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广东省深圳市高级中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文


深圳市高级中学 2015 -2016 学年第一学期期末测试 高二文科数学

说明:本试卷由两部分组成。第一部分:期中前基础知识和能力考查,共 103 分;第二 部分:期中后知识考查,共 47 分。全卷共计 150 分。考试时间为 120 分钟。 1、答第一部分前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2、每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦 干净后,再涂其它答案,不能答在试题卷上。 3、考试结束,监考人员将答题卷收回。 4、参考公式和数据表: K 的观测值为 k
2

?

n ( ad ? bc ) 2 ( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

常用数据表:

P( K 2 ? k )

0.02 0.50 0.45 0.40 0.70 8 0.25 1.32 3 0.15 2.07 2 0.10 2.70 6 0.05 5 3.84 1 5.02 6.635 5 4 0.010

0.00 0.001 5 7.87 10.828 9

k
第Ⅰ卷(共 103 分)

一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,满分 45 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
2 1.“ x ? 1 ”是“ x ? x ? 0 ”的(

)

A.充分不必要条件 C.充要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )
2 2

1

2.若某空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是 ( A. 2 B. 1 C.

2 3

D.

1 3

3.若偶函数 f ( x) 在 ( ?? , 0] 内单调递减,则不等式 f (?1) ? f ( x) 的解集是( ) A. (??,?1) B. (?1,??) C. (?1,1) D. ( ? ?,?1) ? (1,??) 4 .已知向量 a ? (4,3) , b ? (?2,1) , 如果向量 a ? ? b 与 b 垂直, 则 | 2a ? ?b | 的值为 ( A.1 B. 5 C. 5 D. 5 5
1



5.已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合,且双曲线的离心率等 2 a b

2

于 5 ,则该双曲线的方程为( A. 5 x ?
2

4 y2 ?1 5

B. 5 x ?

5y2 ?1 4

C.

y2 x2 ? ?1 5 4
)

D.

x2 y2 ? ?1 5 4

6.设 x ? 0 , y ? 0 ,且 2 x ? y ? 20 ,则 lg x ? lg y 的最大值是 ( A. 50 B. 2 C. 1 ? lg 5

D. 1

7. 一名小学生的年龄和身高(单位:cm)的数据如下: 年龄 x 6 7 8 身高 y 118 126 136

9 144

? ,预测该学 由散点图可知,身高 y 与年龄 x 之间的线性回归直线方程为 ? y ? 8.8x ? a 生 10 岁时的身高为( ) A.154 B. 153 C.152 D. 151
8.设集合 A ? [0,1), B ? [1,2] ,函数 f ( x ) ? ?

?2 x , x ? A ? 4 ? 2 x, x ? B
)

,若 x0 ? A 且

f? ? f ? x0 ? ? ?? A
A.( log 2



则 x0 的取值范围是(

3 ,1 ) 2

B.( log3 2,1 )

C.(

2 ,1 ) 3

D.[0,

3 ] 4

?x ? 1 ? 9 . 设 不 等 式 组 ? x-2y+3 ? 0 所 表 示 的 平 面 区 域 是 ? 1 , 平 面 区 域 ?2 与 ? 1 关于直线 ?y ? x ?

3x ? 4 y ? 9 ? 0 对称,对于 ?1 中的任意一点 A 与 ?2 中的任意一点 B , | AB | 的最小值
为( A. )

28 5

B.

12 5

C.4

D.2

二、填空题 (本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 10.已知 a,b,c 分别是 ?ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a ? 1 且B 是 ,b ? 3,

A 与 C 的等差 中项,则 sin A = . 2 2 11. 在平面直角坐标系xOy中, 已知圆x +y =4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距 离为1,则实数c的取值范围是________.

2

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,共48分) 12. (本小题满分12分) 已知向量 a ? (sin ? , ?2)与b ? (1,cos? ) 互相垂直, 其中 ? ? (0, (Ⅰ)求 sin ? 和 cos ? 的值; (Ⅱ)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

13. (本小题满分 12 分) 已知数列

{an } 是等差数列, {bn } 是等比数列, a ? b1 ? 2 , b4 ? 54 , 且 1

a1 ? a2 ? a3 ? b2 ? b3 .
(Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {cn } 满足 cn ? an bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n . 14. (本小题满分 12 分)已知长方形 ABCD, AB=2 2 ,BC=1.以 AB 的中点 O 为原点建立(如 图 14)所示的平面直角坐标系 xoy . (Ⅰ)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得以弦 MN 为直径的 圆恰好过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. D

y
C

A 15. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的极大值;

O
图 14

B

x

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? 1, 0 ? a ? 1. 3

(Ⅱ) 若 x ??1 ? a,1 ? a? 时, 恒有 ?a ? f ?( x) ? a 成立 (其中 f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数) , 试确定实数 a 的取值范围. 第Ⅱ卷(共 47 分) 一、选择题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 16.复数 z ? 1 ? i ,则 ( ) A. ?1 ? i C. 1 ? i 17.阅读如图所示的程序框图,输出的 S 值为( A.0 B. 1 ? 2 C. 1 ?

2 ? z2 ? z B. ?1 ? i

D. 1 ? i ) D. 2 ? 1

2 2

18.张先生知道清晨从甲地到乙地有好、中、差三个班次的客车。但不知道具体谁先谁后。
3

他打算:第一辆看后一定不坐,若第二辆比第一辆舒服,则乘第二辆;否则坐第三辆。问张先 生坐到好车的概率和坐到差车的概率分别是( ) A.

1 1 、 3 3

B.

1 1 、 2 3

C.

1 1 、 2 6

D .

2 1 、 3 6
频率 组距
0.039 0.028 0.018 0.010 0.005
时速 30 40 50 60 70 80 km / h

二、填空题 (本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 19.200 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图 所示,则时速不低于 60km/h 的汽车数量为 20.观察下列数的特点:在 1, 2, 2,3,3,3, 4, 4, 4, 4, ??? 中, 第 100 项的值是 . 辆.

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤, 共 22 分) 21. (本小 题满分 10 分) 某中学共有学生 2000 人,各年级男、女生人数如下表: 高一年级 女生 男生 373 377 高二年级 高三年级

第 19 题图

x
370

y z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高二年级女生的概率是 0.19. (Ⅰ)求 x 的值; (Ⅱ)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在高三年级抽取多少名? (Ⅲ)已知 y ? 245, z ? 245 ,求高三年级中女生比男生多的概率. 22.(本小题满分 12 分)在研究色盲与性别的关系调查中,调查了男性 480 人,其中有 38 人患色盲, 调查的 520 个女性中 6 人患色盲, 根据以上的数据得到一个 2×2 的列联表 (图 22) (Ⅰ)请根据以上的数据完成这个 2×2 的列联表; (Ⅱ)若认为“性别与患色盲有关系” ,则出错的概率会是多少? 参考数据:
2 (38?514-442?6) 480?520?44?956

(38?6-442?514) (38?442-6?514) ? 0.02714 ; ; 480?520?44?956 ? 4.90618 480?520?44?956 ? 0.01791
2 2

患色盲 男 女 总计 图 22

不患色盲

总计 480 520 1000

高二文科数学参考答案
4

题号 答案 10. 14

1 A 1/2

2 B

3 D

4 D

5 B

6 C 16.D

7 B 17.B

8 A 18.C

9 C 19. 76 20.

11. (- 13,13)

12.已知向量 a ? (sin ? , ?2)与b ? (1,cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1) 求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

)。

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值。 10 2

13. (本小题满分 12 分)

{bn } 是等比数列, b4 ? 54 , a1 ? a2 ? a3 ? b2 ? b3 . 已知数列 {an } 是等差数列, 且 a1 ? b1 ? 2 ,
(Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式 (Ⅱ)数列 {cn } 满足 cn ? an bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n . 13. (本小题满分 12 分)
q 3 ?a ? ?b ? 解析:(Ⅰ)设 n 的公差为 d , n 的公比为 q ,由 b4 ? b1q ,得
3

?

54 ? 27 2 ,

从而 q ? 3 ,因此 bn ? 2 ? 3

n ?1

,又 a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 ? b2 ? b3 ? 6 ? 18 ? 24 ,

? a2 ? 8 , d ? a2 ? a1 ? 6 ,故 an ? 6n ? 4 , bn ? 2 ? 3n?1 ????????6 分

(Ⅱ) cn ? an bn ? 4 ? (3n ? 2) ? 3

n ?1

5

令 Tn ? 1? 3 ? 4 ? 3 ? 7 ? 3 ? … ? (3n ? 5) ? 3
0 1 2 1 2 3

n?2

? (3n ? 2) ? 3n ?1 ? (3n ? 2) ? 3n ?????9 分
7 (6n ? 7)3n ? 2 2

则 3Tn ? 1? 3 ? 4 ? 3 ? 7 ? 3 ? … ? (3n ? 5) ? 3

n ?1

两式相减得 ?2Tn ? 1 ? 3 ? 31 ? 3 ? 32 ? … ? 3 ? 3n ?1 ? (3n ? 2) ? 3n ? ?

? Tn ?

7 3n (6n ? 7) ? 4 4

,故 Sn ? 4Tn ? 7 ? (6n ? 7) ? 3

n

?????????12 分

14. (本小题满分 12 分) 已知长方形 ABCD, AB=2 2 ,BC=1.以 AB 的中点 O 为原点建立如图 8 所示的平面直角坐标系

xoy .
(Ⅰ)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得以弦 MN 为直径的 圆恰好过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

y
D C

A

O
图8

B

x

14. (本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为 ? 2,0 , 设椭圆的标准方程是 则

?

??

2,0 ,

? ? 2,1?.??1 分
?
2 2

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? .??2 分 a2 b2
2? ? 2

2a ? AC ? BC ?
??3 分

?

?

??

2

? ?1 ? 0? ?
2

?

2 ? 2 ? ?1 ? 0? ? 4 ? 2 2 ,? a ? 2

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 2 ? 2 .??4 分 x2 y2 ? 1. ??5 分 ? 椭圆的标准方程是 ? 4 2
(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2?k ? 0? .??6 分 设 M,N 两点的坐标分别为 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y 2 ?.

6

联立方程: ?

? y ? kx ? 2
2 2 ?x ? 2 y ? 4

消去 y 整理得, 1 ? 2k 2 x 2 ? 8kx ? 4 ? 0 有 x1 ? x2 ? ?

?

?

8k 4 , ???? 8分,x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

?9 分

若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 OM ? ON , 所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , 所以, x1 x2 ? ?kx1 ? 2??kx2 ? 2? ? 0 , 即 1 ? k 2 x1 x2 ? 2k ?x1 ? x2 ? ? 4 ? 0

?

?

4 1? k 2 16k 2 ? ?4?0 所以, 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2


?

?

???..10 分

8 ? 4k 2 ? 0, 得 k 2 ? 2, k ? ? 2. ??11 分 1 ? 2k 2 所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 ,或 y ? ? 2 x ? 2
所以存在过 P(0,2)的直线 l : y ? ? 2 x ? 2 使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点. ??12 分

15. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? 1, 0 ? a ? 1. 3

(1)求函数 f ( x) 的极大值; (2)若 x ??1 ? a,1 ? a? 时,恒有 ?a ? f ?( x) ? a 成立(其中 f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导 函数) ,试确定实数 a 的取值范围. 解: (1)∵ f ?( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ,且 0 ? a ? 1 ,?????????????1 分 当 f ?( x) ? 0 时,得 a ? x ? 3a ;当 f ?( x) ? 0 时,得 x ? a或x ? 3a ; ∴ f ( x) 的单调递增区间为 (a,3a) ;

f ( x) 的单调递减区间为 (??, a) 和 (3a,??) .?????????????3 分
故当 x ? 3a 时, f ( x) 有极大值,其极大值为 f ? 3a ? ? 1. ???????5 分

7

2 2 2 (2)∵ f ? ? x ? ? ? x ? 4ax ? 3a ? ? ? x ? 2a ? ? a , 2

当0 ? a ?

1 时, 1 ? a ? 2a , 3

∴ f ?( x ) 在区间 ?1 ? a,1 ? a? 内是单调递减.????????????????6 分 ∴ ? f( ? x) ?max ? f ? ?1-a? ? ?8a2 ? 6a ?1, ∵ ?a ? f ?( x) ? a ,∴ ?

? x) ? f( ?min ? f ? ?1+a ? ? 2a ?1.

? ?8 a 2 ? 6 a ? 1 ? a , ? 2a ? 1 ? ? a.

此时, a ?? .????????????????????????????8 分 当

1 ? a ? 1 时, ? f( ? x) ?max ? f ? ? 2a? ?a2 . 3

? ?0 ? a ? 1, ? a 2 ? a, ? 1 ? ? ∵ ?a ? f ?( x) ? a ,∴ ?2a ? 1 ? ?a, 即 ?a ? , ??10 分 3 ??8a 2 ? 6a ? 1 ? ?a. ? ? ? 7 ? 17 7 ? 17 ?a? . ? 16 ? 16
此时,

1 7 ? 17 .???????????????????????11 分 ?a? 3 16
? 1 7 ? 17 ? ? .?????????????12 分 16 ? ?3

综上可知,实数 a 的取值范围为 ? ,

21. (本小题满分 10 分) 某中学共有学生 20 00 人,各年级男、女生人数如下表: 高一年级 女生 男生 373 377 高二年级 高三年级

x
370

y z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在高三年级抽取多少名? (3)已知 y ? 245, z ? 245 ,求高三年级中女生比男生多的概率.

8

21 . (本小题满分 10 分) 解: (1)?

x ? 0.19 ,? x ? 380 2000

。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分

(2)高三年级人数为 y ? z ? 2000? ?373? 377 ? 380? 370? ? 500 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,应在高三年级抽取的人数为

48 . 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 ? 500 ? 12 (名) 2000
(3)设高三年级女生比男生多的事件为 A,高三年级女生、男生数记为 ? y , z ? ,由(2)知

y ? z ? 500 ,且 y 、 z ? N ,基本事件空间包含的基本事件有(245,255) , (246 ,254) ,
(247,253) , ┅, (255,245) 共 11 个. 事件 A 包含的基本事件有(251,249) , (252,248) , (253,247) , (254,246) , (255,245)共 5 个.

? P ( A) ?

5 11

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分

22(12 分)在研究色盲与性别的关系调查中,调查了男性 480 人,其中有 38 人患色盲,调 查的 520 个女性中 6 人患色盲, (1)根据以上的数据建立一个 2×2 的列联表 ; (2)若认为“性别与患色盲有关系” ,则出错的概率会是多少 解: (1) 患色盲 男 女 总计 38 6 44 不患色盲 442 514 956 总计 480 520 1000 ???? 5 分 (2)假设 H : “性别与患色盲没有关系” 先算出 K 的观测值:

k?
2

1000 ? (38 ? 514 ? 442 ? 6) 2 =27.14 480 ? 520 ? 44 ? 956

?? 8 分

则有 P( K ? 10.808) ? 0.001 即是 H 成立的概率不超过 0.001, 若认为“性别与患色盲有关系” ,则出错的概率为 0.001

???? 10 分

???? 12 分

9


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