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圆锥曲线标准方程与性质学案与基础题(含答案)


专题:圆锥曲线
一、知识精讲
☆椭圆篇 1.椭圆的定义:2.椭圆的方程: (点的位置决定了标准方程的形式) 3.几何性质: (以焦点在 x 轴上为例) (1)范围: (2)对称轴: (3)离心率(4)准线方程是(5)通径的长 4.椭圆的焦半径公式|MF2|=a-ex0; |PF2|=a+ex0。 ☆双曲线篇 1.双曲线的标准方程:2.几何性质: (1)范围:

(2)对称轴: (3)离心率(4)准线方程是(5)通径 的长(6)渐近线方程: ☆抛物线篇 1.抛物线的标准方程:以开口向右为例: y ? 2 px( p ? 0) ,其焦点为: (
2

p p ,0) ,准线为: x ? ? ; 2 2

说明:①焦点的位置不同决定了方程的形式; ②焦点到准线的距离= p ; ③焦点到顶点的距离=顶点到准线的距离= ④通径长= 2 p (通径是最短的焦点弦) ; 2.焦半径和焦点弦:以 y 2 ? 2 px( p ? 0) 为例: (1)焦半径: CF ? x0 ?

p ; 2

p ; 2 p p ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p ; 2 2

(2)焦点弦: CD ?| CF | ? | DF |? x1 ?

二、以题说法
题型一、圆锥曲线定义以及标准方程题型 1(2005 上海).若椭圆长轴长与短轴长之比为 2,它的一个焦点是 (?2 15?,0?) ,则椭圆的方程为 2.(2008 辽宁)在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 0?, ? 3 ??, 0?, 3 ? 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹 为 C ,则 C 的方程为 3.(2009 山东)设椭圆 E : ? 圆 E 的方程为

?

? ?

?

x2 y 2 ? ? 1?? ?a?, b ? 0 ? 过 M ?2?, ?? ?, N ? 6?,1? 两点, O 为坐标原点,则椭 a 2 b2
.

?

? ?

?

4.(2010 安徽)已知椭圆 E 经过点 A? 2?,3? ,对称轴为坐标轴,焦点 F 1?, F 2 在 x 轴上,离心率 e ? 圆 E 的方程为

1 ,则椭 2

5. (2005 上海)若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的一个焦点是 (? 10?,0?) ,则该双曲线的方程是 6.(2006 上海)已知双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标是 (?3?,0) ,且焦距与虚轴长之比是 5 : 4 ,则该

双曲线的方程是

? ? 3 ,且 G 上一点到 G 的两个焦 2

7.(2009 广东)已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为 8.(2008 天津)设椭圆

1 x2 y 2 ? 2 ? 1?? m ? ??? n ? ?? 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同,离心率为 , 2 2 m n

则此椭圆的方程为 题型二、圆锥曲线性质题型 1. 椭圆 5x 2 ? k y 2 ? 5 的一个焦点是 (0, 2) ,那么 k 等于( (A) ? 1 2. 设 F1,F2 是椭圆 (B) 1 ) (D) ? 5 (C) 5

4x 2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且 PF1 : PF2 ? 4 : 3 ,则 ?PF1 F2 的面积 49 6
B.6 C. 2 2 D. 4 2







A.4

答案:B 3. 设 x, y ? R ,且 2 y 是 1? x 和 1? x 的等比中项,则动点 ? x, y ? 的轨迹为除去 x 轴上点的 A.一条直线 答案:D 4.设 P 是双曲线 x ?
2





B.一个圆

C.双曲线的一支

D.一个椭圆

y2 ? 1 上的一点, F1、F2 是该双曲线的两个焦点,若 PF PF2 ? 3 : 2 ,求 ?F1 PF2 1: 12

的面积。 5. 已知 AB 是椭圆

x2 y2 ? =1 的长轴,若把线段 AB 五等份,过每个分点作 AB 的垂线,分别与椭圆的上 25 9


半部分相交于 C、D、E、G 四点,设 F 是椭圆的左焦点,则 FC ? FD ? FE ? FG 的值是(

A.15 B.16 C.18 D.20 答案:D 6. 11.椭圆满足这样的光学性质:从椭圆的一个焦点发射光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个 焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘,满足方程:

x2 y2 ? ? 1 ,点 A、B 是它的两个焦点,当 16 9

静止的小球放在点 A 处,从点 A 沿直线出发,经椭圆壁(非椭圆长轴端点)反弹后,再回到点 A 时,小球 经过的最短路程是( ). A.20 B.18 C.16 D.以上均有可能 2 2 4 7.已知双曲线 x ? y ? 1 的一条渐近线 y ? x ,则双曲线的离心率 e 为 3 m n

8.渐近线方程为 y ? 4 x ,并过点 A(6, 8 2 )的双曲线方程为 3 题型三、圆锥曲线离心率题型 1. 已知椭圆 E 的短轴长为 6,焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9,则椭圆 E 的离心率等于 A.

3 5

B.

4 5

C.

5 13

D.

12 13

答案:B

2. 已知点 A, F 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的右顶点和左焦点,点 B 为椭圆短轴的一个端点,若 a2 b2

BF ? BA =0,则椭圆的离心率 e 为( ▲ )

A.

1 ( 5 -1) 2

B.

1 ( 3 -1) 2

C.

5 2

D.

2 2

答案:A 3. 以椭圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为圆心的圆经过原点,且被椭圆的右准线分成弧长为 2 :1 的两段弧, a 2 b2

那么该椭圆的离心率等于( A. 答案:B
2 3

)
6 3

B.

C.

4 9

D.

3 2

4. 椭圆的长轴为 A1A2,B 为短轴一端点,若 ?A1 BA2 ? 120? ,则椭圆的离心率为 A. 答案:B 5.两个正数 a、b 的等差中项是 3 3 B. 6 3 C. 3 2 1 D. 2

9 x2 y2 ,一个等比中项是 2 5 ,且 a ? b, 则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 a b 2

A. 选D

5 3

B.

41 4

C.

5 4

D.

41 5

6.已知点 F 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且垂直于 x 轴的 a2 b2


直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( A. (1,+ ? ) 答案:B B. (1,2) C. (1,1+ 2 ) D. (2,1+ 2 )

7.已知双曲线

(a>0,b>0),若过右焦点 F 且倾斜角为 30°的直线与双曲线的右支有两个交点, ) C.[2,+∞) D.[ ,+∞)

则此双曲线离心率的取值范围是( A.(1,2) 答案:B 8..过双曲线 M: x ?
2

B.(1,

)

y2 ? 1 ?b ? 0? 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交 b2


于 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是( A. 10 答案:A B. 5 C.

10 3

D.

5 2


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