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9.52两条直线的位置关系与对称问题


第52讲 两条直线的位置关系与对称问题 【学习目标】 掌握两直线平行、垂直、重合、相交的条件,能 灵活运用点到直线的距离公式及两直线平行、垂直的 条件解决有关问题. 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂 直. 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式, 会求两条平行直线间的距离. 1.已知直线l1:k1x+y+1=0与直线l2:k2x+y -1=0,那么“k1=k2”是“l1∥l2”的( C ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】由k1=k2,1≠-1,得l1∥l2;由l1∥l2知 k1×1-k2×1=0,所以k1=k2.故“k1=k2”是“l1∥ l2”的充要条件. 2.已知直线l1:ax+4y=2与直线l2:2x-5y+b =0垂直.点(1,c)为垂足,则a+b+c等于( A ) A.-4 C.0 B.20 D.24 【解析】∵直线l1⊥l2,∴2a-20=0,∴a=10, ∴l1:10x+4y=2. ∵(1,c)为垂足,∴(1,c)在l1上, ∴10+4c=2,∴c=-2. 又∵(1,c)在l2上,∴2+10+b=0,∴b=-12, ∴a+b+c=-4. 3.若直线l1经过点(3,0),直线l2经过点(0,4), l1∥l2,若d表示l1和l2间的距离,则( C ) A.0<d≤3 C.0<d≤5 B.0<d≤4 D.3≤d≤5 【解析】当两平行线和(3,0),(0,4)两点间的 连接垂直时,两平行线间的距离最大,即d= 42+32 =5;当两平行线旋转成和过(3,0),(0,4)两点的直 线重合时,两平行线重合,此时距离为0,但两平行 线不能重合,∴d>0,∴0<d≤5,故选C. 4.已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0, 若直线l2和l1关于直线l对称,则l2的方程是( B ) A.x-2y+1=0 C.x+y-1=0 B.x-2y-1=0 D.x+2y-1=0 【解析】设A(x,y),A1(x1,y1)分别是直线l2,l1 上关于l对称的点. ? ? y1 - y · 1=-1 ? ? x1 - x ?x1=y+1 则? ,求得? .① ? y = x - 1 ? 1 ? x+ x 1 y + y 1 - - 1= 0 ? 2 ? 2 又点A1(x1,y1)在直线l1上,则2x1-y1-2=0.② 将①代入②得2(y+1)-(x-1)-2=0,即x-2y -1=0,故选B. 5.如图所示,已知A(4,0),B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过 2 10 . 的路程是______ 【解析】点P关于直线AB的对称点是(4,2),关 于直线OB的对称点是(-2,0),从而所求路程为 (4+2)2+22=2 10. 【知识要点】 1.两直线平行与垂直的判定 若直线 l1 和 l2 存在斜截式方程 l1: y=k1x+ b1, l2: y= k2x+ b2,则 b2 (1)直线 l1∥l2 的充要条件是 k1=k2 且 b1≠. (2)直线 l1⊥l2 的充要条件是 k1·k2=-1 . 若 l1 和 l2 的斜率都不存在,则 l1 与 l2 平行或重合 . 若 l1 和 l2 中有一条直线斜率不存在而另一条直线斜率 为 0,则 l1⊥l2 . 2.两直线相交 交点:直线 l1: A1x+ B1y+ C1=

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