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高三总复习专题---恒成立问题


恒成立问题(最值问题)

天天依依 heart
恒成立问题是高考函数题中的重点问题,也是高中数学非常重要的一个模块,不 管是小题,还是大题,常常以压轴题的形式出现,今天我们就来一起突破恒成立 问题。 知识储备(我个人喜欢将参数放左边,函数放右边) 先来简单的(也是最本质的)如分离变量后, a ? f ( x) 恒成立,则有 a ? f ( x)max
a ? f ( x) 恒成立,则有 a ? f ( x)min

(若是存在性问题,那么最大变最小,最小变最大) 1.对于单变量的恒成立问题 如: 化简后我们分析得到, 对 ?x ?? a, b? , f ( x) ? 0 恒成立, 那么只需 f ( x)min ? 0

?x ?? a, b? ,使得 f ( x) ? 0 ,那么只需 f ( x)max ? 0
2.对于双变量的恒成立问题 如:化简后我们分析得到,对 ?x1 , x2 ??a, b? , f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,那么只需

f ( x)min ? g ( x)max
如:化简后我们分析得到,对 ?x1 ??a, b? , ?x2 ??c, d ? 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,那么只 需 f ( x)min ? g ( x)min 如:化简后我们分析得到, ?x1 ?? a, b? , x2 ??c, d ? 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,那么只需

f ( x)max ? g ( x)min
还有一些情况了, 这里不一一列举, 总之一句话 (双变量的存在性与恒成立问题, 都是先处理一个变量,再处理另一个变量) 3.对于带绝对值的恒成立问题,我们往往先根据函数的单调性,去掉绝对值,再 转变成恒成立问题(2014.03 苏锡常镇一模那题特别典型)

今天呢,我会花很多时间来讲解一道二次函数,因为二次函数是最本质的, (甚 至我提出这样一个观点,所有导数的题目 95%归根结底就是带参数二次函数在已 知定义域上根的讨论,3%是 ax ? b 与 ax3 ? b 这种形式根的讨论,2%是观察法得到
1 零点,零点通常是 1, , e 之类) ,所以如果我们真正弄清楚了二次函数,那么对于 e 千变万化的导数题,我们还会畏惧吗?

那么我们先从一道练习题说起 一.二次函数型(通常方法是讨论对称轴,根据图像求最值) 例题 1.已知 f ( x) ? 2 x
2

? 2 ax ? a

? 1 定义域为 R ,求 a 的取值范围

思考:① 引入定义域(非 R ) ②参数在二次项,就需考虑是否为 0 1 ③引入高次( 3 次, 4 次, , ln x , e x 等等) x ④引入 a 2 , a 3 等项(导致不能分离变量) 方法:1.一次函数, 二次函数直接根据图像讨论最值(二次函数也可以分离变量) 2 .对于高次或者特殊函数,一般分离变量求最值(分离变量后对函数求 导,确定导函数的正负情况,确定单调性,从而确定在已知定义域上的最值) 3 .对于不能分离变量的,只能直接求导,对参数讨论,从而确定单调性, 确定最值 变式: ①已知 f ( x) ? ax ? b ,若对任意的 x ? (m, n) ,均有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围 ②已知 f ( x) ? ax2 ? 2x ? 5 ,若对任意的 x ? (?3, 2) ,均有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范 围 ③已知 f ( x) ? ax2 ? 2(a2 ? 1) x ? 5 ,若对任意的 x ? (?3, 2) ,均有 f ( x) ? 0 ,求 a 的 取值范围 ④已知 f ( x) ? ax3 ? 2(a ? 1) x ? 5 , 若对任意的 x ? (?3, 2) , 均有 f ( x) ? 0 求 a 的取值 范围 ⑤已知 f ( x) ? ax3 ? 2(a2 ? 9) x ? 5 ,若对任意的 x ? (?3, 2) ,均有 f ( x) ? 0 求 a 的取

值范围

例题 2.(改编)已知函数 f ?x? ? ax2 ? 2 x ? 1 在 ?1,3?上的最大值为 M ?a ? ,最小值 为 m?a ? ,又已知函数 g ?a ? ? M ?a ? ? m?a ? , (1)求 g ?a ? 的表达式; (2)指出 g ?a ? 的 单调区间,并求出 g ?a ? 的最小值
1 ? a ? 1, a ? ? ? 2 答案:根据对 a 是否为 0 以及对称轴的讨论,易知 M (a ) ? ? ?9a ? 5, a ? 1 ? ? 2

1 ? ?9a ? 5, a ? 3 ? ? 1 1 m(a) ? ?1 ? , ? a ? 1 ? a 3 ?a ? 1, a ? 1 ? ?

1 ? ? ?8a ? 4, a ? 3 ? 1 1 1 ? ? a ? ? 2, ? a ? ,所以易知 g (a ) ? ? a 3 2 ? 1 1 ?9a ? ? 6, ? a ? 1 a 2 ? ? ?8a ? 4, a ? 1

1 1 1 所以 g (a) 在 (??, ) 单调递减,在 ( , ??) 单调递增,所以当 x ? 时, f ( x) 有最 2 2 2 1 小值 2
点评:本题考察的主要是二次函数带参数在已知定义域上的最值问题的讨论 变式:1.对称轴不动(①定义域不动 ②定义域动(含参数) )

2.对称轴动(含参) ,定义域不动(考试最喜欢考)

3.对称轴动(含参) ,定义域动(含参) 但是参数还是同一个参数 方法: 找出对称轴与定义域边界及定义域中值的临界点讨论即可

4.对称轴动(含参) ,定义域动(含参) ①参数不一样,那么或许可以 看看题目中参数的范围, 是否可以直接根据单调性求解 ②参数不一样,参数也 没范围,那么真不能做了

1 (x>0) x 图象上一动点.若点 P,A 之间的最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有 值为__________.
(13 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a,a),P 是函数 y ? 解 : 由 题 意
2



? 1? P ? x0 , ? , ? x0 ? 0 ? ? x0 ?
2





?1 ? ? ? ? 1 1? 1? 1? PA ? ? x0 ? a ? ? ? ? a ? ? x0 2 ? 2 ? 2a ? x0 + ? +2a 2 = ? x0 + ? -2a ? x0 + ? ? 2a 2 ? 2 x0 x0 ? x0 ? x0 ? ? x0 ? ? ? ?
2 2

令 x0 ?

1 ? t ? t ? 2? x0

则 PA2 =f (t)=t 2 ? 2at ? 2a2 ? 2 ?t ? 2? 对称轴 t ? a

PA2 min ? f (2) ? 2a 2 ? 4a ? 2 1. a ? 2 时, ? 2a 2 ? 4a ? 2 ? 8
a ? ?1 , a ? 3 (舍去)

2. a ? 2 时, ? a2 ? 2 ? 8

PA2 min ? f (a) ? a 2 ? 2

a ? 10 ,
综上 a ? ?1 或 a ? 10

a ? ? 10 (舍去)

点评: 本题综合性较高, 考查了带参数的二次函数在已知定义域上的最值问题 (高 一下学期必须学会) ,同时考查了换元思想,分类讨论的思想 的题目 是一道非常漂亮

二.三次函数及特殊函数型(通常是求导后对二次函数的零点进行讨论,从而求 最值) 先来几个比较特殊的题目,平时稍微长点心眼,多记记,就记住了 1.(原创)已知函数 f ( x) ? 0 且 xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 对所有满足条件的函数 f ( x) ,

始终有 f (2) ? (a3 ? 2a ? 3) f (1) 成立,求 a 的取值范围 答案:由题可知 x ? 0 时, 0 ? f (0) ? 0 与题目 f ( x) ? 0 矛盾,所以显然有 x ? 0 所以由条件易知
f ( x) f (2) a 3 ? 2a ? 3 ? f (1) 始终成立,即 单调递增,由题可知 x 2 2

f (2) 3 f ( x) f ( x) 2 ? a ? 2a ? 3 恒成立, 因为 单调递增, 又 是满足条件的所有函数, f (1) x x 2 1 所以 f (2) 3 2 的最小值总大于 1,所以有 a ? 2a ? 3 ? 1 ,易知 a 的范围是 a ? ?1 ? 5 或 f (1) 2 2 1
?1 ? 5 ? a ?1 2

点评:对于某些题中既有 f ( x) 又有 f ( x) ' 的这种题型,我们不妨去联想它的原函 数
? 3? 2.(原创)已知函数 f ( x) ? log2 (1 ? x) ? x2 ? ax ;若对于任意 a ? ? 1, ? ,总存在 ? 2?

?1 ? x0 ? ? ,1? , 使 得 不 等 式 f ( x0 ) ? m 成 立 , 则 m 的 取 值 范 围 是 ?2 ?
_____________________ 答案:分析知 log2 (1+x) 单增,又分析知 x 2 ? ax 在 x ? 1 时取最大值,所以 f ( x0 ) 的 最大值为 f (1) ,所以有 m ? f (1) 恒成立,分离变量易知 m ?
1 2

3. f ( x)=x3 +ax2 ? a2 x ? m(a ? 0) 若对任意 a ??3,6? , f ( x) ? 1 在 x ?? ?2, 2? 上恒成 立,求 m 范围
x 解答:先看成是 a 的二次函数,对称轴为 ? ? ?1,1? ,所以最大值不是在 3 处就是 2
3 2 ? ? x ? 3x ? 9 x ? m ? 1 在 6 处,所以有 ? 3 对 x ?? ?2, 2? 恒成立,易知 m ? ?87 2 ? ? x ? 6 x ? 36 x ? m ? 1

点评:对于一些双变量的函数最值问题,我们难以处理时,往往可以去看看本身 的定义域,从而确定原函数的单调性,确定最值

4. 对满足 p ? 2 所有实数 p , 求使不等式 x2 ? px ? 1 ? p ? 2x 恒成立的 x 的取值范 围 解答:看成是 p 的一次函数 点评:对哪个参数恒成立,就看成是哪个参数的函数

5.已知

m2 x ? 1 ? 0 对 x ? 4 恒成立,求 m 的取值范围 mx ? 1

解答:法 1:看成乘积小于 0 恒成立,转变成二次函数恒成立 法 2:必须有一正一负恒成立

m2 x ? 1 ? 0 对 m ? 4 恒成立,求 x 的取值范围 变式: mx ? 1 解答:如果看成是 m 的函数,乘积后就变成关于 m 的三次函数,所以我们可以

转变思维,转变成两个式子同正或同负

6.若对于满足 ?1 ? t ? 3 的一切实数 t ,不等式 x2 ? (t 2 ? t ? 3) x ? t 2 (t ? 3) ? 0 恒成立, 则x的 取值范围为 . 解答:分解因式易知 ( x ? t 2 ) ? x ? (t ? 3)? ? 0 所以必须有同正或同负恒成立 点评: 通过这几个题目的对比, 所以我们发现虽然我们常说对哪个参数恒成立就 看成是哪个参数的函数,但是有时候也需要转变思维,不能太死板 7.已知 f ( x) ? 取值范围
3x 2 ? x ? 7 ? 3a ? 4 , 若对任意的 x ???1,3? , f ( x) ? 0 恒成立, 求a的 x2 ? 5

类题: (10.江苏). 将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成 两块, 其中一块是梯形, 记S ?
2 (梯形的周长) ,则 S 的最小值是 梯形的面积

.

点评:二次比二次型的值域问题,一定要熟练掌握,先分离常数,转变成一次比 二次,设一次为 t ,转变成关于 t 的对勾函数,解决值域 另外一次比一次型的其实只是对称中心改变而已,可以直接画图,建议跟学 生讲明白

mx 2 ? 8 x ? n 8. f ( x) ? 的最大值是 9 ,最小值是 1,求 m 与 n 的值 x2 ? 1 解答:整理成关于 x 的二次函数,由题意知二次函数一定有解,所以有 ? ? 0 恒 成立,转变成关于 y 的一个二次函数恒成立,易知 5 和 9 是它的两个根,容易把 m, n 求出来

点评:此题比较特殊,只要讲过,那么以后碰到这类题,就不再那么无从下手了 9.(08 江苏)已知 f ( x) ? ax3 ? 3x ? 1 对于 x ? ?? 1,1?总有 f ( x) ? 0 成立,则 a = 解: f ( x) ' ? 3ax2 ? 3 法 1:分离变量,求最值 法 2:直接求导 10.若不等式| ax3 ? ln x |≥1 对任意 x ? (0,1] 都成立,则实数 a 取值范围

是 解析:

. 显然 x ? 1 时,有 | a |? 1, a ? ?1, or , a ? 1 。 令 g ( x) ? ax3 ? ln x, g ?( x) ? 3ax 2 ?
1 3ax3 ? 1 ? x x
3ax3 ? 1 ? 0 ,g ( x) 在 (0,1] 上 x

①当 a ? ?1 时,对任意 x ? (0,1] ,g ?( x) ? 递减,

g ( x)min ? g (1) ? a ? ?1 ,此时 g ( x) ? [a, ??) ,| g ( x) |的最小值为 0,
不适合题意。 ②当 a ? 1 时,对任意 x ? (0,1] , g ?( x) ?

3ax3 ? 1 1 ?0? x ? 3 x 3a

g ( x) 的最小值为 g ( 3

e2 1 1 1 ) ? ? ln(3a) ≥1,解得: a ? 。 3 3a 3 3

e2 故所求 a ? 。 3

点评:当遇到恒成立问题,有参数时,或许可以看看定义域,先适当的压缩一下 范围,或许可以避免一些不必要的讨论

11.设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? ln 2 x ? 2a ln x ?1 ( x ? (0, ??)) . (I)令 g ( x) ? xf ?( x) ( x ? 0) ,求 g ( x) 的最小值,并比较 g ( x) 的最小值与零 的大小; (II)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 . 解(Ⅰ)∵ f ( x) ? x ? (ln x)(ln x) ? 2a ln x ? 1, x ? (0, ??) 2 ln x 2a 1 1 2a ? , ∴ f ?( x) ? 1 ? [ ? ln x ? (ln x) ? ] ? , ? 1? x x x x x ∴ g ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2ln x ? 2a , x ? (0, ??)

2 x?2 ? ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 2 , x x ? 易知 f ( x) 在 (0, 2) 上单调递减,在 (2, ??) 单调递增 ∴ g ( x) 在 x ? 2 处取得极小值 g (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a , g ( x) 即 的 最 小 值 g (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a . g (2) ? 2(1 ? ln 2) ? 2a , ∵ ln2 ? 1,∴ 1 ? ln 2 ? 0 ,又 a ? 0 ,∴ g (2) ? 0 . 证明(Ⅱ)由(Ⅰ)知, g ( x) 的最小值是正数, ∴对一切 x ? (0, ??) ,恒有 g ( x) ? xf ?( x) ? 0 , 从而当 x ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 , ? ∞) 上是增函数. 故 f ( x) 在 (0, ∴当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) , f (1) ? 1 ? ln 2 1 ? 2a ln1 ?1 ? 0

∴ g ?( x) ? 1 ?



∴ f ( x) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x ? 0 , ∴ x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 故当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 . 点评:此题又是有那么一点点特殊,当我们难以处理导函数的正负情况时,我们 或许可以想想是什么导致了我们难以处理,是否可以通过判断 xf '( x) 的正负来确 定导函数的正负, 但是本题由于题目一步步的提示你怎么做,所以就缺少了应有 的美感

x ?2 ? 12. f ( x) ? x 2 ? 1,对 ?x ? ? , ?? ? , f ( ) ? 4m2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立, m ?3 ? 求 m 的取值范围 1 x2 ? 2 x ? 3 解答:化简易得 ( 2 ? 4m2 ) ? m x2 点评:分离变量时不一定要分离成单个变量,要知道整体分离也是一样的,不能 太死板 当然此题也可以转变成二次函数带参数在已知定义域上的最值讨论
a x 4a f ( x) ? g ( x) , g ( x) ? 2 ? ? , F ( x) ? x 4 x a 若 F ( x) ? 2 ? 7 恒成立,求 a 的范围 4a ? 1 1 1 ? ( ? )x ? 2 解答: F ( x) ? x a 4 法一:易知这题为:系数之积为正,肯定是对勾函数,系数之积为负,直 接单调 所以只需对 a 的临界点进行讨论即可 法二:求导,转变成二次函数根的讨论 2x 7 ? 1 1? ? 1 1? 14. f ( x) ? 2 , g ( x) ? x 3 ? 3ax ? ,若对 ?x1 ? ? ? , ? ,总存在 x2 ? ? ? , ? , x ?1 8 ? 2 2? ? 2 2?

13. f ( x ) ? x ?

使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立,求正整数 a 的最小值 解答:分析题目易知 f ( x) 值域为 g ( x) 值域的子集,转变成求 g ( x) 的最值

g '( x) ? 3x2 ? 3a

15.函数 f ( x) ? x ? 围。

ln x , 不等式 f ( x) ? 2b ≤ 0 在 x ? (0, ??) 上有解, 求实数 b 的取值范 x

解析: f ?( x) ? 1 ?

1 ? ln x x2 ? ln x ? 1 ,即 f ?( x) ? , 2 x x2

点评:此题需要使用观察法,容易发现 1 是零点,然后讨论单调性 类 题 :( 徐 州 、 淮 安 、 宿 迁 市 2013 届 高 三 期 末 ) 已 知 函 数
f ( x) ? a x ? x 2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1).

(1) 求函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2) 求函数 f ( x ) 单调区间; (3) 若存在 x1 , x 2 ? [?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? 1(e 是自然对数的底数) ,求 实数 a 的取值范围. 解答: f '( x) ? a x ln a ? 2 x ? ln a 容易发现 0 是零点,然后对 a 范围, x 范围讨论 点评:通过这两题我们发现,有时候难以处理导函数的正负情况时,我们需要使 用观察法去寻找它的零点,从而进行讨论,看是否能确定单调性(零点通常是
1 1, e , )等等 e

16.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2a cosk? ? ln x(k ? N ? , a ? 0) ,讨论函数 f ( x) 的单调性; 解析:由已知得 x >0 且 f ' ( x) ? 2 x ? ( ?1) k
2a . x

当 k 是奇数时, f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 (0,??) 上是增函数;

当 k 是偶数时,则 f ' ( x) ? 2 x ?

2a 2( x ? a )(x ? a ) . ? x x

17. 已 知 函 数 g ( x) ?
f ( x) ? mx ?

1 (0,?), ? ln x 在 [1 , + ∞ ) 上 为 增 函 数 , 且 ? ? x

m ?1 ? ln x ,m∈R. x

(1)若 f ( x) ? g ( x) 在[1,+∞)上为单调函数,求 m 的取值范围; (2)设 h( x) ?
2e , 若在[1,e]上至少存在一个 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) 成立, x m mx2 ? 2 x ? m . ? 2ln x .?? f ( x) ? g ( x) ?? ? x x2

求 m 的取值范围. 解析: (1) f ( x) ? g ( x) ? mx ?

∵ f ( x) ? g ( x) 在其定义域内为单调函数, ∴ mx 2 ? 2 x ? m ≥ 0 或者 mx 2 ? 2 x ? m ≤ 0 在[1,+∞)恒成立.
mx 2 ? 2 x ? m ≥ 0 等价于 m(1 ? x2 ) ≥ 2 x ,即 m ≥

2x , 1 ? x2



2x 2 2 ? , ( )max=1,∴ m≥1 . 1 x ?1 x ? 1 x? x x
2

mx 2 ? 2 x ? m ≤ 0 等价于 m(1 ? x2 ) ≤ 2x ,即 m ≤

2x 在 [1,+∞) 1 ? x2

恒成立, 而
2x ∈(0,1], m ≤ 0 . x2 ? 1

综上,m 的取值范围是 ? ??,0? ?1, ?? ? . (2)构造 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? h( x) , F ( x) ? mx ? 当 m ≤ 0 时, x ? [1, e ] , mx ? 不存在 一个 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) 成立. 当 m ? 0 时, (F ( x))' ? m ?
m 2 2e mx2 ? 2x ? m ? 2e . ? ? ? x2 x x2 x2
m 2e ? 2ln x ? . x x

m 2e ≤ 0 , ?2ln x ? <0 ,所以在[1,e]上 x x

mx 2 ? m ? 0 , 因为 x ? [1, e] , 所以 2e ? 2 x ≥ 0 , 所以 ( F ( x)) ' ? 0 在 x ? [1, e]

恒成立. 故 F ( x) 在 [1, e ] 上 单 调 递 增 , F ( x)max ? F (e) ? me ?
me ? m ?4?0, e

m ?4 , 只 要 e

解得 m ?

4e . e ?1
2

故 m 的取值范围是 (

4e , ??) . e ?1
2

18.(2014.03 苏锡常镇一调) 已知函数 f ( x) ? mx ? a ln x ? m , g ( x) ? (1)求 g ( x) 的极值;
, a? 0 , (2) 设 m ?1 若对任意的 x1 , x2 ? [3, 4] ( x1 ? x2 ) , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

ex ,其中 m,a 均为实数. ex

1 1 ? g ( x2 ) g ( x1 )

恒成立,求 a 的最小值; (3)设 a ? 2 ,若对任意给定的 x0 ? (0,e] ,在区间 (0,e] 上总存在 t1 , t2 (t1 ? t2 ) ,使 得 f (t1 ) ? f (t2 ) ? g ( x0 ) 成立,求 m 的取值范围. 解析: (1) g ' ( x) ?

e x ?1 ? ex ? e x e(1 ? x) ? (e x ) 2 ex
所以 g ( x) 在 (??,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减 无极小值

令 g ' ( x) ? 0 易得 x ? 1

所以当 x ? 1 时, g ( x) 有极大值,极大值为 1 (2) m ? 1, a ? 0 时,易证 f ( x) 单增,

1 单减 g ( x)

不妨设 x1 ? x2

所以有 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

1 1 恒成立 ? g ( x2 ) g ( x1 )

即 f ( x2 ) ?

1 1 恒成立 ? f ( x1 ) ? g ( x2 ) g ( x1 )

由题易知必须有 f ( x) ?

1 单减 g ( x) e x ?1 在 ?3, 4? 恒成立 x

求导整理得 a ? x ? e x ?1 ?

易证右边这个函数单调减 2 所以有 a ? 3 ? e 2 3 (3)易知 x0 ? ? 0, e? 时, 0 ? g ( x0 ) ? 1
f ( x) ? mx ? 2 ln x ? m(0 ? x ? e) 2 f ' ( x) ? m ? x

由题可知 f ( x) ? g ( x0 ) 在 ? 0, e? 上有两根 1. m ? 0 时, f ( x) 单调 不合题意

2. m ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 易得 x ? 画出 f ( x) 简图如下

2 m

? 2? ?2 ? 所以函数在 ? 0, ? 单减,在 ? , e ? 单增 ? m? ?m ?

由题要有两个跟

? ? f (e) ? 1 ? ? 2 于是我们有 ? f ( ) ? 0 ? m 2 ? e? ? m ?

3 ? m? ? ? e ?1 容易得到 ? ?f(2)?0 ? ? m

m?

3 2 时, ? 1 e ?1 m

2 所以显然有 f ( ) ? f (1) ? 0 m

综上所述, m ?

3 e ?1

19.设函数 f ( x) ? x2 ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 . (I)当 b ?
1 时,判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性; 2

(II)求函数 f ( x) 的极值点;
1 1 1 (III)证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( ? 1) ? 2 ? 3 都成立. n n n

解:(I) 函数 f ( x) ? x2 ? b ln( x ? 1) 的定义域为 ? ?1, ?? ? .
f '( x) ? 2 x ? b 2 x2 ? 2 x ? b ? , x ?1 x ?1

1? ? 1 ? ? 令 g ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? b ,则 g ( x) 在 ? ? , ?? ? 上递增,在 ? ?1, ? ? 上递减, 2? ? 2 ? ?
1 1 g ( x) min ? g (? ) ? ? ? b . 2 2 1 1 当 b ? 时, g ( x) min ? ? ? b ? 0 , 2 2

g ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? b ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上恒成立. ? f ' ( x) ? 0,
1 时,函数 f ( x) 在定义域 ? ?1, ?? ? 上单调递增。 2 (II)分以下几种情形讨论: 1 (1)由(I)知当 b ? 时函数 f ( x) 无极值点. 2 1 2( x ? ) 2 1 2 , (2)当 b ? 时, f '( x) ? 2 x ?1

即当 b ?

1? ? ? x ? ? ?1, ? ? 时, f ' ( x) ? 0, 2? ? ? 1 ? x ? ? ? , ?? ? 时, f ' ( x) ? 0, ? 2 ?
?b ? 1 时,函数 f ( x) 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点。 2
1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时,解 f ' ( x) ? 0 得两个不同解 x1 ? , x2 ? . 2 2 2

(3)当 b ?

当 b ? 0 时, x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ? ?1 , x2 ? ? ?1 , 2 2

? x1 ? ? ?1, ??? , x2 ? ? ?1, ??? ,
此时 f ( x) 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一的极小值点 x2 ? 当0 ? b ?
1 时, x1, x2 ? ? ?1, ??? , 2

?1 ? 1 ? 2b . 2

f ' ( x) 在 ? ?1, x1 ? , ? x2 , ??? 都大于 0 , f ' ( x) 在 ( x1 , x2 ) 上小于 0 ,
此时 f ( x) 有一个极大值点 x1 ?
?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 和一个极小值点 x2 ? . 2 2 ?1 ? 1 ? 2b ; 2

综上可知, b ? 0 时, f ( x) 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一的极小值点 x2 ?

0?b?

1 ?1 ? 1 ? 2b 时 , f ( x) 有 一 个 极 大 值 点 x1 ? 和一个极小值点 2 2

x2 ?
b?

?1 ? 1 ? 2b ; 2

1 时,函数 f ( x) 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点。 2

(III) 当 b ? ?1 时, f ( x) ? x2 ? ln( x ? 1). 令 h( x) ? x3 ? f ( x) ? x3 ? x2 ? ln( x ? 1), 则
h ' ( x) ? 3x3 ? ( x ? 1) 2 在 ?0, ?? ? 上恒正, x ?1

? h( x) 在 ?0, ?? ? 上单调递增,当 x ? ? 0, ??? 时,恒有 h( x) ? h(0) ? 0 .

即当 x ? ? 0, ??? 时,有 x3 ? x2 ? ln( x ? 1) ? 0, ln( x ? 1) ? x2 ? x3 , 对任意正整数 n ,取 x ?
1 1 1 1 得 ln( ? 1) ? 2 ? 3 n n n n

总结:通过以上这么多例子,我们很容易发现,其实导数的本质都是要研究单调 性,从而确定最值或者值域,但是单调性都是由导函数的正负情况决定的,而导 函数的正负情况我们最终几乎都会转变成二次函数带参数在已知定义域上根的 讨论, 所以二次函数带参数的最值讨论以及零点的讨论至关重要,这部分内容在 高一必须要搞清楚, 脑子里一定要有二次函数的图像,这样才能为日后学习导数 做铺垫,才能不被导数的千变万化所吓倒。


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