

5

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(3)当 ?ABC 为直角三角形且 C 为直角时

方法二:向量法 (1)当 ?ABC 为锐角三角形时(如图) ,

∵ AC ? CB ? AB , ∴ AB AB ? ( AC ? CB)( AC ? CB)
2 2

? AC ? 2CB AC ? CB
? b2 ? 2ba cos C ? a 2

?| AC |2 ?2 | CB | | AC | cos(? ? C)? | CB |2
即: c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C

(*)

同理可得: b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B , a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A (2)当 ?ABC 为钝角三角形且 C 为钝角时(如图)

注意: 6

让更多的孩子得到更好的教育 (1)推导(*)中, AC 与 CB 的夹角应通过平移后得到,即向量的起点应重合, 因此 AC 与 CB 的夹角应为 ? ? C ,而不是 C . (2)对于直角三角形中 C ? ? 时, cos C ? 0 ,则 c 2 ? a 2 ? b2 ,恰好满足勾股定理。 方法三:解析几何方法——利用两点间距离公式 (详细内容请参考知识导学,ID:#tbjx12#208608) (二)余弦定理的变形公式:

2

cos A ? __________________ cos B ? __________________ cos C ? __________________
(三)利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题: (1) (2)

知识点三:解三角形
一般地, 叫作解三角形。

经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题,尝试总结提升各类型题目的规律和技巧,然后完成举一反 三。课堂笔记或者其它补充填在右栏。更多精彩内容请学习网校资源 ID: #jdlt0#208608

类型一:正弦定理的应用
例 1.已知在 ?ABC 中, c ? 10 , A ? 45 , C ? 30 ,解三角形. 解:

总结升华:

7

让更多的孩子得到更好的教育 举一反三: 【变式 1】在 ?ABC 中,已知 A ? 32.00 , B ?81.80 , a ? 42.9cm ,解三角形。

【变式 2】在 ?ABC 中,已知 B ? 750 , C ? 600 , c ? 5 ,求 a 、 A .

☆【变式 3】在 ?ABC 中,已知 sin A : sin B : sin C ? 1: 2 : 3 ,求 a : b : c 。

例 2.在 ?ABC中,b ? 3, B ? 60 , c ? 1,求: a 和 解:

A ,C .

总结升华:

举一反三: 【变式 1】在 ?ABC 中, c ? 6 , a ? 2 , A ? 45 ,求 b 和 B, C .

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让更多的孩子得到更好的教育 【变式 2】在 ?ABC 中 a ? 20 , b ? 10 2 , A ? 45 , 求 B 和 c ;

【变式 3】在 ?ABC 中, B ? 60 , a ? 14 , b ? 7 6 , 求 ? A .

类型二:余弦定理的应用
例 3.已知 ?ABC 中, AB ? 3 、 BC ? 37 、 AC ? 4 ,求 ?ABC 中的最大角。 解:

总结升华:

举一反三: 【变式 1】已知 ?ABC 中 a ? 3 , b ? 5 , c ? 7 , 求角 C .

【变式 2】在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的三边长分别为 a, b, c ,若

a :b:c ?

,求 ?ABC 的各角的大小. 6 : 2( : 3 ?1 )

☆【变式 3】在 ?ABC 中,若 a2 ? b2 ? c2 ? bc ,求角 A .

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类型三:正、余弦定理的综合应用
例 4.在 ?ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 450 ,求 b 及 A . 解:

总结升华:

举一反三: 【变式 1】在 ?ABC 中,已知 b ? 3 , c ? 4 , A ? 1350 .求 B 和 C .

【变式 2】 在 ?ABC 中, 已知角 A, B, C 所对的三边长分别为 a, b, c , 若 a ? 2 ,b ? 2 2 ,

c ? 6 ? 2 ,求角 A 和 sin C

三、总结与测评
要想学习成绩好,总结测评少不了!课后复习是学习不可或缺的环节,它可以帮助我们 巩固学习效果,弥补知识缺漏,提高学习能力。

总结规律和方法——强化所学
相关内容请参看网校资源 ID:#tbjx16#208608

(一)利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)

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(2) (二)利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1) (2) (三)解斜三角形的基本三角问题: 已知条件 解法 解的情况

一边和两角 (例如 a,B,C)

两边和夹角 ( 例 如 a,b,C)

三边 (例如 a,b,c)

两边及其中一 边的对角 ( 例如 a,b,A) 特别说明: (详细内容请参考知识导学,ID:#tbjx19#208608) (四)判断三角形形状 判断三角形形状的常用方法: (1) (2) (3)

成果测评
现在来检测一下学习的成果吧!请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的 测试。 11

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知识点:正弦定理和余弦定理 测评系统分数: 模拟考试系统分数: 如果你的分数在 80 分以下,请进入网校资源 ID:#cgcp0#20868 做基础达标部分#cgcp1#208608 的练习,如果你的分数 在 80 分以上,你可以进行能力提升题目#cgcp2#208608 的测试。

自我反馈
学完本节知识,你有哪些新收获?总结本节的有关习题,将其中的好题及错题分类整 理。如有问题,请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。

我的收获

习题整理
题目或题目出处 好题 所属类型或知识点 分析及注意问题

错题

注:本表格为建议样式,请同学们单独建立错题本,或者使用四中网校错题本进行记录。

网○ 校○ 重○ 要○ 资○ 源 ○
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知识导学:正弦定理和余弦定理(#208608) 视听课堂:正弦定理和余弦定理(#214034)

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对本知识的学案导学的使用率:
□ 好(基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等,使用率达到 80%以上) □ 中(使用本学案导学提供的资源、例题和笔记,使用率在 50%-80%左右) □ 弱(仅作一般参考,使用率在 50%以下)

学生:_______________

家长:______________

指导教师:_________________

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