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方法技巧5 离散型随机变量的应用


方法技巧 5

离散型随机变量的应用

【考情快递】 主要考查离散型随机变量的分布列、期望与方差的应用,常以解 答题形式出现. 方法 1:公式法 直接用公式计算离散型随机变量的分布列、期望与 解题步骤 方差. 适用于可直接用公式求解的问题.

适用情况

【例 1】?(2012· 黄冈中学月考)某社区

举办 2010 年上海世博会知识宣传活动,并 进行现场抽奖,抽奖规则是:盒中装有 10 张大小相同的精美卡片,卡片上分别 印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案,参加者每次从盒中抽取两 张卡片,若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖. (1)活动开始后,一位参加者问:盒中有几张“海宝”卡?主持人笑说:我只知 1 道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是3.求抽奖者获奖的概率; (2)现有甲、乙、丙、丁四个人依次抽奖,抽后放回,另一个人再抽,用 ξ 表示获 奖的人数,求 ξ 的分布列及 E(ξ),D(ξ). 解 (1)设“世博会会徽”卡有 n 张, C2 1 n 由C2 =3,得 n=6,故“海宝”卡有 4 张, 10 C2 2 4 抽奖者获奖的概率为C2 =15. 10 2? ? ?2? (2)由题意知,符合二项分布,且 ξ~B?4,15?,故 ξ 的分布列为 P(ξ=k)=Ck ?15? 4 ? ? ? ?
k?13?4-k

?15? ? ?

(k=0,1,2,3,4)或 0 ?13?4 ?15? ? ? 1 2 ?13? C115?15?3 4 ? ? 2 ? 2 ? ?13? C2?15?2?15?2 4 ? ?? ? 3 ? 2 ? ?13? C3?15?3?15? 4 ? ?? ? 4 ? 2 ?4 ?15? ? ?

ξ P

2 8 由 ξ 的分布列知,E(ξ)=4×15=15,

2 ? 104 2 ? D(ξ)=4×15×?1-15?=225. ? ? 方法 2:方程法 ① 利用题干条件列方程; 解题步骤 ②利用方程计算概率问题. 适用于基本事件的个数可以用集合理论来说明的问题.

适用情况

【例 2】?某工厂在试验阶段生产出了一种零件,该零件有 A、B 两项技术指标需 要检测, 设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概 5 11 率为12,至少一项技术指标达标的概率为12.按质量检验规定:两项技术指标都 达标的零件为合格品. (1)求一个零件经过检测,为合格品的概率是多少? (2)依次任意抽出 5 个零件进行检测,求其中至多 3 个零件是合格品的概率是多 少? (3)依次任意抽取该零件 4 个,设 ξ 表示其中合格品的个数,求 Eξ 与 Dξ. 解 (1) 设 A 、 B 两 项 技 术 指 标 达 标 的 概 率 分 别 为 P1 、 P2 , 由 题 意 得 :

5 ?1-P ?1-P ?P1· 2?+P2· 1?=12, ? ? 11 ?1-?1-P1??1-P2?=12 ?

?P1=3, ? 4 解得? 2 ?P2=3, ?

?P1=2, ? 3 或? 3 ?P2=4, ?

1 所以 P=P1P2=2,

1 即一个零件经过检测,为合格品的概率为2.
4?1? (2)任意抽出 5 个零件进行检测,其中至多 3 个零件是合格品的概率为 1-C5?2?5 ? ?

?1? 13 -C5?2?5=16. 5 ? ? 1? ? (3)依题意知 ξ~B?4,2?, ? ?

1 1 1 故 E(ξ)=4×2=2,D(ξ)=4×2×2=1. 方法运用训练 5 1.(2011· 雅礼中学英特班质检)A、B 两位同学各有五张卡片,现以投掷均匀硬币 的形式进行游戏,当出现正面朝上时 A 赢得 B 一张卡片,否则 B 赢得 A 一张卡 片.规定掷硬币的次数达 9 次时,或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设 X 表示游戏终止时掷硬币的次数. (1)求 X 的取值范围; (2)求 X 的数学期望 E(X). 解 (1)设正面出现的次数为 m,反面出现的次数为 n,

?|m-n|=5, 则?m+n=X, ?1≤X≤9,

可得:

当 m=5,n=0 或 m=0,n=5 时,x=5. 当 m=6,n=1 或 m=1,n=6 时,X=7. 当 m=7,n=2 或 m=2,n=7 时,X=9. 所以 X 的所有可能取值为:5,7,9. 2 1 ?1? (2)P(X=5)=2×?2?5=32=16; ? ? 5 1?1? P(X=7)=2C5?2?7=64; ? ? 1 5 55 P(X=9)=1-16-64=64; 1 5 55 275 E(X)=5×16+7×64+9×64= 32 . 2.甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛:第一局由甲、乙参加而丙轮 空,以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空, 比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满 6 局时停止, 设在每局中参 1 赛者胜负的概率均为2,且各局胜负相互独立,求: (1)打满 3 局比赛还未停止的概率;

(2)比赛停止时已打局数 ξ 的分布列与期望 E(ξ). 解 令 Ak,Bk,Ck 分别表示甲、乙、丙在第 k 局中获胜. (1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知,打满 3 局比 赛还未停止的概率为 1 1 1 P(A1C2B3)+P(B1C2A3)=23+23=4. (2)ξ 的所有可能值为 2,3,4,5,6,且 1 1 1 P(ξ=2)=P(A1A2)+P(B1B2)= 2+ 2= , 2 2 2 1 1 1 P(ξ=3)=P(A1C2C3)+P(B1C2C3)=23+23=4, P(ξ=4)=P(A1C2B3B4)+P(B1C2A3A4) 1 1 1 =24+24=8, P(ξ=5)=P(A1C2B3A4A5)+P(B1C2A3B4B5) 1 1 1 =25+25=16, P(ξ=6)=P(A1C2B3A4C5)+P(B1C2A3B4C5) 1 1 1 =25+25=16,

故有分布列 ξ P 2 1 2 3 1 4 4 1 8 5 1 16 6 1 16

1 1 1 1 1 47 从而 E(ξ)=2×2+3×4+4×8+5×16+6×16=16(局). 3.在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投 3 次;在 A 处每投 进一球得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分;如果前两次得分之和超过 3 分即停 止投篮,否则投第三次,某同学在 A 处的命中率 q1 为 0.25,在 B 处的命中率为 q2,该同学选择先在 A 处投一球,以后都在 B 处投,用 ξ 表示该同学投篮训练结

束后所得的总分,其分布列为 ξ P (1)求 q2 的值; (2)求随机变量 ξ 的数学期望 E(ξ); (3)试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小. 解 (1)设该同学在 A 处投中为事件 A, 在 B 处投中为事件 B,则事件 A,B 相互独立, 且 P(A)=0.25,P( A )=0.75,P(B)=q2,P( B )=1-q2. 根据分布列知 ξ=0 时,P( A B B )=P( A )P( B )P( B ) 0 0.03 2 P1 3 P2 4 P3 5 P4

=0.75(1-q2)2=0.03,所以 1-q2=0.2,q2=0.8. (2)当 ξ=2 时,P1=P( A B B + A B B)=P( A B B )+P( A B B)

=P( A )P(B)P( B )+P( A )P( B )P(B) =0.75q2(1-q2)×2=1.5q2(1-q2)=0.24. 当 ξ=3 时,P2=P(A B B )=P(A)P( B )P( B )=0.25(1-q2)2=0.01,

当 ξ=4 时,P3=P( A BB)=P( A )P(B)P(B)=0.75q2=0.48, 2 当 ξ=5 时,P4=P(A B B+AB)=P(A B B)+P(AB) =P(A)P( B )P(B)+P(A)P(B)=0.25q2(1-q2)+0.25q2=0.24, 所以随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 随机变量 ξ 的数学期望 E(ξ)=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63. (3)该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P( B BB+B B B+BB)=P( B BB)+P(B B B)+P(BB)
2 =2(1-q2)q2+q2=0.896; 2

0 0.03

2 0.24

3 0.01

4 0.48

5 0.24

该同学选择(1)中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大. 4.(2011· 效实中学 1 次月考)一个袋中装有若干个大小相同的黑球,白球和红 2 球.已知从袋中任意摸出 1 个球,得到黑球的概率是5;从袋中任意摸出 2 个球, 7 至少得到 1 个白球的概率是9. (1)若袋中共有 10 个球,①求白球的个数;②从袋中任意摸出 3 个球,记得到白 球的个数为 ξ,求随机变量 ξ 的数学期望 E(ξ). 7 (2)求证:从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球的概率不大于10.并指出袋 中哪种颜色的球个数最少. (1)解 ①记“从袋中任意摸出两个球, 至少得到一个白球”为事件 A, 设袋中白

球的个数为 x,
2 C10-x 7 则 P(A)=1- C2 =9,得到 x=5.故白球有 5 个. 10

②随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,3,
3 C5 1 C1C2 5 5 5 由于 P(ξ=0)=C3 =12,P(ξ=1)= C3 =12, 10 10 2 1 C5C5 5 1 P(ξ=2)= C3 =12,P(ξ=3)=12, 10

ξ 的分布列是 ξ P ξ 的数学期望 E(ξ)= (2)证明 0 1 12 1 5 12 2 5 12 3 1 12

1 5 5 1 3 ×0+ ×1+ ×2+ ×3= . 12 12 12 12 2

设袋中有 n 个球,其中 y 个黑球,

2 y 1 由题意得 y=5n,由 2y<n,2y≤n-1,所以 ≤2. n-1 记 “ 从 袋 中 任 意 摸 出 两 个 球 , 至 少 有 1 个 黑 球 ” 为 事 件 B , 则 P(B) =

2n 3n 2n 2n C1 5 C1 5 +C2 5 2 3 5 2 3 y 2 3 1 7 =5+5· =5+5· ≤5+5×2=10. 2 Cn n-1 n-1 2 n 所以白球的个数比黑球多,白球个数多于5n,红球的个数少于5.故袋中红球个数 最少.


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