当前位置:首页 >> 数学 >>

专题学习递推数列求通项公式 (叶)


数列(四)由递推公式求通项公式专题
一.知识总结: 1.基本能力训练,使学生对构造有一定理解。
2 2 例(1)数列 {an } 满足 an ? 0 且 an ? an ?1 ? 2, a1 ? 1;

(2) an ? 2 ? an?1 , a1 ? 1, (an ? 0) ;

2 2 (3)各项均为正数的数列 {a

n } 满足 (n ? 1)an ?1 ? an?1an ? nan ? 0, a1 ? 1,求 an .

(4)数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 2an?1 ? 2, a1 ? 3, a2 ? 5(n ? 2) ,令 bn ? an?1 ? 2an ,求 数列 {bn } 的通项公式.

(5)数列 {an } 满足 nan?1 ? (n ? 1)an ? 2n 2 ? 2n , a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式.

(6)已知各项均不为 0 的数列 {an } 满足

an?1 an , a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项 ? 2 3n (n ? 1) 2

2.利用叠加或叠乘的方法解决求数列的通项问题:
叠加和叠乘的方法源于求等差等比数列的通项公式的方法,故是重要的方法和考点. (1) .数列 {an } 满足 an ? an?1 ? n ? n ? 1, a1 ? 1 ,求该数列的通项公式.
2

(2)数列 {an } 的满足 a1 ?

1 , a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n 2 a n ,求数列的通项 an 2

3.典型问题的构造: 形如 an ? kan?1 ? b 型. 例:已知数列 {an } 满足 an ? 2an?1 ? 1, a1 ? 1 ,求该数列的通项公式.

练习: (1)已知数列 {an } 满足 a n ?

2 a n ?1 ? 1, a1 ? 1 ,求该数列的通项公式. 3

(2)已知数列 {an } 满足 an ? 2an?1 ? an an?1 , a1 ? 5 ,求该数列的通项公式.

(3)数列 {an } 满足 a n?1 ?

2a n , a1 ? 4 ,求该数列的通项公式. an ? 3

(4) S n 为数列 {an } 的前 n 项和,且 S n?1 ? 3S n ? n ? 1, S1 ? 1 ,求该数列的通项公式. 提示:将 S n?1 ? 3S n ? n ? 1再递写一项,两式相减即可化成 an ? kan?1 ? b 型.

专题学习——由递推式求数列通项公式

类型 1 递推公式为

原递推公式转化为

,累加法求解。

1、 已知数列

满足

,求



类型 2 递推公式为

原递推公式转化为

,累乘法求解。

2、 已知数列

满足

,求



类型 3 (重要)递推公式为

(其中 p, q 均为常数,

) 。

把原递推公式转化为 a n?1 ? t ? p(a n ? t )
q ,再利用换元法转化为等比数列求解。 p ?1

其中 t ?

3、已知数列

中,

,求



类型 4(较难)递推公式为 )。

(其中 p,q 均为常数,

先在原递推公式两边同除以

借助辅助数列

(其中

),得:

用类型 3 的方法解决。

4、 已知数列

中,
ba n

,求



类型 5

a n?1 ?

aa n ? b

(ab ? 0, 且a、b为常数)

方法:倒代换,变形为

1

a

?

1

n ?1

a

?
n

? 1 ? ? a ? ,构造等差数列数列 ? ? b ? ?an ? ?
nba n ?1

5、 (2011 广东高考题)b ? 0, 数列?a n? 满足a 1 ? b, a n ?

a

? 2n ? 2 n ?1

(n ? 2) ,

求数列

的通项公式

类型 6(重要) 递推公式为



的关系式。

利用

进行求解。

注意:在由 为

, 组成的关系式中基本的转化方向有两个,一个是把 转化为 ,建立

转化 的递

,建立有关数列的通项的递推关系式;一个是把

推关系。根据问题实际情况看所求的决定选用哪个方向。

6、 已知数列

前 n 项和



(1)求



的关系;

(2)求通项公式



7、 (2008 全国) 设数列
n

前 n 项和为

, 已知 a1 = a , a n ?1 ? s n ? 3 , n ? N ?

n

设 b n ? s n ? 3 ,(注意数列 ?b n? 的特殊性,思考问题的时候也要注意考虑 这一点。)求数列 ?b n? 的通项公式 类型 7 双数列型 解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方 法求解。 8、(了解) 已知数列 中, ;数列 中, 。当 时,

,求



数列求和方法
数列求和的依据是数列的通项公式,根据数列的通项公式灵活选择求和方 法。分两类:一类是基本的等差数列、等比数列求和,可直接套用公式求解;一 类是综合性求解问题,根据通项公式的变形,利用分组求和、裂项相消、错位相 减、倒序相加等方法求解。

利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q (注意讨论公比 q) ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
3、 S n ?

1 k ? n(n ? 1) ? 2 k ?1

n

4、 S n ?

?k
k ?1

n

2

1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6

5、 S n ?

?k
k ?1

n

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2

重点是错位相减法和裂项相消法 一、错位相减法 用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

典例:1、求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1

2、 (2011 辽宁高考)已知等差数列

?a ? ,满足 a
n

2

? 0, a6 ? a8 ? ?10.
n n ?1

? ? ? 的前 n 项和。 n ? ? n 2 n ?1 ? 3、已知:数列 {an } 满足 a1 ? 3a 2 ? 3 a3 ? ? ? 3 a n ? , a ? N . 3
(1)求数列

?a (2)求数列 ? ?a ? 的通项公式。 ? ?2

?

(1)求数列 {an } 的通项; (2)设 bn ?

n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn. an

4 、设数列

?a ? 前
n

n 项和为

s

n

? 4?

1

4

n ?1

(n ? N +), 数列 ?b n? 为等差数列,且

b ? a , a (b ? b ) ? a .
1 1 2 2 1 1

(1)求数列 (2)设 二、裂项相消法

?a ? 和 ?b ? 的通项公式。
n n

c ?a b
n n

n

,求数列

?c ? 的前 n 项和 ?T ? 。
n n

裂项法是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终 达到求和的目的.,原理式为 an ? f (n) ? f (n ? 1) ,或 an ? f (n ? 1 )-f(n) 常见裂项:1、 a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

2、 an ?

1 1 1 1 ) ? ( ? ) (注意变形。 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(如果数列

?a ? 是公差 d ? 0 的等差数列,则
n

1

aa
k

?
k ?1

1 1 1 ( ? ) ,可通过 d a k a k ?1

裂项方法求解这个数列的前 n 项和。 ) 3、 an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

an ? 4、

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则 Sn ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2n

(较难) 5、

1 1 ? ( n ? k ? n) n?k ? n k

6、

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? (了解) cos n? cos(n ? 1)?
1 ? n( n ? k )
2

练习裂项:1、

2、

1 ? (4n ? 3)(4n ? 1) 1 n ? n ?1 ?

4n 3、 an ? ? (2n ? 1)(2n ? 1)
典型例题 1、 已 知 数 列

4、

?a ? 是 等 差 数 列 , 数 列 ?b ? 是 正 项 等 比 数 列 , 且 满 足
n n

a ? 1,b ? 4, a ? b
1 1 2

2

? 10, a 26 ? b3 ? 10

(1) 求数列

?a ? 、 ?b ? 的通项公式
n n

(2) 设

c ?a b
n n

n

,求数列 ?

? ?

c ? ?c c
n

n?2

? ? ? 的前 n 项和 ? s n? n ?1 ? ?

2 a 2、 数列 ?a ? 满足 a ? 2, a ? 1 ( n ? )a ? 2 2
n
n

n ?1

1

n ?1

n

(n ? N ?)

n

(1)

设b ? 2 a
n

n

,求数列
n

?b ? 的通项公式 b
n

n

(2) 设 三、分组求和

c

n

?

1 ,数列 ?c n? 前 n 项和为 s n ,求 s n n( n ? 1 ) a n?1

有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 例:1、求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

2、求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和. 四、分部求和 例:已知数列 {an } 的通项 an ? ?

?6n ? 5 (n为奇数) ?2
n

(n为偶数)

,求其前 n 项和 Sn .

解:奇数项组成以 a1 ? 1 为首项,公差为 12 的等差数列, 偶数项组成以 a2 ? 4 为首项,公比为 4 的等比数列; 当 n 为奇数时,奇数项有

n ?1 n ?1 项,偶数项有 项, 2 2

n ?1 n ?1 (1 ? 6n ? 5) 2 4(1 ? 4 ) (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n?1 ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3 n 当 n 为偶数时,奇数项和偶数项分别有 项, 2 n n (1 ? 6n ? 5) 2 4(1 ? 4 ) n(3n ? 2) 4(2n ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3 ? (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n ?1 ? 1) ? (n为奇数) ? ? 2 3 所以, Sn ? ? . n n (3 n ? 2) 4(2 ? 1) ? ? (n为偶数) ? 2 3 ?


相关文章:
专题学习递推数列求通项公式
专题学习递推数列求通项公式_数学_高中教育_教育专区。专题学习——由递推式求数列通项公式 类型 1 递推公式为 原递推公式转化为 ,累加法求解。 1、 已知数列...
专题学习递推数列求通项公式
专题学习——由递推求数列通项公式 类型 1 递推公式为 原递推公式转化为 ,累加法求解。 1、 已知数列 满足 ,求 。 类型 2 递推公式为 解。 原递推公...
专题学习递推数列求通项公式 2
专题学习——由递推求数列通项公式一、累加法 递推公式为 ,原递推公式转化为 ,累加法求解。 已知数列 满足 ,求 。 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a...
递推法求通项公式
递推求通项公式_高一数学_数学_高中教育_教育专区。递推求通项公式的应用学科:高一数学 课题:数列递推公式 授课日期:2015.3.13 一、学习目标 1.体会递...
数列专题1递推公式求通项公式(练习)
数列专题1递推公式求通项公式(练习)_数学_高中教育_教育专区。递推公式求通项公式作业 1.数列 3,7,13,21,31,…,的一个通项公式为( A. an ? 4n ? 1...
递推数列求通项公式的习题
递推数列求通项公式的习题_数学_高中教育_教育专区。高考中通项公式 a n 求法题型分类前言:数列通项公式的求法一直以来都是高考数列题的难点,现在我总结出来一些...
递推数列求通项公式
递推数列通项公式的求法[J].数学学习与研究.2010(1). [2] 苏勇. 求递推数列通项公式专题研究[J].数学教学通讯. 2007 (5). (2) 1 1 1 1 [1 ?...
数列专题1递推公式求通项公式(练习)
数列专题1递推公式求通项公式(练习)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。专题 1:递推公式求通项公式 1.数列 3,7,13,21,31,…,的一个通项公式为( A. an...
最全的递推数列求通项公式方法
最全的递推数列求通项公式方法。数列 高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较 强的数列问题中...
更多相关标签: