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高考数学题型全归纳:正余弦定理的应用知识归纳(含答案)


正余弦定理在解决三角形问题中的应用
知识点归纳: 1.正弦定理:

a b c ? ? ? 2R ; sin A sin B sin C a b c 形式二: sin A= ; sin B= ; sin C= ; (角到边的转换) 2R 2R 2R
形式一: 形式三: a ? 2R ? sin A , b ? 2R ? sin B , c ? 2R ? sin C ; (边到角的转换) 形式四: S ?

1 1 1 (求三角形的面积) ab sin C ? bc sin A ? ac sin B ; 2 2 2

解决以下两类问题: 1) 、已知两角和任一边,求其他两边和一角; (唯一解) 2) 、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角) 。 若给出 a,b, A 那么解的个数为:无解( a ? b sin A ) ;一解( a ? b sin A或者a ? b sin A ) ; 两解( b sin A ? a ? b ) ; 2.余弦定理: 形式一: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? cos C
2 2 2 2 2 2 2 2 2 形式二: cos A ? b ? c ? a , cos B ? a ? c ? b , cos C ? a ? b ? c , (角到边的转 2bc 2ac 2ab

换) 解决以下两类问题: 1) 、已知三边,求三个角; (唯一解) 2) 、已知两边和它们得夹角,求第三边和其他两个角; (唯一解)

3、角平分线定理: AB ? AD ;其中 BD 为角 B 的角平分线。 BC DC 规律方法总结: 1、要正确区分两个定理的不同作用,围绕三角形面积公式及三角形外接圆直径展开三角形问 题的求解。 2、两个定理可以实现将“边、角混合”的等式转化成“边或角的单一”等式。 3、记住一些结论: A ? B ? C ? ? , A, B, C均为正角;S ?

1 ab sin C 等。 2

4、余弦定理的数量积表示式: cos A ?

BA ? CA 。 | BA || CA |

5.余弦定理中,涉及到四个量,利用方程思想,知道其中的任意三个量可求出第四个量。


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