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二O一四年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷答案


二O一四年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷
一、填空题(10 小题,每小题 6 分,共 60 分) 1.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 3 ,且 an?2 ? an?1 ? an ( n ? N ) ,则 a 2014 ?
?

.

【答案】1. 2.如图所示的程序框图中输出的结果为 a,若二项式

(mx 2 ?
1 x )4 (m>0)的展开式中含 x 3 的项的系数

a ,则常数 m=_________ 2 1 【答案】 2


. 开始
a ? 3,i ? 1

3.已知对任意 m ? ? 1 ,3? ,不等式 x2+mx+4>2m+4x 恒成立,则 ? ?2 ? ? x 的取值范围是_____________. 【答案】x>2 或 x<-1 4 . 已 知

a ? ?2





A??

x2?

?? x

?a ,

i< 2014

a? 1 1? a



B ? ? y y ? 2 x ? 3, x ? A? , C ? z z ? x 2 , x ? A ,若 C ? B ,
则实数 a 的取值范围是 【答案】 ? ,3? . 2 .

?

?

输出 a 结束

a?

?1 ?

? ?

1 1? ?1a i?i

5.AFS 国际文化交流组织(AFS Intercultural Programs)拟将 18 个中学生交流项目的名额分配给 4 所学校 , 要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等 , 则不同的分配方法种数为: ______________. 【答案】360
? y ? x, 6.设 m>1,在约束条件 ? ? y ? mx, 下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的取值范围为 ? x ? y ? 1. ?

__________. 【答案】(1,1+ 2) 7.圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形,O 为底面中心,M 为 SO 的中点,动点 P 在圆锥 底面内(包括圆周) .若 AM⊥MP,则 P 点形成的轨迹的长度为 【答案】 .

7 . 2

8.直角梯形 ABCD 中,AD⊥AB, AB//DC , AB=4,AD=DC=2,设点 N 是 DC 边的中点,点 M 是梯形

ABCD 内或边界上的一个动点,则 AM ? AN 的最大值是______________.
1

【答案】6 9.设实数 a ? ?1 ,变量 x 满足 x ? ax ? ? x ,且 x ? ax 的最小值为 ?
2 2

1 ,则 a ? 2



【答案】 ?

3 2
x2 y 2 ax 2 y 2 ? ? 1 (0< a ? 1 )的交 ? ? 1 和椭圆 16 4 4 16

10.已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线过椭圆 点,则双曲线的离心率的取值范围是 【答案】 [ 2 ,



21 ) 3
*

二、解答题(4 小题,共 60 分) 11. (本小题满分 14 分)在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? n ? 2 , n ? N .求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn . 解:由 an?1 ? 2an ? n ? 2 得 an?1 ? n ? 2(an ? (n ? 1)) , n ? N .
*

所以数列 ?an ? (n ?1)? 是首项为 1 ,且公比为 2 的等比数列. ∴ an ? 2n?1 ? n ?1 .…………10 分 所以数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2 ? 1 ?
n

n(n ? 1) .…………14 分 2

12 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 △ABC 的 角 A , B , C 的 对 边 依 次 为 a , b , c , 若 满 足

3 tan A ? tan B ? tan A ? tan B ? 3 ,
(Ⅰ)求∠C 大小; (Ⅱ)若 c=2,且△ABC 为锐角三角形,求 a2+b2 取值范围. 解: (I)∵ 3 tan A ? tan B ? tan A ? tan B ? 3 ,∴ tan A ? tan B ? 3(tan A ? tan B ?1) ∴ 1 ? tan A ? tan B ? ? 3 ,∴ tan( A ? B) ? ? 3 ,∴ tan C ? 3 ,∴ C ? 3 …………6 分

tan A ? tan B

?

? ? ?A ? 2 ? ? ? ? a b c ? ? ? A ? ,由正弦定理 ? ? , (II) ? B ? 2 6 2 sin A sin B sin C ? 2? ? ?A ? B ? 3 ?

2

a 2 ? b2 ? ?

16 2? [sin 2 A ? sin 2 ( ? A)] 3 3

16 8 ? ? sin(2 A ? ) 3 3 6

?
6


? A?

?
2

, ?

?
6

? 2A ?

?
6

?

5? 1 ? , ? ? sin(2 A ? ) ? 1, 6 2 6

20 ? a 2 ? b 2 ? 8. 3

…………14 分

13. (本小题满分 16 分) 已知双曲线 C :

x2 y 2 的离心率为 2, 过点 P(0 , m) ? ? 1( a ? 0 ,b ? 0 ) a 2 b2

( m ? 0 )斜率为 1 的直线 l 交双曲线 C 于 A 、 B 两点,且 AP ? 3PB , OA ? OB ? 3 . (1)求双曲线方程; (2)设 Q 为双曲线 C 右支上动点, F 为双曲线 C 的右焦点,在 x 轴负半轴上是否存在定点 M 使 得 ?QFM ? 2?QMF ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

x2 y 2 解: (1)由双曲线离心率为 2 知, c ? 2a , b ? 3a ,所以双曲线方程可化为 2 ? 2 ? 1 . a 3a

? x2 y 2 ? ?1 ? 2 2 2 又直线 l 方程为 y ? x ? m .由 ? a 2 3a 2 ,得 2 x ? 2mx ? m ? 3a ? 0 . ① ? y ? x?m ?

y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? m , x1 x2 ? 设 A( x1 ,

?m2 ? 3a 2 . 2

m ? y1 ) ? 3( x2 , y2 ? m) ,故 x1 ? ?3x2 . 因为 AP ? 3PB ,所以 (? x1 ,
结合 x1 ? x2 ? m ,解得 x1 ? 代入 x1 x2 ?

3 1 m , x2 ? ? m . 2 2

?m2 ? 3a 2 3 ?m2 ? 3a 2 2 2 ,得 ? m2 ? ,化简得 m ? 6a .又 2 4 2

OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? 2 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m 2 ? m 2 ? 3a 2 ? 3a 2,
因为已知 OA ? OB ? 3 . 所以 a ? 1 .此时, m ? 6 ,代入①,整理得 2 x ? 2 6 x ? 9 ? 0 ,显然该方程有两个不同的
2

2

3

y2 实根. a ? 1 符合要求.故双曲线 C 的方程为 x ? ? 1. …………8 分 3
2
2

(2) 假设点 M 存在, 设 M (t , 由 (1) 知, 双曲线右焦点为 F (2 , 设 Q( x0 , 0) . 0) . y0 )( x0 ? 1 ) 为双曲线 C 右支上一点.

nQFM ? ?k Q F ? ? 当 x0 ? 2 时 , t a ?
2?

y0 y0 , tan ?QMF ? k Q M ? , 因 为 x0 ? 2 x0 ? t

y0 y x0 ? t . ?QFM ? 2?QMF ,所以 ? 0 ? x0 ? 2 1 ? ( y0 ) 2 x0 ? t
将 y0 ? 3x0 ? 3 代入,并整理得, ?2x0 ? (4 ? 2t ) x0 ? 4t ? ?2x0 ? 2tx0 ? t ? 3 .
2 2 2 2 2

于是 ?

? 4 ? 2t ? ?2t
2 ? ? 4t ? t ? 3

,解得 t ? ?1 .

0 0 当 x0 ? 2 时, ?QFM ? 90 ,而 t ? ?1 时, ?QMF ? 45 ,符合 ?QFM ? 2?QMF .

0) . …………16 分 所以 t ? ?1 符合要求.满足条件的点 M 存在,其坐标为 (?1 ,
14. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ?
ax ?a ? R? . x ?1 (Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 y ? f ?x ?的图象在 x ? 0 处的切线方程; (Ⅱ)判断函数 f ( x) 的单调性;
? 1? 1 1 (Ⅲ)求证: ln ?1 ? ? ? ? 2 ( n ? N * ) . ? n? n n

解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ? ∴ f ?( x) ?
1 2 x?3 ? ? , x ? 1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2

2x , x ?1

∴ f ?(0) ? 3 ,所以所求的切线的斜率为 3. 又∵ f ? 0? ? 0 ,所以切点为 ? 0, 0 ? . 故所求的切线方程为: y ? 3x . …………4 分
ax ( x ? ?1) , x ?1 1 a( x ? 1) ? ax x ? 1 ? a ? ? ∴ f ?( x) ? . x ?1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 ①当 a ? 0 时,∵ x ? ?1 ,∴ f ?( x) ? 0 ;

(Ⅱ)∵ f ( x) ? ln( x ? 1) ?

②当 a ? 0 时,
4

? f ?( x) ? 0 ? f ?( x) ? 0 由? ,得 ?1 ? x ? ?1 ? a ;由 ? ,得 x ? ?1 ? a ; ? x ? ?1 ? x ? ?1

综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (?1, ??) 单调递增; 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (?1, ?1 ? a) 单调递减,在 (?1 ? a, ??) 上单调递增. …………10 分 (Ⅲ)方法一:由(Ⅱ)可知,当 a ? ?1 时,
f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x 在 ? 0, ?? ? 上单调递增. x ?1 x . x ?1

∴ 当 x ? 0 时, f ? x ? ? f ? 0? ? 0 ,即 ln ? x ? 1? ?

1 1 1 1 ? ? 令 x ? ( n ? N* ) ,则 ln ?1 ? ? ? n ? . n ? n ? 1 ?1 n ?1 n
另一方面,∵ ∴ ∴
1 1 1 1 1 ? 2 ,即 ? ? 2, n ? n ? 1? n n n ?1 n

1 1 1 ? ? 2. n ?1 n n ? 1? 1 1 ln ?1 ? ? ? ? 2 ( n ? N* ) .…………16 分 ? n? n n
2

方法二:构造函数 F ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x , (0 ? x ? 1) ∴ F '( x) ?

1 x(2 x ? 1) ?1 ? 2x ? , 1? x x ?1

∴当 0 ? x ? 1 时, F '( x) ? 0 ; ∴函数 F ( x) 在 (0,1] 单调递增. ∴函数 F ( x) ? F (0) ,即 F ( x) ? 0 ∴ ?x ? (0,1] , ln(1 ? x) ? x ? x ? 0 ,即 ln(1 ? x) ? x ? x
2 2

令x?

1 ? 1? 1 1 ( n ? N* ) ,则有 ln ?1 ? ? ? ? 2 .…………16 分 n ? n? n n

方法三:数学归纳法

酌情给分

5


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