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高中数学中的易忘易错易混点梳理


高中数学中的易忘、易错、易混点梳理
高三数学复习的策略非常重要,如果在复习中心浮气躁、东一榔头西一棒,或者不根据自己的实际情况,盲目地随大 流,都难以取得良好的复习效果。为了争取最佳的复习效果,在高三后期及时调整自己的复习方略是非常必要的。 确定复习策略的依据有两条,一是高考的考试大纲(或《考试说明》 ) ,二是自己的实际情况。复习工作的目的,就是努 力使自己的数学水平

达到考试大纲的要求。经常梳理自己的知识系统,结合自己的具体情况制定数学复习策略,及时调整 数学复习方法,是每一位同学都需要重视的工作。只有摸清自己的易忘、易错、易混点,才能完善学科知识和能力结构, 明确复习重点,做到查漏补缺。 系统地梳理知识,需要用心体会,耐心地将平时含糊不清、似是而非的概念、公式彻底理清。如:异面直线上两点间的 距离公式 EF ?

d 2 ? m2 ? n2 ? 2 mncos? 中正、负号如何确定;给定区间内,求二次函数的最值的讨论依据是什么;

y ? sin(? x ? ? ) 的图形变换的顺序;应用导数确定函数极值点、单调区间的基本步骤等等,这一些易忘点、易错点、易混
点,需要自己及时“回到课本”逐一弄懂,千万不能一带而过,也不要以为记住概念和公式就万事大吉了。例如,梳理“数 列求和”不但要求记住公式,还应该从公式的推导过程中去体会“倒序求和” 、 “错位相减求和” 、 “拆项求和”等方法和技 巧,进而把握“归纳、递推” 、 “化归、转化”等数学思想。数学思想方法是更高层次的抽象和概括,它能够进行广泛的 迁移,形成解决数学问题的通性通法。又如整理“不等式的解法”时,如果只是机械地分类型罗列几种解法,那么遇到一 个陌生的不等式,仍然没有办法。只有当我们把握了解不等式的思想方法才能变化自如,融会贯通。梳理知识还应该注意 一题多解、一题多变,不断地比较和提炼,使方法最优化。 应《青年导报》栏目编辑的邀请,下面,根据今年高考的考试大纲(或《考试说明》 ) ,结合同学们平时数学学习时的 易忘、易错、易混点,我和我的同事们一起对高中数学的一些知识点、技能点和一些重要的结论进行了一个比较全面的梳 理,供同学们查漏补缺时参考。 一. 集合与函数 1.进行集合的交、并、补运算时,不要忘了全集和空集的特殊情况,不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2.你会用补集的思想解决有关问题吗? 3.求不等式(方程)的解集,或求定义域(值域)时,你按要求写成集合的形式了吗? [问题]: x | y ?

?

x 2 ? 1 、 y | y ? x 2 ? 1 、 ( x, y) | y ? x 2 ? 1 的区别是什么?

? ?
?
2

? ?

?

4.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 5.解一元一次不等式(组)的基本步骤是什么? [问题]:如何解不等式: a ? 1 x ? b ? 0 ?
2

?

6.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?注意到对二次项系数及对称轴进行讨 论了吗? 7.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? [问题]:请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 8. 什么是映射、什么是一一映射? [问题]:已知:A={1,2,3},B={1,2,3},那么可以作 个 A 到 B 上的映射,那么可以作 个A到 B 上的一一映射. 9.函数的表示方法有哪一些?如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性?单调性、周期性、奇偶性在函数的图象上如何 反应?什么样的函数有反函数?如何求反函数?互为反函数的图象间有什么关系?求一个函数的解析式或一个函数的反函 数时,你注明函数的定义域了吗?
2

[问题]:已知函数 f ?x? ? log3 x ? 2, x ? ? 1,9?, 求函数 y ? ? f ?x?? ? f x 2 的单调递增区间.(你处理函数问题是是否将 [问题]:已知函数 f ? x ? ? 2 x ? 3 , 函数 y ? g ? x ?的 图象与 y ? f
x ?1
?1

? ?

定义域放在首位)

?x ? 1? 的图象关于直线 y ? x对称,求g?11?的值 .

10. 如何正确表示分数指数幂?指数、对数的运算性质是什么? 11. 你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗? [问题]:已知函数 f ?x? ? loga x在x ? ?3,??? 上,恒有 f ?x ? ? 1 ,则实数 a的 取值范围是: 。

12.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?(定义法、导数法) 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).

这几种基本应用你掌握了吗? [问题]:写出函数 f ( x ) ? x ?

m (m ? 0) 的图象及单调区间. x ? [c, d ] 时,求函数的最值.这种求函数的最值的方法与利用 x

均值不等式求函数的最值的联系是什么? [问题]:证明“函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称”与证明“函数 f ( x) 与函数 g ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称”有 什么不同吗? 二. 数列 14.如何判断等差数列、等比数列?等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导? 15.解决等差(等比)数列计算问题通常的方法有哪两种? ① 基本量方法:抓住 a1 , d (q) 及方程思想; ②利用等差(等比)数列性质). [ 问 题 ] : 在 等 差 数 列 ?an ? 中 , a16 ? a17 ? a18 ? a9 ? ?36 , 其 前

n项的和为 S n , ?1?求 Sn 的 最 小 值 ;

?2?求Tn ? a1 ? a2

? ?? an

16.解决一些等比数列的前 n 项和问题,你注意到要对公比 q ? 1 及 q ? 1 两种情况进行讨论了吗? 17.在“已知 S n ,求 an ”的问题中,你在利用公式 an ? S n ? S n?1 时注意到 n ? 2 了吗?( n ? 1 时,应有 a1 ? S1 ) 18.解决递推数列问题通常有哪两种处理方法?(①猜证法;②转化为等差(比)数列问题) [问题]:已知: a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 3n , 求an . 19. 你知道 lim q 存在的条件吗? ( ? 1 ? q ? 1) ,你理解数列、 有穷数列、 无穷数列的概念吗?你知道无穷数列 {an } 的
n n ??

前 n 项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在? 20.一般数列的求和问题你能够找到一些办法吗?(倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法) *21.用数学归纳法证明问题的基本步骤是什么?你注意到“用数学归纳法证明中,必须用上归纳假设”吗? 1. 自然数有关的命题常用数学归纳法证明,其步骤是: (1)验证命题对于第一个自然数 n=n0 (k≥n0)时成立;(2)假设 n=k 时成立,从而证明当 n=k+1 时命题也成立, (3)得出结论. 2.(1)、 (2)两个步骤在推理中的作用是:第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,二者缺一不可。第二步证明时要 一凑假设,二凑结论. 三.三角函数 22.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗?,若角的终边在坐标轴上,那它归哪个象限呢?你知道锐角与第一象限 的角;终边相同的角和相等的角的区别吗? 23.角度与弧度如何换算?你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗? 24.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的定义你知道吗? 25.诱导公式, C(? ? ? ) , C(? ?? ) , S(? ? ? ) , S(? ?? ) 及二倍角公式你熟记了吗?你会推导每个三角公式吗?还记得某些特殊角 ( 0 , 30 ,45 ,60 ,90 ,120 135 ,150 等)的三角函数值吗? 26.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质.你会写三角函数的单调区间吗?会写简单的三角不等式的解集 吗?(要注意数形结合与书写规范,可别忘了 k ? Z ) ,你是否清楚函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象可以由函数 y ? sin x 经过 怎样的变换得到吗? [问题]:如何把函数 y ? 2 sin 3x 的图象变成函数 y ? 2 sin( 3 x ? 数 y ? 2 sin( 3 x ?
0

0

0

0

0

0

0

0

?
3

) 的图象?如何把函数 y ? 2 sin( x ?

?
3

) 的图象变成函

?
3

) 的图象?

27.你会用五点法画 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 的草图吗?哪五点?会根据图象求参数 A, ? , ? , B 的值吗?

28.你会求三角函数的周期吗?(先化简再求) [辅助角公式在求周期、化简时起着重要作用:

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 (

a a2 ? b2

sin x ?

b a2 ? b2

cos x) ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) ]

29.在三角函数中求一个角时,注意考虑两方面了吗?(先求出某一个三角函数值,再判定角的范围) 30.反三角的概念(反正弦函、反余弦函及反正切) ,你知道 arcsin a, arccosa, arctana 的含义吗? 31.三角函数中的和、差、倍、降幂公式、辅助角公式在求值、化简、和证明时“正用”及“逆用” 、 “变用”你都掌握了 吗? [问题]:已知 sin ? cos ? ?

1 , 求 t ? cos? sin ? 的变化范围. 2

四. 平面向量 32.你熟悉平面向量的运算(和、差、实数与向量的积、数量积) 、运算性质和运算的几何意义吗? 33.你通常是如何处理有关向量的模(长度)的问题? (利用 | a | ? a ; | a |?
2 ? ?2

x2 ? y2 )

34.你知道解决向量问题有哪两种途径? (①向量运算;②向量的坐标运算) 35.你弄清“ a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ”与“ a// b ? x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0 ”了吗? [问题]:两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别? (1) 在实数中:若 a ? 0 ,且 ab=0,则 b=0,但在向量的数量积中,若 a ? 0 ,且 a ? b ? 0 ,不能推出 b ? 0 . (2) 已知实数 a, b, c, (b ? o) ,且 ab ? bc ,则 a=c,但在向量的数量积中没有 a ? b ? b ? c ? a ? c . (3) 在实数中有 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ,但是在向量的数量积中 ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ) ,这是因为左边是与 c 共线 的向量,而右边是与 a 共线的向量. 36.向量的平移公式、函数图象的平移公式你掌握了吗? 37.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗?三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点? 五. 不等式 38.不等式证明的基本方法你都掌握了吗?(比较法;分析法;综合法;数学归纳法)重要不等式是指哪几个不等式? 由它们推出的均值不等式串是什么? [问题]:若 a ? b ,求证 | 1 ? a 2 ? 1 ? b 2 |?| a ? b | .(注意方法) [问题]:若 a, b, c 是不等边三角形的三边长,其面积为
? ? ? ? ? ? ?

?

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1 1 1 1 ,外接圆半径为 1,求证: ? ? ? a ? b ? c . 4 a b c 1 1 4 1 1 n ? ? ? ? [问题]:求证 ;若 恒成立,求 n 的最大值. a ?b b?c a ?c a?b b?c a?c

39.利用均值不等式求最值时,你是否注意到: “一正;二定;三等”. 40.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么? 41.解含参数不等式怎样讨论?注意解完之后为什么要写上: “综上,原不等式的解集是??”. [问题]: (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求 a 的范围.
2

42.你会用不等式 || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 解(证)一些简单问题吗? 43.处理不等式恒成立问题有哪些常用的方法? 六.解析几何 44.直线的斜率公式、点到直线的距离公式、到角公式、夹角公式你记住了吗? 45.何为直线的方向向量?直线的方向向量与直线的斜率有何关系? 46.在用点斜式、斜截式求直线的方程时,你是否注意到 k 不存在的情况?

[问题]:截距是距离吗?“截距相等”意味着什么? 47.解决线性规划问题的基本步骤是什么?请你注意解题格式和完整的文字表达.(①设出变量,写出目标函数②写出 线性约束条件③画出可行域④作出目标函数对应的系列平行线,找到并求出最优解⑦应用题一定要有答。 ) 48.你知道解决直线与圆的位置关系问题常常利用圆心到直线的距离吗?直线与圆锥曲线的位置关系怎样判断? 49.三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质你掌握了吗? 50.利用圆锥曲线第二定义解题时,你是否注意到定义中的定比前后项的顺序?如何利用第二定义推出圆锥曲线的焦 半径公式?如何应用焦半径公式? 51.用圆锥曲线方程与直线方程联立求解时,在得到的方程中你注意到 ? ? 0 这一条件了吗?圆锥曲线本身的范围你 注意了吗? 52.曲线与直线相交时,弦长如何求,弦长公式你记得吗? 53.解析几何问题的求解中,平面几何知识利用了吗?题目中是否已经有坐标系了,是否需要建立直角坐标系? 54.求轨迹的几种基本方法是什么?每一种方法的基本步骤是怎样的? 55.圆、和椭圆的参数方程是怎样的?常用参数方程的方法解决哪一些问题? 七.立体几何 56.平面的基本性质是什么?(三个公理,三个推论) 57.上述各个公理和推论的意义和作用是什么?(请注意在表示点、线、面之间的关系时的符号的规范性.) [问题]:三个平面两两相交,有三条交线,证明:这三条交线两两平行或相交于一点. [问题]:已知: a // b // c, a ? d ? A, b ? d ? B, c ? d ? C 证明:a、b、c、d 共面. 58.你掌握了空间图形在平面上的直观画法吗?(斜二测画法) 。 59.理解空间两直线位置关系分类方法,掌握平行直线的性质(公理 4) ,理解异面直线的概念和判定定理.你知道如何证明 空间两直线的位置关系吗?(相交、平行和异面) 60.线面平行和面面平行的定义、判定和性质定理你掌握了吗?线线平行、线面平行、面面平行这三者之间的联系和转化 在解决立几问题中的应用是怎样的?每种平行之间转换的条件是什么? 61.线面垂直和面面垂直的定义、判定和性质定理你掌握了吗?线线垂直、线面垂直、面面垂直这三者之间的联系和转 化在解决立几问题中的应用是怎样的?每种垂直之间转换的条件是什么? 62.三垂线定理及其逆定理你记住了吗? 63.求线面角的关键是什么?(找直线的射影).异面直线所成的角如何求? 64.你知道从确定平面外一点向平面作射影的三种常用方法吗?(①面面垂直 ? 线面垂直;②从角的顶点出发引角所 在平面的一条斜线,若该斜线与角的两边成等角,则该斜线在此平面上的射影是角平分线所在直线;③利用特殊三棱锥顶 点在底面上射影的位置) 65.你知道作二面角的平面角的主要方法是什么?(定义法、三垂线定理、垂面法) 66.你知道公式: cos? 2 ? cos?1 cos? 和 cos? ?

S' 中每一字母的意思吗?能够熟练地应用它们解题吗? S

67.空间向量的意义及其向量的加减、数乘、数量积运算的法则是什么?向量共线、共面、垂直的充要条件是什么? 68.空间向量的基本定理.空间任一向量可由空间基向量唯一表示出来.你知道利用向量解决几何问题的一般步骤是什 么? 69. 空间向量的夹角的坐标运算公式.你知道如何运用夹角公式求直线与平面所成的角、 直线与平面内的直线所成的角、 二面角及其平面角吗?请注意这些角的意义、求法和角的取值范围. 70.空间向量的距离的坐标运算公式.分清几个距离的意义和计算方法(公式). 你知道如何运用距离公式求点到直线 的距离、直线到与直线平行的平面的距离、两个平行平面间的距离、异面直线间的距离吗? 71.你知道异面直线上两点间的距离公式 EF ?

d 2 ? m2 ? n 2 ? 2mn cos? 如何运用吗?

72.棱柱及其性质、平行六面体与长方体及其性质、长方体对角线定理及其证明.这些知识你掌握了吗?(注意运用向量 的方法解题) 73.棱锥及其性质、正棱锥及其性质、正多面体的种类你掌握了吗? 74.球及其性质;地球经度线和纬度线的意义、球面距离的求法;球的表面积和体积公式. 这些知识你掌握了吗? 八. 排列、组合和概率 75.你掌握了解决排列、组合应用题的常见方法吗?(①考虑特殊元素;②考虑特殊位置;③捆绑法;④插入法;⑤先 选后排法;⑥排除法;⑦列举法.) 76.二项式展开式的通项公式记得吗?用赋值法求出二项展开式的奇次项系数之和与偶次项系数之和,你还记得吗?

77.你掌握了三种常见的概率公式吗?(①等可能事件的概率公式;②互斥事件有一个发生的概率公式;③相互独立事 件同时发生的概率公式.) [问题]:某人每次射击击中的概率是 0.2,射击中每次射击的结果是相互独立的,求他在 10 次射击中击中目标的次数 不超过 5 次的概率.
k k 78. n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率公式为 Pn (k ) ? Cn p (1 ? p) n?k ,你在运用时有过差错吗?

*79.理解随机变量,离散型随机变量的定义,你能够写出离散型随机变量的分布列吗?

?
P

X1 P1

X2 P2

? ?

Xn Pn

? ?

(1)期望值 E ? = x1p1 + x2p2 + ? + xnpn + ? ; (2)方差 D ? = ( x1 ? E? )2 p1 ? ( x2 ? E? )2 p2 ? ? ? ? ? ( xn ? E? )2 pn ? ? ? ? ; (3)标准差 ?? ?

D? ; E(a? ? b) ? aE? ? b; D(a? ? b) ? a2 D? ;

[问题]:某人每次投篮投中的概率为 0.1,每次投篮的结果是相互独立的,求他首次投篮投中时所需要投篮次数的分布 列及他在 5 次内投中的概率. *80.你知道二项分布的定义和有关性质吗?
k k n?k ξ ~B(n,p),其中 n,p 为参数, P(? ? k ) ? Cn p q ,
k k n ?k 记为: Cn p q ? b(k; n, p) ;二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布,比如投硬币,投骰子 ,射击等等。

怎样的离散型随机变量 ? 服从二项分布?又二项分布的期望与方差分别是什么?(若 ? ~B(n,p),则 E ? =np, D ? = npq,这里 q=1- p). 81.你知道哪几种常见的抽样方法?它们各自的特点及适用范围是怎样的? (1) 简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法) ; (2) 系统抽样,也叫等距离抽样; (3)分层抽样,常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形. 82.如何对总体分布进行估计?(用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容量越大,这 种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图;理解频率分布直方图矩形面积的几何意义.) *83. 你还记得一般正态总体 N (? , ? 2 ) 如何化为标准正态总体 N (0,1) 吗? (对任一正态总体 N (? , ? 2 ) 来说, 取值小于 x 的概率 F ( x ) ? ? (

x??

?

) ,其中 ? (

x??

?

) 表示标准正态总体 N (0,1) 取值小于

x??

?

的概率)

*84. 两个变量之间的关系有哪两种? (①函数关系; ②相关关系.) 你知道对于具有相关关系的两个变量的一组观测值, 如何求出的回归直线方程吗? *85.你了解假设检验的基本思想吗? (1) 提出统计假设,确定随机变量服从正态分布 N (?, ? 2 ) ; (2) 确定一次试验中的取值 a 是否落入范围 (? ? 3? , ? ? 3? ) ; (3) 作出推断:如果 a∈ (? ? 3? , ? ? 3? ) ,接受统计假设; 如果 a ? (? ? 3? , ? ? 3? ) 由于这是小概率事件,就拒绝假设; (4) 相关系数 r,衡量变量 y 与 x 之间的相关程度, |r|?1,且|r|越接近于 1, 相关程度越大; 且|r|越接近于 0, 相关程度越小. 九.导数及其应用 *86.你理解数列极限的定义吗? 你会求一些简单数列的极限吗? (1) 掌握数列极限的直观描述性定义; (2) 掌握数列极限的四则运算法则,注意其适用条件:一是数列{an}{bn}的极限都存在;二是仅适用于有限个数 列的和、差、积、商; (3) 对于无穷数列的和(或积) ,应先求和(或积) ,再求极限; (4) 常用的几个数列极限: lim C ? C (C 为常数) ;
n ??

n ??

lim

1 ?0 n

; lim q n ? 0 ( a <1,q 为常数).
n ??

(5) 无穷递缩等比数列各项和公式: S ? lim S ? a1 (0< q ? 1 ). n
n ??

1? q

*87. 你理解函数的极限吗? 你会求一些简单函数的极限吗? (1)当 x 趋向于无穷大时,函数的极限为 a ? lim f ( x) ? lim f ( x) ? a .
n ? ?? n ? ??

f ( x) ? lim f ( x) ? a . (2)当 x ? x0 时函数的极限为 a ? lim ? ?
x ? x0 x ? x0

(3)掌握函数极限的四则运算法则. *88. 你理解函数的连续性吗? (1)如果对函数 f(x)在点 x=x0 处及其附近有定义,而且还有 lim f ( x) ? f ( x0 ) ,就说函数 f(x)在点 x0 处连续;
x ? x0

(2)若 f(x)与 g(x)都在点 x0 处连续, 则 f(x)±g(x),f(x)g(x),

f ( x) (g(x)≠0)也在点 x0 处连续; g ( x)

(3)若 u(x)在点 x0 处连续,且 f(u)在 u0=u(x0)处连续,则复合函数 f[u(x)]在点 x0 处也连续; (4)连续函数的极限运算:如果函数在点 x0 处有极限,那么 lim f ( x) ? f ( x0 ) .
x ? x0

89. f ( x) 在点 x0 处可导的定义你还记得吗?( lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) (或 lim )存在)它的几何意 x ? x0 ?x x ? x0

义和物理意义分别是什么?利用导数可解决哪些问题?具体步骤还记得吗?
/ 90.你会用“ f ( x) 在其定义域内可导,且不恒为零,则 f ( x) 在某区间 I 上单调递增(减)? f ( x) ? 0(? 0) 对 x ? I 恒

成立。 ”解决有关函数的单调性问题吗? 91.你知道“函数 f ( x) 在点 x0 处可导”是“函数 f ( x) 在点 x0 处连续”的什么条件吗? 92. 你知道导数有哪一些应用? 93. 你知道求可导函数最大值与最小值的步骤吗? 求可导函数极值的步骤:①求导数 f ?( x) ;②求方程 f ?( x) ? 0 的根和使 f ?( x) 不存在的 x 值;③检验 f ?( x) 在方程

f ?( x) ? 0 的根和使 f ?( x) 不存在的 x 的左右的符号,如果左正右负,那么函数 y ? f ( x) 在这个根处取得极大值;如
果左负右正,那么函数 y ? f ( x) 在这个根处取得极小值. 求可导函数最值的步骤:①求 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的极值;②将 y ? f ( x) 在各极值点的极值与 f (a)、f (b) 比较,其 中最大的一个为最大值,最小的一个是最小值.

十.复数
*94.你了解复数、实数、虚数、纯虚数、模、共轭复数的概念和复数的几何表示吗? *95.请你熟练掌握、灵活运用以下结论: (1) a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R); (2) 复数是实数的条件: ① z=a+bi∈R ? b=0 (a,b∈R); ② z∈R ? z= z ; 2 ③ z∈R ? z ≥0; *96.复数是纯虚数的条件你知道吗? ① z=a+bi 是纯虚数 ? a=0 且 b≠0(a,b∈R); ② z 是纯虚数 ? z+ z =0(z≠0); 2 ③z 是纯虚数 ? z <0; *97.复数的代数形式及其运算法则你掌握了吗? 设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)

(1) z 1± z2 = (a ± c) + (b ± d)i. (2) z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i ; (3)
? bd bc ? ad (z ≠0) ; z1÷z2 = ac 2 ? i c2 ? d 2 c2 ? d 2
(1) z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? 2( z1 ? z2 );
2 2 2 2

*98.为了快速、准确地进行复数运算,请记住几个重要的结论:

(2) z ? z ? z ? z ; (3)若z为虚数,则z ? z 2 ;
2

2

2

?4?(1 ? i) 2 ? ?2i; ?5? 1 ? i ? i; 1 ? i ? ?i;
1? i 1? i (6)i 4 n ? 1; i 4 n ?1 ? i; i 4 n ? 2 ? ?1; i 4 n ?3 ? ?i.

99.中学数学解题中常用的思想方法你知道吗? (函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和化归转化的思想) 100.高中数学课本中的几个研究性学习的材料你清楚吗?(分期付款问题、杨辉三角、欧拉公式、*复数的三角形式等) 要真正梳理清楚这些知识,关键是在理解的基础上去记忆,决不能死记硬背。同学们有了清晰的知识背景,和完善的知 识结构的同时,再进行必要的独立练习,巩固“双基” ,就能提高综合解题能力和数学应试水平。在这里我也要提醒同学们, 在数学复习中要避免两个极端,要么,埋头看书、整理,懒得独立练习;要么,埋头练习、陷入题海。前者,忽视了数学 是一门思维的科学,离开了解题实践,数学思维无法展开,无法将学到的知识、方法内化为自己的能力。后者,忽视了有 的放矢,容易重复机械操练,缺乏反思、提炼,事倍功半。 此外,同学们在梳理知识和独立练习的过程中,要勤于反思,举一反三,多联系知识的发生和形成过程,多总结通性通法 和规范思路,多关注思想方法和探究创新,在复习中抱着开放的心态和锲而不舍的精神,开展“研究性复习” ,始终保持旺 盛的斗志和灵活的思维,数学成绩一定能够取得比较大的突破。 备注: (1) 这 100 个问题中,有相当大一部分“易忘、易错、易混点”是学军中学数学组的同事们根据他们自己的经验协 助我一起整理出来的,在此一并表示感谢。 (2)打“*”号的部分是理科的要求,文科不需要掌握。


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