当前位置:首页 >> 数学 >>

等差数列知识点汇总


数列(Sequences of numbers )的定义

按照一定的次序排列的一列数叫数列。

数列的本质
一个数列一旦给定,每个序号都唯一确定地对 应着数列中的一项,即 序号 1 2 3 4 … n…



a 1 a2 a3 a4 …

a n…
<

br />因此,数列的项是序号的函数(序号是 自变量,项是函数值),

序号从1开始依次增加时,对应的函数值按 次序排出就是数列,这就是数列的实质。
数列的图像是离散的点。

等差数列(arithmetic sequences)的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差

等于同一个常数 ,那么这个数列叫做等差数列,
这个常数叫做该等差数列的公差 (common difference),通常用“d”表示.

等差中项
如果 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a ? b 或 2A ? a ? b 差中项 .即
A? 2

a 与 b 的等

* a ? a ? d ( n ? 2 , n ? N ) 等差数列的定义式 n n?1

用定义式判断或证明一个数列为等差数列:
有穷数列 无穷数列

等差数列的递推公式

?a1 ? a ? ?an ? an?1 ? d ? n ? 2?
an ? a1 ? ? n ?1? d (n ? 2, n ? N * )

等差数列的通项公式

根据等差数列的定义式或通项公式 可以证明等差数列的如下性质:

性质1 推广的等差数列通项公式
an=aq+ (n-q)d
a p ? aq ? ? ?d ? ? p?q ? ?

性质2 “若下标和相等,则对应项的和相等”
更一般地,对于等差数列{an} ,若p+q=m+n,则 ap+aq=am+an(p、q、m、n均为正整数)

性质3
从等差数列的某一项开始,每间隔相同数目的项抽取 出来的项按照原来的顺序仍排成等差数列。
已知数列{a n }的通项公式为a n ? tn ? s, 则数列{a pn-q } ? q ?1 ? * ? t,s,p,q为常数,p,q ? N , n ? ? 是等差数列。 p ? ?

性质4

几个等差数列的线性组合仍为等差数列

已知数列{a n }与{b n }都是等差数列。且c n ? pa n ? qb n

? p, q为常数 ? , 则数列{cn }是等差数列。

3. 等差数列{a n }的前5项和为0,前10项和为-100,

求它的前20项的和。

练习. 等差数列{a n }的前m项和为0,前2m项和为-100,

求它的前4m项的和。

性质5
对于等差数列,Sk ,S2k ? Sk ,S3k ? S2k ……仍成等差数列。

等差数列的前n项和公式

等差数列的前n项和公式的推导
设Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an ?1? Sn ? an ? an?1 ? an?2 ? ?? a2 ? a1 ?2?

倒序 相加

?1? ? ?2? : 2Sn ? ?a1 ? an ? ? ?a2 ? an?1 ? ? ?a3 ? an?2 ? ? ?? (an ? a1 )

?
共n个括号

? a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ? ? an ? a1
?2Sn ? n(a1 ? an ) n(a1 ? an ) 由此得: S n ? 2

等 差 数 列 前 n 项 和 公 式

n( a1 ? an ) Sn= 2

用an= a1+(n-1)d代入上式
n( n ? 1) d Sn= na1 ? 2

以上为等差数列及其前n项和的基本内容 进一步地,

从函数的观点来看等差数列:
数列?an ?为等差数列 ? an ? pn ? q ? p、q为常数? 数列?an ?为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn ? a、b为常数?

例 已知一个等差数列的前10项的和是310,前 20项的和是1220,求其前n项和的公式。
解:设该数列的首项为a1,公差为d,依题意有

?a1 ? 4 ? 10 a1 ? 45 d ? 310 ?? ? ?d ? 6 ?20 a1 ? 190 d ? 1220 n(n ? 1) 2 ? S n ? 4n ? ? 6 ? 3n ? n 2
另解:设Sn=an2+bn

a ? 3 ? 100 a ? 10 b ? 310 ? 2 则 ? ? Sn ? 3n ? n ? ? ?b ? 1 ?400a ? 20b ? 1220

从函数的观点来看等差数列:
数列?an ?为等差数列 ? an ? pn ? q ? p、q为常数? 数列?an ?为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn ? a、b为常数?

Sn ? an ? bn ? a、b为常数? ? 数列?an ?为等差数列?
2



已知数列{a n }的前n项和为Sn ? n ? 2n.
2

(1)求数列{a n }的通项公式。(2)求证: {a n }是等差数列。

一般地,

Sn ? an2 ? bn ? a、b为常数? ? 数列?an ?为等差数列.
数列?an ?为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn ? a、b为常数?

例 变式

已知数列{a n }的前n项和为Sn ? n 2 ? 2n+1, 则{a n }是怎样的数列?
一般地,

Sn ? an ? bn ? c ? a、b为常数,c ? 0 ?
2

? 数列?an ? 从第二项开始为等差数列.

若数列?an ?的前n项和Sn ? an2 ? bn ? c ? a、b、c为常数?
则当c ? 0时,数列?an ? 为等差数列. 当c ? 0时,数列?an ? 从第二项开始为等差数列.

Sn与a n的关系: S1 ? a1 , Sn ? Sn ?1 ? an (n ? 2, n ? N )
*

n 练习:已知数列 {a n }的前 n项的和为 Sn ? , 求通项公式。 1? n

等差数列综合习题

1. 已知一个等差数列的前四项和为21,末四项和为67,

前n项和为286,求项数。

2.已知数列{a n }是等差数列,且a1 ? 2, 它的前五项和为20, 求Sn

S2n?1 ? ? 2n ? 1? an

等差数列{a n }中,a 2 ? 70, a 7 ? 30, 前n项和为Sn , 数列{ a n } 的前n项和为S/ n , 求S/ n
解: 先求得 an 设

? 86 ? 8n

Sn ? 82n ? 4n2

?86 ? 8n,1 ? n ? 10 bn ? an , 则 bn ? ? ?8n ? 86, n ? 10


相关文章:
等差数列知识点总结和题型分析
等差数列知识点总结和题型分析_数学_高中教育_教育专区。等差数列一.等差数列知识点:知识点 1、等差数列的定义: ①如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前...
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结_数学_高中教育_教育专区。等差数列知识点 等差数列 1. 定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常 数,那么...
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结_数学_高中教育_教育专区。等差数列知识点总结以及常考题型,不含答案等差数列知识清单 1、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一...
等差数列知识点汇总
等差数列知识点汇总_高一数学_数学_高中教育_教育专区。包含了全部的知识点,并附带高考练习题唯思达教育内部资料 唯思达版权所有 翻版必究 等差数列巩固 专题二 等差...
数列知识点所有性质总结
数列知识点所有性质总结_数学_高中教育_教育专区。等差等比数列,数列通项,数列求和,全在里面 数学 一、等差数列 1.等差数列的定义: a n ? a n ?1 ? d (...
高中数学数列知识点总结(经典)
高中数学数列知识点总结(经典)_数学_高中教育_教育专区。导航教育独家经典讲义数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质 定义: an?1 ? an ? d ( d...
等差数列知识点总结与基本题型
等差数列知识点总结与基本题型一、基本概念 1、等差数列的概念 (1)定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫 做...
等差数列知识点总结及练习(含答案)
1.等差数列的定义: an ? an?1 2.等差数列通项公式: 等差数列的性质总结 (n ? 2) ; ? d (d为常数) an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (...
等差数列知识点总结与基本题型
打铁全日制家教辅导 等差数列知识点总结与基本题型一、基本概念 1、等差数列的概念 (1)定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,...
更多相关标签:
等差数列知识点 | 等差数列知识点总结 | 等差等比数列知识点 | 说明文知识点汇总 | 小学英语知识点汇总 | 九年级英语知识点汇总 | 初中数学知识点汇总 | 高中数列知识点总结 |