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甘肃省卓尼县柳林中学2015届高三上学期数学(文)解答题定时训练(十三)


解答题训练(十三)
1、已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos( x ? (I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? [?

?
6

) ? cos 2 x ? m .

? ?

, ] 时,函数 f ( x) 的最小值为 ? 3 ,求实数 m 的

值. 4 4

2、 如图, 边长为 1 的正三角形 SAB 所在平面与直角梯形 ABCD 所在平面垂直, 且 AB // CD , BC ? AB , BC ? 1 , CD ? 2 , E 、 F 分别是线段 SD 、 CD 的中点. (I)求证:平面 AEF // 平面 SBC ; (Ⅱ)求二面角 S ? AC ? F 的大小.

3、某电视台拟举行“团队共享”冲关比赛,其规则如下:比赛共设有“常识关”和“创新关” 两关,每个团队共两人,每人各冲一关, “常识关”中有 2 道不同必答题, “创新关”中有 3 道不同必答题;如果“常识关”中的 2 道题都答对,则冲“常识关”成功且该团队获得单项 奖励 900 元,否则无奖励;如果“创新关”中的 3 道题至少有 2 道题答对,则冲“创新关”

成功且该团队获得单项奖励 1800 元,否则无奖励.现某团队中甲冲击“常识关” ,乙冲击“创 新关” ,已知甲回答“常识关”中每道题正确的概率都为 的概率都为

2 ,乙回答“创新关”中每道题正确 3

1 ,且两关之间互不影响,每道题回答正确与否相互独立. 2

(I)求此冲关团队在这 5 道必答题中只有 2 道回答正确且没有获得任何奖励的概率; (Ⅱ)记此冲关团队获得的奖励总金额为随机变量 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 E? .

4、已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

3 a . ? (a 为实常数) 2 .x

(I)当 a ? 1 时,求函数 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? [4,??) 上的最小值; (Ⅱ)若方程 e
2 f ( x)

1 ? g ( x) (其中 e ? 2.71828? )在区间 [ ,1] 上有解,求实数 a 的取值范围; 2





(I)

? f ( x) ? 2 sin x cos( x ?
…1 分

?
6

) ? cos 2 x ? m ? 2 sin x(

3 1 cos x ? sin x) ? cos 2 x ? m 2 2



? 3 sin x cos x ? sin 2 x ? cos 2 x ? m ?

3 (1 ? cos 2 x) sin 2 x ? ? cos 2.x ? m 2 2

…3 分

?

3 1 1 ? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? m ? sin( 2 x ? ) ? ? m . 2 2 2 6 2
2? ?? 2
……6 分 ……8

? f ( x) 的最小正周期 T ?
(Ⅱ)当 x ? [? 分

? ?

? ? ? ? 2? ? ? 即 ? ? x ? 时, 有 ? ? 2x ? , , ], ?? ? 2x ? ? . 4 4 4 4 2 2 3 6 3
? 3
) . 3 2
……10 分

? ?1 ? sin( 2 x ?

得到 f (.x) 的最小值为 ? 1 ? 分

1 1 3 ? m .由已知,有 ? 1 ? ? m ? ?3 .? m ? ? , 2 2 2

……12

解: (Ⅰ)? F 分别是 CD 的中点,? FC ?

1 CD ? 1 .又 AB ? 1 ,所以 FC ? AB . 2

? FC // AB ,……2 分
? 四边形 ABCF 是平行四边形.? AF // BC1 .? E 是 SD 的中点,? EF // SC .……3 分
又 AF ? EF ? F , BC ? SC ? C ,? 平面 AEF // 平面 SBC. ……5 分 (Ⅱ)取 AB 的中点 O , 连接 SO , 则在正 ?SAB 中,SO ? AB , 又? 平面 SAB ? 平面 ABCD , AB ? 平面 SAB ? 平面 ABCD ,

? SO ? 平面 ABCD .

…6 分

于是可建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz .

则有 A(0,?

3 1 1 1 ,0) , C (1, ,0) , S (0,0, ) , F (1,? ,0) , 2 2 2 2
…7 分

1 3 AC ? (1,1,0) , AS ? (0, , ) . 2 2
设平面 SAC 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

?x ? y ? 0 ? ? AC ? m ? 0 ? ? ?1 由? . 3 y ? z ? 0 ? AS ? m ? 0 ? ? 2 ?2
取 x ? 1, y ? ?1, z ?

1 3

,得 m ? (1,?1 ,

1 3

) .……9 分

平面 FAC 的法向量为 n ? (0,0,1) .

…10 分

1 ? cos ? m, n ?? m?n | m || n | ? 3 1 1?1? 3 ? 7 7
…11 分

而二面角 S ? AC ? ? F 的大小为钝角,

? 二面角 S ? AC ? F 的大小为 ? ? arc cos

7 . 7

…12 分

解:(I)记“此冲关团队在这 5 道必答题中只有 2 道回答正确且没有获得任何奖励”为事件 E, 事件 E 发生即“常识关”和“创新关”两关中都恰有一道题答正确.

2 1 1 1 1 1 1 P( E ) ? C 2 ? ? ? C3 ? ? ( )2 ? . 3 3 2 2 6
(Ⅱ)随机变量 ? 取值为:0、900、1800、2700.

……6 分

2 1 1 1 5 1 …. .7 分 P(? ? 0) ? [1 ? ( ) 2 ][( ) 3 ? C 3 ? ? ( )2 ] ? ; 3 2 2 2 18 2 1 1 1 2 1 …8 分 P(? ? 900) ? ( ) 2 [( ) 3 ? C 3 ? ? ( )2 ] ? ; 3 2 2 2 9 1 1 2 1 1 1 5 1 ; ……9 分 P(? ? 1800) ? [( ) 2 ? C 2 ? ? ][( ) 3 ? C 32 ? ( ) 2 ? ] ? 3 3 3 2 2 2 18 2 1 1 1 2 …10 分 P(? ? 2700) ? ( ) 2 [( ) 3 ? C 32 ? ( ) 2 ? ] ? . 3 2 2 2 9

? 的分布
?
P
0 900 1800 2700

5 18
18

2 9

5 18

2 9

F? ? 0 ?
12 分

5 2 5 2 ? 900 ? ? 1800 ? ? 2700 ? ? 1300 18 9 18 9

.

解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ?

1 ?1 x ?1 1 3 ? , ? ' ( x) ? ? 2 ? 2 ,令 x 2 x .x x

? ' ( x) ? 0 ,又 x ? 0 ,
? ? ( x) 在 x ? (0,1] 上 单 调 递 减 , 在 x ? [1,??) 上 单 调 递 增 . ? 当 x ? 4 时 ,

? ( x) ? ? (4) ? ln 4 ?

1 3 5 5 ? ? ln 4 ? .? ? ( x) 的最小值为 ln 4 ? . 4 2 4 4

….4 分

1 3 a 1 3 ? g ( x) 在 x ? [ ,1] 上有解 ? e 2 ln x ? ? 在 x ? [ ,1] 上有解 ? a ? x ? x 3 2 2 x 2 2 1 3 1 在 x ? [ ,1] 上有解.令 h( x) ? x ? x 3 , x ? [ ,1] , 2 2 2 3 1 ? h' (.x) ? ? 3 x 2 ? 3( ? x 2 ) , 2 2
(Ⅱ) e
2 f (? )

令 h' ( x) ? 0 ,又 x ? 0 ,解得: 0 ? x ?

2 . 2

? h( x ) ?

2 1 2 3 ,1] 上单调递减, ] 上单调递增, x ? [ x ? x3 在 x ?[ , 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 .故 a ? [ , ) .即 ? h( x) ? ] .……9 分 2 2 2 2 2

又 h(1) ? h( ) .? h(1) ? h( x) ? h(


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