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3.2立体几何中的向量方法


3. 2 立体几何中的向量方法
教学目标: 1. 掌握好向量的相关知识:概念、基本运算、建系方法、坐标求法(不定点的坐标) 、平 行与垂直、法向量求法 2. 掌握向量作为工具解决立几问题的方法

sin ? ? cos ? ?

P oP ? n p0 p n

.(见第一.3所示图)

3

. 向量解题后建议多思考传统的方法,不仅 可以锻炼思维能力,还可以深刻认识空间几何 的本质 重点难点:向量作为工具解决立几问题的方法 教学过程: 相关知识与能力: 一.空间距离的计算 1. 空间两点间的距离:设 A、B 是空间两点,则 A、B 两点间的距离 d=| AB | 2.两条异面直线间的距离: 设 a、 b 是两条异面直线, b 的公共法向量 (即 n ? a且n ? b ) , n 是 a、 点 A?a,B?b 则异面直线 a、b 间的距离 b d B AB ? n n

d?

n

a

即 AB在n 方向上的射影长为异面直线 a、b 间的距离。 3.点(或线)到平面的距离:

A

1)设 n是平面 ?的法向量 ,点Po 是平面 ?外一点,. P 是平面α 内任一点,则 PO 到平面α 的距离 P0

d?

Po P ? n n
P

n
θ

β

d

O 2)直线与平面(或平面与平面)的距离转化为点到平面的距离。 α 二.空间角度的计算 1. 两条异面直线所成的角:设 l1 与 l2 两条异面直线, n ∥l1 , m ∥l2,则 l1 与 l2 所 成的角 α =< n , m >或α =л -< n , m > (0<α ≤

? ) 2
? ) 2

cos< n , m >=

n?m n?m

n?m
或 cosα=

n?m

(0<α ≤

1

2. 斜线 P0P 与平面α 所成的角θ

(0 ? ? ? ) 2

?

3.二面角: 设相交平面α 与β 的法向量分别为 n, m , 则α 与β 所成的角的大小为< n, m > 或

? ? ? n, m ? (如何确定?)
典例分析: 例 1.在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别是 D1 D, BD 的中点, G 在棱 CD 上,且 CG ?

1 CD ,H 为 C1G 的中点,应用空间向量方法求解下列问题。 4
B

α C D β

(1)求证:EF⊥B1C; (2)求 EF 与 C1G 所成的角的余弦; (3)求 FH 的长。

A

解:以 D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz ,则 E(0,0,

1 ) 2

1 1 3 , ,0 )C(0,1,0)B1(1,1,1)C1(0,1,1) ,G(0, ,0) 2 2 4 1 1 1 1 1 ∵ EF ? ( , ,? ), B1C ? ( ?1,0,?1) ∴ EF ? B1C ? ? ? 0 ? ? 0 2 2 2 2 2
F( 则 EF ? B1C 即 EF ? B1C (2) C1G ? (0,?

1 ,1) 4

∴ C1G ?

1 17 0 2 ? (? ) 2 ? 12 ? 4 4

由(1)知 EF ?

1 1 3 1 1 3 1 3 ( ) 2 ? ( ) 2 ? 12 ? ? EF ? C1G ? ? 0 ? ? ? (? ) ? 0 ? 2 2 2 2 2 4 2 8

2

故 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 (3)∵ H 为 C1G1 的中点 ∴ FH ?

51 17
7 1 1 1 , ) ,又 F( , ,0 ) 2 2 8 2
即 FH ?

∴ H(0,

1 7 1 1 41 (0 ? ) 2 ? ( ? ) 2 ? ( ? 0) 2 ? 2 8 2 2 8

41 8

例 2.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 是 DC 的中点,取如图所示的空 间直角坐标系。 (1)写出 A、B1、E、D1 的坐标; (2)求 AB1 与 D1E 所成的角的余弦值。

解: (1)A(2,2,0)B1(2,0,2) ,E(0,1,0) ,D1(0,2,2) (2)∵ AB1 ? (0,?2,2), ED1 ? (0,1,2) ∴ AB1 ? 2 2 , ED1 ?

5 , AB1 ? ED1 ? 0 ? 2 ? 4 ? 2

∴ AB1 与 ED1 所成的角的余弦值为

10 10

例 3.如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC, E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F。 (1)证明 PA//平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD;
3

(3)求二面角 C—PB—D 的大小。

解:如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点,设 DC= a 。

(1)证明:连结 AC,AC 交 BD 于 G,连结 EG 依题意得 A( a,0,0 ) ,P( 0,0,a) ,E( 0, ∵ 底面 ABCD 是正方形 故点 G 的坐标为(

a a , ) 2 2

∴ G 是此正方形的中心

a a a a , ,0 )且 PA ? (a,0,?a) , EG ? ( ,0,? ) 2 2 2 2

∴ PA ? 2 EG ,这表明 PA//EG,而 EG ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB ∴ PA//平面 EDB (2)证明:依题意得 B( a, a,0 ) , PB ? (a, a,?a) 又 DE ? (0,

a a a2 a2 , ) ,故 PB ? DE ? 0 ? ? ?0 2 2 2 2

∴ PB⊥DE,由已知 EF⊥PB,且 EF ? DE ? E ,所以 PB⊥平面 EFD (3) 解: 设点 F 的坐标为 ( x0 , y 0 , z 0 ) ,PF ? ? PB , 则 ( x0 , y0 , z0 ? a) ? ? (a, a,?a)

4

∴ ?EFD ?

?
3

,所以,二面角 C—PC—D 的大小为

? 3

巩固练习: 1、如图,已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是 AB、PC 的 中点。 (1)求证:EF//平面 PAD; (2)求证:EF⊥CD; (3)若 ?PDA ? 45? ,求 EF 与平面 ABCD 所成的角的大小。

2、在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,如图 E、F 分别是 BB1,CD 的中点,

5

(1)求证: D1 F ? 平面 ADE; (2) cos(EF, CB1 )

作业布置: 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、A D 的中点,GC⊥平面 ABCD, 且 GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离。

2、 如图, 在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 已知 DC=DD1=2AD=2AB, AD⊥DC, AB//DC。 (1)设 E 是 DC 的中点,求证:D1E//平面 A1BD; (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值。

教学反思: 在立体几何的学习中,求各种“空间角” 、和空间“距离”的难点在于作出相应的“角” 及作出表示“距离”的线段,并给出相应的证明。引入向量的工具,避开了“作” 、 “证”这 个难点,提供了解决求空间角、距离及证明“垂直” 、 “平行”的通法。进一步强 化了“坐 标法” 、 “数形结合”和“转化”等数学思想方法.

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3.2 立体几何中的向量方法
课前预习学案 预习目标: 1. 向量的相关知识:概念、基本运算、建系方法、坐标求法(不定点的坐标) 、平行与垂 直、法向量求法 2. 向量作为工具解决立几问题的方法

sin ? ? cos ? ?

P oP ? n p0 p n

.(见第一.3所示图)

预习内容: 一.空间距离的计算 1. 空间两点间的距离:设 A、B 是空间两点,则 A、B 两点间的距离 2.两条异面直线间的距离: 设 a、 b 是两条异面直线, b 的公共法向量 (即 n ? a且n ? b ) , n 是 a、 点 A?a,B?b 则异面直线 a、b 间的距离 b d B AB ? n n

d?

n

a

即 AB在n 方向上的射影长为异面直线 a、b 间的距离。 3.点(或线)到平面的距离:

A

1)设 n是平面 ?的法向量 ,点Po 是平面 ?外一点,. P 是平面α 内任一点,则 PO 到平面α 的距离 P0

d?

Po P ? n n
α P

n
θ

β

d

O

2)直线与平面(或平面与平面)的距离转化为点到平面的距离。 二.空间角度的计算 1. 两条异面直线所成的角:设 l1 与 l2 两条异面直线, n ∥l1 , m ∥l2,则 l1 与 l2 所 成的角 α =< n , m >或α =л -< n , m > (0<α ≤

? ) 2
? ) 2

cos< n , m >=

n?m n?m

n?m
或 cosα=

n?m

(0<α ≤

2. 斜线 P0P 与平面α 所成的角θ

(0 ? ? ? ) 2
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?

3.二面角: 设相交平面α 与β 的法向量分别为 n, m , 则α 与β 所成的角的大小为< nα ,m > 或

? ? ? n, m ? (如何确定?)

B

C D β

提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 A

课内探究学案 学习目标: 1 掌握好向量的相关知识:概念、基本运算、建系方法、 坐标求法(不定点的坐标) 、平行 与垂直、法向量求法

sin ? ? cos ? ?

P oP ? n p0 p n

.(见第一.3所示图)

1 掌握向量作为工具解决立几问题的方法 重点难点:向量作为工具解决立几问题的方法 学习过程: 例 1.在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E、 F 分别是 D1 D, BD 的中点, G 在棱 CD 上,且 CG ?

1 CD ,H 为 C1G 的中点,应用空间向量方法求解下列问题。 4

(1)求证:EF⊥B1C; (2)求 EF 与 C1G 所成的角的余弦; (3)求 FH 的长。

例 2.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 是 DC 的中点,取如图所示的空 间直角坐标系。 (1)写出 A、B1、E、D1 的坐标; (2)求 AB1 与 D1E 所成的角的余弦值。
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例 3.如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC, E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F。 (1)证明 PA/ /平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C—PB—D 的大小。

当堂检测: 1、如图,已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是 AB、PC 的 中点。 (1)求证:EF//平面 PAD; (2)求证:EF⊥CD; (3)若 ?PDA ? 45? ,求 EF 与平面 ABCD 所成的角的大小。

2、在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,如图 E、F 分别是 BB1,CD 的中点, (1)求证: D1 F ? 平面 ADE;

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(2) cos(EF, CB1 )

课后练习与提高 1、如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD, 且 GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离。

2、 如图, 在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 已知 DC=DD1=2AD=2AB, AD⊥DC, AB//DC。 (1)设 E 是 DC 的中点,求证:D1E//平面 A1BD; (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值。

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