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高二数学同步测试直线与圆锥曲线(三)


高二数学同步测试直线与圆锥曲线( 高二数学同步测试直线与圆锥曲线(三) 直线与圆锥曲线
一.选择题 2 1.过点(2,4)作直线与抛物线 y =8x 只有一个公共点,这样的直线有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 2.设椭圆 之积为 A.- ( ) D.4 条

x2 y2 =1 的长轴两端点为 M、N,异于 M、N 的点 P 在椭圆上,则 PM 与 PN 的斜率 + 4 3
( )

3 4
2 2

B.-

4 3

C.

3 4

D.

4 3

3.双曲线 x -y =1 的左焦点为 F,点 P 为左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线 PF 的斜率 的变化范围是 ( ) A.(-∞,0) B.(1,+∞) C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 4.若双曲线 x -y =1 的右支上一点 P(a,b)到直线 y=x 的距离为 2 ,则 a+b 的值为(
2 2



1 A.- 2
2

1 B. 2

1 C.± 2

D.±2

5.曲线 y=x -|x|-12 与 x 轴相交,则两交点间的距离为 ( ) A.8 B.0 C.7 D.1 二.填空题 2 6.一个正三角形的顶点都在抛物线 y =4x 上,其中一个顶点在坐标原点,则这个三角形的面积 是___ _ _. 7.已知(4,2)是直线 l 被椭圆
2 2

x2 y2 + =1 所截得的线段的中点,则 l 的方程是_____. 36 9

8. 过椭圆 3x +4y =48 的左焦点 F 引直线交椭圆于 A、 两点, B 若|AB|=7, 则此直线的方程为 __ ____.
2

9.已知双曲线 x -

y2 =1,过 P(2,1)点作一直线交双曲线于 A、B 两点,并使 P 为 AB 的中点, 3
π

则直线 AB 的斜率为______. 三.解答题
2

10、如图所示,抛物线 y =4x 的顶点为 O,点 A 的坐标为(5,0),倾斜角为

的直线 l 与线段 OA 4 相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、 两点, N 求△AMN 面积最大时直线 l 的方程, 并求△AMN 的最大面积.

1

2

2

11、 已知双曲线 C:2x -y =2 与点 P(1,2) (1)求过 P(1,2)点的直线 l 的斜率取值范围,使 l 与 C 分别有一个交点,两个交点,没有交点. (2)若 Q(1,1),试判断以 Q 为中点的弦是否存在.

12、如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一 个交点为 B, F1B|+|F2B|=10, 且| 椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件: F2A|、 F2B|、 F2C| | | | 成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标; (3)弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m,求 m 的取值范围.

2

13、(2004 年北京春卷 18) 已知点 A(2,8) B( x1 ,y1 ) ,C( x 2 ,y 2 ) 在抛物线 y = 2 px 上, , ?ABC 的重心与此抛物线的焦点 F 重合(如图) (I)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; y (II)求线段 BC 中点 M 的坐标; (III)求 BC 所在直线的方程. B
2

A x O F M

C

14、(2004 年天津卷理 22) 椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(c,0) ( c > 0 )的准线 l 与 x 轴相交于点 A,|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点. (1)求椭圆的方程及离心率; (2)若 OP ? OQ = 0 ,求直线 PQ 的方程; (3)设 AP = λ AQ ( λ > 1 ) ,过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M,证明

FM = ?λ FQ .

3

15、(2004 年全国卷Ⅳ21)设椭圆

x2 + y 2 = 1 的两个焦点是 F1 (?c,0) 与 F2 (c,0) (c>0),且 m +1

椭圆上存在点P,使得直线PP1 与直线PF2 垂直. (Ⅰ)求实数m 的取值范围; (Ⅱ)设L 是相应于焦 点 F2 的准线,直线 PF2 与 L 相交于点 Q , 若

QF2 = 2 ? 3, 求直线 PF2 的方程. PF2

2 2 16、(2004 年湖北卷)直线 l : y = kx + 1 与双曲线 C: 2 x ? y = 1 的右支交于不同的两点 A、

B. (Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值.若不存在,说明理由.

4

2

2

17.求过点(0,2)的直线被椭圆 x +2y =2 所截弦的中点的轨迹方程.

2

18.已知抛物线 C:y=-x +mx-1,点 A(3,0),B(0,3),求 C 与线段 AB 有两个不同交点的充 要条件(用 m 的取值范围表示).

5

19.如图,椭圆的长轴 A1A2 与 x 轴平行,短轴 B1B2 在 y 轴上,中心为 M(0,r) (b>r>0).

(Ⅰ)写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率; (Ⅱ)直线 y=k1x 交椭圆于两点 C(x1, 1), 2, 2)(y2>0); y D(x y 直线 y=k2x 交椭圆于两点 G(x3, 3), y H(x4,y4)(y4>0).求证:

k1 x1 x2 k x x = 2 3 4 ; x1 + x2 x3 + x4

(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的 C、D、G、H,设 CH 交 x 轴于点 P,GD 交 x 轴于点 Q.求证:|OP|=|OQ|. (证明过程不考虑 CH 或 GD 垂直于 x 轴的情形)

2

20.已知双曲线 x -

y2 =1 与点 P(1,2),过 P 点作直线 l 与双曲线交于 A、B 两点,若 P 为 2

AB 的中点 (1)求直线 AB 的方程. (2)若 Q(1,1),证明不存在以 Q 为中点的弦.

21.中心在坐标原点、焦点在 x 轴上的椭圆,它的离心率为 M、N 两点,若以 MN 为直径的圆经过坐标原点,求椭圆方程.

3 ,与直线 x+y-1=0 相交于 2

6

2

22.在抛物线 y =4x 上恒有两点关于直线 y=kx+3 对称,求 k 的取值范围.

x2 + y 2 =1(a>1)的短轴的一个端点 B(0,1)为直角顶点作椭圆的内接等腰直角 a2 三角形,问这样的直角三角形是否存在.如果存在,请说明理由,并判断最多能作出几个这样的 三角形?如果不存在,请说明理由.
23.以椭圆

7

24.已知椭圆的一个焦点 F1(0, -2 2 ), 对应的准线方程为 y=- e,

9 2 2 , 且离心率 e 满足: , 4 3

4 成等比数列. 3
(1)求椭圆方程; (2)是否存在直线 l,使 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 恰被直线 x=- 平分.若存在,求出 l 的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由.

1 2

8

直线与圆锥曲线(三)参考答案
一.选择题 1.B 2.A 二.填空题 6.48 3 3.C 4.B 5.A

7.x+2y-8=0

8.y=±

3 (x+2) 2

9.6

三.解答题 10.解:由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,-5<m<0,

?y = x + m 由方程组 ? 2 ,消去 y, ? y = 4x
2 2

得 x +(2m-4)x+m =0 ① ∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, 2 2 ∴方程①的判别式Δ=(2m-4) -4m =16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0) , 2 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·x2=m , 5+ m ∴|MN|=4 2(1 ? m ) , 点 A 到直线 l 的距离为 d= . 2 ∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△ =4(1-m)(5+m)
2 2

2 ? 2m + 5 + m + 5 + m 3 ) =128. 3 ∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号. 故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 . . 11.解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1,与曲线 1C 当 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1),代入 C 的方程,并整理得 2 2 2 2 (2-k )x +2(k -2k)x-k +4k-6=0 ① 2 (ⅰ)当 2-k =0,即 k=± 2 时,方程 ① 有一个根,l 与 C 有一个交点 2 (ⅱ)当 2-k ≠0,即 k≠± 2 时 2 Δ=[2(k -2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k) 3 * ①当Δ=0,即 3-2k=0,k= 时,方程( )有一个实根,l 与 C 有一个交点. 2 3 ②当Δ>0,即 k< ,又 k≠± 2 , 2 3 故当 k<- 2 或- 2 <k< 2 或 2 <k< 时,方程 ①有两不等实根,l 与 C 有两个 2 交点. 3 ③当Δ<0,即 k> 时,方程 ①无解,l 与 C 无交点. 2 3 综上知:当 k=± 2 ,或 k= ,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点; 2
=2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2(

9

当 2 <k< ,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点;

3 2

3 2 2 2 2 2 且 (2)假设以 Q 为中点的弦存在,设为 AB, A(x1,y1),B(x2,y2),则 2x1 -y1 =2,2x2 -y2 =2 两式 相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1 -y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 , ∴2(x1 -x2)=y1 -y1 , y ? y2 即 kAB= 1 =2 x1 ? x 2
当 k> 时,l 与 C 没有交点. 但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点,所以假设不正确,即以 Q 为中点的弦不 存在. 12.解:利用椭圆的定义、等差数列的定义,处理直线与圆锥曲线的方法. (1)由椭圆定义及条件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4,所以 b= a 2 ? c 2 =3 故椭圆方程 为

x2 y2 + =1. 25 9
(2)由点 B(4,yB)在椭圆上, F2B|=|yB|= 得|

9 25 4 .因为椭圆右准线方程为 x= ,离心率为 ,根 5 4 5 4 25 4 25 据椭圆定义,有|F2A|= ( -x1),|F2C|= ( -x2),由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得 5 4 5 4 4 25 4 25 9 ( -x1)+ ( -x2)=2× ,由此得出:x1+x2=8. 设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 5 4 5 4 5 x + x2 x0= 1 =4. 2 (3)解析法一:由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上. ?9 x 2 + 25 y1 2 = 9 × 25 ? 2 2 2 ① 得? 1 , ①-②得 9(x1 -x2 )+25(y1 - 2 2 ② ?9 x 2 + 25 y 2 = 9 × 25 ? 2 y2 )=0, x + x2 y + y2 y ? y2 ) + 25( 1 )?( 1 ) =0(x1≠x2) 即 9× ( 1 2 2 x1 ? x 2 x + x2 y + y2 y ? y2 1 = x 0 = 4, 1 = y0 , 1 = ? (k≠0) 将 1 2 2 x1 ? x 2 k
1 25 )=0(k≠0) 即 k= y0(当 k=0 时也成立). k 36 25 16 由点 P(4,y0)在弦 AC 的垂直平分线上,得 y0=4k+m,所以 m=y0-4k=y0- y0=- y0. 9 9 9 9 16 由点 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称)的内部,得- <y0< ,所以- <m 5 5 5 16 < . 5 1 解析法二:因为弦 AC 的中点为 P(4,y0),所以直线 AC 的方程为 y-y0=- (x-4)(k≠0) k ③ ,
代入上式,得 9×4+25y0(-
10

x2 y2 2 2 2 2 =1,得(9k +25)x -50(ky0+4)x+25(ky0+4) -25×9k =0 + 25 9 50( k 0 + 4) 25 所以 x1+x2= =8,解析得 k= y0.(当 k=0 时也成立) 2 36 9k + 25 (以下同解析法一). 13.解: (I)由点 A(2,8)在抛物线 y 2 = 2 px 上,有8 2 = 2 p ? 2 , 解得 p = 16 . 所以抛物
将③代入椭圆方程 线方程为 y = 32 x ,焦点 F 的坐标为(8,0) (II)如图,由 F(8,0)是 ?ABC 的重心,M 是 BC 的中点,所以 F 是线段 AM 的定比分点,
2



AF =2 FM
设点 M 的坐标为 ( x 0 ,y 0 ) ,则

所以点 M 的坐标为 (11, ? 4) (III)由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上,所以 BC 所在的直线不垂直于 x 轴. 设 BC 所成直线的方程为 y + 4 = k ( x ? 11)( k ≠ 0) 由?

2 + 2 x0 8 + 2 y0 = 8, = 0 解得 x0 = 11,y0 = ?4 1+ 2 1+ 2

? y + 4 = k ( x ? 11) ? y = 32 x
2

消 x 得 ky 2 ? 32 y ? 32(11k + 4) = 0

所以 y1 + y 2 =

32 k

由(II )的结论得

y + 4 = ?4( x ? 11)

y1 + y 2 = ?4 , 解得 k = ?4 2 即 4 x + y ? 40 = 0 .
2 2

, 因此 BC 所在直线的方程为

?a 2 ? c 2 = 2, x y ? 14.解:(1)由题意,可设椭圆的方程为 2 + = 1( a > 2 ) .由已知得 ? a2 2 a c = 2( ? c ). ? c ? 2 2 x y 6 解得 a = 6 , c = 2 . 所以椭圆的方程为 + = 1 ,离心率 e = . 6 2 3 (2) 〖解〗由(1)可得 A(3,0) .设直线 PQ 的方程为 y = k ( x ? 3) .由方程组 2 2 ?x y = 1, ? + 得 (3k 2 + 1) x 2 ? 18k 2 x + 27 k 2 ? 6 = 0 2 ?6 ? y = k ( x ? 3) ? 6 6 依题意 ? = 12( 2 ? 3k 2 ) > 0 ,得 ? . <k< 3 3 18k 2 设 P( x1 , y1 ), Q( x 2 , y 2 ) , 则 x1 + x 2 = 2 , ① 3k + 1 27 k 2 ? 6 x1 x 2 = . ② 3k 2 + 1 由直线 PQ 的方程得 y1 = k ( x1 ? 3), y 2 = k ( x 2 ? 3) .于是 y1 y 2 = k 2 ( x1 ? 3)( x 2 ? 3) = k 2 [ x1 x 2 ? 3( x1 + x 2 ) + 9] . ③

11

∵ OP ? OQ = 0 ,∴ x1 x 2 + y1 y 2 = 0 . 由①、②、③、④得 5k 2 = 1 ,从而 k = ±



5 6 6 ∈ (? , ). 5 3 3 所以直线 PQ 的方程为 x ? 5 y ? 3 = 0 或 x + 5 y ? 3 = 0

(3)证明: AP = ( x1 ? 3, y1 ), AQ = ( x 2 ? 3, y 2 ) .由已知得方程组

? x1 ? 3 = λ ( x 2 ? 3), ? y = λy , 2 ? 1 2 2 ? x1 y1 ? + = 1, 2 ?6 ? x2 y2 ? 2 + 2 = 1. 2 ?6


注意 λ > 1 ,解得 x 2 =

5λ ? 1 因 F (2, 0), M ( x1 , ? y1 ) , 2λ

FM = ( x1 ? 2, ? y1 ) = (λ ( x2 ? 3) + 1, ? y1 ) = (
而 FQ = ( x 2 ? 2, y 2 ) = (

λ ?1 , y 2 ) ,所以 FM = ?λ FQ . 2λ 15.解:(Ⅰ) 由题设有 m>0, c = m .设点 P 的坐标为 ( x0 , y 0 ), 由 PF1 ⊥ PF2 , 得
y0 y ? 0 = ?1 , 化简得 x 0 ? c x0 + c
联立,解得 x0 =
2
2 2 x 0 + y 0 = m.

1? λ λ ?1 , ? y1 ) = ? λ ( , y2 ) . 2 2λ



将①与

2 x0 2 + y0 = 1 m +1

m2 ?1 2 1 m2 ?1 2 , y 0 = . 由 m>0. x0 = ≥ 0, 得 m≥1. m m m m +1 m . 设点 Q 的坐标为 ( x1 , y 1 ), 则 x1 =

所以 m 的取值范

围是 m≥1. (Ⅱ)准线 L 的方程为 x =

m +1 m

.

m +1 QF2 x ?c = 1 = PF1 c ? x0

? m m . m ? x0



将 x0 =

m2 ?1 代入②,化简得 m

QF2 PF2

?

1 m ? m2 ?1

= m + m 2 ? 1.

QF2
由 题 设

PF2 QF2 PF2 1 m + m ?1
2

= 2 ? 3,



m + m 2 ? 1 = 2 ? 3 , 无解, m2 ?1 将 x0 = ? 代入②, 化简得 m

=

= m ? m 2 ? 1. 由 题 设

QF2 PF2

= 2 ? 3 , 得 m ? m 2 ? 1 = 2 ? 3. 解得 m=2.

12

3 2 , y0 = ± , c = 2 , 得到 PF2 的方程, y = ± ( 3 ? 2)( x ? 2 ). 2 2 16.解:(Ⅰ)将直线 l 的方程 y = kx + 1 代入双曲线 C 的方程 2 x 2 ? y 2 = 1 后,整理得 (k 2 ? 2) x 2 + 2kx + 2 = 0 .…………① 依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,
从而 x0 = ? 得

k2 ? 2 ≠ 0, ? = (2k ) 2 ? 8(k 2 ? 2) > 0 , 2k ? 2 > 0, k ?2 2 > 0 . 解得 k 的取值范围为 ? 2 < k < ? 2 . 2 k ?2 (Ⅱ)设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) ,则由①得 2k 2 , x1 ? x 2 = 2 .………………② x1 + x 2 = 2 2?k k ?2 假设存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0) ,则由 FA⊥FB 得 ( x1 ? c)( x2 ? c) + y1 y 2 = 0 .即 ( x1 ? c)( x2 ? c) + (kx1 + 1)(kx2 + 1) = 0 .
整理得 ( k 2 + 1) x1 x 2 | (k ? c )( x1 + x 2 ) + c 2 + 1 = 0 .……………………③ 把②式及 c =

6 代入③式化简得 5k 2 + 2 6k ? 6 = 0 . 2 6+ 6 6? 6 解得 k = ? 或k = . ? ( ?2,? 2 ) (舍去) 5 5 6+ 6 可知 k = ? 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点. 5

17.解:设直线方程为 y=kx+2, 2 2 把它代入 x +2y =2 2 2 整理得 (2k +1)x +8kx+6=0 要使直线和椭圆有两个不同交点,则Δ>0,即 k<-

6 6 或k > , 2 2

设直线与椭圆两个交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),中点坐标为 C(x,y),则

x1 + x2 ? 4k = 2 2 2k + 1 2 ? 4k 2 y= 2 +2= 2 2k + 1 2k + 1 ? 4k ? ? x = 2k 2 + 1 6 6 ? 从参数方程 ? (k<- 或 k> ) 2 2 2 ?y = ? 2k 2 + 1 ?
x=

13

2

2

消去 k 得 x +2(y-1) =2 且|x|<

6 1 ,0<y< . 2 2

综上,所求轨迹方程为 x 2 + 2( y ? 1) 2 = 2 ,其中| x |<

6 1 ,0 < y < 2 2 2 18.解:线段 AB 所在直线方程为 x+y=3,与方程 y=-x +mx-1 消去 y 得: 2 x -(m+1)x+4=0 曲线 C 与线段 AB 有两个交点的充要条件是该方程在[0,3]上有两个不同解, 2 令 f(x)=x -(m+1)x+4,则

19.解(1) 椭圆方程为

x 2 ( y ? r) 2 + = 1. a2 b2

焦点坐标为 F1(- a 2 ? b 2 , r ),F2( a 2 ? b 2 , r ),

a 2 ? b2 . a (Ⅱ)【证明】将直线 CD 的方程 y=k1x 代入椭圆方程,得 2 2 2 2 2 2 b x +a (k1x-r) =a b , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 整理得(b +a k1 )x -2k1a rx+(a r -a b )=0. 2k a 2 r a 2r 2 ? a 2b2 根据韦达定理,得 x1+x2= 2 1 2 2 , x 1 x 2 = 2 2 b + a k1 b + a 2 k1
离心率 e=

x1 x2 r 2 ? b2 所以 = x1 + x2 2k1r x3 x 4 r 2 ? b2 = . x3 + x 4 2k 2 r
由①,②得



将直线 GH 的方程 y=k2x 代入椭圆方程,同理可得 ②

k1 x1 x 2 r 2 ? b 2 k 2 x3 x 4 = = . x1 + x 2 2r x3 + x 4
x1 ? p k1 x1 ( k ? k 2 ) x1 x4 = ,解得 p= 1 . x4 ? p k 2 x4 k1 x1 ? k 2 x4

所以结论成立. (Ⅲ)【证明】设点 P(p,0),点 Q(q,0). 由 C,P,H 共线,得

14

由 D,Q,G 共线,同理可得 q=

( k1 ? k 2 ) x2 x3 . k1 x2 ? k 2 x3



k1 x1 x2 k x x = 2 3 4 变形得 x1 + x2 x3 + x4 x2 x3 x1 x 4 - = , k1 x 2 ? k 2 k 3 k1 x1 ? k 2 x 4 ( k ? k 2 ) x 2 x3 ( k1 ? k 2 ) x1 x4 即- 1 = . k1 x2 ? k 2 x3 k1 x1 ? k 2 x4

所以|p|=|q|,即|OP|=|OQ|. 所以结论成立. 20.解(1)设过 P(1,2)点的直线为 y-2=k(x-1)代入双曲线方程得 2 2 2 2 (2-k )x +(2k -4k)x-(k -4k+6)=0 由 AB 中点为 P(1,2) ∴ x1+x2=

2k 2 ? 4 k =2,解得 k=1, k2 ? 2
x 2 y2 + =1(a>b>0) a 2 b2
2 2

又 k=1 时,使Δ=16>0,从而直线 AB 方程为 x-y+1=0 (2)【证明】按同样方法求得 k=2,而 k=2 使此时Δ<0,所以直线 CD 不存在 21.解:设椭圆方程

∵e=

3 2

∴a =4b ,即 a=2b

x2 y2 + 2 =1 4b 2 b 2 2 把直线方程代入化简得 5x -8x+4-4b =0 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则
∴椭圆方程为 x1+x2= ,x1x2= (4-4b )

8 5

1 5

2

∴y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2= (1-4b ) 由于 OM⊥ON ∴x1x2+y1y2=0

1 5

2

15

2

解得 b = ,a =

5 8

2

5 2

所以椭圆方程为

2 2 8 2 x + y =1. 5 5
2

22.解:设 B、C 关于直线 y=kx+3 对称,直线 BC 方程为 x=-ky+m 代入 y =4x 得, 2 y +4ky-4m=0, 设 B(x1,y1)、C(x2,y2),BC 中点 M(x0,y0),则 y0=

y1 + y 2 2 =-2k,x0=2k +m 2

∵点 M(x0,y0)在直线 l 上, 2 ∴-2k=k(2k +m)+3, ∴m=-

2k 3 + 2k + 3 k

又 BC 与抛物线交于不同两点, 2 ∴Δ=16k +16m>0, 把 m 代入化简得

k 3 + 2k + 3 <0 k ( k + 1)( k 2 ? k + 3) 即 <0, k
解得-1<k<0. 23.解:由题意可知:直角边 BA,BC 不可能垂直或平行于 x 轴.故可设 BC 边所在直线方程为

y=kx+1(不妨设 k<0 ) ,则 BA 边所在直线方程为 y=-

1 x+1. k

? y = kx + 1 ? ∵? x 2 消去 y 得: 2 ? 2 + y =1 ?a 2 2 2 2 (1+a k )x +2a kx=0 2a 2 k 解得 x1=0,x2=- 1 + a 2k 2
∴|BC|= 1 + k |x1-x2|=
2

2a 2 | k | 1 + k 2 1+ a 2k2

用-

1 2a 2 1 + k 2 代替上式中的 k 得|AB|= k a2 + k2
2 2 2 2

由|BC|=|BA|,得|k|(a +k )=1+a k 注意到 k<0 得 2 2 (k+1)[k +(a -1)k+1]=0 ① 当(a -1) -4<0 即 1<a< 3 时,①有惟一解 k=-1;
2 2

当 a= 3 时,①有惟一解 k=-1; 当 a> 3 时,①有三个不同的解. 综上所述:当 1<a≤ 3 时,只能作出一个三角形;当 a> 3 时,能作出三个三角形.
16

2 2 . 3 a2 9 2 2 2 2 (1)∵ -c= ?2 2 = , 又e = c 4 4 3 ∴a=3,c=2 2 ,b=1, 9 2 又 F1(0,-2 2 ),对应的准线方程为 y=- . 4 1 2 2 ∴椭圆中心在原点,所求方程为 x + y =1 9
24.解:依题意 e= (2)假设存在直线 l,依题意 l 交椭圆所得弦 MN 被 x=- 存在.设直线 l:y=kx+m

1 平分,∴直线 l 的斜率 2

? y = kx + m ? 消去 y,整理得 由? 2 y2 ?x + 9 = 1 ?
2 2 2

(k +9)x +2kmx+m -9=0 ∵l 与椭圆交于不同的两点 M,N, 2 2 2 2 ∴Δ=4k m -4(k +9)(m -9)>0 2 2 即 m -k -9<0 ① 设 M(x1,y1),N(x2,y2) ∴

x1 + x2 ? km 1 = 2 =? , 2 k +9 2 2 k +9 ∴m= 2k



把②代入①式中得

( k 2 + 9) 2 2 -(k +9)<0 4k 2 ∴k> 3 或 k<- 3

π
∴直线 l 倾斜角α∈( ,

π
)∪(

π


3

2

2

2π ) 3

17


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