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003函数的性质


先锋高中学考数学复习资料

编号:003

函数的性质
一、知识梳理 1.函数的最值: 函数最大 (小) 值首先应该是某一个函数值, 即存在 x0 ? I , 使得 f ? x0 ? ? M ; 函数最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的,即对任意的 x ? I ,都有 f ? x ? ? M ( f ? x? ? M ) 2

.函数的单调性:如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 , x 2 当 x1 ? x2 时,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 f ? x ? 在区间 D 上为_______________ 当 x1 ? x2 时,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 f ? x ? 在区间 D 上为_______________ 3.函数的奇偶性:函数具有奇偶性的前提条件是定义域关于原点______________ 奇偶性 定义 如果对于函数 f ? x ? 的定义域内任意一个 x ,都有 偶函数 __________________, 那么函数 f ? x ? 就是偶函数 如果对于函数 f ? x ? 的定义域内任意一个 x ,都有 奇函数 __________________, 那么函数 f ? x ? 就是奇函数 关于________________对称 关于________________对称 图象特征

若奇函数在原点有定义,则 f ?0? ? ___________ 4.规律总结 (1)判断函数单调性的步骤 ①取值:在定义域内任取两个数 x1 , x 2 ,并规定 x1 ? x2 ; ②作差:计算 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ③定号:判断 f ?x1 ? ? f ?x2 ? 是大于零还是小于零 ④下结论:若 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,则 f ?x ? 单调递减;若 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,则 f ?x ? 单调递 增 (2)判断函数奇偶性的步骤 ①求定义域,并判断定义域是否关于原点对称。若不对称,则 f ?x ? 非奇非偶;若对称,则 进行以下步骤。 ②求 f ?? x ?

1

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③判断关系:若 f ?? x ? ? f ?x ? ,则 f ?x ? 为偶函数;若 f ?? x ? ? ? f ?x ? ,则 f ?x ? 为奇函数 (3)常见函数单调性的判断方法:

?k ? 0,函数在 R 上为增函数 ?k ? 0,函数在 R 上为减函数 ?0, 0?, ? ?? 上为减函数 ?k ? 0 ,函数在 ?- ?, k ②反比例函数 y ? : ? ?0, 0?, ? ?? 上为增函数 x ?k ? 0 ,函数在 ?- ?,
①一次函数 y ? kx ? b : ? ③指数函数 y ? a x : ?

?a ? 1 ,函数在 R 上为增函数 ?0 ? a ? 1,函数在 R 上为减函数

④对数函数 y ? loga x : ?

? ?? 上为增函数 ?a ? 1 ,函数在区间 ?0, ? ?? 上为减函数 ?0 ? a ? 1 ,函数在区间 ?0,
) D. f ?x ? ? sin x

二、典型例题 例题 1 (1)下列函数中,是偶函数的是( A. f ?x ? ? x B. f ? x ? ?

1 x

C. f ?x? ? x 2

(2)已知 f ?x ? 是定义在 ?? 2,0? ? ?0,2? 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ?x ? 的图像 如图所示,那么 f ?x ? 的值域是_________ 实战演练 1 下列函数中,既是奇函数又是增函数的是( A. f ?x ? ? x ? 1 B. f ?x ? ? ? x
3



C. f ? x ? ?

1 x

D. f ?x ? ? x x

例题 2 设函数 f ?x ? 是 R 上的减函数, 若 f ?m ? 1? ? f ?2m ? 1?, 则实数 m 的取值范围是____ 实战演练 2 函数 f ?x ? 是定义在 ?0,??? 上的增函数,则不等式 f ?x ? ? f ?8?x ? 2?? 的解集为 A. ?0,??? B. ?0,2? C. ?2,??? D. ? 2,

例题 3 证明函数 f ?x ? ? ?2 x ? 1 在 R 上是减函数。

? 16 ? ? ? 7?

实战演练 3 证明函数 f ? x ? ?

2 在区间 ?2,6? 上是增函数。 1? x

例题 4 判断下列函数的奇偶性 (1) f ?x? ? x
4

(2) f ?x? ? x

5

(3) f ? x ? ? x ?

(5) f ?x ? ? sin x

(6) f ?x ? ? cos x

1 x

(4) f ? x ? ?

1 x2

2

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三、达标练习 1.下列函数中,在 (0, ??) 上为增函数的是( A. f ? x ? ? ? x 2.若函数 f ? x ? ? B. f ? x ? ? lg x ) C. y ?

1 x

D. f ? x ? ? ( )

1 2

x

1 (x ? 2) ,则 f ?x ? ( ) x?2 A.在 ?? 2,??? 内单调递增 B.在 ?? 2,??? 内单调递减 C.在 ?2,??? 内单调递增 D.在 ?2,??? 内单调递减
) B. f ?x? ? x 2 , x ? ?? 3,3? 是偶函数 D. y ? x ? x 是偶函数
4 2

3.下列四个命题中不正确的是( A. f ?x ? ?

x

x 2 C. f ?x ? ? ?x ? 3? 是非奇非偶函数

是奇函数

4.下列函数中,为偶函数且在区间 ? 0, ?? ? 上为增函数的是(
x A. y ? ( )

) D. y ? x2 ? 2 )

1 3

B. y ? log3 x

C. y ?

1 x

5.若奇函数 f ?x ? 在 ?1,3?上是增函数,且有最小值 0,则它在 ?? 3,?1? 上( A. 是减函数,有最小值 0 C.是减函数,有最大值 0 B.是增函数,有最小值 0 D.是增函数,有最大值 0

6.已知 f ? x ? , g ? x ? 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f ? x ? ? g ? x ? ? x3 ? x2 ? 1, 则 f ?1? ? g ?1? ? ( A. ?3
2

) C. 1 D. 3 )

B. ?1

7.函数 f ?x ? ? x ? 2ax , x ? ?1,??? 是增函数,则实数 a 的取值范围是( A. R B. ?1,??? C. ?? ?,1? D. ?2,???

8.定义在 R 上的偶函数在 ?0,7? 上是增函数,在 ?7,??? 上是减函数,又 f ?7 ? ? 6 ,则 f ?x ? A. 在 ?? 7,0? 上是增函数,且最大值为 6 C.在 ?? 7,0? 上是增函数,且最小值为 6 D.在 ?? 7,0? 上是减函数,且最小值为 6 B.在 ?? 7,0? 上是减函数,且最大值为 6

9.下列函数中,满足“对任意 x1 , x2 ? ?0,??? ,当 x1 ? x2 时,都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ”的是 A. f ? x ? ?

1 x

B. f ?x ? ? ?x ?1?

2

C. f ? x ? ? e

x

D. f ?x ? ? ln?x ? 1? )

10.若函数 f ? x ? ?

x 为奇函数,则 a 等于( ?2 x ? 1??x ? a ?
B.

A.

1 2

2 3

C.

3 4

D. 1

3

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11.已知定义在 R 上的奇函数 f ?x ? 满足 f ?x ? 4? ? ? f ?x ? ,且在区间 ?0,2? 上是增函数,则 A. f ?? 25? ? f ?11? ? f ?80? C. f ?11? ? f ?80? ? f ?? 25? D. f ?? 25? ? f ?80? ? f ?11? B. f ?80? ? f ?11? ? f ?? 25?

12.函数 f ?x ? ? x 2 ? 2 x ? 1 , x ? ?? 2,2? 的最大值是_____________ 13.已知 f ?x ? 是定义在 R 上的偶函数, 且在 ?0,??? 上为增函数,f ?3? ? 2 , 则满足 f ?x ? ? 2 的 x 的取值范围是__________ 14.若函数 f ?x ? ? ax2 ? 2 x ? 5 在 ?4,??? 上单调递增,则实数 a 的取值范围是_________ 15.定义在 ? ?2, 4? 上的函数 f ? x ? 的图象如图所示, 则函数 f ? x ? 的单调递增区间是______, 单调递减区间是___________。

16.(2012 年学考第 16 题)已知函数 y ? f ? x ?( x ?? ?2,6? )的图象如图,根据图象写出: (1)函数 y ? f ? x ? 的最大值; (2)使 f ? x ? ? 1 的 x 值。

? x, x ? ? 0, 2? ? 17.(2014 年学考第 16 题)已知函数 f ? x ? ? ? 4 ? , x ? ? 2, 4? ?x
(1)画出函数 f ? x ? 的大致图象; (2)写出函数 f ? x ? 的最大值和单调减区间。

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