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浙江省余杭中学2013届高三数学综合试卷(7)


2012 年余杭中学高三数学(文科)综合练习卷(七)
班级 姓名 成绩 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。

1.已知全集 U = R ,集合 A = {x | x 2 ? 2 x > 0} , B = {x | y = lg( x ? 1)} ,则 (CU A

) ∩ B =
( )

A. {x | x > 2或x < 0} D. {x |1 < x ≤ 2} 2.设 i 为虚数单位,则复数 A. 4 3

B. {x |1 < x < 2}

C.

{x | 1 ≤ x ≤ 2}

3a + 4i 为实数,则实数 a 为 1? i 4 3 B. ? C. 3 4






D. ?


3 4

3.在等比数列 {an } 中, a 2010 = 8a 2007 ,则公比 q 的值为 A. 2 B. 3 C. 4

D. 8


4.在 ?ABC 中, A、B、C 是它的三个内角,则 A < B 是 sin A < sin B 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 ∠A, ∠B, ∠C 所对的边,若 ∠A = 105 o , ∠B = 45 o , b = 2 2 则 c = ( A. ? 2 B. ? 2 2 ) C. 2 2 D. 2

6. 函 数 f ( x) = ax 3 ? 3x + 1 对 于 x ∈ [1,+∞ ] 总 有 f ( x ) ≥ 0 成 立 , 则 a 的 取 值 范 围 为
( )

A. [ 2,+∞ ) C. {4} 7.下图给出的是计算 A. i > 9 C. i > 11

B. [ 4,+∞ ) D. [ 2,4]
1 1 1 1 的值的一个程序框图, + + + ??? + 2 4 6 20
( )

其中判断框内应填入的条件是

B. i > 10 D. i > 12

8.在等差数列 {a n } 中, a n ≠ 0 ,且 a1 , a3 , a 4 成等比数列,则其公比 q = A. 1 2 B. 2 C. 3





D.

? ? ? ? 9. 已 知 向 量 a = (cos θ ,sin θ ) , 向 量 b = ( 3,1) , 则 2a ? b 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为
( )

1 3

A. 4 2, 0

B. 4, 0

C. 16, 0

D. 4, 4 2

10.已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,对 x ∈ R 都有 f ( x + 4) = f ( x) + f (2) 成立,若

f (? 1) = ?2 ,则 f (2013) 等于
A. 2 B. ?2 C. ? 1





D. 2013

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。

11.已知 cos(π + θ ) =

4 ,则 cos 2θ = 5



12. 某大学对 1000 名学生的自主招生水平测试
成绩进行统计,得到样本频率分 布直方图 (如图),则这 1000 名学生在该次自主招生 水 平 测 试 中 不 低 于 70 分 的 学 生 数 是 。
0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 频率 组距

? x ? y + 1≥ 0, ? 13.若实数 x, y 满足 ? x + y ≥ 0, ? x ≤ 0, ?
则 z = x + 2 y 的最小值是 。

O

40

50

60

70

80

90

100

分数

14. 若 函 数 f ( x ) = x 2 + 2(a ? 1) x + 2 在 区 间 ( ?∞, 4 ) 是 减 函 数 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围
是 。

15. 已知双曲线 C :

x2 y2 ? = 1 的 焦距为 10 ,点 P(2,1) 在 C 的渐近线上,则 C 的方程 a2 b2

为______________。

? ? ? ? ? ? 16. 已 | a |= 2sin 75°,| b |= 4cos75°, a与b 的夹角为 30 o ,则 a ? b 的值为
17. 设实数 x, y 满足 log 2 ( x + y + 3) = log 2 x + log 2 y, 则x + y的取值范围是

。 。

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.(本题满分 14 分)
已 知 O 为 坐 标 原 点 , OA = ( 2 sin x,1), OB = (1,?2 3 sin x cos x + 1) ,
2

??? ? ??? ? f ( x) = OA ? OB + m 。
(1)求 y = f ( x) 的单调递增区间; (2)若 f ( x) 的定义域为 [

π , π ] ,值域为 [2,5] ,求 m 的值。 2

19.(本题满分 14 分)
等 比 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 Sn , 已 知 对 任 意 的 n ∈ N , 点 ( n, S n ) , 均 在 函 数
+

y = b x + r (b > 0 且 b ≠ 1, b, r 均为常数)的图像上。
(1)求 r 的值;
(2)当 b = 2 时,记 bn =

n +1 (n ∈ N + ) 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 4an

20.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = x ln x. (1)求函数 f ( x ) 的极值点; (2)若直线 l 过点 (0,?1) ,并且与曲线 y = f ( x ) 相切,求直线 l 的方程。

; 21.(本小题满分 15 分) 3 2 函数 f ( x) = x + ax + bx + c , 过曲线 y = f ( x) 上的点 P(1, f (1) ) 的切线方程为

y = 3x + 1 。

(1)若 y = f ( x) 在 x = ?2 时有极值,求 f ( x) 的表达式; (2)在(1)的条件下,求 y = f ( x) 在 [?3 , 1] 上最大值; (3)若函数 y = f ( x) 在区间 [?2, 1 ] 上单调递增,求 b 的取值范围。

22.(本题满分 15 分)
已知 x 轴上的两点 A, B 分别是椭圆

x2 y 2 + = 1 的左右两个焦点, O 为坐标原点,点 a 2 b2

P(?1,

2 ) 在椭圆上,线段 PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点.[来源:学科网] 2 ??? ? ????

(1) 求椭圆的标准方程; (2)若斜率大于零的直线过 D (? 1,0 ) 与椭圆交于 E、F 两点,且 ED = 2 DF ,求直线 EF 的方 程。

2012 年余杭中学高三数学(文科)综合练习卷(七)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案

D

B

A

C

D

A

B

A

B

A

二、填空题(本大题共 7 个小题,每小题 4 分,共 28 分) 11、 13、

7 25
0

12、 14、

600

a≥5
16、

15、

x2 y2 ? =1 20 5

3

17、

[6,+∞ )

三、解答题(本大题共 4 个小题,共 72 分) 18. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ( x) = 2 sin x ? 2 3 sin x cos x + 1 + m ……2 分 = 1 ? cos 2 x ? 3 sin x + 1 + m
2

π )+2+m 6 π π 3π 由 + 2kπ ≤ 2 x + ≤ + 2kπ (k ∈ Z ) 2 6 2 π 2π 得 y = f ( x) 的单调递增区间为 [ kπ + , kπ + ] (k ∈ Z ) 6 3 π 7π π 13π (Ⅱ)当 ≤ x ≤ π 时, ≤ 2x + ≤ 2 6 6 6 π 1 ∴ ? 1 ≤ sin( 2 x + ) ≤ 6 2
= ? 2 sin( 2 x + ∴ 1 + m ≤ f ( x) ≤ 4 + m ,∴ ?
+

?1 + m = 2 ? m =1 ?4 + m = 5
x

19.解:因为对任意的 n ∈ N ,点 ( n, S n ) ,均在函数 y = b + r (b > 0 且 b ≠ 1, b, r 均为常数) 的图像上.所以得 S n = b + r , 当 n = 1 时, a1 = S1 = b + r ,
n

当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = b + r ? (b 又因为{ an }为等比数列,

n

n ?1

+ r ) = b n ? b n ?1 = (b ? 1)b n ?1 ,
公比为 b , 所以 an = (b ? 1)b
n ?1

所 以 r = ?1 ,
n ?1

(2)当 b=2 时, an = (b ? 1)b

= 2n ?1 ,

bn =

n +1 n +1 n +1 = = n+1 n ?1 4an 4 × 2 2

2 3 4 n +1 + 3 + 4 + ? + n +1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n +1 Tn = + 4 + 5 + ? + n +1 + n + 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n +1 相减,得 Tn = 2 + 3 + 4 + 5 + ? + n +1 ? n + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 × (1 ? n ?1 ) 1 23 n +1 3 1 n +1 2 + ? n + 2 = ? n+1 ? n+ 2 1 2 2 4 2 2 1? 2 3 1 n +1 3 n + 3 所以 Tn = ? n ? n +1 = ? n +1 2 2 2 2 2
则 Tn = 20.(1) 极值点为

1 e

(2)直线方程为 x ? y ? 1 = 0 21.(1) f ( x) = x + 2 x ? 4 x = 5 (2)最大值为 13 (3) [0, + ∞) 22.
3 2

由 y1 + y2 = ? y2 =
2

2m ?1 2 , y1 y2 = ?2 y2 = 2 2 m +2 m +2

得 2? ?

2m ? 1 14 14 ? ,解得 m = , m=? (舍去) , ? = 2 2 m +2 7 7 ? m +2? 14 y ? 1 即 7 x ? y 14 + 7 = 0 7

直线 EF 的方程为: x =


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