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高考数学一轮复习-导数中恒成立问题总结


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姓名 学科 课题名称 数学

学生姓名 年级 高三 课时计划

填写时间 教材版本 4 人教 A 版 上课时间

导数中的恒成立问题 同步教学知识内容

教学目标 个性化学习问题解决 教学重点 教学难点

教师活动

一、 要点精讲
1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x , 那么函数 y 相应地有增量 ?y =f (x 0 + ?x ) -f (x 0 ) , 比值

?y ? y f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) 叫做函数 y=f(x)在 x 0 到 x 0 + ?x 之间的平均变化率,即 = 。 ?x ?x ?x
如果当 ?x ? 0 时,

?y 有极限,我们就说函数 y=f(x)在点 x 0 处可导,并把这个极限叫做 f(x) ?x

在点 x 0 处的导数,记作 f’(x 0 )或 y’| x ? x0 。 即 f(x 0 )= lim

?x ?0

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?y = lim 。 ? x ?x ?0 ?x

教学过程 说明: (1)函数 f(x)在点 x 0 处可导,是指 ?x ? 0 时, 在点 x 0 处不可导,或说无导数。 (2) ?x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量, ?x ? 0 时,而 ?y 是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的步骤(可由学生来归纳) : (1)求函数的增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ) ; (2)求平均变化率

?y ?y 有极限。如果 不存在极限,就说函数 ?x ?x

? y f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) = ; ?x ?x

(3)取极限,得导数 f’(x 0 )= lim

?y 。 ?x ? 0 ? x
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2.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) ) 处的切线

的斜率。也就是说,曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线的斜率是 f’(x 0 ) 。相应地,切线方 程为 y-y 0 =f/(x 0 ) (x-x 0 ) 。 3.常见函数的导出公式. (1) (C )? ? 0 (C 为常数) (3) (sin x)? ? cos x (5) (ln x ) ?
'

(2) ( x n )? ? n ? x n?1 (4) (cos x)? ? ? sin x (6) (e ) ? e
x ' x

1 x

4.两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( u ? v) ? u ? v .
' ' '

法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即: (uv) ? u v ? uv .
' ' '

若 C 为常数,则 (Cu) ? C u ? Cu ? 0 ? Cu ? Cu .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的
' ' ' ' '

导数: (Cu ) ? Cu .
' '

法则 3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以 分母的平方: ? ? ‘=

?u? ?v?

u ' v ? uv ' (v ? 0) 。 v2

5.导数的应用
' ( 1 )一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间可导,如果 f ( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为增函数;如果

f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数;如果在某区间内恒有 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常数;
(2)曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为 正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正; (3)一般地,在区间[a,b]上连续的函数 f ( x ) 在[a,b]上必有最大值与最小值。①求函数? ( x ) 在 (a,b)内的极值; ②求函数? ( x ) 在区间端点的值?(a)、?(b); ③将函数? ( x ) 的各极值与?(a)、?(b)比 较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。

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二、 导数题型总结 题型一:利用导函数解析式求原函数解析式 例 1:已知多项式函数 f ( x) 的导数

f / ( x) ? 3x2 ? 4x ,且 f (1) ? 4 ,求 f ( x)

例 2: 已知函数 f ( x) ? ax4 ? bx3 ? cx2 ? dx ? e 为偶函数, 它的图象过点 A(0, ?1) , 且在 x ? 1 处 的切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 ,求 f ( x)

题型二:求切线问题
1 3 例 1:已知曲线方程为 y= x 2 ? 2 ,则在点 P (1, ? ) 处切线的斜率为 2 2 为

,切线的倾斜角

例 2:求曲线

y?x

1 3

在原点处的切线方程

例 3:已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) ? 3 f ( ? x) ? x ? 8 ,则曲线
y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程是

3

题型三:求倾斜角 例 1: P 在曲线 y ? x 3 ? x ?
2 上移动, 在点 P 处的切线的倾斜角为α , 则α 的取值范围是______ 3

例 2: .曲线 y ? x 3 ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________;

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题型四:导数与函数图像问题
例 1:若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [ a, b] 上是增函数,则函数 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上的图象可能是 ... ( y y y ) y

o

a

b x

o

a B.

b x

o

a C.

b x

o

a D..

b x

A .
2

例 2 函数 y=ax + bx 与 y= log b x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可
| | a

能是( )

例 3 函数 y ? 2x ? x2 的图像大致是(



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例 4 设 f ?( x ) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系 中,不可能正确的是(
y y


y y

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

例 5.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图 1 所示,则导函数 y=f ?(x)可能为 ( )
y y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

图1

题型五:结合单调性求参数的取值范围 例 1:已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? x ?1 在 R 是单调函数,则实数 a 的取值范围是

例 2:已知函数 f ( x) ? 3x3 ? 2 x2 ?1在区间 (m, o) 上是减函数,则 m 的取值范围是

? ? ? ? 例 3:已知向量 a ? ( x2,x ? 1) , b ? (1 ? x, t ) ,若函数 f ( x) ? a? b 在区间 (?1,1) 上是增函数,
求 t 的取值范围

例 4:已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3(a ? 2) x ? 1 既有极大值又有极小值,则实数 a 的取值范围 是

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例 5:设函数 f ( x) ? x3 ? 6x ? 5 (1)求 f ( x) 的单调区间和极值 (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? a 有三个不同实根,求 a 的取值范围 (3)已知当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? k ( x ? 1) 恒成立,求实数 k 的取值范围

2 例 6:已知 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? 与x ? 1时取得极值 3

(1)求 a , b 的值 (2)若对 x ?[?1, 2] , f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围

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例 7:已知函数 f ( x) 的图象与函数 g ( x) ? x ? (1)求函数 f ( x) 的解析式 (2)若 h( x) ? f ( x) ?

1 ? 2 的图象关于点 A(0,1) 对称 x

a ,且 h( x) 在区间 (0, 2] 上是减函数求实数 a 的取值范围 x

题型六:求单调区间 例 1.设函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ? x ?1 , 0 ? x ? 2? ,求 f ( x) 的单调区间。

1 1 例 2.设函数 f ( x) ? ax 3 ? ax 2 ? x ? ? ,求 f ( x) 的单调区间。 3 2

题型七:求极值问题
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例 1.设函数 f ( x) ? 6x3 ? 3(a ? 2) x2 ? 2ax .(1)若 f ( x) 的两个极值点为 x1 , x2 ,且 x1 x2 ? 1 , 求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a ,使得 f ( x) 是 (??, ??) 上的单调函数?若存在,求出

a 的值;若不存在,说明理由.

例 2 已知函数 f ( x) ? 3ax4 ? 2(3a ? 1) x2 ? 4 x (I)当 a ?
1 时,求 f ( x) 的极值; 6

(II)若 f ( x) 在 ? ?1,1? 上是增函数,求 a 的取值范围

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例 3 设定函数 f ( x) ?

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) ,且方程 f ' ( x) ? 9 x ? 0 的两个根分别为 1,4。 3

(Ⅰ)当 a=3 且曲线 y ? f ( x) 过原点时,求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x) 在 (??, ??) 无极值点,求 a 的取值范围。

题型八:最值与参数问题 例 1:求抛物线 y ? x 2 上的点到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最短距离.

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例 2;已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 图象上一点 P(1, b) 处的切线斜率为 ?3 ,
g ( x) ? x 3 ? t ?6 2 x ? (t ? 1) x ? 3 2 (t ? 0)

(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)当 x ?[?1, 4] 时,求 f ( x) 的值域; (Ⅲ)当 x ? [1, 4] 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 t 的取值范围。

例 3、已知函数 f ( x) ?

1 1 3 (k ? 1) 2 x ? x , g ( x) ? ? kx ,且 f ( x) 在区间 (2,??) 上为增函数. 3 3 2

(1) 求实数 k 的取值范围; (2) 若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有三个不同的交点,求实数 k 的取值范围.

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例 4.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c, 过曲线y ? f ( x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 y=3x+1 (Ⅰ)若函数 f ( x)在x ? ?2 处有极值,求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数 y ? f ( x) 在[-3,1]上的最大值; (Ⅲ)若函数 y ? f ( x) 在区间[-2,1]上单调递增,求实数 b 的取值范围

例 5:已知三次函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? 1 和 x ? ?1 时取极值,且 f (?2) ? ?4 . (1) 求函数 y ? f ( x) 的表达式; (2) 求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值; (3) 若函数 g ( x) ? f ( x ? m) ? 4m (m ? 0) 在区间 [m ? 3, n] 上的值域为 [?4, 16] ,试求 m 、 n 应 满足的条件.

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例 6:已知 f ( x ) ? (1)当 | a | ?

2 3 x ? 2ax 2 ? 3x (a ? R ). 3

1 时, 求证 f ( x ) 在 (?1, 1) 内是减函数; 4

(2)若 y ? f ( x ) 在 (?1, 1) 内有且只有一个极值点, 求 a 的取值范围.

1 例 7:设函数 f ( x) ? ? x 3 ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b,0 ? a ? 1. 3

(1)求函数 f ( x) 的单调区间、极值. (2)若当 x ? [a ? 1, a ? 2] 时,恒有 | f ?( x) |? a ,试确定 a 的取值范围.

例 8.已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2ln x, h ? x ? ? x2 ? x ? a.
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(Ⅰ)求函数 f ?x ? 的极值; (Ⅱ)设函数 k ?x? ? f ?x? ? h?x?, 若函数 k ?x ? 在 ?1,3?上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值 范围.

1:求曲线 y ? x3 在点 (1,1) 出的切线与 X 轴,直线 x ? 2 所围成的三角形的面积 切线方程为 3x ? y ? 2 ? 0 三角形面积 S ?
8 3

课后作业

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2:求曲线 y ? x2 分别满足下列条件的切线方程 (1)平行于直线 y ? 4 x ? 5 (3)与 X 轴成 1350 的倾斜角 (2)垂直于直线 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 (4)过点 P(1, ?3) ,且与曲线相切的直线

4 3:若函数 f ( x ) ? ? x 3 ? bx 有三个单调区间,则 b 的取值范围是 3

4:求下列函数的单调区间 (1) f ( x) ? 3x4 ? 8x3 ? 6x2 ? 1 (2) f ( x) ? x3 ? ax (3) f ( x) ? x 2e? x

5:已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的两个极值点是 ?1和 3 ,且 f (0) ? ?7 , f / (0) ? ?18 , 求函数 f ( x) 的解析式

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6:已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ?1, a ? 0

? ? ? 求 f ( x) 的单调区间; ? ?? ? 若 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值,求 f ( x) 的最值。

7、已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? (2 ? a) x 2 ? (1 ? a) x(a ? 0). 3 2

(I)求 f ( x) 的单调区间; (II)若 f ( x) 在[0,1]上单调递增,求 a 的取值范围。

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9、已知函数 f ( x) ?

1 a 3 1 2 x ? x ,(a ? R, a ? 0) (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)令 g ( x) = x4 4 3 2

+f(x) (x∈R)有且仅有 3 个极值点,求 a 的取值范围.

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1 10:已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? bx 2 ? 3a 2 x(a ? 0) 在 x ? a 处取得极值, 3

(1)用 x, a 表示 f ( x) ; (2) 设函数 g ( x) ? 2 x3 ? 3af '( x) ? 6a 3 , 如果 g ( x) 在区间 (0,1) 上存在极小值, 求实数 a 的 取值范围.

11: (2006 全国卷)设 a 为实数,函数 f ? x ? ? x3 ? ax 2 ? ? a 2 ? 1? x 在 ? ??, 0 ? 和 ?1, ?? ? 都是增 函数,求 a 的取值范围。

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12. (2006 年江西卷)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=- (1)求 a、b 的值与函数 f(x)的单调区间

2 与 x=1 时都取得极值 3

(2)若对 x?〔-1,2〕 ,不等式 f(x)?c2 恒成立,求 c 的取值范围。

13.已知函数 f(x)=kx3-3x2+1(k≥0). (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)的极小值大于 0, 求 k 的取值范围.

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本 节 课 教 学 计 划 完 成 情 况 : 照 常 完 成 □ _____________________________ 学 生 的 接 受 程 度 : 完 全 能 接 受 □ ________________________________ 学 生 的 课 堂 表 现 : 很 积 极 □ ________________________________ 课后记

提 前 完 成 □

延 后 完 成 □ 不 能 接 受 □ 不 积 极 □

部 分 能 接 受 □ 一 般 □

比 较 积 极 □

学生上次作业完成情况:数量____% 完成质量____分

存在问题 ______________________________

配合需求:家长___________________________________________________________________________ 学管师_________________________________________________________________________

注 备
提交时间 教研组长审批 家长签名

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