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浙江省六校联考2015届高考数学模拟试卷(文科)


浙江省六校联考 2015 届高考数学模拟试卷(文科)
一、选择题(本题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)已知集合 M={x| ≥1},N={y|y= A.(0,1) B.[0,1]
2

},则 M∩N=() C.[0,1) D.(0,1]

2. (5 分)若 a 是实数,则“a ≠4”是

“a≠2”的() A.充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D.必要不充分条件 3. (5 分)将函数 y=cos(x+ 再向左平移 A.(0,0) )的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,

个单位,所得函数图象的一个对称中心为() B. ( ) C. ( ) D.(π,0)

4. (5 分)下列命题中错误的是() A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B. 如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C. 如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 5. (5 分)设实数列{an}和{bn}分别为等差数列与等比数列,且 a1=b1=8,a4=b4=1,则以下结 论正确的是() A.a2>b2 B.a3<b3 C.a5>b5 D.a6>b6

6. (5 分)设 A1,A2 分别为椭圆 使得 A.(0, )

=1(a>b>0)的左、右顶点,若在椭圆上存在点 P,

>﹣ ,则该椭圆的离心率的取值范围是() B.(0, ) C. D.

7. (5 分)定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x≥0 时,f(x)= 则函数 F(x)=f(x)﹣ 的所有零点之和为()



A.

B.

C.

D.

8. (5 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的 动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S. ①当 0<CQ< 时,S 为四边形 ②截面在底面上投影面积恒为定值 ③存在某个位置,使得截面 S 与平面 A1BD 垂直 ④当 CQ= 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= 其中正确命题的个数为()

A.1

B. 2

C. 3

D.4

二、填空题(第 9 题至第 12 题,每小题 6 分;第 13 题至第 15 题每小题 6 分,共 36 分) 9. (6 分)函数 f(x)=sinx+cosx 的最小正周期为,单调增区间为,
2 2

=.

10. (6 分)已知点 M(2,1)及圆 x +y =4,则过 M 点的圆的切线方程为,若直线 ax﹣y+4=0 与圆相交于 A、B 两点,且|AB|=2 ,则 a=. 11. (6 分)某空间几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则其体积是 cm ,表面积是 cm .
3 2

12. (6 分)设实数 x,y 满足

,则动点 P(x,y)所形成区域的面积为,z=|x﹣2y+2|

的取值范围是.

13. (4 分)已知点 P 是双曲线 y ﹣

2

=1 上任意一点,过点 P 分别作两渐近线的垂线,垂足

分别为 A、B,则线段|AB|的最小值为. 14. (4 分)已知实数 x、y 满足 4x +y ﹣xy=1,且不等式 2x+y+c>0 恒成立,则 c 的取值范围 是. 15. (4 分)如图,圆 O 为 Rt△ ABC 的内切圆,已 AC=3,BC=4,AB=5,过圆心 O 的直线 l 交圆 O 于 P、Q 两点,则 ? 的取值范围是.
2 2

三、解答题(第 16 题至第 19 题,每题 15 分;第 20 题 14 分,共 74 分) 16. (15 分)如图,在△ ABC 中,D 为 AB 边上一点,DA=DC,已知 B= (Ⅰ)若△ ABC 是锐角三角形,DC= ,求角 A 的大小; ,BC=1.

(Ⅱ)若△ BCD 的面积为 ,求边 AB 的长.

17. (15 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn+2=2an(n∈N ) . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)令 bn=log2an,Tn= + …+ ,求满足 Tn≤ 的最大正整数 n 的值.

*

18. (15 分)等腰梯形 ABCD,AB∥CD,DE⊥AB,CF⊥AB,AE=2,沿 DE,CF 将梯形折 叠使 A,B 重合于 A 点(如图) ,G 为 AC 上一点,FG⊥平面 ACE.

(Ⅰ)求证:AE⊥AF; (Ⅱ)求 DG 与平面 ACE 所成角的正弦值.
2

19. (15 分)已知抛物线 C:y =2px(p>0)上的点 M 到直线 l:y=x+1 的最小距离为 N 在直线 l 上,过点 N 作直线与抛物线相切,切点分别为 A、B. (Ⅰ)求抛物线方程; (Ⅱ)当原点 O 到直线 AB 的距离最大时,求三角形 OAB 的面积. 20. (14 分)已知函数 f(x)=x ﹣(a+1)x﹣4(a+5) ,g(x)=ax ﹣x+5,其中 a∈R (1)若函数 f(x) ,g(x)存在相同的零点,求 a 的值
2 2

.点

(2)若存在两个正整数 m,n,当 x0∈(m,n)时,有 f(x0)<0 与 g(x0)<0 同时成立, 求 n 的最大值及 n 取最大值时 a 的取值范围.

浙江省六校联考 2015 届高考数学模拟试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)已知集合 M={x| ≥1},N={y|y= A.(0,1) B.[0,1] },则 M∩N=() C.[0,1) D.(0,1]

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 M 中不等式的解集确定出 M,求出 N 中 y 的范围确定出 N,找出 M 与 N 的交 集即可. 解答: 解:由 M 中不等式变形得: ﹣1≥0,即 解得:0<x≤1,即 A=(0,1], 由 N 中 y= ,得到 0≤y≤1,即 N=[0,1], ≤ 0,

则 M∩N=(0,1], 故选:D. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)若 a 是实数,则“a ≠4”是“a≠2”的() A.充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D.必要不充分条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑.
2

分析: 根据充分必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:若“a ≠4”,则“a≠2”,是充分条件, 2 若“a≠2”,则推不出“a ≠4”,不是必要条件, 故选:C. 点评: 本题考查了充分必要条件,考查了不等式问题,是一道基础题.
2

3. (5 分)将函数 y=cos(x+ 再向左平移 A.(0,0)

)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,

个单位,所得函数图象的一个对称中心为() B. ( ) C. ( ) D.(π,0)

考点: 余弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数的图象变换求出函数的解析式即可得到结论. 解答: 解:将函数 y=cos(x+ 得到 y=cos( x+ 再向左平移 ) , )+ ]=cos( x+ )=﹣sin x, )的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,

个单位,得到 y=cos[ (x+

由 x=kπ,解得 x=2kπ,即函数对称中心为(2kπ,0) , 当 k=0 时,函数的对称中心为(0,0) , 故选:A 点评: 本题主要考查三角函数对称中心的求解,根据函数图象变换关系求出函数的解析式 是解决本题的关键. 4. (5 分)下列命题中错误的是() A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B. 如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C. 如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 考点: 平面与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离;简易逻辑. 分析: 本题考查的是平面与平面垂直的性质问题. 在解答时: A 注意线面平行的定义再结合 实物即可获得解答;B 反证法即可获得解答;C 利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的 垂线,然后用线面垂直的判定定理即可获得解答;D 结合实物举反例即可. 解答: 解:由题意可知: A、结合实物:教室的门面与地面垂直,门面的上棱对应的直线就与地面平行,故此命题成立; B、假若平面 α 内存在直线垂直于平面 β,根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直.故此命 题成立;

C、结合面面垂直的性质可以分别在 α、β 内作异于 l 的直线垂直于交线,再由线面垂直的性 质定理可知所作的垂线平行,进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与 l 平 行,又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面,故命题成立; D、举反例:教室内侧墙面与地面垂直,而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的.故此命题 错误. 故选 D. 点评: 本题考查的是平面与平面垂直的性质问题.在解答的过程当中充分体现了面面垂直、 线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用.值得同学们体会和反思. 5. (5 分)设实数列{an}和{bn}分别为等差数列与等比数列,且 a1=b1=8,a4=b4=1,则以下结 论正确的是() A.a2>b2 B.a3<b3 C.a5>b5 D.a6>b6

考点: 等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得数列的公差和公比,进而可得选项中的各个值,比较可得. 解答: 解:∵a1=8,a4=1,∴d= =﹣ ,

∵b1=8,b4=1,∴q = ∴b2=4<a2=

3

= ,∴q= ,

,∴b3=2<a3=

, ,

∴b5= >a5=﹣ ,∴b6= >a6=﹣

故选:A 点评: 本题考查等差数列和等比数列的通项公式,属基础题.

6. (5 分)设 A1,A2 分别为椭圆 使得 A.(0, )

=1(a>b>0)的左、右顶点,若在椭圆上存在点 P,

>﹣ ,则该椭圆的离心率的取值范围是() B.(0, ) C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据题意设 P(asinα,bcosα) ,所以根据条件 可得到 ,b
2

换上 a ﹣c 从而可得到

2

2

,再根据 a,c>0,即可解出离心率 的取值范围.

解答: 解:设 P(asinα,bcosα) ,A1(﹣a,0) ,A2(a,0) ; ∴ , ;











,a,c>0;

∴解得

; ) .

∴该椭圆的离心率的范围是(

故选:C. 点评: 考查椭圆的标准方程,椭圆的顶点的定义,顶点的坐标,由点的坐标求直线的斜率, 2 2 2 以及 b =a ﹣c ,椭圆斜率的概念及计算公式,设出 P 点坐标是求解本题的关键.

7. (5 分)定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x≥0 时,f(x)= 则函数 F(x)=f(x)﹣ A. B. 的所有零点之和为() C. D.



考点: 函数零点的判定定理;分段函数的应用. 专题: 数形结合;函数的性质及应用.

分析: 得出 x<0 时,f(x)=

画出 R 上的图象,构造 f

(x)与 y=

交点问题,利用对称性求解,注意确定交点坐标求解.

解答: 解: ∵定义在 R 上的奇函数 ( f x) , 当 x≥0 时, ( f x) =



∴x<0 时,f(x)=

画出图象:

∵函数 F(x)=f(x)﹣ ∴f(x)与 y=



交点的横坐标,

根据图象可设交点的横坐标从左到右为 x1,2,x3,x4,x5,

根据图象的对性可知;x1+x2=﹣6,x4+x5=6, ∴x1+x2=x3=x4=x5=x3, ∵ = ,xx= , 的所有零点之和为: .

故函数 F(x)=f(x)﹣

故选:B 点评: 本题考查了函数的奇偶性,图象的对称性,函数的零点与构造函数交点的问题,属 于中档题,关键是确定函数解析式,画图象. 8. (5 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的 动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S. ①当 0<CQ< 时,S 为四边形 ②截面在底面上投影面积恒为定值 ③存在某个位置,使得截面 S 与平面 A1BD 垂直 ④当 CQ= 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= 其中正确命题的个数为()

A.1

B. 2

C. 3

D.4

考点: 棱柱的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 对选项逐个进行检验即可,对于①:得到 0<DT<1,可以容易得到 S 为四边形;对 于②则找其投影三角形即可; 对于③, 则需要找线面垂直关系即可; 对于④, 则需补图完成. 解答: 解:设截面与 DD1 相交于 T,则 AT∥PQ,且 AT=2PQ?DT=2CQ. 对于①,当 0<CQ< 时,则 0<DT<1,所以截面 S 为四边形,且 S 为梯形,故①正确; 对于②,截面在底面上投影为△ APC,其面积为 ,故②错误;

对于③,存在某个位置,使得截面 S 与平面 A1BD 垂直,故③正确; 对于④,右补充一个正方体后,得到 S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= ,故④正确; 故选:C. 点评: 本题重点考查了空间几何体的结构特征、空间中点线面的位置关系等知识,对于中 点问题的处理思路是:无中点,取中点,相连得到中位线.属于中档题. 二、填空题(第 9 题至第 12 题,每小题 6 分;第 13 题至第 15 题每小题 6 分,共 36 分) 9. (6 分)函数 f(x)=sinx+cosx 的最小正周期为 2π,单调增区间为[2kπ﹣ = . ,2kπ+ ],

考点: 正弦函数的图象;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用辅助角公式将三角函数进行化简即可得到结论. 解答: 解:f(x)=sinx+cosx= 则函数的周期 T= 由 2kπ﹣ 解得 2kπ﹣ ≤x+ =2π, ≤2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z, ,k∈Z, ,2kπ+ ], sin(x+ ) ,

故函数的递增区间为[2kπ﹣

f(

)=

sin(

+

)=

sin ],

= .

=



故答案为:2π,[2kπ﹣

,2kπ+

点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质,利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键. 10. (6 分) 已知点 M (2, 1) 及圆 x +y =4, 则过 M 点的圆的切线方程为 x=2 或 3x+4y﹣10=0, 若直线 ax﹣y+4=0 与圆相交于 A、B 两点,且|AB|=2 ,则 a= . 考点: 圆的切线方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 当切线方程的斜率不存在时,显然 x=2 满足题意,当切线方程的斜率存在时,设斜 率为 k,利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离 d,根据 d=r 列出关于 k 的方程, 解之即可求出所求;由题意易知圆心到直线的距离等于 1(勾股定理) ,然后可求 a 的值. 2 2 解答: 解:由圆 x +y =4,得到圆心坐标为(0,0) ,半径 r=2, 当过 P 的切线方程斜率不存在时,显然 x=2 为圆的切线; 当过 P 的切线方程斜率存在时, 设斜率为 k,P(2,1) , ∴切线方程为 y﹣1=k(x﹣2) ,即 kx﹣y﹣2k+1=0, ∵圆心到切线的距离 d= =r=2,
2 2

解得:k=﹣ , 此时切线方程为 3x+4y﹣10=0, 综上,切线方程为 x=2 或 3x+4y﹣10=0. ∵直线 ax﹣y+4=0 与圆相交于 A、B 两点,且|AB|=2 ∴圆心(0,0)到直线的距离等于 1, ∴ =1,



∴a= . 故答案为:x=2 或 3x+4y﹣10=0; . 点评: 本题主要考查了直线圆的位置关系,以及切线的求解方法,同时考查了运算求解的 能力,属于基础题.
3

11. (6 分) 某空间几何体的三视图 (单位: cm) 如图所示, 则其体积是 cm , 表面积是 2
2

cm



考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可得该几何体是正方体的内接正四棱锥,由三视图中的数据和间接法求出 几何体的体积,再由三角形的面积公式求出表面积. 解答: 解:由三视图可得,该几何体是棱长为 1 的正方体的内接正四棱锥, 所以此正四棱锥的体积 V=1﹣4× 由图可得正四面体的棱长是 所以表面积 S=4× × 故答案为: ;2 . , =2 cm .
2

= cm ,

3

点评: 本题考查了正方体的内接正四棱锥的体积、表面积,解题的关键是由三视图正确还 原几何体,并求出几何体中几何元素的长度,考查空间想象能力.

12. (6 分)设实数 x,y 满足

,则动点 P(x,y)所形成区域的面积为 12,z=|x﹣

2y+2|的取值范围是[0,18]. 考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;作图题;不等式的解法及应用. 分析: 由题意作出其平面区域,从而利用三角形的面积公式求面积,再由 z=|x﹣2y+2|的几 何意义是阴影内的点到直线 x﹣2y+2=0 的距离的 倍求其取值范围,从而解得. 解答: 解:由题意作出其平面区域,

可知 A(﹣4,8) ,B(2,2) ; 故动点 P(x,y)所形成区域的面积 S= ×4×(4+2)=12; z=|x﹣2y+2|的几何意义是阴影内的点到直线 x﹣2y+2=0 的距离的 倍; 故 0≤|x﹣2y+2|≤|﹣4﹣2×8+2|=18; 即 0≤z≤18; 故答案为:12,[0,18]. 点评: 本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,用到了表达式的几何意义的转化,属 于中档题.
2

13. (4 分)已知点 P 是双曲线 y ﹣ 分别为 A、B,则线段|AB|的最小值为

=1 上任意一点,过点 P 分别作两渐近线的垂线,垂足 .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 P(m,n) ,则 n ﹣
2

=1,求出双曲线的渐近线方程,求得 P 到渐近线的距离,

由渐近线的倾斜角结合条件可得∠APB=180°﹣120°=60°,运用余弦定理,可得|AB|的表达式, 化简整理,再由双曲线的性质,即可得到最小值. 解答: 解:设 P(m,n) ,则 n ﹣ 双曲线 y ﹣
2 2

=1, x

=1 的渐近线方程为 y=±

设|PA|=

=



|PB|=



由于∠AOB=120°, 则∠APB=180°﹣120°=60°, 2 2 2 由余弦定理可得|AB| =|PA| +|PB| ﹣2|PA|?|PB|cos60°, 即有|AB| =
2

+

﹣2×

×

×

=



=

=

= (1+ m )≥ (当 m=0 时取得等号) , .

2

则有|AB|的最小值为 故答案为: .

点评: 本题考查双曲线的方程和性质,主要考查渐近线方程的运用,同时考查点到直线的 距离公式和余弦定理的运用,属于中档题. 14. (4 分)已知实数 x、y 满足 4x +y ﹣xy=1,且不等式 2x+y+c>0 恒成立,则 c 的取值范围 是( ,+∞) .
2 2

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 综合题;不等式的解法及应用. 分析: 由 4x +y ﹣xy=1,得出 2x+y=± >﹣(2x+y)= ;
2 2 2 2

,再根据不等式 2x+y+c>0 恒成立,得出 c

利用基本不等式 4x +y ≥2?2x?y,求出 xy≤ ,代入上式,求出 c 的取值范围. 解答: 解:∵4x +y ﹣xy=1, 2 ∴(2x+y) =1+5xy, ∴2x+y=± ;
2 2

又∵不等式 2x+y+c>0 恒成立, ∴2x+y>﹣c; 令﹣ >﹣c, 得 c> ; 2 2 又∵4x +y ≥2?2x?y=4xy,当且仅当 2x=y 时“=”成立, ∴4xy﹣xy≤1, 即 xy≤ ; ∴c> ≥ = ;

∴c 的取值范围是( 故答案为: (

,+∞) .

,+∞) .

点评: 本题考查了基本不等式的应用问题,也考查了不等式的解法与应用问题,是综合性 题目. 15. (4 分)如图,圆 O 为 Rt△ ABC 的内切圆,已 AC=3,BC=4,AB=5,过圆心 O 的直线 l 交圆 O 于 P、Q 两点,则 ? 的取值范围是[﹣7,1].

考点: 向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用;直线与圆. 分析: 以 O 为坐标原点,与直线 BC 平行的直线为 x 轴,与直线 AC 平行的直线为 y 轴,建 立直角坐标系,设△ ABC 的内切圆的半径为 r,运用面积相等可得 r=1,设出圆的方程,求得 交点 P,Q,讨论直线的斜率 k 不存在和大于 0,小于 0 的情况,运用向量的坐标运算,结合 数量积的坐标表示和不等式的性质,计算即可得到范围. 解答: 解:以 O 为坐标原点,与直线 BC 平行的直线为 x 轴, 与直线 AC 平行的直线为 y 轴,建立直角坐标系, 设△ ABC 的内切圆的半径为 r, 运用面积相等可得, = r(3+4+5) ,

解得 r=1, 则 B(﹣3,﹣1) ,C(1,﹣1) , 2 2 即有圆 O:x +y =1, 当直线 PQ 的斜率不存在时,即有 P(0,1) ,Q(0,﹣1) , =(3,3) , =(﹣1,0) ,即有 =﹣3.

当直线 PQ 的斜率存在时,设直线 l:y=kx, (k<0) , 代入圆的方程可得 P(﹣ ,﹣ ) ,Q( , ) ,

即有

=(3﹣

,1﹣

) ,

=(

﹣1,

+1) ,

则有

=(3﹣

) (

﹣1)+(1﹣

) (

+1)

=﹣3+



由 1+k ≥1 可得 0<

2

≤4,

则有﹣3<﹣3+

≤ 1.

同理当 k>0 时,求得 P(



) ,Q(﹣

,﹣

) ,



═﹣3﹣



可得﹣7≤﹣3+

<﹣3. .

综上可得,

?

的取值范围是[﹣7,1].

故答案为:[﹣7,1].

点评: 本题考查向量的数量积的坐标表示,主要考查向量的坐标运算,同时考查直线和圆 联立求交点,考查不等式的性质,属于中档题. 三、解答题(第 16 题至第 19 题,每题 15 分;第 20 题 14 分,共 74 分) 16. (15 分)如图,在△ ABC 中,D 为 AB 边上一点,DA=DC,已知 B= ,BC=1.

(Ⅰ)若△ ABC 是锐角三角形,DC=

,求角 A 的大小;

(Ⅱ)若△ BCD 的面积为 ,求边 AB 的长.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)在△ BCD 中,由正弦定理得到∠BDC,又由 DA=DC,即可得到∠A; (Ⅱ)由于△ BCD 面积为 ,得到 ?BC?BD?sin = ,得到 BD,再由余弦定理得到

CD2=BC2+BD2﹣2BC?BD?cos

,再由 DA=DC,即可得到边 AB 的长. ,BC=1,DC= , ,

解答: 解: (Ⅰ)在△ BCD 中,B= 由正弦定理得到:

解得 sin∠BDC=

=



则∠BDC=



.△ ABC 是锐角三角形,可得∠BDC= .



又由 DA=DC,则∠A= (Ⅱ)由于 B= 则 ?BC?BD?sin

,BC=1,△ BCD 面积为 , = ,解得 BD=
2 2 2



再由余弦定理得到 CD =BC +BD ﹣2BC?BD?cos =1+ ﹣2× 故 CD= , , × = ,

又由 AB=AD+BD=CD+BD= 故边 AB 的长为: .

点评: 本题考查了正弦定理和余弦定理结合去解三角形,属于中档题.

17. (15 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn+2=2an(n∈N ) . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)令 bn=log2an,Tn= + …+ ,求满足 Tn≤ 的最大正整数 n 的值.

*

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由数列递推式求得首项,取 n=n﹣1 得另一递推式,作差后可得数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,由等比数列的通项公式得答案; (Ⅱ)由 bn=log2an 求得 bn,然后利用错位相减法求得 Tn,作差判断出 Tn 为递增数列,再由 数列的函数特性求得满足 Tn≤ 的最大正整数 n 的值为 6.
*

解答: 解: (Ⅰ)由 Sn+2=2an(n∈N ) . 当 n=1 时,求得 a1=2, 当 n≥2 时,Sn﹣1=2an﹣1﹣2, 两式作差得:an=2an﹣2an﹣1,即 an=2an﹣1(n≥2) , ∴数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, 则 (Ⅱ)bn=log2an= ; ,

∴Tn=

+…+

=

①, ②,

①﹣②得:

=



∴ 令 f(n)=

. ,则 f(n+1)﹣f(n)= , = ,

∴f(n)为增函数,又∵f(6)=2﹣ ∴满足 Tn≤ 的最大正整数 n 的值为 6.

点评: 本题考查了等比关系的确定,考查了错位相减法求数列的和,考查了数列的函数特 性,是中档题.

18. (15 分)等腰梯形 ABCD,AB∥CD,DE⊥AB,CF⊥AB,AE=2,沿 DE,CF 将梯形折 叠使 A,B 重合于 A 点(如图) ,G 为 AC 上一点,FG⊥平面 ACE.

(Ⅰ)求证:AE⊥AF; (Ⅱ)求 DG 与平面 ACE 所成角的正弦值. 考点: 直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (I)由 FG⊥平面 ACE,可得 FG⊥AE,由 CF⊥AF,CF⊥EF,可得 CF⊥平面 AEF, 可得 CF⊥AE,AE⊥平面 ACF,即可证明; (II)如图所示,建立空间直角坐标系.则 E(0,0,0) ,A ,D(0,0,2) ,G ,

.设平面 EAC 的法向量为 =(x,

y, z) , 则

, 设 DG 与平面 ACE 所成角为 θ, 利用 sinθ=

=

即可得出. 解答: (I)证明:∵FG⊥平面 ACE,∴FG⊥AE, ∵CF⊥AF,CF⊥EF,AF∩EF=F, ∴CF⊥平面 AEF, ∴CF⊥AE,又 FG∩CF=F, ∴AE⊥平面 ACF, ∴AE⊥AF; (II)解:如图所示,建立空间直角坐标系. 则 E(0,0,0) ,A , ,D(0,0,2) , . = .

利用三角形中位线定理与等腰直角三角形的性质可得:G ∴ = , = ,

设平面 EAC 的法向量为 =(x,y,z) ,则 令 y=﹣1,解得 x=1,z= ∴ = . .



设 DG 与平面 ACE 所成角为 θ. 则 sinθ= = = = .

点评: 本题考查了空间线面面面位置关系的判定及其性质、空间角的求法、等腰直角三角 形的性质、三角形的中位线定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
2

19. (15 分)已知抛物线 C:y =2px(p>0)上的点 M 到直线 l:y=x+1 的最小距离为 N 在直线 l 上,过点 N 作直线与抛物线相切,切点分别为 A、B. (Ⅰ)求抛物线方程; (Ⅱ)当原点 O 到直线 AB 的距离最大时,求三角形 OAB 的面积. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)设 y=x+b 与抛物线 y =2px(p>0)相切,且与 l:y=x+1 的最小距离为
2

.点



求出 b,再将直线方程与抛物线方程联立,利用△ =0,即可求抛物线方程; (Ⅱ) 当原点 O 到直线 AB 的距离最大时, 求出直线 AB 的方程, 即可求三角形 OAB 的面积. 解答: 解: (Ⅰ)设 y=x+b 与抛物线 y =2px(p>0)相切,且与 l:y=x+1 的最小距离为 则 = ,∴b= 或 (舍去) ,
2 2 2



y=x+ 与抛物线 y =2px 联立,可得 x +(1﹣2p)x+ =0, ∴△=(1﹣2p) ﹣4=0, ∴p=1 或 p=0(舍去) , 2 ∴抛物线方程为 y =2x; (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,N(x0,y0) ,则 过点 A 的切线方程为 yy1=x+x1, 点 N 在直线上,故有 y0y1=x0+x1, 同理,y0y2=x0+x2, 故直线 AB 的方程为 y0y=x0+x, y0=x0+1 代入整理可得(y﹣1)x0+1﹣x=0, ∴AB 恒过(1,1) , O 到直线 AB 距离最大,显然直线 AB 的方程为 y=﹣x+2, 2 代入抛物线方程,整理得 x ﹣6x+4=0, ∴x1+x2=6,x1x2=4, ∴|AB|= =2 ,
2

∴原点 O 到直线 AB 的距离最大时,三角形 OAB 的面积为

=2



点评: 本题考查抛物线方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查三角形面积的计算,考 查学生分析解决问题的能力,确定抛物线的方程是关键. 20. (14 分)已知函数 f(x)=x ﹣(a+1)x﹣4(a+5) ,g(x)=ax ﹣x+5,其中 a∈R (1)若函数 f(x) ,g(x)存在相同的零点,求 a 的值 (2)若存在两个正整数 m,n,当 x0∈(m,n)时,有 f(x0)<0 与 g(x0)<0 同时成立, 求 n 的最大值及 n 取最大值时 a 的取值范围. 考点: 函数零点的判定定理;数列的求和. 专题: 分类讨论;函数的性质及应用. 分析: (1)解方程 x ﹣(a+1)x﹣4(a+5)=0,由函数 f(x) ,g(x)存在相同的零点, 2 代入 ax ﹣x+5=0 求解即可. (2)根据 f(x)<0,得出 a>﹣5,即 N=(0,a+5)
2 2 2

分类讨论①当 a<0 时,求解得 m<n≤4,当且仅当 ②当 a=0 时,M∩N=?,不合题意, ③当 a>0 时故 总结可得到答案. 无解,



解答: 解: (1)解方程 x ﹣(a+1)x﹣4(a+5)=0 得:x=﹣4,或 x=a+5, 由函数 f(x) ,g(x)存在相同的零点, 2 则﹣4,或 a+5 为方程 ax ﹣x+5=0 的根, 将﹣4 代入 ax ﹣x+5=0 得:16a+9=0,解得:a=
2 3 2 2

2



将 a+5 代入 ax ﹣x+5=0 得:a +10a +24a=0,解得:a=﹣6,或 a=﹣4,或 a=0, 综上 a 的值为 ,或﹣6,或﹣4,或 0;

(2)令 f(x)<0,则﹣4<x<a+5, ∵正整数 m,n, ∴a+5>0, 即 a>﹣5, 即 N=(0,a+5) 2 令 g(x)<0,即 ax ﹣x+5<0,的解集为 M,则由题意得区间(m,n)?M∩N. 2 ①当 a<0 时,因为 g(0)=5>0,故只能 g(a+5)=a[(a+5) ﹣1]<0, 即 a>﹣4,或 a<﹣6, 又因为 a>﹣5, 所以﹣4<a<0, 此时 n≤n+5<5 ∵正整数 m,n,

∴m<n≤4,

当且仅当



即﹣1

时,n 的最大值为 4.

②当 a=0 时,M∩N=?,不合题意, 2 ③当 a>0 时,因为 g(0)=5>0,所以只能 g(a+5)=a[(a+5) ﹣1]>0, 故 无解,

综上,n 的最大值为 4.a 的取值范围﹣1



点评: 本题考查了函数的零点,不等式,方程的根,分类讨论的思想,综合性较强,属于 难题.


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