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江西省重点中学协作体2015届高三第二次联考 数学文


江西省重点中学协作体 2015 届高三第二次联考 数学试卷(文)
满分 150 分 命题人:抚州一中 李振夹 考试时间 120 分钟 赵娟娟 九江一中 梅宋军

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中

,只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A ? ??1,0,1? ,集合 B ? x 1 ? 2 ? 4 ,则 A
x

?

?

B 等于 (

)

A. ??1,0,1?

B. ?1?

C. ??1,1?

D. ?0,1? )

2.设 i 是虚数单位,若复数 z ? A. 0 或 ?1

a 2 ? ai ? 0 ,则 a 的值为 ( 1? i
C. ?1 D.1

B. 0 或 1

3.已知命题 p : ?x0 ? R,sin x0 ? 2 ;命题 q : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 .则下列结论正确的是 ( A.命题是 p ? q 假命题 C.命题是 (?p) ? (?q) 真命题 B. 命题是 p ? q 真命题 D.命题是 (?p) ? (?q) 真命题

)

4. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 已知 a ? 2 ,b ? 2 3 , A ? A. 2 3 或 3 B. 2 3 C. 2 3 或 4 3 D. 3

?
6

, 则 ?ABC 的面积为(

)

? ? 0.76 x ? 71. 5.对于下列表格所示的五个散点,已知求得的线性回归方程为 y

x
y
则实数 m 的值为 ( A. 6.8 6. 在区域 ? ? A.

98
2
) B. 7

99 3

100

101

102 8

5

m

C. 7.2

D. 7.4 )

0 ? x ?1 2 2 内任意取一点 P( x, y ) ,则 x ? y ? 1 的概率是( ?0 ? y ? 1
B.

2? ? 4 4

? ?2
4

C.

? 4

D.

4 ?? 4

7. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为 ( ) A. ? B. 2? C. 3? D. 4?
-1-

开始

1

2 主视图

侧视图

1

输入 a, b, c

m?a
m?b


m?b

俯视图 7 题图



m? c
是 输出 m 结束



m?c

8 题图

8. 执行如图的程序框图,如果输入的 a ? log3 2, b ? log5 2, c ? log 2 3 ,那么输出 m 的值是 ( A. log5 2 B. log3 2 C. log2 3 D.都有可能

)

9. 已知函数① y ? sin x ? cos x ,② y ? 2 2 sin x cos x ,则下列结论正确的是( ) A. 两个函数的图象均关于点 ( ?

?
4

, 0) 成中心对称

B. 两个函数的图象均关于直线 x ? ? C. 两个函数在区间 ( ?

?
4

对称

? ?

, ) 上都是单调递增函数 4 4

D. 可以将函数②的图像向左平移

? 个单位得到函数①的图像 4

D 为线段 AB 的中点, P 为线段 CD 上任意一点, 10. 已知直角 ?ABC 中, 斜边 AB ? 6 , 则 ( PA ? PB) ? PC
的最小值为( A. ) B. ?

9 2

9 2

C. 2

D. ? 2

11. 中心在原点, 焦点在 x 轴上的双曲线 C 的离心率为 2 , 直线 l 与双曲线 C 交于 A, B 两点, 线段 AB 中
2 点 M 在第一象限,并且在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上,且 M 到抛物线焦点的距离为 p ,则直线 l 的斜率为



) A. 2 B.

3 2

C. 1

D.

1 2

-2-

12. 设函数 f ( x) ? x3 ? 2ex2 ? mx ? ln x ,记 g ( x ) ? 取值范围是( )

f ( x) ,若函数 g ( x) 至少存在一个零点,则实数 m 的 x

( ? ?, e2 ? ] B. (0, e 2 ? ] C. (e 2 ? A.

1 e

1 e

1 1 1 , ??] D. ( ? e2 ? , e2 ? ] e e e

第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.曲线 y ? x(2ln x ? 1) 在点 (1, ?1) 处的切线方程为 .

14. 已知过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 右焦点且倾斜角为 45 ? 的直线与双曲线右支有两个交点,则双曲线的离心率 a 2 b2
.
2

e 的取值范围是

15.设直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的倾斜角为 ? ,则 cos ? ? sin 2? 的值为

.

16. 已 知 函 数 f ( x ) 为 R 上 的 增 函 数 , 函 数 图 像 关 于 点 (3, 0) 对 称 , 若 实 数 x , y 满 足

f ( x2 ? 2 3x ? 9) ? f ( y 2 ? 2 y) ? 0 ,则

y 的取值范围是 x

.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 为等差数列, 数列 ?bn ? 满足对于任意 n ? N , 点 (bn, bn?1 ) 在直线 y ? 2 x 上,且 a1 ? b1 ? 2 ,
?

a2 ? b2 .
(1) 求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (2)若 cn ? ?

? ? an ? ?bn

n为奇数, n为偶数,

求数列 ?cn ? 的前 2 n 项的和 S 2 n .

18. (本小题满分 12 分) 两会结束后,房价问题仍是国民关注的热点问题, 某高校金融学一班的学生对某城市居民对房价的承受能 力 (如能买每平方米 6 千元的房子即承受能力为 6 千元) 的调查作为社会实践,进行调查统计,将承受能力数据 按 区 间
-3-

频率 组距

0.45

a
0.14 0.1 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5
千元

[2.5,3.5),[3.5, 4.5),[4.5,5.5),[5.5,6.5),[6.5,7.5] (千元)进行分组,得到如下统计图:
(1) 求 a 的值,并估计该城市居民的平均承受能力是多少元; (2)若用分层抽样的方法,从承受能力在 [3.5, 4.5) 与 [5.5, 6.5) 的居民中抽取 5 人,在抽取的 5 人中随机取 2 人,求 2 人的承受能力不同的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图 1 , ?ABC , AB ? AC ? 4 , ?BAC ? 起至 ?C ' DE ,如图 2 ,且 C ' 在面

2? , D 为 BC 的中点, DE ? AC ,沿 DE 将 ?CDE 折 3
C'
B D D

ABDE 上 的 投 影 恰 好 是 E , 连 接

M B

C 'B , M 是 C 'B 上 的 点 , 且

1 C ' M ? MB . 2
(1)求证: AM ∥面 C ' DE ; (2)求三棱锥 C '? AMD 的体积. 20. (本小题满分 12 分)

C

图1 E

A

E 图2 A

x2 y 2 设椭圆 M : 2 ? ? 1 a ? 2 的 右 焦 点 为 F1 , 直 线 l : x ? a 2
. OF1 ? 2 AF1 ? 0 (其中 O 为坐标原点) (1)求椭圆 M 的方程;

?

?

a2 a2 ? 2

与 x 轴交于点 A ,若

(2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, EF 为圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的任意一条直径( E 、F 为直径的两个端
2

点) ,求 PE ? PF 的最大值.

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ?

x ? ax . ln x

(1)若函数 f ( x) 在 (1,??) 上为减函数,求实数 a 的最小值; (2)若存在 x1 , x2 ?[e, e2 ] ,使 f ( x1 ) ? f ?( x2 ) ? a 成立,求正实数 a 的取值范围.
-4-

请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的 第一个题目计分,作答时请用 2 B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在 ?ABC 中, ?ABC ? 90? ,以 AB 为直径的圆 O 交

AC 于点 E ,点 D 是 BC 边的中点,连接 OD 交圆 O 于点

A

M.
(1)求证: DE 是圆 O 的切线; (2)求证: DE ? BC ? DM ? AC ? DM ? AB .

E

O
M B D

C

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? x ? 2? ? ? 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 6 ? ? ?

2 t 2 (t为 参 数 ) .在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取 2 t 2

相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 10 cos? . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B ,若点 P 的坐标为 ( 2,6) ,求 | PA | ? | PB | .

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? m-|x-2| , m ? R ,且 f ( x ? 2) ? 0 的解集为 [?1,1] . (1)求 m 的值; (2)若 a, b, c ? R ,且
?

1 1 1 ? ? ? m ,求 z ? a ? 2b ? 3c 的最小值. a 2b 3c

-5-

江西省重点中学协作体 2015 届高三第二次联考 2015 年八校联考
数 学(文科) 答 案

一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 A 5 B 6 D 7 D 8 A 9 C 10 B 11 D 12 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. x ? y ? 2 ? 0 14. 1 ? e ?

2

15.

8 5

16. [0, 3]

三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 解:(1)由点 (bn , bn?1 ) 在直线 y ? 2 x 上,有 即数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 2n ,

bn?1 ? 2 ,所以数列 ?bn ? 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列, bn
3分

又 a1 ? b1 ? 2 , a2 ? b2 ? 4 ,则 d ? a2 ? a1 ? 4 ? 2 ? 2 ,所以数列 ?an ? 是以 2 为首项, 2 为公差的等差数 列,即数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ; (2) cn ? ? 6分

? ? an ? ?bn

n为奇数, n为偶数,

所以 S2n ? (a1 ? a3 ? ?? a2n?1 ) ? (b2 ? b4 ? ?? b2n )

?

n(2 ? 4n ? 2) 4(1 ? 4 n ) ? 2 1? 4
12 分

4 ? 2n 2 ? (4 n ? 1) 3

18. (本小题满分 12 分) 解:(1)由 0.1 ? 0.1 ? 0.14 ? 0.45 ? a ? 1 ,所以 a ? 0.21 ,

2分

平均承受能力 x ? 3 ? 0.1 ? 4 ? 0.14 ? 5 ? 0.45 ? 6 ? 0.21 ? 7 ? 0.1 ? 5.07 , 即城市居民的平均承受能力大约为 5070 元; 5分

(2)用分层抽样的方法在这两组中抽 5 人, 即 [3.5, 4.5) 组中抽 2 人与 [5.5, 6.5) 抽 3 人,

5 2 设 [3.5, 4.5) 组中两人为 A 1, A 2 , [5.5, 6.5) 组中三人为 B1 , B2 , B2 ,从这 人中随机取 人,有

A1 A2 , A1B1 , A1B2 , A1B3 , A2 B1 , A2 B2 , A2 B3 , B1B2 , B1B3 , B2 B3 共 10 中 , 符 合 两 人 承 受 能 力 不 同 的 有

-6-

A1B1 , A1B2 , A1B3 , A2 B1 , A2 B2 , A2 B3 共 6 中,所以所求概率为 P ?
19. (本小题满分 12 分) (1) 证明: 过 M 作 MN ∥ C ' D ,交 BD 于 N ,连接 AN , 于是 DN ?

6 3 ? . 10 5

12 分

C'
B D D

M

?BAC ?

2? , D 为 BC 的中点,所以 3


1 NB ,又 AB ? AC ? 4 , 2

N
A
E 图2 A

B

C

图1 E

NB ?

4 3 3

?B ? 30?





A 2N?

2 A ?B

22 N ? B

?c A o ,得到 ?B s 3N 0? B? AN

4 3 , 所以 ?ANB ? 120? ,得 AN ∥ ED , 所以面 3

AMN ∥面 C ' DE ,即 AM ∥面 C ' DE ; (注:可以在翻折前的图形中证明 AN ∥ ED ) 6分 1 1 1 C ' M ? MB ,?VC '? AMD ? VB ? AMD ? VM ? ABD ,又 C ' E ? 面 ABD ,所以 M 到平面 ABD 的距 (2) 2 2 2
离 h ? 2 , S?ABD ? 2 3 ,所 以 VM ? ABD ? 12 分 20. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题设知, A(

1 4 3 2 3 ,即得三棱锥 C '? AMD的体积 为 . ? 2? 2 3 ? 3 3 3

a2 a ?2
2 2

, 0) , F1 ( a 2 ? 2, 0) a2 a ?2
2

由 OF 1 ? 2 AF 1 ? 0 ,得 a ? 2 ? 2(
2 解得 a ? 6

? a 2 ? 2)

所以椭圆 M 的方程为

x2 y 2 ? ?1 6 2
2

4分

(2)设圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的圆心为 N , 则 PE ? PF ? ( NE ? NP) ? ( NF ? NP) ? (? NF ? NP) ? ( NF ? NP)

? NP ? NF ? NP ?1
从而求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值. 因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P( x0 , y0 )
2

2

2

2

所以

x0 y 2 2 ? 0 ? 1,即 x0 ? 6 ? 3 y0 . 6 2
-7-

2

2

因为点 N ?0,2? ,所以 NP ? x0 ? ? y 0 ? 2? ? ?2? y 0 ? 1? ? 12
2 2 2 2

因为 y0 ?[? 2, 2] ,所以当 y0 ? ?1 时, NP 取得最大值 12 所以 PE ? PF 的最大值为 11 21. (本小题满分 12 分) 解:(1)由已知得 x ? 0, x ? 1. 因 f ( x ) 在 ?1 , +? ? 上为减函数,故 f ? ? x ? ? 所以当 x ? ?1 , +? ? 时, f ? ? x ?max ? 0 . 又 f ? ? x ? ? ln x ? 1 ? a ? ?( 1 )2 ? 1 ? a ? ?( 1 ? 1 ) 2 ? 1 ? a , 2 2分 12 分

2

ln x ? 1

? ln x ?

2

, +? ? 上恒成立. ? a ? 0 在 ?1

(ln x)

ln x

ln x

ln x

2

4

1 1 1 ? ,即 x ? e2 时, f ? ? x ?max ? ? a . ln x 2 4 1 1 1 所以 ? a ? 0 于是 a ? ,故 a 的最小值为 . 4 4 4


4分

(2)命题“若存在 x , x ?[e, e2 ] ,使 f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? a 成立”等价于“当 x1 , x2 ? e, e 2 时,有 1 2

? ?

f ( x1 ) min ? f ?( x2 ) max ? a?? .
1 1 ? a ,∴ f ? ? x ?max ? a ? . 4 4 1 问题等价于: “当 x ?[e, e2 ] 时,有 f ? x ? min ? ” . 4 1 ①当 a ? 时,由(1) , f ( x ) 在 [e, e2 ] 上为减函数, 4
由(1),当 x ?[e, e2 ] 时, f ? ? x ?max ? 则 f ? x ?min ? f e

6分

?

2

??

e2 1 1 1 ? ae 2 ? ,故 a ? ? 2 . 2 4e 2 4

8分

②当 a <

1 1 1 1 ' ? ) 2 ? ? a 在 [e, e2 ] 上的值域为 [ ? a, 1 ? a ] 时,由于 f ( x) ? ?( 4 ln x 2 4 4
'

(ⅰ) ? a ? 0 ,即 a ? 0 , f ( x) ? 0 在 [e, e2 ] 恒成立,故 f ( x ) 在 [e, e2 ] 上为增函数, 于是, f ( x) min ? f (e) ? e ? ae ? e ? (ⅱ) ? a ? 0 ,即 0 ? a ?

1 ,矛盾. 4

10 分

1 ' ,由 f ( x) 的单调性和值域知, 4

存在唯一 x0 ? (e, e2 ) ,使 f ?( x0 ) ? 0 ,且满足: 当 x ? (e, x0 ) 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 为减函数;当 x ? ( x0 , e2 ) 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 为增函数;
' '

-8-

所以, f min ( x) ? f ( x0 ) ?

x0 1 ? ax0 ? , x0 ? (e, e2 ) ln x0 4

所以, a ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ,与 0 ? a ? 矛盾. 2 4 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4 1 1 ? 2 2 4e
12 分

综上,得 a ?

22.(本小题满分 10 分) 解 : (1) 连 结 OE . ∵ 点

D 是 BC 的 中 点 , 点 O 是 AB 的 中 点 , ∴

A

1 OD // ? 2 AC ,∴ ?A ? ?BOD , ?AEO ? ?EOD .∵ OA ? OE ,∴ ?A ? ?AEO ,∴ ?BOD ? ?EOD .在 ?EOD 和 ?BOD 中,
? ∵ OE ? OB , ? ?EOD ? ?BOD , ∴ ?OED ? ?OBD ? 90 , 即

E

O
M

D B OE ? ED .∵ E 是圆 O 上一点,∴ DE 是圆 O 的切线. 5分 (2)延长 DO 交圆 O 于点 F .∵ ?EOD ≌ ?BOD ,∴ DE ? DB .∵点 D 是 BC 的中点,∴ BC ? 2 DB .
∵ DE, DB 是 圆

C

O 的 切 线 , ∴ DE ? DB . ∴ DE ? BC ? DE ? 2DB ? 2DE2 .



AC ? 2OD, AB ? 2OF ,
∴ DM ? AC ? DM ? AB ? DM ? ( AC ? AB) ? DM ? (2OD ? 2OF ) ? 2DM ? DF .∵ DE 是圆 O 的切线,

DF 是圆 O 的割线,∴ DE 2 ? DM ? DF ,∴ DE ? BC ? DM ? AC ? DM ? AB
23.(本小题满分 10 分) 解:(1)由 ? ? 10 cos? 得 x 2 ? y 2 ?10x ? 0 ,即 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 25 . (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 (?3 ?
2

10 分

5分

2 2 2 2 t ) ? (6 ? t ) ? 25 . 2 2

即 t ? 9 2t ? 20 ? 0 ,由于 ? ? (9 2 )2 ? 4 ? 20 ? 82 ? 0 ,可设 t1, t2 是上述方程的两个实根. 所以 ? 1

?t ? t 2 ? ?9 2 ?t1 ? t 2 ? 20

,又直线 l 过点 P(2,6) ,

可得: | PA | ? | PB |?| t1 | ? | t2 |? (?t1 ) ? (?t2 ) ? ?(t1 ? t2 ) ? 9 2 . 24.(本小题满分 10 分) 解:(1)因为 f ( x ? 2) ? m? | x | ,

10 分

f ( x ? 2) ? 0 等价于 | x |? m ,

由 | x |? m 有解,得 m ? 0 ,且其解集为 {x | ?m ? x ? m}. 又 f ( x ? 2) ? 0 的解集为 [?1,1] ,故 m ? 1 .
-9-

5分

(2)由(1)知

1 1 1 ? ? ? 1 ,又 a, b, c ? R ? ,由柯西不等式得 a 2b 3c

1 1 1 1 1 1 2 z ? a ? 2b ? 3c ? (a ? 2b ? 3c)( ? ? ) ? ( a ? ? 2b ? ? 3c ? ) ?9. a 2b 3c a 2b 3c
∴ z ? a ? 2b ? 3c 的最小值为 9 . 10 分

- 10 -


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